On split common solution problems: new nonlinear feasible algorithms, strong convergence results and their applications

He, Zhenhua; Du, Wei-Shih

doi:10.1186/1687-1812-2014-219

关于分裂公共解问题：新的非线性可行算法、强收敛结果及其应用

研究
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出版：2014年10月22日

2014年卷，物品编号219, (2014)
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关于分裂公共解问题：新的非线性可行算法、强收敛结果及其应用

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何振华¹&
杜威仕²

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摘要

本文研究了一类广义压缩映射，并给出了例子。我们建立了分裂公共解问题可行迭代算法的一些新的强收敛定理，并给出了这些新结果的一些应用。

MSC公司：47H06、47J25、47H09、65K10。

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1简介和前言

让K（K）是实Hilbert空间的闭凸子集H（H）内部产品 $〈 \cdot, \cdot 〉$ 和规范 $∥ \cdot ∥$ 以下不等式已知且有用。

${∥ x个 + 年 ∥}^{2} \leq {∥ 年 ∥}^{2} + 2 〈 x个, x个 + 年〉$ ;
${∥ x个 - 年 ∥}^{2} = {∥ x个 ∥}^{2} + {∥ 年 ∥}^{2} - 2 〈 x个, 年〉$ 为所有人 $x个, 年 \in H（H）$ ;
${∥ α x个 + (1 - α) 年 ∥}^{2} = α {∥ x个 ∥}^{2} + (1 - α) {∥ 年 ∥}^{2} - α (1 - α) {∥ x个 - 年 ∥}^{2}$ 为所有人 $x个, 年 \in H（H）$ 和 $α \in [0, 1]$ .

对于每个点 $x个 \in H（H）$ ，中存在唯一的最近点K（K），表示为 ${P（P）}_{K（K）} x个$ ，因此

∥ x个 - {P（P）}_{K（K）} x个 ∥ \leq ∥ x个 - 年 ∥ 为所有人 年 \in K（K） .

映射 ${P（P）}_{K（K）}$ 被称为公制投影从H（H）到上面K（K）众所周知 ${P（P）}_{K（K）}$ 具有以下属性：

（i）
$〈 x个 - 年, {P（P）}_{K（K）} x个 - {P（P）}_{K（K）} 年〉 \geq {∥ {P（P）}_{K（K）} x个 - {P（P）}_{K（K）} 年 ∥}^{2}$ 每 $x个, 年 \in H（H）$ .
（ii）
对于 $x个 \in H（H）$ 和 $z（z） \in K（K）$ , $z（z） = {P（P）}_{K（K）} x个 \Leftrightarrow 〈 x个 - z（z）, z（z） - 年〉 \geq 0$ 为所有人 $年 \in K（K）$ .
（iii）
对于 $x个 \in H（H）$ 和 $年 \in K（K）$ ,
${∥ 年 - {P（P）}_{K（K）} x个 ∥}^{2} + {∥ x个 - {P（P）}_{K（K）} x个 ∥}^{2} \leq {∥ x个 - 年 ∥}^{2} .$
(1.1)

让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个希尔伯特空间。让 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 和 ${A类}^{*} : {H（H）}_{2} \to {H（H）}_{1}$ 是两个有界线性算子。 ${A类}^{*}$ 被称为的伴随算子A类如果

〈 A类 z（z）, w个 〉 = 〈 z（z）, {A类}^{*} w个 〉 为所有人 z（z） \in {H（H）}_{1} 和 w个 \in {H（H）}_{2} .

已知Hilbert空间上有界线性算子的伴随算子总是存在且是有界线性唯一的。此外，不难证明，如果 ${A类}^{*}$ 是的伴随运算符A类，然后 $∥ A类 ∥ = ∥ {A类}^{*} ∥$ 符号ℕ和ℝ分别用于表示正整数和实数集。

让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个真实的希尔伯特空间。让C类是的闭凸子集 ${H（H）}_{1}$ 和K（K）是的闭凸子集 ${H（H）}_{2}$ .让 $T型 : C类 \to C类$ 具有 $F类 (T型) \neq \emptyset$ 和 $S公司 : K（K） \to K（K）$ 具有 $F类 (S公司) \neq \emptyset$ 是两个映射。让 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 是一个有界线性算子。的数学模型分裂公共解问题（简称SCSP）的定义如下：

(SCSP公司) 查找 第页 \in C类 这样的话 T型 第页 = 第页 和 u个 : = A类 第页 \in K（K） 令人满意的 S公司 u个 = u个 .

事实上，SCSP包含了几个作为特例的重要问题，许多作者研究并引入了一些新的SCSP迭代算法，并给出了SCSP的一些强收敛性和弱收敛性定理；例如，请参见[1–24]以及其中的参考文献。受他们工作的启发和启发，本文研究并建立了新的强收敛性结果，将SCSP的新迭代算法用于伪压缩映射和k个-Hilbert空间中的半压缩映射。

本文分为四个部分。在第二节中，我们研究并给出了一类广义压缩映射的例子。第三节建立了SCSP可行迭代算法的一些新的强收敛定理。最后，第4节给出了我们新结果的一些应用和进一步注释。因此，在本文中，我们的一些结果是原创的，与文献中已知的相关结果完全不同。

2类广义压缩映射及其示例

让T型是域的映射 $D类 (T型)$ 和范围 $R（右） (T型)$ 在希尔伯特空间H（H）回忆一下T型据说是

（i）
假收缩的如果
$〈 T型 x个 - T型年, x个 - 年〉 \leq {∥ x个 - 年 ∥}^{2}, \forall x个, 年 \in D类 (T型),$

或者，同等地，
${∥ T型 x个 - T型年 ∥}^{2} \leq {∥ x个 - 年 ∥}^{2} + {∥ (我 - T型) x个 - (我 - T型) 年 ∥}^{2}, \forall x个, 年 \in D类 (T型);$
（ii）
非收缩的如果，为了所有人 $x个 \in D类 (T型)$ 和 $第页 \in F类 (T型)$ ,
$〈 T型 x个 - 第页, x个 - 第页〉 \leq {∥ x个 - 第页 ∥}^{2}$

或者，同等地，

{∥ T型 x个 - 第页 ∥}^{2} \leq {∥ x个 - 第页 ∥}^{2} + {∥ (我 - T型) x个 ∥}^{2};

（iii）
k个-非收缩的如果存在常数 $k个 \in [0, 1)$ 这样的话
${∥ T型 x个 - 第页 ∥}^{2} \leq {∥ x个 - 第页 ∥}^{2} + k个 {∥ (我 - T型) x个 ∥}^{2} 为所有人 x个 \in D类 (T型) 和第页 \in F类 (T型);$
（iv）
准（准）-非扩张如果它是0-非收缩的，也就是说，
$∥ T型 x个 - 第页 ∥ \leq ∥ x个 - 第页 ∥ 为所有人 x个 \in D类 (T型) 和第页 \in F类 (T型);$
（五）
利普希茨（Lipschitzian）如果存在 $L（左） > 0$ 这样的话
$∥ T型 x个 - T型年 ∥ \leq L（左） ∥ x个 - 年 ∥, \forall x个, 年 \in D类 (T型);$
（vi）
非扩张如果是Lipschitzian $L（左） = 1$ ;
（vii）
收缩的如果是Lipschitzian $L（左） < 1$ .

巴纳赫空间 $(X（X）, ∥ \cdot ∥)$ 据说可以满足Opial氏病如果，对于每个序列 ${{x个}_{n个}}$ 在里面X（X）弱收敛到一点 $x个 \in X（X）$ ，我们有

\underset{n个 \to \infty}{lim信息} ∥ {x个}_{n个} - x个 ∥ < \underset{n个 \to \infty}{lim信息} ∥ {x个}_{n个} - 年 ∥, \forall 年 \in X（X）, 年 \neq x个 .

众所周知，任何Hilbert空间都满足Opial条件。

定义2.1（请参见[2])

让K（K）是实Hilbert空间的非空闭凸子集H（H）和T型是来自的映射K（K）进入之内K（K）.映射T型据说是除雾的如果，对于任何序列 ${{x个}_{n个}}$ 弱收敛于年，如果序列 ${T型 {x个}_{n个}}$ 强收敛于z（z），然后 $T型年 = z（z）$ .

备注2.1在定义2.1中，在某些迭代收敛算法中经常使用零非封闭性的特殊情况，这是当 $z（z） = θ$ ，的零矢量H（H）; 有关更多详细信息，请参阅[2].

以下介绍了零半封闭性的概念。

定义2.2（请参见[[25]，定义2.3]）

让K（K）是实Hilbert空间的非空闭凸子集T型是来自的映射K（K）进入之内K（K）.映射T型被称为零-除雾的如果 ${{x个}_{n个}}$ 在里面K（K）令人满意的 $∥ {x个}_{n个} - T型 {x个}_{n个} ∥ \to 0$ 和 ${x个}_{n个} ⇀ z（z） \in K（K）$ 暗示 $T型 z（z） = z（z）$ .

以下结果在[25]，但为了完整性和读者的方便，我们给出了证明。

定理2.1（请参见[[25]，主张2.4]）

让 K（K） 是实Hilbert空间零向量的非空闭凸子集 θ.那么以下陈述成立.

（a）
让 T型 是来自的映射 K（K） 进入之内 K（K）.然后 T型为零-除雾当且仅当 $我 - T型$ 除雾时间为 θ.
（b）
让 T型 是来自的非扩张映射 H（H） 融入自身.如果存在有界序列 ${{x个}_{n个}} \subset H（H）$ 这样的话 $∥ {x个}_{n个} - T型 {x个}_{n个} ∥ \to 0$ 作为 $n个 \to 0$ ,然后 T型为零-除雾的.

证明显然，结论（a）成立。参见（b），因为 ${{x个}_{n个}}$ 是有界的，有一个子序列 ${{x个}_{{n个}_{k个}}} \subset {{x个}_{n个}}$ 和 $z（z） \in H（H）$ 这样的话 ${x个}_{{n个}_{k个}} ⇀ z（z）$ .人们可以要求 $T型 z（z） = z（z）$ 的确，如果 $T型 z（z） \neq z（z）$ 根据Opial的情况

\begin{array}{rcl} \underset{k个 \to \infty}{lim信息} ∥ {x个}_{{n个}_{k个}} - z（z） ∥ & < & \underset{k个 \to \infty}{lim信息} ∥ {x个}_{{n个}_{k个}} - T型 z（z） ∥ \\ \leq & \underset{k个 \to \infty}{lim信息} {∥ {x个}_{{n个}_{k个}} - T型 {x个}_{{n个}_{k个}} ∥ + ∥ T型 {x个}_{{n个}_{k个}} - T型 z（z） ∥} \\ = & \underset{k个 \to \infty}{lim信息} ∥ T型 {x个}_{{n个}_{k个}} - T型 z（z） ∥ \\ \leq & \underset{k个 \to \infty}{lim信息} ∥ {x个}_{{n个}_{k个}} - z（z） ∥, \end{array}

这是一个矛盾。所以 $T型 z（z） = z（z）$ 因此T型为零排放。□

现在，我们给出了一些例子来证明这些广义压缩映射（i）-（vi）的存在性，并阐明了它们之间的关系。

示例A让 $H（H） = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ 和 $C类 = [- 2, 0]$ .让 $T型 : C类 \to C类$ 由定义

T型 x个 = {\begin{cases} {x个}^{2} - 2 & 如果 x个 \in [- 1, 0], \\ - 1 & 如果 x个 \in [- 2, - 1] . \end{cases}

然后 $F类 (T型) = {- 1}$ .自

| T型 x个 - (- 1) |^{2} \leq | x个 - (- 1) |^{2} + \frac{1}{2} {| T型 x个 - x个 |}^{2} 为所有人 x个 \in C类,

我们知道这一点T型是一个 $\frac{1}{2}$ -半收缩映射。然而，由于

| T型 (- \frac{1}{2}) - (- 1) | > | - \frac{1}{2} - (- 1) |,

T型不是准单扩张的。

示例B让 $H（H） = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ 和 $C类 = [\frac{1}{2}, 2]$ .让 $T型 : C类 \to C类$ 由定义

T型 x个 = \frac{1}{x个}, \forall x个 \in C类 .

然后 $F类 (T型) = {1}$ .自

{| T型 x个 - 1 |}^{2} \leq {| x个 - 1 |}^{2} + \frac{三}{4} {| T型 x个 - x个 |}^{2} 为所有人 x个 \in C类,

T型是一个 $\frac{三}{4}$ -非收缩映射。此外，T型也是一个伪压缩映射。

示例C让 $H（H） = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ .让 $T型 : H（H） \to H（H）$ 由定义

T型 x个 = {\begin{cases} - \sqrt{- (1 + x个)} & 如果 x个 \leq - 2, \\ x个 + 1 & 如果 x个 \geq - 2 . \end{cases}

很容易看出这一点

| T型 x个 - T型 年 | \leq | x个 - 年 | 为所有人 x个, 年 \in H（H） .

所以T型是连续非扩张的 $F类 (T型) = \emptyset$ .

下面的例子表明，存在一个非非扩张的连续准单扩张映射。

示例D（请参见[8])

让 $H（H） = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ 和 $C类 = [0, + \infty)$ .定义 $T型 : C类 \to C类$ 通过

T型 x个 = \frac{{x个}^{2} + 2}{1 + x个}, \forall x个 \in C类 .

显然， $F类 (T型) = {2}$ 很容易看出

| T型 x个 - 2 | = \frac{x个}{1 + x个} | x个 - 2 | \leq | x个 - 2 | 为所有人 x个 \in C类

和

| T型 (0) - T型 (\frac{1}{三}) | = \frac{5}{12} > | 0 - \frac{1}{三} | .

因此T型是连续的拟单扩张映射，但不是非扩张映射。

以下示例表明存在一个非压缩映射，它既不是伪压缩映射，也不是k个-对所有人都不收缩 $k个 \in [0, 1)$ .

示例E让 $H（H） = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ .让 $T型 : H（H） \to H（H）$ 由定义

T型 x个 = {\begin{cases} {x个}^{2} - x个 + 1 & 如果 x个 \in (- \infty, 1], \\ \frac{{x个}^{2} + 1}{1 + x个} & 如果 x个 \in [1, + \infty) . \end{cases}

然后 $F类 (T型) = {1}$ .自

{| T型 x个 - 1 |}^{2} \leq {| x个 - 1 |}^{2} + {| T型 x个 - x个 |}^{2} 为所有人 x个 \in H（H）,

T型是一个非压缩映射。然而，T型不是伪压缩映射，因为当 $x个 = - 三$ 和 $年 = - 2.5$ ，我们有

{| T型 x个 - T型 年 |}^{2} > {| x个 - 年 |}^{2} + | (x个 - T型 x个) - (年 - T型 年) |^{2} .

很容易看出这一点T型不是k个-所有的非压缩映射 $k个 \in [0, 1)$ .

下面的例子表明，存在一个非半压缩映射的不连续伪压缩映射。

示例F让 $H（H） = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ .让 $T型 : H（H） \to H（H）$ 由定义

T型 x个 = {\begin{cases} {x个}^{2} + 1 & 如果 x个 \in (- \infty, 0], \\ - 1 - {x个}^{2} & 如果 x个 \in (0, + \infty) . \end{cases}

然后 $F类 (T型) = \emptyset$ 。由于

{| T型 x个 - T型 年 |}^{2} \leq {| x个 - 年 |}^{2} + | (我 - T型) x个 - (我 - T型) 年 |^{2} 为所有人 x个 \in H（H）,

我们知道这一点T型是不连续的伪压缩映射，但不是非压缩映射。

下面的示例显示存在一个伪压缩映射，而不是k个-对所有人都不收缩 $k个 \in [0, 1)$ .

示例G让 $H（H） = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ .让 $T型 : H（H） \to H（H）$ 由定义

T型 x个 = {\begin{cases} 2 - {x个}^{2} & 如果 x个 \in [0, 1], \\ 2 - x个 & 如果 x个 \in [1, 2], \\ 0 & 如果 x个 \in [1, + \infty) . \end{cases}

然后 $F类 (T型) = {1}$ .自

{| T型 x个 - T型 年 |}^{2} \leq {| x个 - 年 |}^{2} + | (我 - T型) x个 - (我 - T型) 年 |^{2} 为所有人 x个 \in H（H）,

T型是一个伪压缩映射。很容易看出这一点T型不是k个-所有的非压缩映射 $k个 \in [0, 1)$ .

以下示例显示存在不连续k个-一些非压缩映射 $k个 \in [0, 1)$ 以及在θ它既不是伪收缩的，也不是准非扩张的。

示例H让 $H（H） = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ 和 $C类 = [- 2, 0]$ .让 $T型 : C类 \to C类$ 由定义

T型 x个 = {\begin{cases} {x个}^{2} - 2 & 如果 x个 \in [- 1, 0], \\ - \frac{1}{8} & 如果 x个 = - \frac{三}{2}, \\ - 1 & 如果 x个 \in [- 2, - \frac{三}{2}) \cup (- \frac{三}{2}, - 1] . \end{cases}

然后，以下陈述成立。

（a）
T型是不连续的 $\frac{三}{4}$ -非收缩性的。
（b）
T型除雾时间为θ.
（c）
T型不是伪收缩。
（d）
T型不是准单扩张的。

证明显然， $F类 (T型) = {- 1}$ .自

| T型 x个 - (- 1) |^{2} \leq | x个 - (- 1) |^{2} + \frac{三}{4} | (我 - T型) x个 |^{2} 为所有人 x个 \in C类,

T型是不连续的 $\frac{三}{4}$ -证明了非压缩映射和（a）。现在，我们验证（b）。事实上，让 ${{x个}_{n个}} \subset [- 2, 0]$ 具有 ${x个}_{n个} \to z（z）$ 和 ${x个}_{n个} - T型 {x个}_{n个} \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ .如果所有 ${x个}_{n个} \in [- 1, 0]$ ，我们可以证明 $T型 z（z） = z（z）$ 和 $z（z） = - 1 \in F类 (T型)$ 很容易。如果存在子序列 ${{x个}_{{n个}_{k个}}} \subset [- 2, - 1]$ ，然后，从 ${x个}_{n个} - T型 {x个}_{n个} \to 0$ 作为 $n个 \to \infty$ ，我们可以找到一个子序列 ${{x个}_{{n个}_{{k个}_{我}}}}$ 属于 ${{x个}_{{n个}_{k个}}}$ 这样的话 ${x个}_{{n个}_{{k个}_{我}}} \neq - \frac{三}{2}$ 为所有人我。因此，我们有

| z（z） - (- 1) | \leq | z（z） - {x个}_{{n个}_{{k个}_{我}}} | + | {x个}_{{n个}_{{k个}_{我}}} - T型 {x个}_{{n个}_{{k个}_{我}}} | + | T型 {x个}_{{n个}_{{k个}_{我}}} - (- 1) | \to 0 作为 我 \to \infty,

这意味着 $z（z） = - 1 \in F类 (T型)$ 参见（c）和（d），请注意

| T型 (- \frac{三}{2}) - T型 (- \frac{25}{16}) |^{2} > | - \frac{三}{2} - (- \frac{25}{16}) |^{2} + | (我 - T型) (- \frac{三}{2}) - (我 - T型) (- \frac{25}{16}) |^{2}

和

| T型 (- \frac{三}{2}) - (- 1) | > | (- \frac{三}{2}) - (- 1) |,

所以T型既不是伪收缩的，也不是准非扩张的。证明已完成。□

SCSP的3种新的可行迭代算法和强收敛定理

在这一节中，我们利用SCSP的可行迭代算法建立了一些新的强收敛定理。

定理3.1 让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个实希尔伯特空间 $θ_{我}$ 是的零矢量 ${H（H）}_{我}$ 对于 $我 = 1, 2$ .让 C类 是的非空闭凸子集 ${H（H）}_{1}$ 和 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 有界线性算子及其伴随 B类.让 $T型 : C类 \to C类$ 是具有Lipschitz常数的Lipschit伪压缩映射 $L（左） > 0$ 和 $F类 (T型) \neq \emptyset$ ,然后让 $S公司 : {H（H）}_{2} \to {H（H）}_{2}$ 成为 k个-非压缩映射 $F类 (S公司) \neq \emptyset$ 在以下位置除雾 $θ_{2}$ .让 ${C类}_{1} = C类$ 和 ${{x个}_{n个}}$ 是由以下算法生成的序列:

{\begin{cases} {x个}_{1} \in {C类}_{1} 任意选择, \\ 年_{n个} = (1 - α) {x个}_{n个} + α T型 {x个}_{n个}, \\ {z（z）}_{n个} = β {x个}_{n个} + (1 - β) T型 年_{n个}, \\ {w个}_{n个} = {P（P）}_{C类} ({z（z）}_{n个} + ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个}), \\ {C类}_{n个 + 1} = {v（v） \in {C类}_{n个} : ∥ {w个}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - v（v） ∥}, \\ {x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}), \forall n个 \in N个, \end{cases}

(3.1)

哪里 $0 < 1 - β < α < \frac{1}{2 \sqrt{1 + {L（左）}^{2}}}$ , $ξ \in (0, \frac{1 - k个}{{∥ B类 ∥}^{2}})$ 和 ${P（P）}_{{C类}_{n个}}$ 是来自的投影运算符 ${H（H）}_{1}$ 进入之内 ${C类}_{n个}$ 对于 $n个 \in N个$ .假设

Ω = {第页 \in F类 (T型) : A类 第页 \in F类 (S公司)} \neq \emptyset .

然后就有了 $q个 \in Ω$ 这样的话

（a）
${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ ,
（b）
$A类 {x个}_{n个} \to A类 q个$ 作为 $n个 \to \infty$ .

证明我们将通过以下步骤展示结论。

步骤1。对于任何 $第页 \in Ω$ ，我们证明

{∥ {w个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} \leq {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} - ξ (1 - k个 - ξ {∥ B类 ∥}^{2}) {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} .

(3.2)

事实上，由于

\begin{matrix} {∥ {w个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} \\ \leq {∥ {z（z）}_{n个} + ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} \\ = {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + {∥ ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + 2 ξ 〈 {z（z）}_{n个} - 第页, B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} 〉 \\ = {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + {∥ ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + 2 ξ 〈 A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页, (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} 〉 \\ = {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + {∥ ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + 2 ξ 〈 A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页 + (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} - (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个}, (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} 〉 \\ = {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + {∥ ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + 2 ξ 〈 S公司 A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页, (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} 〉 - 2 ξ {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} \\ \leq {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + ξ^{2} {∥ B类 ∥}^{2} {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + 2 ξ 〈 S公司 A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页, (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} 〉 - 2 ξ {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} \end{matrix}

和

\begin{matrix} 2 ξ 〈 S公司 A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页, (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} 〉 \\ = ξ {{∥ S公司 A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页 ∥}^{2} + {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} - {∥ A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页 ∥}^{2}} \\ \leq ξ {{∥ A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页 ∥}^{2} + k个 {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} - {∥ A类 {z（z）}_{n个} - A类 第页 ∥}^{2}} \\ \leq ξ {- {∥ A类 {z（z）}_{n个} - A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + k个 {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2}} \\ = ξ {k个 {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} + {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2}}, \end{matrix}

我们得到

{∥ {w个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} \leq {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} - ξ (1 - k个 - ξ {∥ B类 ∥}^{2}) {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2},

并证明了我们期望的结果。

第2步。我们证明

∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥ 为所有人 n个 \in N个 .

(3.3)

对于任何 $n个 \in N个$ ，截至（3.1），我们已经

\begin{matrix} {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} \\ = β {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + (1 - β) {∥ T型 年_{n个} - 第页 ∥}^{2} - (1 - β) β {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ \leq β {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + (1 - β) {∥ 年_{n个} - 第页 ∥}^{2} + (1 - β) {∥ T型 年_{n个} - 年_{n个} ∥}^{2} - (1 - β) β {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ \leq β {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + (1 - β) ((1 - α) {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} - (1 - α) α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2}) \\ + (1 - β) {∥ T型 年_{n个} - 年_{n个} ∥}^{2} - (1 - β) β {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + (1 - β) (α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} - (1 - α) α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2}) - (1 - β) β {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ + (1 - β) {∥ (1 - α) ({x个}_{n个} - T型 年_{n个}) + α (T型 {x个}_{n个} - T型 年_{n个}) ∥}^{2} \\ \leq {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + (1 - β) (α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} - (1 - α) α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2}) - (1 - β) β {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ + (1 - β) ((1 - α) {∥ {x个}_{n个} - T型 年_{n个} ∥}^{2} + α {∥ T型 {x个}_{n个} - T型 年_{n个} ∥}^{2} - (1 - α) α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2}) \\ \leq {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + (1 - β) (α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} - (1 - α) α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2}) - (1 - β) β {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ + (1 - β) ((1 - α) {∥ {x个}_{n个} - T型 年_{n个} ∥}^{2} + α {L（左）}^{2} {∥ {x个}_{n个} - 年_{n个} ∥}^{2} - (1 - α) α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2}) \\ \leq {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} + (1 - β) (α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} - (1 - α) α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2}) - (1 - β) β {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ + (1 - β) ((1 - α) {∥ {x个}_{n个} - T型 年_{n个} ∥}^{2} + α^{三} {L（左）}^{2} {∥ {x个}_{n个} - T型 {x个}_{n个} ∥}^{2} - (1 - α) α {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2}) \\ = {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} - (1 - β) (α + β - 1) {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ - (1 - β) α (1 - 2 α - α^{2} {L（左）}^{2}) {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} . \end{matrix}

(3.4)

自 $α + β > 1$ 和 $α < \frac{1}{2 \sqrt{1 + {L（左）}^{2}}}$ ，从（3.4）开始，我们有 ${∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} \leq {∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2}$ ，或等效地，

∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥ .

(3.5)

步骤3。我们证明了这一点 ${C类}_{n个}$ 是任意的非空闭凸集 $n个 \in N个$ .

对于任何 $第页 \in Ω$ 通过考虑（3.2）和（3.5），我们得出

∥ {w个}_{n个} - 第页 ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥ 为所有人 n个 \in N个 .

所以我们知道 $Ω \subset {C类}_{n个}$ 因此 ${C类}_{n个} \neq \emptyset$ 为所有人 $n个 \in N个$ 。很容易验证 ${C类}_{n个}$ 对所有人来说都是封闭和凸的 $n个 \in N个$ .

步骤4。我们证明 ${{x个}_{n个}}$ 是中的Cauchy序列C类和 ${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ 对一些人来说 $q个 \in C类$ .

自 $Ω \subset {C类}_{n个 + 1} \subset {C类}_{n个}$ 和 ${x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}) \subset {C类}_{n个}$ ，我们得到

∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{1} ∥ \leq ∥ 第页 - {x个}_{1} ∥ 为所有人 第页 \in Ω

和

∥ {x个}_{n个} - {x个}_{1} ∥ \leq ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{1} ∥ 为所有人 n个 \in N个,

这说明了 ${{x个}_{n个}}$ 有界且 ${∥ {x个}_{n个} - {x个}_{1} ∥}$ 不会减少 $[0, \infty)$ .所以

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {x个}_{n个} - {x个}_{1} ∥ \geq 0

存在。对于任何 $米, n个 \in N个$ 具有 $米 > n个$ ，来自 ${x个}_{米} = {P（P）}_{{C类}_{米}} ({x个}_{1}) \subset {C类}_{n个}$ 和（1.1），我们有

{∥ {x个}_{米} - {x个}_{n个} ∥}^{2} + {∥ {x个}_{1} - {x个}_{n个} ∥}^{2} = {∥ {x个}_{米} - {P（P）}_{{C类}_{n个}} ({x个}_{1}) ∥}^{2} + {∥ {x个}_{1} - {P（P）}_{{C类}_{n个}} ({x个}_{1}) ∥}^{2} \leq {∥ {x个}_{米} - {x个}_{1} ∥}^{2} .

(3.6)

不平等（3.6）意味着

\underset{米, n个 \to \infty}{林} ∥ {x个}_{n个} - {x个}_{米} ∥ = 0 .

所以 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。显然，

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ = 0 .

(3.7)

通过以下内容的完整性C类，存在 $q个 \in C类$ 这样的话 ${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ .

步骤5。最后，我们证明以下情况成立：

（i）
$q个 \in Ω$ ,
（ii）
$A类 {x个}_{n个} \to A类 q个$ 作为 $n个 \to \infty$ .

对于任何 $n个 \in N个$ ，自 ${x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}) \in {C类}_{n个 + 1} \subset {C类}_{n个}$ ，从（3.1）开始，我们有

∥ {z（z）}_{n个} - {x个}_{n个} ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - {x个}_{n个 + 1} ∥ + ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ \leq 2 ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥

(3.8)

和

∥ {w个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥ \leq ∥ {w个}_{n个} - {x个}_{n个 + 1} ∥ + ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ \leq 2 ∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥ .

(3.9)

根据不等式（3.7）、（3.8）和（3.9），我们推导出

\begin{aligned} \underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {z（z）}_{n个} - {x个}_{n个} ∥ = 0, \\ \underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {w个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥ = 0 \end{aligned}

(3.10)

因此

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ {w个}_{n个} - {z（z）}_{n个} ∥ = 0 .

(3.11)

通过考虑（3.4）和（3.10），我们得到

\begin{matrix} α (1 - 2 α - α^{2} {L（左）}^{2}) {∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} + (α + β - 1) {∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥}^{2} \\ \leq \frac{1}{1 - β} ({∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} - {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2}) \\ \leq \frac{2}{1 - β} ∥ {x个}_{n个} - {z（z）}_{n个} ∥ ∥ {x个}_{n个} - 第页 ∥ \to 0 作为 n个 \to \infty . \end{matrix}

因此，我们获得

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ T型 {x个}_{n个} - {x个}_{n个} ∥ = \underset{n个 \to \infty}{林} ∥ T型 年_{n个} - {x个}_{n个} ∥ = 0 .

(3.12)

自 ${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ ，来自（3.12）和范数的连续性 $∥ \cdot ∥$ 和Lipschitz伪压缩映射T型，我们可以推断 $T型 q个 = q个$ ，即 $q个 \in F类 (T型)$ 另一方面，根据（3.2）和（3.11），我们有

\begin{matrix} ξ (1 - k个 - ξ {∥ B类 ∥}^{2}) {∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥}^{2} \\ \leq {∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥}^{2} - {∥ {w个}_{n个} - 第页 ∥}^{2} \\ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - {w个}_{n个} ∥ (∥ {z（z）}_{n个} - 第页 ∥ - ∥ {w个}_{n个} - 第页 ∥) \to 0 作为 n个 \to \infty, \end{matrix}

这就产生了

\underset{n个 \to \infty}{林} ∥ (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个} ∥ = 0 .

(3.13)

自从k个-非收缩映射S公司除雾时间为 $θ_{2}$ ，考虑到 ${x个}_{n个} \to q个$ , $A类 {x个}_{n个} \to A类 q个$ , $∥ {z（z）}_{n个} - {x个}_{n个} ∥ \to 0$ （3.13），我们有

A类 {z（z）}_{n个} \to A类 q个

和

A类 q个 \in F类 (S公司) .

因此，我们确认 $q个 \in Ω$ .证明已完成。□

根据定理3.1，我们可以建立以下公式：

（i）
Lipschitzian伪压缩映射和非扩张映射的分裂公共解问题的强收敛算法（参见下面的推论3.1）。
（ii）
Lipschitz伪压缩映射和拟单扩张映射的分裂公共解问题的强收敛算法（参见下面的推论3.2）。

推论3.1 让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个实希尔伯特空间 $θ_{我}$ 是的零向量 ${H（H）}_{我}$ 对于 $我 = 1, 2$ .让 C类 是的非空闭凸子集 ${H（H）}_{1}$ 和 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 有界线性算子及其伴随 B类.让 $T型 : C类 \to C类$ 是具有Lipschitz常数的Lipschit伪压缩映射 $L（左） > 0$ 和 $F类 (T型) \neq \emptyset$ ,然后让 $S公司 : {H（H）}_{2} \to {H（H）}_{2}$ 是非扩张映射 $F类 (S公司) \neq \emptyset$ .让 ${C类}_{1} = C类$ 和 ${{x个}_{n个}}$ 是由以下算法生成的序列:

{\begin{cases} {x个}_{1} \in {C类}_{1} 任意选择, \\ 年_{n个} = (1 - α) {x个}_{n个} + α T型 {x个}_{n个}, \\ {z（z）}_{n个} = β {x个}_{n个} + (1 - β) T型 年_{n个}, \\ {w个}_{n个} = {P（P）}_{C类} ({z（z）}_{n个} + ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个}), \\ {C类}_{n个 + 1} = {v（v） \in {C类}_{n个} : ∥ {w个}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - v（v） ∥}, \\ {x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}), \forall n个 \in N个, \end{cases}

哪里 $0 < 1 - β < α < \frac{1}{2 \sqrt{1 + {L（左）}^{2}}}$ , $ξ \in (0, \frac{1}{{∥ B类 ∥}^{2}})$ 和 ${P（P）}_{{C类}_{n个}}$ 是来自的投影运算符 ${H（H）}_{1}$ 进入之内 ${C类}_{n个}$ 对于 $n个 \in N个$ .假设

Ω = {第页 \in F类 (T型) : A类 第页 \in F类 (S公司)} \neq \emptyset .

然后就有了 $q个 \in Ω$ 这样的话

（a）
${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ ,
（b）
$A类 {x个}_{n个} \to A类 q个$ 作为 $n个 \to \infty$ .

证明自从映射以来S公司是非膨胀的，是0-非收缩的。因此，根据定理3.1得出的期望结论是： $k个 = 0$ . □

推论3.2 让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个实希尔伯特空间 $θ_{我}$ 是的零矢量 ${H（H）}_{我}$ 对于 $我 = 1, 2$ .让 C类 是的非空闭凸子集 ${H（H）}_{1}$ 和 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 有界线性算子及其伴随 B类.让 $T型 : C类 \to C类$ 是具有Lipschitz常数的Lipschit伪压缩映射 $L（左） > 0$ 和 $F类 (T型) \neq \emptyset$ ,然后让 $S公司 : {H（H）}_{2} \to {H（H）}_{2}$ 是一个准-非扩张映射 $F类 (S公司) \neq \emptyset$ 在以下位置除雾 $θ_{2}$ .让 ${C类}_{1} = C类$ 和 ${{x个}_{n个}}$ 是由以下算法生成的序列:

{\begin{cases} {x个}_{1} \in {C类}_{1} 任意选择, \\ 年_{n个} = (1 - α) {x个}_{n个} + α T型 {x个}_{n个}, \\ {z（z）}_{n个} = β {x个}_{n个} + (1 - β) T型 年_{n个}, \\ {w个}_{n个} = {P（P）}_{C类} ({z（z）}_{n个} + ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个}), \\ {C类}_{n个 + 1} = {v（v） \in {C类}_{n个} : ∥ {w个}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - v（v） ∥}, \\ {x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}), \forall n个 \in N个, \end{cases}

哪里 $0 < 1 - β < α < \frac{1}{2 \sqrt{1 + {L（左）}^{2}}}$ , $ξ \in (0, \frac{1}{{∥ B类 ∥}^{2}})$ 和 ${P（P）}_{{C类}_{n个}}$ 是来自的投影运算符 ${H（H）}_{1}$ 进入之内 ${C类}_{n个}$ 对于 $n个 \in N个$ .假设

Ω = {第页 \in F类 (T型) : A类 第页 \in F类 (S公司)} \neq \emptyset .

然后就有了 $q个 \in Ω$ 这样的话

（a）
${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ ,
（b）
$A类 {x个}_{n个} \to A类 q个$ 作为 $n个 \to \infty$ .

示例3.1让 ${H（H）}_{1} = R（右）$ 具有绝对值范数 $| \cdot |$ .让 ${H（H）}_{2} = {[\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}]}^{2}$ 符合规范 $∥ α ∥ = {(一_{1}^{2} + 一_{2}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 对于 $α = (一_{1}, 一_{2}) \in {H（H）}_{2}$ 和内积 $〈 α, β 〉 = \sum_{我 = 1}^{2} 一_{我} {b条}_{我}$ 对于 $α = (一_{1}, 一_{2})$ 和 $β = ({b条}_{1}, {b条}_{2}) \in {H（H）}_{2}$ .让 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 由定义 $A类 x个 = (x个, x个)$ 对于 $x个 \in R（右）$ .然后A类是一个有界线性算子及其伴随算子 $B类 z（z） = {z（z）}_{1} + {z（z）}_{2}$ 对于 $z（z） = ({z（z）}_{1}, {z（z）}_{2}) \in {H（H）}_{2}$ 显然， $∥ A类 ∥ = ∥ B类 ∥ = \sqrt{2}$ .让 $C类 = [\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}]$ .让 $T型 : C类 \to C类$ 和 $S公司 : {H（H）}_{2} \to {H（H）}_{2}$ 由定义

T型 x个 = \frac{1}{x个} 的 x个 \in C类

和

S公司 z（z） = (\frac{1}{{z（z）}_{1}}, \frac{1}{{z（z）}_{2}}) 的 z（z） = ({z（z）}_{1}, {z（z）}_{2}) \in {H（H）}_{2},

分别是。很容易看出这一点

$F类 (T型) = {1}$ ;
$F类 (S公司) = {(1, 1)}$ ;
$Ω = {第页 \in F类 (T型) : A类第页 \in F类 (S公司)} = {1} \neq \emptyset$ ;
T型是具有Lipschitz常数的Lipschit伪压缩映射 $L（左） = \sqrt{2}$ ;
T型和S公司两者都是 $\frac{三}{4}$ -非压缩映射。

通过使用算法（3.1） $0 < 1 - β < α < \frac{1}{2 \sqrt{三}}$ 和 $ξ \in (0, \frac{1}{8})$ ，我们可以验证 ${x个}_{n个} \to 1$ 和 $A类 {x个}_{n个} \to A类 (1) = (1, 1) \in F类 (S公司)$ 作为 $n个 \to \infty$ .

4定理3.1的一些应用和进一步注释

让C类是希尔伯特空间的非空子集H（H）。回想一下，映射 $U型 : C类 \to C类$ 据说是增生的如果

〈 U型 x个 - U型 年, x个 - 年 〉 \geq 0 为所有人 x个, 年 \in C类 .

显然， $U型 : C类 \to C类$ 是增生的当且仅当 $我 - U型 : C类 \to C类$ 是伪收缩的。此外，

F类 (我 - U型) = {U型}^{- 1} (θ) : = {x个 \in C类 : U型 x个 = θ},

哪里θ是的零矢量H（H）.

在本文的最后，通过应用定理3.1，我们得到了以下结论：

（i）
Lipschitz增生映射和非压缩非扩张映射的分裂公共解问题的强收敛算法（参见下面的定理4.1）。
（ii）
Lipschitzian增生映射和非扩张映射的分裂公共解问题的强收敛算法（参见下面的推论4.1）。
（iii）
Lipschitzian增生映射和拟非扩张映射的分裂共解问题的强收敛算法（见下面的推论4.2）。

定理4.1 让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个实希尔伯特空间 $θ_{我}$ 是的零矢量 ${H（H）}_{我}$ 对于 $我 = 1, 2$ .让 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 有界线性算子及其伴随 B类和 $U型 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{1}$ 是具有Lipschitz常数的Lipschit增生映射 $L（左） > 0$ 和 ${U型}^{- 1} (θ_{1}) \neq \emptyset$ .让 $S公司 : {H（H）}_{2} \to {H（H）}_{2}$ 成为 k个-非压缩映射 $F类 (S公司) \neq \emptyset$ 在以下位置除雾 $θ_{2}$ .让 ${{x个}_{n个}}$ 是由以下算法生成的序列:

{\begin{cases} {x个}_{1} \in {H（H）}_{1} 任意选择, \\ 年_{n个} = {x个}_{n个} - α U型 {x个}_{n个}, \\ {z（z）}_{n个} = β {x个}_{n个} + (1 - β) (我 - U型) 年_{n个}, \\ {w个}_{n个} = {z（z）}_{n个} + ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个}, \\ {C类}_{n个 + 1} = {v（v） \in {C类}_{n个} : ∥ {w个}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - v（v） ∥}, \\ {x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}), \forall n个 \in N个, \end{cases}

(4.1)

哪里 $0 < 1 - β < α < \frac{1}{2 \sqrt{1 + {L（左）}^{2}}}$ , $ξ \in (0, \frac{1 - k个}{{∥ B类 ∥}^{2}})$ 和 ${P（P）}_{{C类}_{n个}}$ 是来自的投影运算符 ${H（H）}_{1}$ 进入之内 ${C类}_{n个}$ 对于 $n个 \in N个$ .假设

Ω = {第页 \in {U型}^{- 1} (θ_{1}) : A类 第页 \in F类 (S公司)} \neq \emptyset .

然后就有了 $q个 \in Ω$ 这样的话

（a）
${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ ,
（b）
$A类 {x个}_{n个} \to A类 q个$ 作为 $n个 \to \infty$ .

证明让 ${C类}_{1} = {H（H）}_{1}$ 然后迭代过程（4.1）可以重写如下：

{\begin{cases} {x个}_{1} \in {C类}_{1} 任意选择, \\ 年_{n个} = (1 - α) {x个}_{n个} + α (我 - U型) {x个}_{n个}, \\ {z（z）}_{n个} = β {x个}_{n个} + (1 - β) (我 - U型) 年_{n个}, \\ {w个}_{n个} = {z（z）}_{n个} + ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个}, \\ {C类}_{n个 + 1} = {v（v） \in {C类}_{n个} : ∥ {w个}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - v（v） ∥}, \\ {x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}), \forall n个 \in N个 . \end{cases}

设置 $T型 : = 我 - U型$ ，然后 $F类 (T型) = {U型}^{- 1} (θ_{1})$ 和T型是具有Lipschitz常数的Lipschit伪压缩映射 $1 + L（左）$ 因此，期望的结论立即遵循定理3.1。□

以下有趣的结果直接来自定理4.1。

推论4.1 让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个实希尔伯特空间 $θ_{我}$ 是的零矢量 ${H（H）}_{我}$ 对于 $我 = 1, 2$ .让 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 有界线性算子及其伴随 B类和 $U型 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{1}$ 是具有Lipschitz常数的Lipschitz增生映射 $L（左） > 0$ 和 ${U型}^{- 1} (θ_{1}) \neq \emptyset$ .让 $S公司 : {H（H）}_{2} \to {H（H）}_{2}$ 成为准-非扩张映射 $F类 (S公司) \neq \emptyset$ 在以下位置除雾 $θ_{2}$ .让 ${{x个}_{n个}}$ 是由以下算法生成的序列:

{\begin{cases} {x个}_{1} \in {H（H）}_{1} 任意选择, \\ 年_{n个} = {x个}_{n个} - α U型 {x个}_{n个}, \\ {z（z）}_{n个} = β {x个}_{n个} + (1 - β) (我 - U型) 年_{n个}, \\ {w个}_{n个} = {z（z）}_{n个} + ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个}, \\ {C类}_{n个 + 1} = {v（v） \in {C类}_{n个} : ∥ {w个}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - v（v） ∥}, \\ {x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}), \forall n个 \in N个, \end{cases}

哪里 $0 < 1 - β < α < \frac{1}{2 \sqrt{1 + {L（左）}^{2}}}$ , $ξ \in (0, \frac{1}{{∥ B类 ∥}^{2}})$ 和 ${P（P）}_{{C类}_{n个}}$ 是来自的投影运算符 ${H（H）}_{1}$ 进入之内 ${C类}_{n个}$ 对于 $n个 \in N个$ .假设

Ω = {第页 \in {U型}^{- 1} (θ_{1}) : A类 第页 \in F类 (S公司)} \neq \emptyset .

然后就有了 $q个 \in Ω$ 这样的话

（a）
${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ ,
（b）
$A类 {x个}_{n个} \to A类 q个$ 作为 $n个 \to \infty$ .

推论4.2 让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个实希尔伯特空间 $θ_{我}$ 是的零矢量 ${H（H）}_{我}$ 对于 $我 = 1, 2$ .让 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 有界线性算子及其伴随 B类.让 $U型 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{1}$ 是具有Lipschitz常数的Lipschit增生映射 $L（左） > 0$ 和 ${U型}^{- 1} (θ_{1}) \neq \emptyset$ .让 $S公司 : {H（H）}_{2} \to {H（H）}_{2}$ 是非扩张映射 $F类 (S公司) \neq \emptyset$ .让 ${{x个}_{n个}}$ 是由以下算法生成的序列:

{\begin{cases} {x个}_{1} \in {H（H）}_{1} 任意选择, \\ 年_{n个} = {x个}_{n个} - α U型 {x个}_{n个}, \\ {z（z）}_{n个} = β {x个}_{n个} + (1 - β) (我 - U型) 年_{n个}, \\ {w个}_{n个} = {z（z）}_{n个} + ξ B类 (S公司 - 我) A类 {z（z）}_{n个}, \\ {C类}_{n个 + 1} = {v（v） \in {C类}_{n个} : ∥ {w个}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {z（z）}_{n个} - v（v） ∥ \leq ∥ {x个}_{n个} - v（v） ∥}, \\ {x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{{C类}_{n个 + 1}} ({x个}_{1}), \forall n个 \in N个, \end{cases}

哪里 $0 < 1 - β < α < \frac{1}{2 \sqrt{1 + {L（左）}^{2}}}$ , $ξ \in (0, \frac{1}{{∥ B类 ∥}^{2}})$ 和 ${P（P）}_{{C类}_{n个}}$ 是来自的投影运算符 ${H（H）}_{1}$ 进入之内 ${C类}_{n个}$ 对于 $n个 \in N个$ .假设

Ω = {第页 \in {U型}^{- 1} (θ_{1}) : A类 第页 \in F类 (S公司)} \neq \emptyset .

然后就有了 $q个 \in Ω$ 这样的话

（a）
${x个}_{n个} \to q个$ 作为 $n个 \to \infty$ ,
（b）
$A类 {x个}_{n个} \to A类 q个$ 作为 $n个 \to \infty$ .

备注4.1在定理3.1和4.1中，控制系数α和β可以分别替换为序列 ${α_{n个}}$ 和 ${β_{n个}}$ 令人满意的 $0 < ε < 1 - β_{n个} < α_{n个} < \frac{1}{2 \sqrt{1 + {L（左）}^{2}}}$ 对于一些正实数ε.

备注4.2显然，如果 ${H（H）}_{1} = {H（H）}_{2}$ 它们推广和改进了文献中的许多结果；例如，请参见[23,24,26–29].

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致谢

第一作者获得红河大学青年学术专家候选人基金资助（2014HB0206）；第二作者得到了中华人民共和国科学技术部批准号为MOST 103-2115-M-017-001的资助。

作者信息

作者和附属机构

红河大学数学系，云南蒙自，661100
何振华
国立高雄师范大学数学系，台湾高雄，824
杜威仕

作者

何振华
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两位作者在写这篇论文时贡献均等，意义重大。两位作者阅读并批准了最终手稿。

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关于这篇文章

引用本文

He，Z.，Du，WS.关于分裂公共解问题：新的非线性可行算法，强收敛结果及其应用。不动点理论应用 2014, 219 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-18112-2014-219

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收到:2014年7月12日
认可的:2014年9月26日
出版:2014年10月22日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-219

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