六阶幻方数

nms6.txt文件

17 753 889 197 660 635 632

通过使用云资源租赁服务提供的数百个GPU两次完成枚举，这一数字得到了证实。虽然使用的GPU的数量和型号随时间而变化，但GeForce RTX-4090的初始枚举花费了约80000小时，使用改进代码的第二次枚举花费了大约54000小时。

作为第二次枚举的结果，初始结果为17 753 889 189 701 384 3042023年7月获得的数据不正确。有关错误的更多详细信息，请参阅下一节。

结果与随机估计1.8（2）・10一致¹⁹[1], 1.7745(16)·10¹⁹[2], 1.775392(12)·10¹⁹[3] 和1.77543（73）·10¹⁹[4].

1. Y.Ohishi，日语，随机抽样估计六阶幻方解的个数，Sugei Puzzle No.177，1992年4月
2. K.Pinn和C.Wieczerkowski，平行回火蒙特卡洛的幻方数，国际现代物理杂志C，1998年4月9日。
3. W.特朗普，六阶幻方数的估计.
4. A.Kitajima和M.Kikuchi，《数量众多但罕见：魔方探索》，PROS ONE 10（5）e01250622015年5月14日。

在枚举中使用了1000多个GPU服务器实例，其中一些实例很不幸出现了错误，并产生了错误的结果。为了发现并纠正这些错误，每个小计至少计算两次，并进行额外计数，以确定发生不匹配时的正确答案。在以下两种情况下，初始结果不正确。

在彻底的复查过程中，发现实例生成的部分结果不正确。该实例使用两个RTX-4090运行了60小时，生成了3771个子汇总。在这些小计中，有12个是不正确的，所有不正确的结果都是由两个RTX-4090中的一个生成的。这些错误不太可能是由于逻辑缺陷或编码错误造成的。怀疑硬件故障。

校正后，数量增加了960（40×24）。

发现另一个错误实例。它使用RTX-4090运行了大约一个月，产生了大约19000个小计。在这些小计中，有6项不正确。所有不正确的结果都是在实例生命周期的最后一个小时内生成的。错误行为发生后，实例的GPU变得不可用，并显示错误消息“内存访问无效”。

更正后，数字增加了7 959 250 368（331 635 432 x24）。

由于数量太大，无法在单个任务中计算，因此将整个任务划分为多个子任务。子任务的计数可用。

• 子集的定义
• 4329小计列表
  • （已知小计中有3项不正确，但故意不更正。）
• 分项合计列表（234MB字节.gz）
  • （已知18个子目标不正确，但故意保持未纠正。）

计算幻方的策略

CUDA代码（2023.11.28修订，2024.05.04更新）

• 计算从3到6到M-变换.
• 在Nvidia GeForce RTX-4090上以3.8G计数/秒（91G幻方/秒）的典型速度运行，适用于订单6。
• 假设采用Pascal架构（sm_60）或更新版本的Nvidia GPU。
• 支持多GPU系统。但是，使用multi-4090系统时要小心.
• 编译和链接：nvcc-O3-arch=sm_60-maxrregcount=40-W没有不推荐使用的声明ms.cu-lcrypto
  • 如果您不需要md5校验和，请添加-编号MD5然后放下-Wno-deprecated-declarations无需申报和-lcrypto（加密）.
• 对于小于6的订单，请通过编译器选项指定订单-DN（公称直径）=秩序.
• 可执行文件采用0、2或4个参数。第一个和第三个参数只是占位符。
  • ./a.out（输出）
    计算所有幻方
  • ./a.out（输出）虚拟代表magic_series_in_hex
    计算代表幻数序列等于给定十六进制数的幻方数。
  • ./a.out（输出）dummy1代表_magic_series_in_hex dummy2第二个_最大_magic_series_in _hex
    计算其代表幻数序列和平行于代表的第二幻数序列的幻数正方形。
  • 该代码不检查用户提供的参数的有效性。无效参数将导致错误答案或运行时错误。

• 该代码于2023.11.28年更正。
  发现初始枚举中使用的代码包含与GPU线程同步相关的错误。在第二次枚举中使用了代码的修正版本。未发现此错误导致的错误结果。

使用pthread的C语言中的非CUDA代码（于2023.09.18更新）

• 编译和链接：gcc-O3-DNTH=线程数ms.c-lpthread-lcrypto
• 选项-编号MD5和-直径=秩序具有与Cuda代码中相同的效果。
• 比CUDA代码慢得多，但更容易阅读。

第二次枚举中使用的最新代码除了计算幻方外，还计算了半幻方，并得出了与a.Ripatti的方法完全不同的结果[5]。这种匹配被视为对计算方法和计算中使用的计算资源的交叉验证。全部半魔术（包括魔术）方块小计可用。

• 5.A.Ripatti，关于6阶半幻方的数量，arXiv：1807.029832018年7月。

我要感谢沃尔特·特朗普的讨论、建议和鼓励。他审查了我的方法，并使用自己的代码验证了我的部分结果。他建议我在第二次计数中计算半魔法方块，并鼓励我完成工作。请访问他的网站关于幻方和立方的注记这是对魔方相关主题的一个很好的总结。

• 数字文件 时间戳
• CUDA代码：2023.05.04版本文件 时间戳
• pthread代码：2023.09.18版本文件 时间戳
• 核查地点

—Hidetoshi Mino公司，博士。日本山梨大学名誉教授