平方根的黎曼曲面是单连通的吗？

Question

我正在寻找普适覆盖空间，现在我想知道平方根$z^{1/2}$的黎曼曲面（或者对于$z^}1/n}$更一般）是否是单连通的，因此是穿孔复平面的普适覆盖区域？

如果是，$log（z）$的Riemann曲面（拓扑）是否同胚于$z^{1/n}$的Riemann曲面？如果两个Riemann曲面都是穿孔复平面的单连通覆盖空间，那么它们显然必须是同胚的，但仅仅从它们来看似乎并不明显。

我不熟悉复杂分析（我专门研究几何），但需要对几何中的结果进行解释。。。非常感谢您的帮助！

Answer 1

我假设您正在讨论黎曼曲面${w^2=z，w\neq0}$等等。那就是了不简单连接。要看到这一点，首先要注意它是$\mathbb C\backslash\{0\}$的两片覆盖，因为它是局部同胚，并且$\mathbb C\backslash\{0\{}$中的每个点都有两个前像。然后，它的基本群是$\pi_1（\mathbb C\backslash\{0\}）=\mathbbZ$的索引2的一个子群，这是非常重要的。更直接地说，如果你让$z$绕着$0$转两圈，$w$将转一整圈，从而在$\｛w^2＝z，w\neq0\｝$中画出一个循环。但是，如果您将这个循环提升到$\mathbb C\backslash\{0\}$的通用覆盖的对数（请参阅下一段），您将看到您移动了$4\pi i$，因此它不是通用覆盖中的循环。相同的参数适用于$\{w^n=z，w\neq0\}$。

相反，黎曼曲面$\{e^w=z\}$是简单连接的，因为它是同胚的（实际上是双全纯的）到$\mathbb C$。它是$\mathbb C\backslash\{0\}$通过指数映射的覆盖，因此您可以通过对数提升后者中的任何循环，看看它是否为nullhomotopic。

结论：简单连接的黎曼曲面$\{e^w=z\}$是非同胚的对于任何$n>1$，设置为$\{w^n=z，w\neq0\}$。

Answer 2

$z^\frac{1}{2}$的黎曼曲面是$\mathbb{C}^*$的副本，您需要的覆盖贴图是$z\mapstoz^2$。

对于$z^\frac{1}{n}$，它仍然是$\mathbb{C}^*$，覆盖图是$z\mapstoz^n$。

对于$\log（z）$，Riemann曲面为$\mathbb{C}$，覆盖映射为$z\mapsto e^z$。