$\mathbb{Q}$的证明不是循环的

Question

所以我试图理解以下证据：

$\mathbb{Q}$不是循环的。这就是证据：

我们靠矛盾前进。

假设$\mathbbQ$是循环的，那么它将由形式为$\frac{a}{b}$的有理数生成，其中$a、b\in\mathbb2{Z}$和$a$、$b$没有公共因子。此外，$a，b\neq 0$。

集合$\langle\frac{a}{b}\rangle$由$\frac}a}{b}$的所有整数倍组成。

因此，如果$\mathbb{Q}=\langle\frac{a}{b}\rangle$，那么$\frac}a}{2b}$是$\frac{a}{b}的整数倍$

问题：为什么$\frac｛a｝｛2b｝$是整数倍？或者它是整数倍。我没有看到它，因为不是$\frac{a}{b}\times\frac{a}}=\left（\frac}a}{b2}\right）^2$

无论如何，下面是其余的证据：

但如果

$c\times\frac{a}{b}=\frac{a}{2b}$那么$c=\frac{1}{2}$不是整数。

因此，$\mathbb{Q}$不能由单个有理数生成，并且不是循环的。

如果有人能澄清，那就太好了。也，另一个问题我有一个是不是这个显示$\mathbb{问}-\{0\}$不是循环的，因为我认为在多应用程序操作下的$\mathbb{Q}$不是一个组，除非删除零。

Answer 1

这是一个证明矛盾。您想显示$\mathbb Q$是不由$a/b$生成，即荒谬的每个有理数都是$a/b$的整数倍。在这个假设下，你观察到$a/2b$是一个有理数，它应该是$a/b$的整数倍，这显然不是。因此，$\mathbb Q$由$a/b$$生成的假设不可能是真的。由于$a/b$是任意的，这表明$\mathbb Q$不是由任何单个元素生成的，即$\mathbb Q$是非循环的。

Answer 2

结果是指加法组$（\mathbb{Q}，+）$，而不是乘法组${问}-\{0\}，\次）$。你应该能够从那里了解到发生了什么。