关于综合可计算性中的不动点定理

• 2019年11月7日
• 安德烈·鲍尔
• 综合可计算性,出版物

我忘了记录两年前我写过一篇论文的事实综合可计算性中的Lawvere不动点定理：

安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）：关于综合可计算性中的不动点定理.第比利斯数学杂志，第10卷：第3期，第167-181页。

这是一期纪念教授的特刊彼得·J。弗雷德和F.威廉劳弗尔在他们80岁生日。

劳弗尔的论文“对角线参数和笛卡尔闭合类别证明了一个美丽简单的不动点定理。

定理：（劳弗尔）如果$e:A\到B^A$是一个满射，那么每个$f:B\到B$都有一个不动点。

证明。因为$e$是一个满射，所以a$中有$a\，这样$e（a）=\lambdax:a\，.\，f（e（x）（x））$，但随后$e（a）（a）=f（e$\盒子$

Lawvere的原始版本有点笼统，但这里给出的版本非常清楚，Lawvere's不动点定理是结晶形式的对角线论点。事实上，定理的反正形式，即

推论： 如果$f:B\到B$没有固定点，则不存在$e:A\到B^A$的满射。

直接暗示了一些著名的定理，这些定理依赖于对角线论证。例如，由于映射$x\mapsto 1-x$在$\lbrace 0，1\rbrace$中没有不动点，因此不可能有surpjection$A\to\lbrace0，1\\rbrace^A$，这就是Cantors定理。

要找到Lawvere定理适用的非平凡实例并不容易。事实上，如果排除中间值，那么具有$e:a\到B^a$的满射意味着$B$是单元素。我们应该在经典集合以外的类别中寻找有趣的实例。在我的论文中，我这样做了：我证明了有效拓扑中基于可数的$\omega$-cpos是可数的，并且在可数乘积下是闭的，这给了我们丰富的对象$B$供应，因此存在一个到B^\mathbb{N}$的满射。

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