并发程序的语义可以使用前立方集给出为了研究动作之间的（更高）交换，从而对程序可能执行空间的“几何”。在这里，我们学习程序只使用互斥锁的特殊情况，互斥锁是最广泛的使用了同步原语。我们表明，在这种情况下程序具有非正曲率，这是我们在这里介绍和研究的一个概念对于前立方集，可以认为是众所周知的度量空间。使用它，以及明确的重写技术，然后我们可以显示有向和无向同伦在这些前立方集合中与有向路径重合。最后，我们研究度量空间中前三次集的几何实现，以表明我们关于前三次集的条件实际上与度量集的条件一致空间。由于度量空间的范畴是不完备的，我们将得出使用广义度量空间并研究它们的一些性质。