两个拟伪压缩算子的分裂公共不动点问题及其算法构造

摘要

研究了两个拟伪压缩算子的分裂公共不动点问题。给出了拟伪压缩算子的一些性质。构造了求解两个拟伪压缩算子分裂公共不动点问题的迭代算法。证明了强收敛定理。为这类问题和算子类的研究提供了一个统一的框架。

1介绍

分裂公共不动点问题最近吸引了如此多的关注（参见，例如, [1–13])由于它是分裂可行性问题和凸可行性问题的推广。本文旨在构造一类拟伪压缩算子分裂公共不动点问题的迭代算法。这种更一般的类，适当地包括准非扩张算子、有向算子和半收缩算子的类，例如在图像恢复中的不动点方法中更可取，在许多情况下，可以将具有某种性质的图像集映射到非线性拟单扩张算子的不动点集。我们的工作与重要的现实应用有关；参见示例[14–18]和[19–21]其中，这些方法被应用于调强放射治疗的逆问题和动态发射断层图像重建。基于文献中的相关工作，我们提出了研究这类问题和这类算子的统一框架，并提出了迭代算法并研究了它们的收敛性。

首先，让我们回顾一下，分割可行性问题是要找到一个点

$$\在C\quad\mbox{中开始{aligned}x^{*}\，这样}\quad Ax^{**}\在Q中，结束{aligned}$$

(1.1)

哪里C类和问是实Hilbert空间的两个非空闭凸子集\（H_{1}\）和\（H_{2}\）分别为和\（A:H_{1}\至H_{2}\）是一个有界线性算子。

有限维希尔伯特空间中的分裂可行性问题是由Censor和Elfving首先提出的[14]用于建模相位恢复和医学图像重建中产生的逆问题。他们使用同时多投影算法获得迭代算法来解决分割可行性问题。他们的算法以及其他算法，请参见，例如，拜恩[22]，包括每个迭代步骤的矩阵求逆。计算矩阵的逆矩阵是非常耗时的，尤其是在维数较大的情况下。因此，Byrne设计了一种新的求解分裂可行性问题的算法[15]，称为CQ算法，具有以下迭代步骤：

$$x_{n+1}=P_{C}\bigl（x_{无}-\γA^{*}（I-P_{Q}）Ax_{n}\biger），\quad n\ge0$$

(1.2)

哪里\（0<\gamma<2/\|A\|^{2}\）和\（P_{Q}\）表示最近点投影\（H_{2}\）到上面问对于任何起始向量，CQ算法收敛于分裂可行性问题的解\（x_{0}\in\mathbb{R}^{N}\），只要分割可行性问题有解决方案。当分割可行性问题没有解时，CQ算法收敛到最小值\（P_{Q}（Ac）-Ac\|\）总的来说\（c中的c）只要存在这样的极小值。

在以下情况下C类和问英寸(1.1)是非线性算子的有限多个不动点集的交集，问题(1.1)由Censor和Segal调用[1]分裂公共不动点问题。更准确地说，分裂公共不动点问题需要寻找一个元素\（H\中的x^{*}\）令人满意的

$$\开始{aligned}x^{*}\在\bigcap_{i=1}^{m}\operatorname{Fix}（T_{i}）\quad\mbox{和}\quad Ax^{**}\在\ bigcap_{j=1}^}n}\operatorname{Fix.}（S_{j}）中，结束{aligned}$$

(1.3)

哪里\（\operatorname{Fix}（T_{i}）\）和\（\operatorname{Fix}（S_{j}）\）表示两类非线性算子的不动点集\（T_{i}:H_{1}\到H_{1}\）和\（S_{j}:H_{2}\到H_{2]\）分别是。

备注1.1

如果我们设置\（C=\bigcap_｛i=1｝^｛m｝\运算符名称｛Fix｝（T_｛i｝）\）和\（Q=\bigcap_{j=1}^{n}\operatorname{Fix}（S_{j}）\），一个自然的问题出现了：我们可以使用迭代算法吗(1.2)分裂公共不动点问题的求解方法探讨(1.3)? 然而，在这种情况下，Byrne的CQ算法不起作用，因为不动点集上的度量投影通常不容易计算。

因此，为了解决两集分裂的公共不动点问题，Censor和Segal[1]在不使用投影的情况下构造了以下迭代算法。

算法1.2

初始化：让\（x_{0}\in\mathbb{R}^{N}\）随心所欲。

迭代步骤：对于\（k\ge0\）让

$$x{k+1}=T\bigl（x_{k}+\lambda A^{*}（S-I）Ax_{k}\bigr），\quad k\ge0$$

(1.4)

哪里T型和S公司是定向运算符\（\lambda\英寸（0,2/\gamma）\）具有γ是算子的谱半径\（A^{*}A\）.

他们证明了以下收敛定理。

定理1.3

假设 \（T-I\） 和 \（S-I） 在以下位置除雾0.如果 \（\Gamma:=\｛x\in\ operatorname｛Fix｝（T）；Ax\in\operatorname{Fix}（S）\}\ne\emptyset\）,我.e（电子）.,这个问题一直存在,然后是任何序列 \（{x{k}）,由Algorithm生成 1.2,收敛到分裂公共不动点 \（x^{*}\在\Gamma\中）.

备注1.4

注意定理中的基础空间1.3是一个有限维空间\（\mathbb{R}^{N}\）因此，强收敛和弱收敛是一致的。我们能把它推广到无穷维空间吗？

在[2]穆达菲为我们演示了这项工作。他不仅将空间扩展到了无穷维情形，还将算子扩展到了一般类算子，并获得了以下算法和结果。

算法1.5

初始化：让\（x_{0}\在H_{1}\中）随心所欲。

迭代步骤：对于\（k\in\mathbb{N}\）设置\（u{k}=x{k}+\lambda A^{*}（S-I）Ax_{k}\）然后让

$$x{k+1}=（1-\alpha{k}）u{k}+\alpha_{k} T型（u_{k}），\quad k\in\mathbb{N}$$

(1.5)

哪里\（\lambda\在（0，\frac{1-\mu}{\gamma}）中）具有γ是算子的谱半径\（A^{*}A\）和\（（0,1）中的字母{k}）.

定理1.6

给定一个有界线性算子 \（A:H_{1}\至H_{2}\）,让 \（T:H_{1}\至H_{1}\） 和 \（S:H_{2}\至H_{2]\） 成为非收缩操作符(使用常量 β 和 μ,分别地)非空的 \（\operatorname{Fix}（T）=C\） 和 \（\operatorname{Fix}（S）=Q\）.假设 \（T-I\） 和 \（S-I） 在0.如果 \（\Gamma\ne\emptyset\）,然后是任何序列 \（{x{k}） 由算法生成 1.5 弱收敛到分裂公共不动点 \（x^{*}\在\Gamma\中）,前提是 \（\alpha_{k}\ in（\delta，1-\beta-\delta）\） 对于足够小的 \（增量>0）.

备注1.7

很明显，算法1.5是算法的放松版本1.2.定理1.6扩展定理1.3从有向算子到非压缩算子，从有限维空间到无限维空间。

备注1.8

注意定理1.6在无穷维空间中只有弱收敛性，众所周知，强收敛定理总是更便于使用。我们能否构造一个算法，在无穷维空间中保证强收敛性？

为此，何和杜[23]提出了以下混合算法。

算法1.9

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}x{1}在C_{1}\nmbox{任意选择}中，\\y_{n}=（1-\alpha）x{n}+\alpha-Tx{n{}，\\z{n}=\betax{nneneneep+（1-\beta）Ty{n}，\ w{n}=2P_{C}（z{n{+\lambda A^*}（S-I）Ax{n｝），\\ C_{n+1}=\{v\在C_{n}:\|w中_{n} -v型\|\勒兹_{n} -v型\|\勒_{n} -v型\|\}，\\x_{n+1}=P_{C_{n+1}}（x_{1}），对于所有n，在\mathbb{n}中，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1.6)

哪里P（P）是投影操作符。

备注1.10

算法1.9在一些温和的假设下具有很强的收敛性。然而，算法1.9涉及度量投影的计算。这可能会严重影响该方法的效率。

为了克服上述困难，开发了一种允许自适应选择步长的所谓自适应方法。尤其是在[24]，姚明等。提出了以下算法。

算法1.11

让C类和问是实Hilbert空间的非空闭凸子集\（H_{1}\）和\（H_{2}\）分别是。让\（\psi\冒号C\到H_{1}\）成为δ-收缩\（[0，\frac{\sqrt{2}}{2}中的\delta\）.让\（冒号H_{1}\到H_{2}\）是一个有界线性算子。对于给定的\（C\中的x_{0}\），假设\（{x{n}）已建造。如果\（纳布拉f（x{n}）=0\），然后停止并\（x{n}\）是解决(1.1). 否则，继续并计算\（x_｛n+1｝\）通过递归

$$开始{对齐}x_{n+1}=P_{C}\biggl[\alpha_{n}\psi（x_{n}）+（1-\alpha_n}）\biggl（x_{无}-\压裂{\rho_{n} （f）（x{n}）}{（x{n}）$$

(1.7)

哪里\（{\alpha_{n}\}\子集（0,1）\）和\（{\rho_{n}\}\子集（0,2）\）.

因此，姚明等。证明了(1.7)在一些附加条件下。此外，周和王[25]使用新的分析技术证明了(1.7)在一些温和的条件下。

本文的目的是双重的。首先，我们将考虑拟伪压缩算子类的分裂公共不动点问题，它比拟单扩张算子类、有向算子类和非压缩算子类更一般。其次，我们将在不使用投影的情况下构造具有强收敛性的迭代算法。我们的结果为研究这个问题和这类算子提供了一个统一的框架。

2前期工作

在本节中，我们收集了一些工具，包括一些定义、一些有用的不等式和引理，这些将用于推导下一节中的主要结果。

让H（H）具有内积的实Hilbert空间\（\langle\cdot，\cdot\rangle\）和规范\（\|\cdot\|\）分别是。让C类是的非空闭凸子集H（H）.让\（T:C\至C\）做一名操作员。我们使用\（\操作符名{修复}（T）\）表示T型也就是说，\（\operatorname{Fix}（T）=\{x\mid x=Tx，x\在C\}\中）.

定义2.1

操作员\（T:C\至C\）据说是

• （i） 非膨胀条件\（Tx-Ty\|\le\|x-y\|\）对所有人来说\（x，y\在C\中）.

• （ii） 准非扩张条件\（\|Tx-x^{*}\|\le\|x-x^}\|\）为所有人\（x\以C\表示）和\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\）.

• （iii） 在以下情况下完全不膨胀\（Tx-Ty\|^{2}\le\|x-y\|^{2}-\|（I-T）x-（I-T为所有人\（x，y\在C\中）.

• （iv） 强拟单扩张条件\（\|Tx-x^{*}\|^{2}\le\|x-x^}\|^{2}-\|Tx-x\|^{2}\）为所有人\（x\在C\中）和\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\）.

• （v） 严格伪压缩，如果\（Tx-Ty\|^{2}\le\|x-y \|^}2}+k\|（I-T）x-（I-T为所有人\（x，y\在C\中），其中\（在[0，1）中为k\）.

• （vi） 指示条件是\（语言Tx-x^{*}，Tx-x\rangle\le0\）为所有人\（x\以C\表示）和\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\）.

• （vii） 非收缩性，如果\（\|Tx-x^{*}\|^{2}\le\|x-x^}\|^}2}+k\|Tx-x\|^[2}\）为所有人\（x\以C\表示）和\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\），其中\（在[0，1）中为k\）.

备注2.2

有向算子的概念是由Bauschke和Combettes在[26]和中的组合框[27]. 他们证明了这一点\（T:C\至C\）仅当且仅当

$$\bigl\|Tx-x^{*}\bigr\|^{2}\le\bigl\ |x-x^}\biger\|^{2}-\|Tx-x\|^{2}$$

为所有人\（x\以C\表示）和\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\）很容易看出，有向算子的类与紧拟非扩张算子的类一致。

备注2.3

从上述定义中，我们注意到，非压缩算子类包含重要的算子，如有向算子、拟单扩张算子和带不动点的严格伪压缩算子。这类算子是基本的，因为它包括应用数学和优化中出现的许多类型的非线性算子。

定义2.4

操作员\（T：C\到C\）称为伪压缩，如果

$$\langle Tx-Ty，x-y\rangle\leq\|x-y\|^{2}$$

为所有人\（x，y\在C\中）.

伪压缩算子的兴趣在于它们与单调算子的联系；即，T型是伪压缩当且仅当补码\（I-T\）是单调运算符。众所周知T型是伪压缩的当且仅当

$$\开始{aligned}\|Tx-Ty\|^{2}\leq\|x-y\|${2}+\bigl\|（I-T）x-（I-T$$

为所有人\（x，y\在C\中）.

定义2.5

操作员\（T:C\至C\）如果

$$\开始{aligned}\bigl\|Tx-x^{*}\bigr\|^{2}\leq\bigl\ |x-x^}\biger\|^}+\|Tx-x\|^[2}\end{aligned}$$

(2.1)

为所有人\（x\在C\中）和\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\）.

显然，这类拟伪压缩映射包括非压缩映射。

定义2.6

操作员\（T：C\到C\）据说是L-Lipschitzian公司如果存在\（L>0\）这样的话

$$\| Tx-Ty\|\le L\|x-y\|$$

为所有人\（x，y\在C\中）.

通常，不动点算法的收敛需要映射的一些附加平滑特性T型比如半封闭。

定义2.7

操作员T型对于任何序列，称为除雾\（x｛n｝\｝\）弱收敛于\（\波浪线{x}\），如果序列\（T（x_{n}）强收敛于z（z），那么\（T（波浪线{x}）=z\）.

对于所有人\（x，y\单位为H\），得出以下结论：

$$\开始{对齐}&\bigl\|tx+（1-t）y\bigr\|^{2}=t\|x\|^}+（1-t）\|y\|^{2} -吨（1-t）\|x-y\|^{2}，[0,1]中的\quad t\，\end{aligned}$$

(2.2)

$$\开始{对齐}&\|x+y\|^{2}=\|x\|^}+2\langle x，y\rangle+\|y\||^{2}，\end{对齐{$$

(2.3)

和

$$\|x+y\|^{2}\le\|x\|^}+2\langley，x+y\范围$$

(2.4)

引理2.8

([28])

假设 \（{a{n}） 是一个非负实数序列，如下所示

$$a{n+1}\leq（1-\gamma_{n}）a{n}+\delta_{n{，\quad n\in\mathbb{n}$$

哪里 \（{\gamma_{n}\}\） 是中的序列 $(0,1)$ 和 \（\{\delta_{n}\}\） 是这样一个序列

• (1) \（\sum_{n=1}^{\infty}\gamma_{n}=\infty）;

• (2) \（\limsup_｛n\rightarrow\infty｝\frac｛\delta_｛n｝｝｛\gamma_｛n｝｝\leq0\） 或 \（\sum_{n=1}^{\infty}|\delta_{n}|<\infty）.

然后 \（\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\）.

引理2.9

([29])

让 \（{w_{n}\}\） 是实数序列.假设 \（{w_{n}\}\） 在无穷远处不减少,那就是,至少存在一个子序列 \（\｛w_｛n_｛k｝｝\｝\） 属于 \（{w_{n}\}\） 这样的话 \（w{n{k}}\lew{n}k}+1}\） 为所有人 \（k\ge0\）.对于每个 \（n\ge n_{0}\）,定义整数序列 \（\{\tau（n）\}\） 作为

$$\tau（n）=最大值：w{n{i}}<w{n}i}+1}$$

然后 \（tau（n）到infty） 作为 \（到英寸） 以及所有人 \（n\ge n_{0}\）

$$\max\{w_{tau（n）}，w_{n}\}\le-w_{τ（n）+1}$$

三主要成果

在本节中，我们首先展示了Lipschitz算子和拟伪压缩算子的几个性质。这些性质对于我们的主要定理非常有用。第一个性质称为两个算子不动点集意义上的交换性。

属性3.1

（交换性）

让H（H）成为希尔伯特空间。让\（T:H\至H\）做一个L（左）-Lipschitz算子\（L>1\）.然后

$$\operatorname{Fix}\bigl（\bigle（（1-\zeta）I+\zeta T\bigr）T\biger）=\operator名称{Fix{bigl$$

为所有人\（\ zeta\在（0，\ frac{1}{L}）中\）.

证明

我们将把我们的证明分为两个步骤：

• （i） \（\operatorname{Fix}（（（1-\zeta）I+\zeta T）T）=\operator name{Fix}（T）\）;

• （ii） \（\operatorname{Fix}（T（（1-\zeta）I+\zeta T））=\operator名称{Fix{（T）\）.

（i）的证明。\（\operatorname{Fix}（T）\subset\operator name{Fix}（（1-\zeta）I+\zeta T）T）\）很明显。我们只需要证明\（\operatorname{Fix}（（1-\zeta）I+\zeta T）T）\subset\operator name{Fix2}（T）\）.让\（x^{\dagger}\in\operatorname{Fix}（（1-\zeta）I+\zeta T）T）因此，\（（（1-\泽塔）I+\泽塔T）Tx^{\匕首}=x^{\匕首}\）.请注意

$$开始{对齐}\bigl\|x^{\dagger}-Tx^{\匕首}\bigr\|&=\bigl\ |\bigl（（1-\zeta）I+\zeta T\bigr ^{\dagger}-x^{\gagger}\bigr\|。\结束{对齐}$$

自\（ζL<1\），我们得到\（x^{\匕首}=Tx^{\匕首}\）也就是说，\（x^{\dagger}\in\operatorname{Fix}（T）\）因此，\（\operatorname{Fix}（（1-\zeta）I+\zeta T）T）\subset\operator name{Fix2}（T）\）.

（ii）的证明。\（\operatorname{Fix}（T）\subset\operator name{Fix{（T（1-\zeta）I+\zeta T））\）很明显。接下来，我们展示一下\（\operatorname{Fix}（T（（1-\zeta）I+\zeta T））\subset\operator名称{Fix{（T）\）.

随便拿一个\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T（（1-\zeta）I+\zeta T））.我们有\（T（（1-\zeta）I+\zeta T）x^{*}=x^{**}\）.设置\（U=（1-\zeta）I+\zeta T\）.我们有\（TUx^{*}=x^{**}\）.写入\（Ux^{*}=y^{*{）.然后\（Ty^{*}=x^{*{）。现在我们展示\（x^{*}=y^{*{）事实上，

$$\开始{对齐}\bigl \ |x^{*}-y^{*{}\bigr \ |&=\bigl\ |Ty^{**}-Ux^{}\bigr \ | \\&=\bigl \ | Ty^{*}-（1-\zeta）x^{*}-\zeta Tx^{}\bigr \ |\\&=\ zeta\bigl\|Ty|{*}-Tx^{{*}\biger\ |\\le\zeta L\bigl\\ |y^{*}-x^{*{\bigr\|。\结束{对齐}$$

自\（\泽塔<\压裂{1}{L}\），我们推断\（y^{*}=x^{*{in\operatorname{Fix}（U）=\operator name{Fix2}（T）\）因此，\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\）因此，\（\operatorname{Fix}（T（（1-\zeta）I+\zeta T））\subset\operator名称{Fix{（T）\）因此，\（\operatorname{Fix}（T（（1-\zeta）I+\zeta T））=\operator名称{Fix{（T）\）. □

第二个属性是操作员的除雾原则\（I-T（（1-\zeta）I+\zeta T））在一些温和的条件下。

属性3.2

（非封闭性）

让H（H）成为希尔伯特空间。让\（T:H\至H\）做一个L（左）-Lipschitz算子\（L>1\）.如果\（I-T\）在0时除雾，然后\（I-T（（1-\zeta）I+\zeta T））也在0时除雾\（\ zeta\在（0，\ frac{1}{L}）中\）.

证明

让序列\（{u_{n}\}\子集H\）令人满意的\（u{n}\rightharpoonup\tilde{x}\）和\（u）_{n} -T型（（1-\zeta）I+\zeta T）u_{n}\to0）。接下来，我们将展示\（\tilde{x}\in\operatorname{Fix}（T（（1-\zeta）I+\zeta T））.

From属性3.1，我们只需要证明\（\波浪线{x}\在\操作符名{Fix}（T）\中）事实上，因为T型是L（左）-Lipschizian，我们有

$$\开始{aligned}\|u_{n} -图_{n} \|&\le\bigl\|u_{n} -T型\bigl（（1-\zeta）I+\zeta T\bigr）u_{n}\bigr\|+\bigl\|T\bigl_{n} -图_{n} \bigr\|\\&\le\bigl\|u_{n} -T型\bigl（（1-\zeta）I+\zeta T\bigr）u_{n}\bigr\|+\zeta-L\|u_{n} -涂_{n} \ |。\结束{对齐}$$

由此可见

$$\|u美元_{n} -图_{n} \|\le\frac{1}{1-\zeta L}\bigl\|u_{n} -T型\bigl（（1-\zeta）I+\zeta T\bigr）u_{n}\bigr\|$$

因此，

$$\lim_{n\to\infty}\|u_{n} -图_{n} \ |=0$$

由于\（I-T\），我们立即推断\（\波浪线{x}\在\操作符名{Fix}（T）\中）. □

第三个性质是复合拟伪压缩算子在一些温和假设下的拟单扩张性。

财产3.3

（准单扩展性）

让H（H）成为希尔伯特空间。让\（T:H\至H\）做一个L（左）-Lipschitz拟伪压缩算子。然后是操作员\（（1-\xi）I+\xi T（1-\eta）I+\ eta T）当\（0<\xi<\eta<\frac{1}{\sqrt{1+L^{2}}+1}\）也就是说，

$$\begin{aligned}\bigl\|（1-\xi）x+\xi T\bigl（1-\eta）x+\ta-Tx\bigr）-u^{\dagger}\bigr\|\le\bigl\ |x-u^{\ daggerneneneep \bigr\ |，\end{alinged}$$

为所有人\（x\单位：H\）和\（u^{\dagger}\in\operatorname{Fix}（T）\）.

证明

自\（u^{\dagger}\in\operatorname{Fix}（T）\），我们有来自(2.1)

$$开始{对齐}\bigl\|T\bigl bigl（（1-\eta）x+\eta-Tx\bigr）\bigr\|^{2}\end{aligned}$$

(3.1)

和

$$\开始{aligned}\bigl\|Tx-u^{\dagger}\bigr\|^{2}\le\bigl\ |x-u^}\dagger}\biger\|^}+\|Tx-x\|^h2}，\end{aligned}$$

(3.2)

为所有人\（x\单位：H\）.

自T型是L（左）-利普希茨和\（x-（（1-\eta）x+\eta Tx）=\eta（x-Tx）\），我们有

$$\开始{aligned}\bigl\|Tx-T\bigl（（1-\eta）x+\eta-Tx\bigr）\bigr\|\le\eta-L\|x-Tx\|。\结束{对齐}$$

(3.3)

发件人(2.2)和(3.2)，我们有

$$\beign｛aligned｝&\bigl\|（1-\eta）\bigl（x-u^｛\digger｝\bigr）+\eta\bigl（Tx-u^｛\digger｝\bigr）\bigr \|^｛2｝\&&\quad=（1-\eta）\bigl \|x-u^｛\digger｝\bigr \|^｛2｝+\eta\bigl \|Tx-u^｛\digger｝\bigr \|^{2}-\eta（1-\eta）\|x-Tx\|^{2}\\&\quad\le（1-\eta）\bigl\|x-u^{\dagger}\bigr\|^}2}+\eta\bigl \|x-u^{\dagger}\bigr\|^{2}+\eta^{2{\|Tx-x\|^}2}。\结束{对齐}$$

(3.4)

发件人(2.2)和(3.3)，我们得到

$$\开始{对齐}和\bigl\|（1-\eta）x+\eta Tx-T\bigl（1-\eta）x+\ eta Tx\bigr）\bigr\|^{2}\\&\quad=\bigl\ |（1-\ eta）\ bigl大\|^{2}\\&\quad=（1-\eta）\bigl\|x-T\biglx+\eta Tx\bigr）\bigr\|^{2}\\&\qquad{}-\eta（1-\eta）\|x-Tx\|^}2\&\quad\le（1-\eta）\bigl\|x-T \bigl（（1-\etea）x+\eta Tx\bigr）\ bigr\|^{2}-\eta\bigl（1-\eta-\eta^{2} L（左）^{2} \bigr）\|x-Tx\|^{2}。\结束{对齐}$$

(3.5)

由(3.1), (3.4)、和(3.5)，我们获得

$$开始{对齐}\bigl\|T\bigl大\|^{2}\\&{}-\eta\bigl（1-\eta-\eta^{2} 我^{2} \bigr）\|x-Tx\|^{2}\={}&\bigl\|x-u^{\dagger}\bigr\|^}2}+（1-\eta）\bigl\ |x-T\bigl^{2} L（左）^{2} \bigr）\|x-Tx\|^{2}。\结束{对齐}$$

(3.6)

自\（\ta<\frac{1}{\sqrt{1+L^{2}}+1}\），我们推断

1-2美元\eta-\eta^{2} L（左）^{2}>0. $$

发件人(3.6)，我们推断

$$\begin{aligned}\bigl\|T\bigl（（1-\eta）x+\eta Tx\bigr）-u^{\dagger}\bigr\|^{2}\le\bigl\ |x-u^{\ daggerneneneep \bigr\ |^{2}+（1-\eta$$

(3.7)

为所有人\（x\单位：H\）和\（u^{\dagger}\in\operatorname{Fix}（T）\）.

联合收割机(2.2)和(3.7)以获得

$$开始{对齐}和\bigl\|（1-\xi）x+\xi T\bigl{2}\\&\quad=（1-\xi）\bigl\|x-u^{\dagger}\bigr\|^{2}+\xi\bigl\ |T\bigl（（1-\eta）x+\eta Tx\bigr）-u^{\ dagger{\bigr\ |^{2\&\qquad{}-\xi（1-\xi）\bigl\|T\bigl xi）\bigl\|x-u^{\dagger}\bigr\|^{2}-\xi（1-\xi）\bigl\|T\bigl（（1-\eta）x+\eta Tx\bigr）-x\biger\|^{2}\\&\quad=\bigl\ |x-u^{\dagger}\bigr\|^}2}+\xi（\xi-\eta。\结束{对齐}$$

这与\（\xi<\eta\）意味着

$$\开始{aligned}\bigl\|（1-\xi）x+\xi T\bigl（（1-\eta）x+\ta-Tx\bigr）-u^{\dagger}\bigr\|\le\bigl\ |x-u^{\ daggerneneneep \bigr\ |。\结束{对齐}$$

这就完成了证明。□

在后继部分，我们介绍了我们的算法并证明了它的强收敛性。

下面列出了关于基础空间和相关运算符的一些假设。

• （R1） \（H_{1}\）和\（H｛2｝\）是两个真实的希尔伯特空间。

• （R2） \（A:H_{1}\至H_{2}\）是一个有界线性算子及其伴随\（^{*}\）和\（B:H_{1}\至H_{1}\）是系数为的强正线性有界算子\（\xi>\rho\）.

• （R3） \（f:H_{1}\到H_{1}\）是一个ρ-收缩，\（S:H_{2}\至H_{2]\）是一个\（L_{1}\）-Lipschitz拟伪压缩算子\（L_{1}>1\）和\（T:H_｛1｝\到H_｛1｝\）是一个\（L_{2}\）-Lipschitz拟伪压缩算子\（L_{2}>1\）.

我们的目标是解决以下两组分裂公共不动点问题：

$$\开始{aligned}\mbox{find}x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\quad\mbox{这样}\quad Ax^{**}\in\ operatorname{Fix{（S）。\结束{对齐}$$

(3.8)

我们用Γ表示(3.8)也就是说，

$$\Gamma=\bigl\{x^{*}\mid x^{**}\ in \operatorname{Fix}（T），Ax^{*.}\ in \ operatorname{Fix{}（S）\bigr\}$$

在续集中，我们假设\（\Gamma\ne\emptyset\）.

现在，我们给出了求\（x^｛*｝\in\Gamma\）.

算法3.4

初始化：让\（x_{0}\在H_{1}\中）随心所欲。

迭代步骤：对于\（第0页）让

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}v_{n}=x_{n{+\delta A^{*}[（1-\zeta_{nneneneep）I+\zeta_{n} S公司（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司)-一] Ax{n}，\\u{n}=\alpha_{n} （f）（x_｛n｝）+（I-\alpha）_{n} B类)v{n}，\\x{n+1}=（1-\beta{n}）u{n}+\beta_{n} T型（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 图_{n} ），\quad n\in\mathbb{n}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.9)

哪里\（{\alpha_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{\gamma_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{\zeta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）、和\（｛\eta_｛n｝\｝_｛n \in\mathbb｛n｝｝\）中有五个实数序列$(0,1)$和δ是中的常量\（（0，\压裂{1}{\|A\|^{2}}）\）.

定理3.5

假设 \（T-I\） 和 \（S-I） 在以下位置除雾0.假设满足以下条件:

• （C1） \（\lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=0\）;

• （C2） \（\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=\infty）;

• （C3） \（0<a{1}<\beta{n}<c{1}<\gamma{n}<b{1}<\frac{1}{\sqrt{1+L_{2}^{2}}+1}）;

• （C4） \（0<a{2}<zeta{n}<c{2}<eta{n}<b{2}<frac{1}{\sqrt{1+L_{1}^{2}}+1}）.

然后是序列 \（{x{n}） 由算法生成(3.9)强烈收敛于 \（x^{*}=P_{\Gamma}（f+I-B）x^{**}\）.

证明

让\（x^{*}=P_{\Gamma}（f+I-B）x^{**}\）.那么我们有\（x^{*}\in\operatorname{Fix}（T）\）和\（Ax^{*}\in\operatorname{Fix}（S）\）.来自属性3.1和财产3.2，我们得到

$$\begin｛aligned｝&\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n｝）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）\bigr]Ax_{n} -轴^{*}\bigr\|^{2}\\&\quad=\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）\bigr]Ax_{n}\\&\qquad{}-\bigl[（1-\zeta_{n{）I+\zeta_{n} 秒\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）\bigr]Ax^{*}\bigr\|^{2}\\&\quad\le\bigl\|Ax_{n} -轴^｛*｝\bigr\|^｛2｝。\结束{对齐}$$

(3.10)

发件人(2.1)，我们推断

$$开始{aligned}和\bigl_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+（1-\gamma{n}）\bigl\|u_{n} -T型\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n}Tu{n}\bigr）\bigr\|^{2}。\结束{对齐}$$

这与(3.9)和(2.2)意味着

$$开始{aligned}\bigl\|x_{n+1}-x^{*}\bigr\|^{2}=&\bigl\ |（1-\beta_{n}）u_{n{+\beta_{n} T型\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n}Tu{n}\biger）-x^{*}\bigr\|^{2}\\=&（1-\beta{n}）\bigl\|u_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+\beta{n}\bigl\|T\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n}Tu{n}\ bigr）-x^{*}\bigr_{n} -T型\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n}Tu{n}\bigr）\bigr\|^{2}\\le&\bigl\|u_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}-\β{n}（γ_{无}-\beta{n}）\bigl\|T\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n}Tu{n}\bigr）-x^{*}\biger\|^{2}\\le&\bigl\ |u_{n} -x个^｛*｝\bigr\|^｛2｝。\结束{对齐}$$

(3.11)

请注意

$$\开始{aligned}\bigl\|u_{n} -x^{*}\bigr\|=&\bigl\|\alpha_{n}\bigl（f（x_{n{）-Bx^{*}\bigr）+（I-\alpha_{n} B类)\bigl（v_{n} -x个^{*}\bigr）\bigr\|\\le&\alpha_{n}\bigl\|f（x{n}）-Bx^{*}\bigr\ |+\|I-\alpha_{n} B类\|\bigl\|v_{n} -x个^｛*｝\bigr \|\\le&&\alpha_{n｝\bigl \|f（x_｛n｝）-f\bigl（x^｛*｝\bigr）\bigr \|+\alpha_{n｝\bigl（x^｛*｝\bigr）-Bx^｛*｝\bigr \|+（1-\alpha_{n｝\xi）\bigl \|v_{n} -x个^{*}\bigr\|\\le&\alpha_{n}\rho\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|+\alpha_{n}\bigl\|f\bigl（x^{*}\ bigr）-Bx^{**}\biger\|+（1-\alpha_{n}\ xi）\bigl\ |v_{n} -x^{*}\bigr\|。\结束{对齐}$$

(3.12)

由(2.3)，我们有

$$\开始{aligned}\bigl\|v_{n} -x个^{*}\bigr\|=&\bigl\|x_{n} -x个^{*}+\delta A^{*}\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}\\=&\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+\delta^{2{\bigl\|A^{*}\ bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}\\&{}+2\delta\bigl\langle x_{n} -x个^{*}，A^{*}\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} 秒\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\rangle。\结束{对齐}$$

(3.13)

自一是带伴随的线性算子\（^{*}\），我们有

$$\开始{aligned}&\bigl\langle x_{n} -x个^{*}，A^{*}\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\rangle\\&\quad=\bigl\langle A\bigl（x_{n} -x^{*}\bigr），\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_｛n｝\bigr\rangle\\&&quad=\bigl\langle\bigl[（1-\zeta_{n｝）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）\bigr]Ax_{n} -轴^{*}，\bigl[（1-\zeta_{n}）I\\&\qquad{}+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\rangle\\&\qquad{}-\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n{）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}。\结束{对齐}$$

(3.14)

再次使用(2.3)，我们获得

$$\开始{aligned}&\bigl\langle\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）\bigr]Ax_{n} -轴^｛*｝，\bigl[（1-\zeta_{n｝）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\rangle\\&\quad=\frac{1}{2}\bigl（\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n{）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）\bigr]Ax_{n} -轴^{*}\bigr\|^{2}\\&\qquad{}+\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} 秒\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}-\bigl\|Ax_{n} -轴^{*}\bigr\|^{2}\biger）。\结束{对齐}$$

(3.15)

发件人(3.10), (3.14)、和(3.15)，我们得到

$$\开始{aligned}&\bigl\langle x_{n} -x个^{*}，A^{*}\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\rangle\\&\quad=\frac{1}{2}\bigl（\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n{）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）\bigr]Ax_{n} -轴^{*}\bigr\|^{2}\\&\qquad{}+\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_｛n｝）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}-\bigl\|Ax_{n} -轴^{*}\bigr\|^{2}\biger）\\&\qquad{}-\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} 秒\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}\\&\quad\le\frac{1}{2}\bigl（\bigl\|Ax_{n} -轴^{*}\bigr\|^{2}+\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_｛n｝\bigr \|^｛2｝\&&\qquad｛｝-\bigl\|Ax_{n} -轴^{*}\bigr\|^{2}\biger）-\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} 秒\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}\\&\quad=-\frac{1}{2}\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n{）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}。\结束{对齐}$$

(3.16)

所以，

$$\开始{aligned}\bigl\|v_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}=&\bigl\|x_{n} -x个^{*}+\delta A^{*}\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}\\&{}+\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}-\δ\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} 秒\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}）\\=&\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+\bigl（\delta^{2neneneep \|A\|^{2}-\增量\bigr）\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I\\&{}+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}\\le&\bigl\|x_{n} -x^{*}\bigr\|^{2}。\结束{对齐}$$

(3.17)

由此可见

$$\开始{aligned}\bigl\|x_{n} -x个^{*}+\delta A^{*}\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} 秒\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|\le\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|。\结束{对齐}$$

(3.18)

替换(3.18)到(3.12)，我们推断

$$\开始{aligned}\bigl\|u_{n} -x个^{*}\bigr\|&\le\alpha_{n}\rho\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|+\alpha_{n}\bigl\|f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{}\biger\|+（1-\alpha_n}\xi）\bigl\ |x_{n} -x个^{*}\bigr\|\\&=\alpha_{n}\bigl\|f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{*.}\biger\|+\bigl[1-（\xi-\rho）\alpha_{n}\ bigr]\bigl\ |x_{n} -x个^｛*｝\bigr\|。\结束{对齐}$$

(3.19)

发件人(3.11)和(3.19)，我们得到

$$开始{aligned}\bigl\|x_{n+1}-x^{*}\bigr\|\le&\bigl_{n} -x个^｛*｝\bigr \|\\\le&&alpha_｛n｝\bigl \|f\bigl（x^｛*｝\bigr）-Bx^｛*｝\bigr \|+\bigl[1-（\xi-\rho）\alpha_｛n｝\bigr]\bigl \|x_{n} -x个^{*}\bigr\|\\le&\max\biggl\{\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|，\frac{\|f（x^{*}）-Bx^{**}\|}{\xi-\rho}\biggr\}。\结束{对齐}$$

序列的有界性\（{x{n}）产生结果。

接下来，我们将重点分析实际序列\（\{\|x_{n} -x个^{*}\|\}\)在无穷远处单调递减（情况1）或不单调递减（情形2）：

案例1。存在\（n_{0}\）这样，序列\（\{\|x_{n} -x^{*}正在减少。

案例2。对于任何\（n_{0}\），存在一个整数\（m\gen_{0}\）这样的话\（\|x_{m} -x个^{*}\|\le\|x_{m+1}-x^{*}）.

更准确地说，关于以下情况\（\{\|x_{n} -x个^{*}\|\}\)在无穷远处是单调的（情形1），并且有界（因此是收敛的），我们证明了它唯一可能的极限是零。

在案例1中，我们假设存在一些整数\（n_{0}>0\）这样的话\（\{\|x_{n} -x个^{*}\|\}\)总体呈下降趋势\（n_{0}）在这种情况下，我们知道\（\lim_{n\to\infty}\|x_{n} -x个^{*}\|\)存在。返回(3.12)，我们有

$$开始{对齐}\bigl\|x_{n+1}-x^{*}\bigr\|^{2}\le{}&\bigl_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}\\le{}&\bigl[\alpha_{n}\rho\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|+\alpha_{n}\bigl\|f\bigl（x^{*}\ bigr）-Bx^{**}\biger\|+（1-\alpha_{n}\ xi）\bigl\ |v_{n} -x个^｛*｝\bigr\|\bigr]^｛2｝\\=｛｝&&alpha_｛n｝^｛2｝\bigl（\rho\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|+\bigl\|f\bigl（x^{*}\ bigr）-Bx^{*.}\biger\|\bigr_{n} -x个^{*}\bigr\|\\&{}+\bigl\|f\bigl（x^{*}\ bigr）-Bx^{}\biger\|\bigr_{n} -x^{*}\bigr\|+（1-\alpha_{n}\xi）^{2}\bigl\|v_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}\\le{}&\alpha_{n}\bigl（\rho\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|+\bigl\|f\bigl（x^{*}\ bigr）-Bx^{**}\biger\|\bigr_{n} -x个^{*}\bigr\|+\bigl\|f\bigl（x^{*}\ bigr）-Bx^{}\biger\|\bigr（1-\alpha_{n}\xi）\bigl\ |v_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}\\le{}&（1-\alpha_{n}\xi）\bigl（\delta^{2{\|A\|^{2}-\增量\bigr）\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax{n}\bigr\|^{2}\\&{}+M\alpha{n}+（1-\alpha_{n}\\xi）\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}\\le{}&M\alpha_{n}+\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}，\end{aligned}$$

(3.20)

哪里\（M>0）是一个常数，因此

$$\sup_{n}\bigl\{bigl（\rho\bigl \|x_{n} -x^{*}\bigr\|+\bigl\|f\bigl（x^{*}\ bigr）-Bx^{**}\biger\|\bigr_{n} -x个^{*}\bigr\|+\bigl\|f\bigl（x^{*}\ bigr）-Bx^{**}\biger\|\bigr$$

因此，

$$开始{对齐}&（1-\alpha_{n}\xi）\bigl（\delta-\delta^{2}\|A\|^{2{\bigr）\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n{）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|^{2}\\&\quad\le（1-\alpha_{n{xi）\bigl\|x_{n} -x个^｛*｝\bigr\|^{2}-\bigl\|x_{n+1}-x^{*}\bigr\|^{2}+M\alpha_{n}。\结束{对齐}$$

自\（\lim_{n\to\infty}\|x_{n} -x个^{*}\|\)存在并且\（\alpha_{n}\to0\），我们获得

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|=0。\结束{对齐}$$

(3.21)

因此，

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\bigl\|Ax_{n} -S型\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）Ax_｛n｝\bigr\ |=0。\结束{对齐}$$

我们有

$$\开始{aligned}\|Ax_{n} -SAx公司_{n} \|\le&\bigl\|Ax_{n} -S型\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）Ax{n}\bigr\|\\&{}+\bigl\|S\bigl（（1-\eta{n}）I+\eta_{n} S公司\较大）轴_{n} -SAx公司_{n} \bigr \|\\le&\bigl \|Ax_{n} -S型\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）Ax_{n}\bigr\|+L_{1}\eta_{nneneneep \|Ax_{n} -SAx公司_{n} \ |。\结束{对齐}$$

由此可见

$$\开始{aligned}\|Ax_{n} -SAx公司_{n} 压裂{1}{1-L_{1}\eta_{n}}\bigl\|Ax_{n} -S型\bigl（（1-\eta_｛n｝）I+\eta_{n} S公司\bigr）Ax_{n}\bigr\|。\结束{对齐}$$

因此，

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\|Ax_{n} -SAx公司_{n} \ |=0。\结束{对齐}$$

(3.22)

请注意

$$\开始{aligned}\|u_{n} -x个_{n} \|={}&\bigl\|\delta A^{*}\bigl[（1-\zeta_{n}）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\\&{}+\alpha_{n{}\bigl（Bx_{n}+\delta BA^{*}\bigr（（1-\zeta_{nneneneep）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\biger）-I\biger）轴_{n} -f（x_{n}）\biger）\bigr\|\\le{}&\delta\|A\|\bigl\|\bigl[（1-\zeta_{n{）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\大）-I\bigr]Ax_{n}\bigr\|\\&{}+\alpha_{n{}\bigl\|Bx_{n}+\delta BA^{*}\bigle[（1-\zeta_{nneneneep）I+\zeta_{n} S公司\bigl（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司\bigr）-I\bigr]轴_{n} -f（x{n}）更大。\结束{对齐}$$

这与(3.21)意味着

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\|x_{n} -u个_{n} \ |=0。\结束{对齐}$$

(3.23)

发件人(3.10)和(3.20)，我们推断

$$开始{对齐}\bigl\|x_{n+1}-x^{*}\bigr\|^{2}\le&\bigl_{n} -x^{*}\bigr\|^{2}-\β{n}（γ_{无}-\beta{n}）大_{n} -吨\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 图_{n} \bigr）\bigr\|^{2}\\le&\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+\alpha_{n} M（M）-\beta_{n}（\gamma_{无}-\beta{n}）大_{n} -T型\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 图_{n} \bigr）\bigr\|^{2}。\结束{对齐}$$

由此可见

$$\开始{aligned}\beta_{n}（\gamma_{无}-\beta{n}）大_{n} -T型\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 图_{n} \bigr）\bigr\|^{2}\le\bigl\|x_{n} -x个^｛*｝\bigr\|^{2}-\bigl\|x_{n+1}-x^{*}\bigr\|^{2}+\alpha_{n} M。\结束{对齐}$$

因此，

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\bigl\|u_{n} -T型\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 图_{n} \bigr）\bigr\|=0。\结束{对齐}$$

(3.24)

请注意

$$\开始{aligned}\|u_{n} -图_{n} \|\le&\bigl\|u_{n} -T型\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 图_{n} \bigr）\bigr\|+\bigl\|T\bigl（（1-\gamma_{n}）u_{n{+\gamma_{n} 涂_{n} \bigr）-Tu_{n}\bigr\|\\le&\bigl\|u_{n} -T型\bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 图_{n} \bigr）\bigr\|+L\gamma_{n}\|u_{n} -图_{n} \ |。\结束{对齐}$$

因此，

$$\开始{aligned}\|u_{n} -图_{n} \|\le\frac{1}{1-L\gamma_{n}}\bigl\|u_{n} -T型bigl（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 涂_{n} \bigr）\bigr\|。\结束{对齐}$$

这与(3.24)意味着

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\|u_{n} -图_{n} \ |=0。\结束{对齐}$$

(3.25)

现在，我们展示

$$\limsup_{n\to\infty}\bigl\langle f \bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{**}，u_{n} -x个^{*}\bigr\rangle\le0$$

选择子序列\（{u{n{i}}）属于\（{u{n}）这样的话

$$\begin{aligned}\limsup_{n\to\infty}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{**}，u_{n} -x个^{*}\bigr\rangle=\lim_{i\to\infty}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{}，u_{n_{i}}-x^{**}\biger\rangle。\结束{对齐}$$

(3.26)

由于序列\（{u{n{i}}）是有界的，我们可以选择子序列\（{u{n{i{j}}}）属于\（{u{n{i}}）这样的话\（u_｛n_｛i_｛j｝｝｝｝\右叉式箭头z \）。为了方便起见，我们假设（不失一般性）\（u{n{i}}\rightharpoonup z）因此，我们从上述结论中得出如下结论：

$$\begin{aligned}x_{n_{i}}\rightharpoonup z\quad\mbox{和}\quad Ax_{n-{i}{\righthapoonup Az.\end{aligned}$$

(3.27)

通过半封闭性\（T-I\）和\（S-I），我们推断\（Az\in\operatorname{Fix}（S）\）和\（z\in\operatorname{Fix}（T）\）也就是说，\（z \ in \ Gamma \）.

因此，

$$\begin{aligned}\limsup_{n\to\infty}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{**}，u_{n} -x个^{*}\bigr\rangle&=\lim_{i\to\infty}\bigl\langle f\bigl。\结束{对齐}$$

(3.28)

使用(2.4)，我们有

$$\开始{aligned}\bigl\|u_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}=&\bigl\|（I-\alpha_{n} B类)\bigl（v_{n} -x个^{*}\bigr）+\alpha_{n}\bigl（f（x_{n{）-Bx^{*}\biger）\bigr\|^{2}\\le&（1-\alpha_n}\xi）\bigl\|v_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+2\alpha{n}\bigl\langle f（x{n}）-Bx^{*}，u_{n} -x个^{*}\bigr\rangle\\le&（1-\alpha_{n}\xi）\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+2\alpha{n}\bigl\langle f（x{n}）-Bx^{*}，u_{n} -x个^{*}\bigr\rangle\\=&（1-\alpha_{n}\xi）\bigl\|x_{n} -x^{*}\bigr\|^{2}+2\alpha_{n}\bigl\langle f（x{n}）-f\bigl（x^{*}\ bigr），u_{n} -x个^{*}\bigr\rangle\\&{}+2\alpha_{n}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{}，u_{n} -x个^｛*｝\bigr\rangle \\=&（1-\alpha_｛n｝\xi）\bigl \\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+2\alpha_{n}\rho\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|\bigl\|u_{n} -x个^{*}\bigr\|\\&{}+2\alpha_{n}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{}，u_{n} -x个^{*}\bigr\rangle\\le&（1-\alpha_{n}\xi）\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+\alpha_{n}\rho\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+\alpha_{n}\rho\bigl\|u_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}\&{}+2\alpha_{n}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{*}，u_{n} -x个^{*}\较大\范围。\结束{对齐}$$

(3.29)

因此，

$$开始{对齐}\bigl\|x_{n+1}-x^{*}\bigr\|^{2}&\le\bigl_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}\&\le\biggl[1-\frac{（\xi-2\rho）\alpha_{n}}{1-\alpha_n}\rho}\biggr]\bigl\|x_{n} -x个^{*}\bigr\|^{2}+\frac{2\alpha{n}}{1-\alpha{n}\rho}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{*}，u_{n} -x^{*}\较大\范围。\结束{对齐}$$

(3.30)

应用引理2.8和(3.28)至(3.30)，我们推断\（x_{n}\到x^{*}\）.

在上面的案例2中，我们知道，对于任何整数\（n_{0}\），存在另一个整数\（p\gen_{0}\）这样的话\（\ | x_{p} -x个^{*}\|\le\|x_{p+1}-x^{*}）.让\（n_{0}\）是这样的\（x_｛n_｛0｝｝-x^｛*｝\|le \|x_｛n_｛0｝+1｝-x^｛*｝\|\）.设置\（\omega_{n}=\{\|x_{n} -x个^{*}\|\}\).那么我们有

$$\omega{n_{0}}\le\omega_{n_}0}+1}$$

定义整数序列\（{\tau_{n}\}\）为所有人\（n_{0}）如下：

$$\tau（n）=\max\{l\in\mathbb{n}\mid-n_{0}\le-l\le-n，\omega_{l}\le\omega_{l+1}\}$$

很明显\（τ（n））非递减序列是否满足

$$\lim_{n\to\infty}\tau（n）=\infty$$

和

$$ω{τ（n）}$$

为所有人\（n \ ge n｛0｝\）.

通过与案例1类似的论证，我们可以得到

$$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\|SAx_{\tau（n）}-Ax_{tau（n）{|=0\end{alinged}$$

和

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\|u_{\tau（n）}-Tu_{tau（n）{|=0。\结束{对齐}$$

这意味着

$$\omega_{w}（u_{tau（n）}）\subset\Gamma$$

因此，我们得到

$$\begin{aligned}\limsup_{n\to\infty}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{}，u_{tau（n）}-x^{**}\biger\rangle\le0。\结束{对齐}$$

(3.31)

自\（ω{τ（n）}，我们有来自(3.30)

$$开始{对齐}\omega_{tau（n）}^{2}和\le\omega_2}（n）+1}^{2}\\&\le\biggl[1-\frac{（\xi-2\rho）\alpha_2\tau（n{1-\alpha_{\tau（n）}\rho}\bigl\langle f\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{*.}，u_{\teau（n）{-x^{**}\biger\rangle。\结束{对齐}$$

(3.32)

由此可见

$$开始{aligned}\omega_{tau（n）}^{2}\le\frac{2}{\xi-2\rho}\bigl\langlef\bigl（x^{*}\bigr）-Bx^{}，u_{tau[n）}-x^{**}\biger\rangle。\结束{对齐}$$

(3.33)

组合(3.31)和(3.33)，我们有

$$\limsup_{n\to\infty}\omega_{\tau（n）}\le0$$

因此

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}\omega_{\tau（n）}=0。\结束{对齐}$$

(3.34)

发件人(3.32)，我们推断

$$\limsup_{n\to\infty}\omega_{\tau（n）+1}^{2}\le\limsup _{n\to \infty}\omega _{\teau（n）}^{2}$$

这与(3.34)意味着

$$\lim_{n\to\infty}\omega_{\tau（n）+1}=0$$

应用引理2.9得到

$$0\le\omega_{n}\le\max\{\omega_2{\tau（n）}，\omega_3{\t（n）+1}$$

因此，\（\omega_{n}\to0\）也就是说，\（x_{n}\到x^{*}\）。这就完成了证明。□

来自算法3.4和定理3.5，我们可以很容易地推导出以下算法和推论。

算法3.6

初始化：让\（x_{0}\在H_{1}\中）随心所欲。

迭代步骤：对于\（第0页）让

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}v_{n}=x_{n{+\delta A^{*}[（1-\zeta_{nneneneep）I+\zeta_{n} S公司（（1-\eta_｛n｝）I+\eta_{n} S公司)-一] Ax{n}，\\u{n}=\alpha_{n} （f）（x{n}）+（1-\alpha{n}）v{n}，\\x{n+1}=（1-\beta{n}）u{n}+\beta_{n} T型（（1-\gamma{n}）u{n}+\gamma_{n} 图_{n} ），\quad n\in\mathbb{n}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.35)

哪里\（{\alpha_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（\｛\gamma_｛n｝\｝_｛n \in\mathbb｛n｝｝\）,\（{\zeta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）、和\（{\eta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）中有五个实数序列$(0,1)$和δ是中的常数\（（0，\压裂{1}{\|A\|^{2}}）\）.

推论3.7

假设 \（T-I\） 和 \（S-I） 在以下位置除雾0.假设满足以下条件:

• （C1） \（\lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=0\）;

• （C2） \（\sum_｛n=1｝^｛\fty｝\alpha_｛n｝=\fty）;

• （C3） \（0<a{1}<\beta{n}<c{1}<\gamma{n}<b{1}<\frac{1}{\sqrt{1+L_{2}^{2}}+1}）;

• （C4） \（0<a{2}<zeta{n}<c{2}<eta{n}<b{2}<frac{1}{\sqrt{1+L_{1}^{2}}+1}）.

然后是序列 \（{x{n}） 由算法生成(3.35)强烈收敛于 \（x^{*}=P_{\Gamma}（f）x^{**}\）.

算法3.8

初始化：让\（x_{0}\在H_{1}\中）随心所欲。

迭代步骤：对于\（第0页）让

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}v_{n}=x_{n{+\delta A^{*}[（1-\zeta_{nneneneep）I+\zeta_{n} S公司（（1-\eta_{n}）I+\eta_{n} S公司)-一] Ax{n}，\\x{n+1}=（1-\beta{n}）（1-\alpha{n}s）v{n}+\beta_{n} T型（（1-\gamma{n}）（1-\alpha{n}）v{n}+\gamma_{n} T型（1-\alpha_{n}）v_{n{），\quad n\in\mathbb{n}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.36)

哪里\（{\alpha_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{\gamma_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{\zeta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）、和\（｛\eta_｛n｝\｝_｛n \in\mathbb｛n｝｝\）中有五个实数序列$(0,1)$和δ是中的常量\（（0，\压裂{1}{\|A\|^{2}}）\）.

推论3.9

假设 \（T-I\） 和 \（S-I） 在以下位置除雾0.假设满足以下条件:

• （C1） \（\lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=0\）;

• （C2） \（\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=\infty）;

• （C3） \（0<a{1}<\beta{n}<c{1}<\gamma{n}<b{1}<\frac{1}{\sqrt{1+L_{2}^{2}}+1}）;

• （C4） \（0<a{2}<zeta{n}<c{2}<eta{n}<b{2}<frac{1}{\sqrt{1+L_{1}^{2}}+1}）.

然后是序列 \（{x{n}） 由算法生成(3.36)强烈收敛于 \（x^｛*｝=P_｛\Gamma｝（0）x^｛*｝\）,它是中的最小范数元素Γ.

备注3.10

来自备注2.3，我们知道如果S公司和T型如果是拟单扩张算子或有向算子或非压缩算子，上述推论仍然有效。

注意，伪压缩算子满足以下半闭性原则。

引理3.11

([30])

让 H（H） 是一个真正的希尔伯特空间,C类 的闭凸子集 H（H）.让 \（U:C\到C\） 是连续伪-收缩算子.然后

• （i） \（\运算符名称｛Fix｝（U）\） 是的闭凸子集 C类,

• （ii） \（（I-U）\） 在零位除雾.

推论3.12

假设 \（S:H_{2}\至H_{2]\） 是一个 \（L_{1}\）-李普希茨伪-压缩算子 \（L_{1}>1\） 和 \（T:H_{1}\至H_{1}\） 是一个 \（L_｛2｝\）-李普希茨伪-压缩算子 \（L_{2}>1\）.假设满足以下条件:

• （C1） \（\lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=0\）;

• （C2） \（\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=\infty）;

• （C3） \（0<a{1}<\beta{n}<c{1}<\gamma{n}<b{1}<\frac{1}{\sqrt{1+L_{2}^{2}}+1}）;

• （C4） \（0＜a_｛2｝＜\ zeta_｛n｝＜c｛2｝＜\eta_｛n｝＜b_｛2｝＜\ frac｛1｝｛\sqrt｛1+L_｛1｝^｛2｝｝+1｝\）.

然后是序列 \（{x{n}） 由算法生成(3.9)强烈收敛于 \（x^{*}=P_{\Gamma}（f+I-B）x^{**}\）.

备注3.13

我们的算法和结果为研究两集分裂公共不动点问题提供了一个统一的框架。