奉献

在Wataru Takahashi教授70岁生日之际致敬他

1简介和前言

在度量不动点理论中，底层函数的压缩条件对不动点问题的求解起着重要作用。巴拿赫压缩原理是度量不动点理论中的一个显著结果。多年来，数学家将其推广到了不同的方向（参见[1–21]). 2012年，萨米特等。[15]介绍了α-ψ-收缩的和α-可容许映射，并建立了完备度量空间中此类映射的各种不动点定理。之后，卡拉皮纳尔和萨米特[13]推广这些概念以获得不动点结果。最近，萨利米等。[14]修改了α-ψ-收缩的和α-容许映射和已建立的不动点定理，它们是[13,15]. 在这里，我们继续对单值Geraghty和Meir-Keeler型压缩以及多值压缩映射使用这些修改的概念。提出的定理提供了侯赛因的主要结果等。[9]，卡拉皮纳尔等。[11]和Asl等。[12]作为推论。此外，本文还给出了一些例子来说明所得结果的可用性。

用Ψ表示非递减函数族ψ:[0,+∞)→[0,+∞)这样的话 ∑ n个 = 1 ∞ ψ n个 (t吨)<+∞为所有人t吨>0，其中 ψ n个 是n个第个迭代ψ.

下面的引理很明显。

引理1.1 如果 ψ∈Ψ,然后 ψ(t吨)<t吨 为所有人 t吨>0.

萨米特等。[15]定义了α-容许映射如下。

定义1.1让T型自我映射X（X），并让α:X（X）×X（X）→[0,+∞)是一个函数。我们这么说T型是一个α-容许映射如果

x个,年∈X（X）,α(x个,年)≥1⟹α(T型x个,T型年)≥1.

定理1.1[15]

让 (X（X）,d日) 是一个完全度量空间,然后让 T型 成为 α-容许映射.假设

α(x个,年)d日(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )
(1.1)

为所有人 x个,年∈X（X）,哪里 ψ∈Ψ.阿尔索,假设是这样

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

最近Salimi等。[14]修改了α-可接受和α-ψ-压缩映射如下。

定义1.2[14]

让T型自我映射X（X），并让α,η:X（X）×X（X）→[0,+∞)是两个函数。我们这么说T型是一个α-关于的容许映射η如果

x个,年∈X（X）,α(x个,年)≥η(x个,年)⟹α(T型x个,T型年)≥η(T型x个,T型年).

请注意，如果我们η(x个,年)=1则该定义可简化为定义1.1。此外，如果我们采取α(x个,年)=1然后我们说T型是η-亚容许映射。

以下结果适当地包含了[13].

定理1.2[14]

让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型 成为 α-关于的容许映射 η.假设

x个,年∈X（X）,α(x个,年)≥η(x个,年)⟹d日(T型x个,T型年)≤ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) ,
(1.2)

哪里 ψ∈Ψ 和

M（M）(x个,年)=最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , d日 ( x个 , T型 x个 ) + d日 ( 年 , T型 年 ) 2 , d日 ( x个 , T型 年 ) + d日 ( 年 , T型 x个 ) 2 } .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥η( x个 0 ,T型 x个 0 );

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥η( x个 n个 ,x个) 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

2已修改α-η-Geraghty型宫缩

本节的第一个主要结果是α-η-Geraghty型[4]收缩。

定理2.1 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-关于的容许映射 η.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1) 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

x个 , 年 ∈ X（X） , α ( x个 , （f） x个 ) α ( 年 , （f） 年 ) ≥ η ( x个 , （f） x个 ) η ( 年 , （f） 年 ) ⟹ d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ≤ β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } } .
(2.1)

假设

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥η(x个,（f）x个).

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥η( x个 0 ,（f） x个 0 ),然后 （f） 有一个固定点.

证明让 x个 0 ∈X（X）这样的话α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥η( x个 0 ,（f） x个 0 ).定义序列{ x个 n个 }在里面X（X）通过 x个 n个 = （f） n个 x个 0 =（f） x个 n个 − 1 为所有人n个∈N个.如果 x个 n个 + 1 = x个 n个 对一些人来说n个∈N个，那么x个= x个 n个 是的固定点（f）并对结果进行了验证。因此，我们假设 x个 n个 + 1 ≠ x个 n个 为所有人n个∈N个.自（f）是一个α-关于的容许映射η和α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥η( x个 0 ,（f） x个 0 )，我们推断α( x个 1 , x个 2 )=α(（f） x个 0 , （f） 2 x个 0 )≥η(（f） x个 0 , （f） 2 x个 0 )=η( x个 1 , x个 2 )。通过继续此过程，我们获得α( x个 n个 ,（f） x个 n个 )≥η( x个 n个 ,（f） x个 n个 )为所有人n个∈N个∪{0}.然后，

α( x个 n个 − 1 ,（f） x个 n个 − 1 )α( x个 n个 ,（f） x个 n个 )≥η( x个 n个 − 1 ,（f） x个 n个 − 1 )η( x个 n个 ,（f） x个 n个 ).

现在从（2.1）开始，我们有

d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ≤ β ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) 最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , 最小值 { d日 ( x个 n个 − 1 , （f） x个 n个 − 1 ) , d日 ( x个 n个 , （f） x个 n个 ) } } = β ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) 最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , 最小值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } } .

现在，如果d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 )<d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )对一些人来说n个∈N个，那么

最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , 最小值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } } =d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 ).

此外，如果d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 )对一些人来说n个∈N个，那么

最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , 最小值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } } =d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 ).

总之，就是这样n个∈N个，我们有

最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , 最小值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } } =d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 ).

因此，

d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤β ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 )
(2.2)

为所有人n个∈N个，这意味着d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 ).顺序如下{d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )}正在减少。因此，存在d日∈ 对 + 这样的话 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )=d日.我们将证明d日=0从（2.2）中，我们有

d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ≤β ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) ≤1,

这意味着 林 n个 → ∞ β(d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 ))=1.关于函数的属性β，我们得出结论

林 n个 → ∞ d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )=0.
(2.3)

接下来，我们将证明{ x个 n个 }是一个柯西序列。相反，假设{ x个 n个 }不是Cauchy序列。然后是ε>0和序列{米(k个)}和{n个(k个)}对于所有正整数k个，我们有

n个(k个)>米(k个)>k个,d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )≥ε和d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) − 1 )<ε.

通过三角不等式，我们得出

ε ≤ d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ≤ d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) − 1 ) + d日 ( x个 米 ( k个 ) − 1 , x个 米 ( k个 ) ) < ε + d日 ( x个 米 ( k个 ) − 1 , x个 米 ( k个 ) )

k个∈N个.将限制视为k个→+∞在上面的不等式中，关于（2.3）中的极限，我们得到

林 k个 → + ∞ d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )=ε.
(2.4)

再次，通过三角不等式，我们发现

d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )≤d日( x个 米 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) + 1 )+d日( x个 米 ( k个 ) + 1 , x个 n个 ( k个 ) + 1 )+d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 n个 ( k个 ) )

和

d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 )≤d日( x个 米 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) + 1 )+d日( x个 米 ( k个 ) , x个 n个 ( k个 ) )+d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 n个 ( k个 ) ).

取上述不等式中的极限为k个→+∞，与（2.3）和（2.4）一起，我们推断

林 k个 → + ∞ d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 )=ε.
(2.5)

现在，因为

α( x个 n个 ( k个 ) ,（f） x个 n个 ( k个 ) )α( x个 米 ( k个 ) ,（f） x个 米 ( k个 ) )≥η( x个 n个 ( k个 ) ,（f） x个 n个 ( k个 ) )η( x个 米 ( k个 ) ,（f） x个 米 ( k个 ) ),

然后从（2.1）、（2.4）和（2.5）中，我们得到

d日 ( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 ) ≤ β ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ) 最大值 { d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) , 最小值 { d日 ( x个 n个 ( k个 ) , （f） x个 n个 ( k个 ) ) , d日 ( x个 米 ( k个 ) , （f） x个 米 ( k个 ) ) } } = β ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ) 最大值 { d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) , 最小值 { d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 n个 ( k个 ) + 1 ) , d日 ( x个 米 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) + 1 ) } } .

因此，

d日 ( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 ) 最大值 { d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) , 最小值 { d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 n个 ( k个 ) + 1 ) , d日 ( x个 米 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) + 1 ) } } ≤β ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ) ≤1.

出租k个→∞在上面的不等式中，我们得到

林 n个 → ∞ β ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ) =1.

那就是， 林 k个 → ∞ d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )=0，这是一个矛盾。因此{ x个 n个 }是一个柯西序列。自X（X）是完整的，那么z（z）∈X（X）这样的话 x个 n个 →z（z）首先，我们假设（f）是连续的。自（f）是连续的，那么我们有

（f）z（z）= 林 n个 → ∞ （f） x个 n个 = 林 n个 → ∞ x个 n个 + 1 =z（z）.

所以z（z）是的固定点（f）接下来，我们假设（b）成立。然后，α(z（z）,（f）z（z）)≥η(z（z）,（f）z（z）)等等，α(z（z）,（f）z（z）)α( x个 n个 ,（f） x个 n个 )≥η(z（z）,（f）z（z）)η( x个 n个 ,（f） x个 n个 )现在（2.1），我们已经

d日(（f）z（z）, x个 n个 + 1 )≤β ( d日 ( z（z） , x个 n个 ) ) 最大值 { d日 ( z（z） , x个 n个 ) , 最小值 { d日 ( z（z） , （f） z（z） ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } } ,

因此

d日 ( （f） z（z） , z（z） ) ≤ d日 ( （f） z（z） , x个 n个 + 1 ) + d日 ( z（z） , x个 n个 + 1 ) ≤ β ( d日 ( z（z） , x个 n个 ) ) 最大值 { d日 ( z（z） , x个 n个 ) , 最小值 { d日 ( z（z） , （f） z（z） ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } } + d日 ( z（z） , x个 n个 + 1 ) .

出租n个→∞在上面的不等式中，我们得到d日(（f）z（z）,z（z）)=0也就是说，z（z）=（f）z（z）. □

如果在定理2.1中我们取，η(x个,年)=1，那么我们有以下推论。

推论2.1 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

x个 , 年 ∈ X（X） , α ( x个 , （f） x个 ) α ( 年 , （f） 年 ) ≥ 1 ⟹ d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ≤ β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } } .

假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

推论2.2 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 使得对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) + ℓ ) α ( x个 , （f） x个 ) α ( 年 , （f） 年 ) ≤β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } } +ℓ

为所有人 x个,年∈X（X）,哪里 ℓ>0.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

推论2.3 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

( α ( x个 , （f） x个 ) α ( 年 , （f） 年 ) + 1 ) d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ≤ 2 β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } }

为所有人 x个,年∈X（X）.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

推论2.4 让 (X（X）,d日) 是一个度量空间，使得 (X（X）,d日) 是完整的，并且 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

α(x个,（f）x个)α(年,（f）年)d日(（f）x个,（f）年)≤β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } }

为所有人 x个,年∈X（X）.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 ,（f） x个 n个 )≥1 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

此外，如果在定理2.1中我们取α(x个,年)=1，那么我们有以下推论。

推论2.5 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 η-不允许测绘.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

x个 , 年 ∈ X（X） , η ( x个 , （f） x个 ) η ( 年 , （f） 年 ) ≤ 1 ⟹ d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ≤ β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } } .

假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个,然后 η(x个,（f）x个)≤1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 η( x个 0 ,（f） x个 0 )≤1,然后 （f） 有一个固定点.

推论2.6 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 η-不允许测绘.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

d日(（f）x个,（f）年)+ℓ≤ [ β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } } + ℓ ] η ( x个 , （f） x个 ) η ( 年 , （f） 年 )

为所有人 x个,年∈X（X）,哪里 ℓ>0.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个,然后 η(x个,（f）x个)≤1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 η( x个 0 ,（f） x个 0 )≤1,然后 （f） 有一个固定点.

推论2.7 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 η-不允许测绘.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

2 d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ≤ ( η ( x个 , （f） x个 ) η ( 年 , （f） 年 ) + 1 ) β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } }

为所有人 x个,年∈X（X）.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个,然后 η(x个,（f）x个)≤1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 η( x个 0 ,（f） x个 0 )≤1,然后 （f） 有一个固定点.

推论2.8 让 (X（X）,d日) 是一个公制空间，以便 (X（X）,d日) 已完成,然后让 （f）:X（X）→X（X） 是 η-不允许测绘.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

d日(（f）x个,（f）年)≤η(x个,（f）x个)η(年,（f）年)β ( d日 ( x个 , 年 ) ) 最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , 最小值 { d日 ( x个 , （f） x个 ) , d日 ( 年 , （f） 年 ) } }

为所有人 x个,年∈X（X）.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,η( x个 n个 ,（f） x个 n个 )≤1 为所有人 n个,然后 η(x个,（f）x个)≤1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 η( x个 0 ,（f） x个 0 )≤1,然后 （f） 有一个固定点.

根据推论2.1，我们可以推断出以下推论。

推论2.9 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

x个,年∈X（X）,α(x个,（f）x个)α(年,（f）年)≥1⟹d日(（f）x个,（f）年)≤β ( d日 ( x个 , 年 ) ) d日(x个,年).

假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

此外，根据上述推论，我们可以推断出以下推论。

推论2.10（的定理4[9])

让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正雷亚尔,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) + ℓ ) α ( x个 , （f） x个 ) α ( 年 , （f） 年 ) ≤β ( d日 ( x个 , 年 ) ) d日(x个,年)+ℓ

为所有人 x个,年∈X（X）,哪里 ℓ≥1.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

推论2.11（第6条定理[9])

让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

( α ( x个 , （f） x个 ) α ( 年 , （f） 年 ) + 1 ) d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ≤ 2 β ( d日 ( x个 , 年 ) ) d日 ( x个 , 年 )

为所有人 x个,年∈X（X）.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

推论2.12（第8个定理[9])

让 (X（X）,d日) 是一个公制空间，以便 (X（X）,d日) 已完成,然后让 （f）:X（X）→X（X） 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 β:[0,∞)→[0,1] 对于任何有界序列 { t吨 n个 } 正实数的,β( t吨 n个 )→1 意味着 t吨 n个 →0 和

α(x个,（f）x个)α(年,（f）年)d日(（f）x个,（f）年)≤β ( d日 ( x个 , 年 ) ) d日(x个,年)

为所有人 x个,年∈X（X）.假设其中之一

  1. （a）

    （f） 是连续的,或

  2. （b）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 x个 n个 →x个,α( x个 n个 ,（f） x个 n个 )≥1 为所有人 n个,然后 α(x个,（f）x个)≥1.

如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

示例2.1让X（X）=[0,∞)被赋予通常的度量标准d日(x个,年)=|x个−年|为所有人x个,年∈X（X），并让（f）:X（X）→X（X）由定义

（f）x个={ 1 4 x个 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , 自然对数 ( x个 2 + x个 + 三 ) 如果 x个 ∈ ( 1 , ∞ ) .

还定义α:X（X）×X（X）→[0,+∞)和ψ:[0,∞)→[0,∞)通过

α(x个,年)={ 6 如果 x个 , 年 ∈ [ 0 , 1 ] , 0 否则 和β(t吨)= 1 2 .

我们证明推论2.9可以应用于（f），但推论2.10、2.11和2.12（[9])无法应用于（f）.

显然，(X（X）,d日)是一个完整的度量空间。我们证明了这一点（f）是一个α-容许映射。让x个,年∈X（X）具有α(x个,年)≥1，那么x个,年∈[0,1]另一方面，对于所有人来说x个∈[0,1]，我们有（f）x个≤1。由此可见α(（f）x个,（f）年)≥1因此，该断言成立。也，α(0,（f）0)≥1现在，如果{ x个 n个 }是中的序列X（X）这样的话α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1为所有人n个∈N个∪{0}和 x个 n个 →x个作为n个→+∞，那么{ x个 n个 }⊂[0,1]，因此x个∈[0,1]。这意味着α( x个 n个 ,x个)≥1为所有人n个∈N个.

让α(x个,年)≥1.然后x个,年∈[0,1]。我们得到，

d日(（f）x个,（f）年)=|（f）年−（f）x个|= | 1 4 x个 − 1 4 年 | = 1 4 |x个−年|≤ 1 2 |x个−年|=β ( d日 ( x个 , 年 ) ) d日(x个,年).

那就是，

α(x个,年)≥1⟹d日(（f）x个,（f）年)≤β ( d日 ( x个 , 年 ) ) d日(x个,年),

则结论2.1的条件成立，并且（f）有一个固定点。

让x个=0,年=1，并让ℓ=1，那么

( d日 ( （f） 0 , （f） 1 ) + 1 ) α ( 0 , （f） 0 ) α ( 1 , （f） 1 ) = ( 1 / 4 + 1 ) 36 >1/2+1=β ( d日 ( 0 , 1 ) ) d日(0,1)+1.

也就是说，推论2.10（[9])无法应用于此示例。

让，x个=0，并让年=1，那么

( α ( 0 , （f） 0 ) α ( 1 , （f） 1 ) + 1 ) d日 ( （f） 0 , （f） 1 ) = 37 4 > 2 = 2 β ( d日 ( 0 , 1 ) ) d日 ( 0 , 1 ) .

也就是说，推论2.11（[9])无法应用于此示例。

让，x个=0，并让年=1，那么

α(0,（f）0)α(1,（f）1)d日(（f）0,（f）1)=9>1/2=β ( d日 ( 0 , 1 ) ) d日(0,1).

即推论2.12（[9])无法应用于此示例。

3已修改α-ψ-Meir-Keeler压缩映射

最近，卡拉皮纳尔等。[11]引入三角形的概念α-容许映射如下。

定义3.1[11]

让（f）:X（X）→X（X），并让α:X（X）×X（X）→(−∞,+∞)我们这么说（f）是三角形的α-容许映射如果

  1. （T1）

    α(x个,年)≥1意味着α(（f）x个,（f）年)≥1,x个,年∈X（X）;

  2. （T2）

    { α ( x个 , z（z） ) ≥ 1 , α ( z（z） , 年 ) ≥ 1 意味着α(x个,年)≥1.

引理3.1[11]

让 （f） 是三角形的 α-容许映射.假设存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1.定义序列 { x个 n个 } 通过 x个 n个 = （f） n个 x个 0 .然后

α( x个 米 , x个 n个 )≥1为所有人米,n个∈N个带有米<n个.

用Ψ表示非递减函数族ψ:[0,+∞)→[0,+∞)连续时间为t吨=0这样的话

  • ψ(t吨)=0当且仅当t吨=0,

  • ψ(t吨+秒)≤ψ(t吨)+ψ(秒).

定义3.2[11]

让(X（X）,d日)是一个度量空间，让ψ∈Ψ。假设（f）:X（X）→X（X）是三角形的α-满足以下条件的容许映射：

对于每个ε>0存在δ>0这样的话

ε≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) <ε+δ意味着α(x个,年)ψ ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) <ε
(3.1)

为所有人x个,年∈X（X）.然后（f）被称为α-ψ-Meir-Keeler压缩映射。

现在，我们修改定义3.2如下。

定义3.3让(X（X）,d日)是一个度量空间，让ψ∈Ψ。假设（f）:X（X）→X（X）是三角形的α-满足以下条件的容许映射：

对于每个ε>0存在δ>0这样的话

ε≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) <ε+δ意味着ψ ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) <ε
(3.2)

为所有人x个,年∈X（X）具有α(x个,年)≥1.然后（f）称为修改α-ψ-Meir-Keeler压缩映射。

备注3.1让（f）被修改α-ψ-Meir-Keeler压缩映射。然后

ψ ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) <ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )

为所有人x个,年∈X（X）什么时候x个≠年和α(x个,年)≥1此外，如果x个=年和α(x个,年)≥1，那么d日(（f）x个,（f）年)=0,即,

ψ ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

定理3.1 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间.假设 （f） 是连续修改的 α-ψ-迈尔-基勒压缩映射,并且存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

证明让 x个 0 ∈X（X）并定义序列{ x个 n个 }通过 x个 n个 = （f） n个 x个 0 为所有人n个∈N个.如果 x个 n个 0 = x个 n个 0 + 1 对一些人来说 n个 0 ∈N个∪{0}那么，显然，（f）有一个固定点。因此，我们假设

x个 n个 ≠ x个 n个 + 1
(3.3)

为所有人n个∈N个∪{0}.我们有d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )>0为所有人n个∈N个∪{0}。现在，定义 秒 n个 =ψ(d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 ))根据备注3.1，我们推断n个∈N个∪{0} ψ(d日( x个 n个 + 1 , x个 n个 + 2 ))=ψ(d日(（f） x个 n个 ,（f） x个 n个 + 1 ))<ψ(d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )).通过对应用引理3.1

α( x个 米 , x个 n个 )≥1为所有人米,n个∈N个带有米<n个,

我们有

ψ ( d日 ( x个 n个 + 1 , x个 n个 + 2 ) ) <ψ ( d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ) .

因此，序列{ 秒 n个 }正在减少 对 + 因此，它收敛于秒∈ 对 + 。我们将展示这一点秒=0相反，假设秒>0。请注意

0<秒<ψ ( d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ) 为所有人n个∈N个∪{0}.
(3.4)

让ε=秒>0根据假设，存在δ(ε)>0使（3.2）保持不变。另一方面，根据ε，存在 n个 0 ∈N个这样的话

ε< 秒 n个 0 =ψ ( d日 ( x个 n个 0 , x个 n个 0 + 1 ) ) <ε+δ.

现在（3.2），我们已经

秒 n个 0 + 1 =ψ ( d日 ( x个 n个 0 + 1 , x个 n个 0 + 2 ) ) ≤ψ ( d日 ( （f） x个 n个 0 , （f） x个 n个 0 + 1 ) ) <ε=秒,

这是一个矛盾。因此秒=0也就是说， 林 n个 → + ∞ 秒 n个 =0现在，根据ψ在t吨=0，我们有 林 n个 → + ∞ d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )=0.对于给定ε>0根据假设，存在一个δ=δ(ε)>0使（3.2）保持不变。在不失一般性的情况下，我们假设δ<ε.自秒=0，那么就存在N个∈N个这样的话

秒 n个 − 1 =ψ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) <δ为所有人n个≥N个.
(3.5)

我们将证明，对于任何固定的k个≥ N个 0 ,

ψ ( d日 ( x个 k个 , x个 k个 + 我 ) ) ≤ε为所有人我∈N个,
(3.6)

持有。注意，（3.6）适用于我=1乘以（3.5）。假设条件（3.2）满足米∈N个。对于我=米+1，通过（3.5），我们得到

ψ ( d日 ( x个 k个 − 1 , x个 k个 + 米 ) ) ≤ ψ ( d日 ( x个 k个 − 1 , x个 k个 ) + d日 ( x个 k个 , x个 k个 + 米 ) ) ≤ ψ ( d日 ( x个 k个 − 1 , x个 k个 ) ) + ψ ( d日 ( x个 k个 , x个 k个 + 米 ) ) < ε + δ .
(3.7)

如果ψ(d日( x个 k个 − 1 , x个 k个 + 米 ))≥ε，然后通过（3.2），我们得到

ψ ( d日 ( x个 k个 , x个 k个 + 米 + 1 ) ) =ψ ( d日 ( （f） x个 k个 − 1 , （f） x个 k个 + 米 ) ) <ε,

因此（3.6）成立。

如果ψ(d日( x个 k个 − 1 , x个 k个 + 米 ))<ε，通过备注3.1，我们得到

ψ ( d日 ( x个 k个 , x个 k个 + 米 + 1 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 k个 − 1 , x个 k个 + 米 ) ) <ε.

因此，（3.6）适用于我=米+1因此，ψ(d日( x个 k个 , x个 k个 + 我 ))≤ε为所有人k个≥ N个 0 和我≥1，这意味着

d日( x个 n个 , x个 米 )<ε为所有人米≥n个≥ N个 0 .
(3.8)

因此{ x个 n个 }是一个柯西序列。自(X（X）,d日)已完成，存在z（z）∈X（X）这样的话 x个 n个 →z（z）作为n个→∞现在，从（f）是连续的，那么

（f）z（z）=（f） ( 林 n个 → ∞ x个 n个 ) = 林 n个 → ∞ x个 n个 + 1 =z（z）,

也就是说，（f）有一个固定点。□

推论3.1（第10条定理[11])

让 (X（X）,d日) 是一个完全度量空间.假设 （f） 是连续的 α-ψ-迈尔-基勒压缩映射,并且存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

证明让ε≤ψ(d日(x个,年))<ε+δ，其中α(x个,年)≥1.然后由ε≤ψ(d日(x个,年))<ε+δ定义3.2，我们推断α(x个,年)ψ(d日(（f）x个,（f）年))<ε另一方面，因为α(x个,年)≥1，那么我们有

ψ ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) ≤α(x个,年)ψ ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) <ε.

也就是说，定理3.1的条件成立，并且（f）有一个固定点。□

定理3.2 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f） 被修改过 α-ψ-迈尔-Keeler压缩映射.如果以下条件成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,

  2. （ii）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个,和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,然后 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个.

然后 （f） 有一个固定点.

证明根据定理3.1的证明，我们说α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1为所有人n个∈N个∪{0}，并且存在z（z）∈X（X）这样的话 x个 n个 →z（z）作为n个→+∞因此，从（ii）α( x个 n个 ,z（z）)≥1根据备注3.1，我们有

ψ ( d日 ( （f） z（z） , z（z） ) ) ≤ ψ ( d日 ( （f） z（z） , （f） x个 n个 ) + d日 ( （f） x个 n个 , z（z） ) ) ≤ ψ ( d日 ( （f） z（z） , （f） x个 n个 ) ) + ψ ( d日 ( （f） x个 n个 , z（z） ) ) ≤ ψ ( d日 ( z（z） , x个 n个 ) ) + ψ ( d日 ( x个 n个 + 1 , z（z） ) ) .

通过将限制作为n个→+∞，在上面的不等式中，我们得到ψ(d日(（f）z（z）,z（z）))≤0也就是说，d日(（f）z（z）,z（z）)=0.因此（f）z（z）=z（z）. □

推论3.2（第11条定理[11])

让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f） 成为 α-ψ-迈尔-基勒压缩映射.如果以下条件成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,

  2. （ii）

    如果 { x个 n个 } 是中的序列 X（X） 这样的话 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个,和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,然后 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个.

然后 （f） 有一个固定点.

示例3.1让X（X）=[0,∞)，并让d日(x个,年)=|x个−年|是上的度量X（X）.定义（f）:X（X）→X（X）通过

（f）x个={ x个 5 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , x个 x个 2 + 1 x个 ∈ ( 1 , ∞ ) , 和α(x个,年)={ 10 如果 x个 , 年 ∈ [ 0 , 1 ] , − 2 否则 ,

和ψ(t吨)= 1 4 t吨显然，(X（X）,d日)是一个完整的度量空间。我们证明了这一点（f）是三角形的α-容许映射。让x个,年∈X（X），如果α(x个,年)≥1，那么x个,年∈[0,1]另一方面，对于所有人来说x个,年∈[0,1]，我们有（f）x个≤1和（f）年≤1。由此可见α(（f）x个,（f）年)≥1此外，如果α(x个,z（z）)≥1和α(z（z）,年)≥1，那么x个,年,z（z）∈[0,1]，因此，α(x个,年)≥1因此，该断言由相同的参数支持。请注意α(0,（f）0)≥1.

现在，如果{ x个 n个 }是中的序列X（X）这样的话α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1为所有人n个∈N个∪{0}、和 x个 n个 →x个作为n个→+∞，那么{ x个 n个 }⊂[0,1]，因此x个∈[0,1]。这意味着α( x个 n个 ,x个)≥1为所有人n个∈N个∪{0}.让α(x个,年)≥1，那么x个,年∈[0,1].在不损失通用性的情况下x个≤年.然后

ψ ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) = 年 20 − x个 20 , ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) = 年 4 − x个 4 .

显然，通过采取δ=4ε，条件（3.2）成立。因此，定理3.2的条件成立，并且（f）有一个固定点。但如果x个,年∈[0,1]和

ε≤d日(x个,年)<ε+δ,

哪里ε>0和δ>0.然后

α(x个,年)d日(（f）x个,（f）年)=2|x个−年|=2d日(x个,年)≥2ε.

也就是说，推论3.2（[11])无法应用于此示例。

用表示 Ψ 标准 严格非递减函数族 ψ 标准 :[0,+∞)→[0,+∞)连续时间为t吨=0这样的话

  • ψ 标准 (t吨)=0当且仅当t吨=0,

  • ψ 标准 (t吨+秒)≤ ψ 标准 (t吨)+ ψ 标准 (秒).

定义3.4[11]

让(X（X）,d日)是一个度量空间，让 ψ 标准 ∈ Ψ 标准 。假设（f）:X（X）→X（X）是三角形的α-满足以下条件的容许映射：

对于每个ε>0，存在δ>0这样的话

ε≤ ψ 标准 ( M（M） ( x个 , 年 ) ) <ε+δ意味着α(x个,年) ψ 标准 ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) <ε
(3.9)

为所有人x个,年∈X（X），其中

M（M）(x个,年)=最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , d日 ( （f） x个 , x个 ) , d日 ( （f） 年 , 年 ) , 1 2 [ d日 ( （f） x个 , 年 ) + d日 ( x个 , （f） 年 ) ] } .

然后（f）称为广义α- ψ 标准 -Meir-Keeler压缩映射。

定义3.5让(X（X）,d日)是一个度量空间，让 ψ 标准 ∈ Ψ 标准 。假设（f）:X（X）→X（X）是三角形的α-满足以下条件的容许映射：

对于每个ε>0存在δ>0这样的话

ε≤ ψ 标准 ( M（M） ( x个 , 年 ) ) <ε+δ意味着 ψ 标准 ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) <ε
(3.10)

为所有人x个,年∈X（X），其中α(x个,年)≥1和

M（M）(x个,年)=最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , d日 ( （f） x个 , x个 ) , d日 ( （f） 年 , 年 ) , 1 2 [ d日 ( （f） x个 , 年 ) + d日 ( x个 , （f） 年 ) ] } .

然后（f）称为修正广义α- ψ 标准 -Meir-Keeler压缩映射。

备注3.2让（f）是一个修正的广义α- ψ 标准 -Meir-Keeler压缩映射。然后

ψ 标准 ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) < ψ 标准 ( M（M） ( x个 , 年 ) )

为所有人x个,年∈X（X），其中α(x个,年)≥1什么时候M（M）(x个,年)>0此外，如果M（M）(x个,年)=0和α(x个,年)≥1，那么x个=年，这意味着ψ(d日(（f）x个,（f）年))=0,即,

ψ 标准 ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) ≤ ψ 标准 ( M（M） ( x个 , 年 ) ) .

提议3.1 让 (X（X）,d日) 是度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 是一个修正的广义 α- ψ 标准 -迈尔-基勒压缩映射.如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 林 n个 → ∞ d日( （f） n个 + 1 x个 0 , （f） n个 x个 0 )=0.

证明定义序列{ x个 n个 }通过 x个 n个 = （f） n个 x个 0 为所有人n个∈N个.如果 x个 n个 0 = x个 n个 0 + 1 对一些人来说 n个 0 ∈N个∪{0}显然，结论是成立的。因此，我们假设

x个 n个 ≠ x个 n个 + 1
(3.11)

为所有人n个∈N个∪{0}.那么我们有M（M）( x个 n个 + 1 , x个 n个 )>0对于每个n个≥0然后根据引理3.1和备注3.2，我们得到

ψ 标准 ( d日 ( x个 n个 + 1 , x个 n个 + 2 ) ) = ψ 标准 ( d日 ( （f） x个 n个 , （f） x个 n个 + 1 ) ) < ψ 标准 ( M（M） ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ) = ψ 标准 ( 最大值 { d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) , d日 ( （f） x个 n个 , x个 n个 ) , d日 ( （f） x个 n个 + 1 , x个 n个 + 1 ) , 1 2 [ d日 ( （f） x个 n个 , x个 n个 + 1 ) + d日 ( x个 n个 , （f） x个 n个 + 1 ) ] } ) ≤ ψ 标准 ( 最大值 { d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) , d日 ( x个 n个 + 1 , x个 n个 + 2 ) } ) .

现在，因为 ψ 标准 严格来说没有减少，那么我们得到

d日( x个 n个 + 2 , x个 n个 + 1 )<最大值 { d日 ( x个 n个 + 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 + 2 , x个 n个 + 1 ) } .

因此，如果

最大值 { d日 ( x个 n个 + 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 + 2 , x个 n个 + 1 ) } =d日( x个 n个 + 2 , x个 n个 + 1 ),

不可能。因此，我们推断

d日( x个 n个 + 2 , x个 n个 + 1 )<d日( x个 n个 + 1 , x个 n个 )
(3.12)

为所有人n个也就是说， { d日 ( x个 n个 + 1 , x个 n个 ) } n个 = 0 ∞ 是中的递减序列 对 + ，它收敛到ε∈ 对 + 也就是说，

林 n个 → ∞ ψ 标准 ( d日 ( x个 n个 + 1 , x个 n个 ) ) = 林 n个 → ∞ ψ 标准 ( M（M） ( x个 n个 + 1 , x个 n个 ) ) = ψ 标准 (ε).
(3.13)

请注意ε=inf公司{d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 ):n个∈N个}让我们证明一下ε=0相反，假设ε>0.然后ψ(ε)>0考虑到（3.13）以及以下假设（f）是广义的α- ψ 标准 -Meir-Keeler压缩映射 ψ 标准 (ε)，存在δ>0和一个自然数米这样的话

ψ 标准 (ε)≤ ψ 标准 ( M（M） ( x个 米 , x个 米 + 1 ) ) < ψ 标准 (ε)+δ

意味着

ψ 标准 ( d日 ( x个 米 + 1 , x个 米 + 2 ) ) = ψ 标准 ( d日 ( （f） x个 米 , （f） x个 米 + 1 ) ) < ψ 标准 (ε).

现在，因为 ψ 标准 严格来说没有减少，那么我们得到

d日( x个 米 + 2 , x个 米 + 1 )<ε,

这是一个矛盾，因为ε=inf公司{d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 ):n个∈N个}.然后ε=0，因此，

林 n个 → ∞ d日( x个 n个 + 1 , x个 n个 )=0.

 □

定理3.3 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 是轨道连续的修正广义 α- ψ 标准 -迈尔-基勒压缩映射.如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

证明定义 x个 n个 + 1 = （f） n个 + 1 x个 0 为所有人n个≥0.我们想证明这一点 林 米 , n个 → ∞ d日( x个 n个 , x个 米 )=0如果不是这样，则存在ε>0和一个子序列{ x个 n个 ( 我 ) }属于{ x个 n个 }这样的话

d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 + 1 ) )>2ε.
(3.14)

为了这个ε>0，存在δ>0这样的话ε≤ ψ 标准 (M（M）(x个,年))<ε+δ意味着α(x个,年) ψ 标准 (d日(（f）x个,（f）年))<ε.放置第页=最小值{ε,δ}和 秒 n个 =d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )为所有人n个≥1根据命题3.1，存在 n个 0 这样的话

秒 n个 =d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )< 第页 4
(3.15)

为所有人n个≥ n个 0 .让n个(我)> n个 0 .我们得到n个(我)≤n个(我+1)−1.如果d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 + 1 ) − 1 )≤ε+ 第页 2 ，那么

d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 + 1 ) ) ≤ d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 + 1 ) − 1 ) + d日 ( x个 n个 ( 我 + 1 ) − 1 , x个 n个 ( 我 + 1 ) ) ≤ d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 + 1 ) − 1 ) + d日 ( x个 n个 ( 我 + 1 ) − 1 , x个 n个 ( 我 + 1 ) ) < ε + 第页 2 + 秒 n个 ( 我 + 1 ) − 1 < ε + 三 第页 4 < 2 ε ,

这与假设（3.14）相矛盾。因此，存在以下值k个这样的话n个(我)≤k个≤n个(我+1)和d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 )>ε+ 第页 2 .现在如果d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 ) + 1 )≥ε+ 第页 2 ，那么

秒 n个 ( 我 ) =d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 ) + 1 )≥ε+ 第页 2 >第页+ 第页 2 > 第页 4 ,

这与（3.15）相矛盾。因此，有以下值k个具有n个(我)≤k个≤n个(我+1)这样的话d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 )<ε+ 第页 2 。选择最小的整数k个具有k个≥n个(我)这样的话d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 )≥ε+ 第页 2 因此，d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 − 1 )<ε+ 第页 2 等等，

d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 ) ≤ d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 − 1 ) + d日 ( x个 k个 − 1 , x个 k个 ) ≤ d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 − 1 ) + d日 ( x个 k个 − 1 , x个 k个 ) < ε + 第页 2 + 第页 4 = ε + 三 第页 4 .

现在，我们可以选择一个自然数k个令人满意的n个(我)≤k个≤n个(我+1)这样的话

ε+ 第页 2 ≤d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 )<ε+ 三 第页 4 .
(3.16)

因此，我们获得

d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 )<ε+ 三 第页 4 <ε+第页,
(3.17)
d日( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 ) + 1 )= d日 n个 ( 我 ) < 第页 4 <ε+第页,
(3.18)

和

d日( x个 k个 , x个 k个 + 1 )= d日 k个 < 第页 4 <ε+第页.
(3.19)

因此，我们有

1 2 [ d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 + 1 ) + d日 ( x个 n个 ( 我 ) + 1 , x个 k个 ) ] ≤ 1 2 [ d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 ) + d日 ( x个 k个 , x个 k个 + 1 ) + d日 ( x个 n个 ( 我 ) + 1 , x个 n个 ( 我 ) ) + d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 ) ] ≤ 1 2 [ d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 ) + d日 ( x个 k个 , x个 k个 + 1 ) + d日 ( x个 n个 ( 我 ) + 1 , x个 n个 ( 我 ) ) + d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 ) ] = d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 ) + 1 2 [ 秒 k个 + 秒 n个 ( 我 ) ] < ε + 三 第页 4 + 1 2 [ 第页 4 + 第页 4 ] = ε + 第页 .
(3.20)

现在，不等式（3.17）-（3.20）意味着M（M）( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 )<ε+第页≤ε+δ等等， ψ 标准 (M（M）( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 ))< ψ 标准 (ε+δ)≤ ψ 标准 (ε)+ ψ 标准 (δ); 事实上（f）是一个修改的广义α- ψ 标准 -Meir-Keeler压缩映射得出

ψ 标准 ( d日 ( x个 n个 ( 我 ) + 1 , x个 k个 + 1 ) ) < ψ 标准 (ε).

然后d日( x个 n个 ( 我 ) + 1 , x个 k个 + 1 )<ε.我们推断

d日 ( （f） n个 ( 我 ) x个 0 , （f） k个 x个 0 ) ≤ d日 ( （f） n个 ( 我 ) x个 0 , （f） n个 ( 我 ) + 1 x个 0 ) + d日 ( （f） n个 ( 我 ) + 1 x个 0 , （f） k个 x个 0 ) ≤ d日 ( （f） n个 ( 我 ) x个 0 , （f） n个 ( 我 ) + 1 x个 0 ) + d日 ( （f） n个 ( 我 ) + 1 x个 0 , （f） k个 x个 0 ) ≤ d日 ( （f） n个 ( 我 ) x个 0 , （f） n个 ( 我 ) + 1 x个 0 ) + d日 ( （f） n个 ( 我 ) + 1 x个 0 , （f） k个 + 1 x个 0 ) + d日 ( （f） k个 + 1 x个 0 , （f） k个 x个 0 ) .

从（3.16）、（3.18）和（3.19）中，我们得到

d日 ( x个 n个 ( 我 ) + 1 , x个 k个 + 1 ) ≥ d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 k个 ) − d日 ( x个 n个 ( 我 ) , x个 n个 ( 我 ) + 1 ) − d日 ( x个 k个 , x个 k个 + 1 ) > ε + 第页 2 − 第页 4 − 第页 4 = ε ,

这是一个矛盾。我们得到了 林 米 , n个 → ∞ d日( x个 n个 , x个 米 )=0等等，{ x个 n个 = （f） n个 x个 0 }是一个柯西序列。自X（X）已完成，则存在z（z）∈X（X）这样的话 （f） n个 x个 0 →z（z）作为n个→∞.作为（f）轨道是连续的，所以z（z）=（f）z（z）. □

推论3.3（第17条定理[11])

让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 （f）:X（X）→X（X） 是轨道连续的广义 α- ψ 标准 -迈尔-基勒压缩映射.如果存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,（f） x个 0 )≥1,然后 （f） 有一个固定点.

示例3.2让X（X）=[0,∞)，并让d日(x个,年)=|x个−年|是一个度量X（X）.定义（f）:X（X）→X（X）通过

（f）x个={ x个 7 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , x个 x个 三 + 6 x个 ∈ ( 1 , ∞ )

和 ψ 标准 (t吨)= 1 2 t吨,

α(x个,年)={ 28 如果 x个 , 年 ∈ [ 0 , 1 ] , − 8 否则 .

显然，（f）是三角形的α-容许映射，并且它是轨道连续的。让α(x个,年)≥1，那么x个,年∈[0,1].在不损失通用性的情况下x个≤年.然后

ψ 标准 ( d日 ( （f） x个 , （f） 年 ) ) = 年 14 − x个 14 , ψ 标准 ( M（M） ( x个 , 年 ) ) = ψ 标准 ( 最大值 { 年 − x个 , 6 7 年 , x个 − 年 7 , 年 − x个 7 } ) ψ 标准 ( M（M） ( x个 , 年 ) ) = 最大值 { 年 2 − x个 2 , 6 14 年 , x个 2 − 年 14 , 年 2 − x个 14 } .

显然，通过采取δ=6ε，条件（3.10）成立。因此，满足定理3.3的所有条件，并且（f）有一个固定点。但如果x个=0和年=1

ε≤M（M）(0,1)<δ+ε

对于δ>0和ε>0，那么

ε≤1<δ+ε,

所以，

α(0,1) ψ 标准 ( d日 ( （f） 0 , （f） 1 ) ) =2≥1≥ε.

也就是说，推论3.3（[11])无法应用于此示例。

4已修改α-η-收缩多功能

最近，Asl等。[12]介绍了以下概念。

定义4.1让T型:X（X）→ 2 X（X） ，并让α:X（X）×X（X）→ 对 + 我们这么说T型是一个 α ∗ -容许映射如果

α(x个,年)≥1意味着 α ∗ (T型x个,T型年)≥1,x个,年∈X（X）,

哪里

α ∗ (A类,B类)= inf公司 x个 ∈ A类 , 年 ∈ B类 α(x个,年).

我们将这个概念概括如下。

定义4.2让T型:X（X）→ 2 X（X） 多功能，让α,η:X（X）×X（X）→ 对 + 是两个函数，其中η有界。我们这么说T型是一个 α ∗ -关于的容许映射η如果

α(x个,年)≥η(x个,年)意味着 α ∗ (T型x个,T型年)≥ η ∗ (T型x个,T型年),x个,年∈X（X）,

哪里

α ∗ (A类,B类)= inf公司 x个 ∈ A类 , 年 ∈ B类 α(x个,年)和 η ∗ (A类,B类)= 啜饮 x个 ∈ A类 , 年 ∈ B类 η(x个,年).

如果我们采取η(x个,年)=1为所有人x个,年∈X（X）则该定义可简化为定义4.1。万一α(x个,年)=1为所有人x个,年∈X（X），那么T型被称为 η ∗ -亚容许映射。

注意Ψ是非递减函数族ψ:[0,+∞)→[0,+∞)这样的话 ∑ n个 = 1 ∞ ψ n个 (t吨)<+∞为所有人t吨>0，其中 ψ n个 是n个第个迭代ψ.

作为我们新概念的应用，我们现在为一个多功能开发了一个不动点结果，它推广了定理1.1。

定理4.1 让 (X（X）,d日) 是一个完全度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 α ∗ -可接受的,关于 η,并关闭-价值多功能 X（X）.假设 ψ∈Ψ,

x个,年∈X（X）, α ∗ (T型x个,T型年)≥ η ∗ (T型x个,T型年)⟹H（H）(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .
(4.1)

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 α( x个 0 , x个 1 )≥η( x个 0 , x个 1 );

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) 为所有人 n个∈N个,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥η( x个 n个 ,x个) 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.

证明让 x个 1 ∈T型 x个 0 是这样的α( x个 0 , x个 1 )≥η( x个 0 , x个 1 ).自T型是一个 α ∗ -容许映射，那么 α ∗ (T型 x个 0 ,T型 x个 1 )≥ η ∗ (T型 x个 0 ,T型 x个 1 )因此，从（4.1）中，我们有

H（H）(T型 x个 0 ,T型 x个 1 )≤ψ ( d日 ( x个 0 , x个 1 ) ) .
(4.2)

如果 x个 0 = x个 1 ，那么 x个 0 是的固定点T型因此，我们假设 x个 0 ≠ x个 1 此外，如果 x个 1 ∈T型 x个 1 ，那么 x个 1 是的固定点T型.假设 x个 1 ∉T型 x个 1 和q个>1.那么我们有

0<d日( x个 1 ,T型 x个 1 )≤H（H）(T型 x个 0 ,T型 x个 1 )<q个H（H）(T型 x个 0 ,T型 x个 1 ),

因此，通过（4.2），我们得到

0<d日( x个 1 ,T型 x个 1 )<q个H（H）(T型 x个 0 ,T型 x个 1 )≤q个ψ ( d日 ( x个 0 , x个 1 ) ) .

这意味着存在 x个 2 ∈T型 x个 1 这样的话

0<d日( x个 1 , x个 2 )<q个H（H）(T型 x个 0 ,T型 x个 1 )≤q个ψ ( d日 ( x个 0 , x个 1 ) ) .
(4.3)

请注意 x个 1 ≠ x个 2 （自 x个 1 ∉T型 x个 1 ). 此外，因为 α ∗ (T型 x个 0 ,T型 x个 1 )≥ η ∗ (T型 x个 0 ,T型 x个 1 ), x个 1 ∈T型 x个 0 和 x个 2 ∈T型 x个 1 ，那么α( x个 1 , x个 2 )≥η( x个 1 , x个 2 ).所以 α ∗ (T型 x个 1 ,T型 x个 2 )≥ η ∗ (T型 x个 1 ,T型 x个 2 )因此，从（4.1）中，我们有

H（H）(T型 x个 1 ,T型 x个 2 )≤ψ ( d日 ( x个 1 , x个 2 ) ) .
(4.4)

放置 t吨 0 =d日( x个 0 , x个 1 )然后从（4.3）中，我们得到d日( x个 1 , x个 2 )<q个ψ( t吨 0 )，其中 t吨 0 >0现在，从ψ严格来说是在增加ψ(d日( x个 1 , x个 2 ))<ψ(q个ψ( t吨 0 )).放置

q个 1 = ψ ( q个 ψ ( t吨 0 ) ) ψ ( d日 ( x个 1 , x个 2 ) ) ,

等等 q个 1 >1.如果 x个 2 ∈T型 x个 2 ，那么 x个 2 是的固定点T型因此，我们假设 x个 2 ∉T型 x个 2 .然后

0<d日( x个 2 ,T型 x个 2 )≤H（H）(T型 x个 1 ,T型 x个 2 )< q个 1 H（H）(T型 x个 1 ,T型 x个 2 ).

所以存在 x个 三 ∈T型 x个 2 这样的话

0<d日( x个 2 , x个 三 )< q个 1 H（H）(T型 x个 1 ,T型 x个 2 ),

然后从（4.4）中，我们得到

0<d日( x个 2 , x个 三 )< q个 1 H（H）(T型 x个 1 ,T型 x个 2 )≤ q个 1 ψ ( d日 ( x个 1 , x个 2 ) ) =ψ ( q个 ψ ( t吨 0 ) ) .

再一次，因为ψ严格来说是在增加ψ(d日( x个 2 , x个 三 ))<ψ(ψ(q个ψ( t吨 0 ))).放置

q个 2 = ψ ( ψ ( q个 ψ ( t吨 0 ) ) ) ψ ( d日 ( x个 2 , x个 三 ) ) .

所以， q个 2 >1.如果 x个 三 ∈T型 x个 三 ，那么 x个 三 是的固定点T型因此，我们假设 x个 三 ∉T型 x个 三 .然后

0<d日( x个 三 ,T型 x个 三 )≤H（H）(T型 x个 2 ,T型 x个 三 )< q个 2 H（H）(T型 x个 2 ,T型 x个 三 ),

因此，存在 x个 4 ∈T型 x个 三 这样的话

0<d日( x个 三 , x个 4 )≤H（H）(T型 x个 2 ,T型 x个 三 )< q个 2 H（H）(T型 x个 2 ,T型 x个 三 ).
(4.5)

显然， x个 2 ≠ x个 三 又一次，因为 α ∗ (T型 x个 1 ,T型 x个 2 )≥ η ∗ (T型 x个 1 ,T型 x个 2 ), x个 2 ∈T型 x个 1 和 x个 三 ∈T型 x个 2 ，那么α( x个 2 , x个 三 )≥η( x个 2 , x个 三 )等等， α ∗ (T型 x个 2 ,T型 x个 三 )≥ η ∗ (T型 x个 2 ,T型 x个 三 )然后从（4.1）中，我们得到

H（H）(T型 x个 2 ,T型 x个 三 )≤ψ ( d日 ( x个 2 , x个 三 ) ) ,

因此，从（4.5）中，我们推断

d日( x个 三 , x个 4 )< q个 2 H（H）(T型 x个 2 ,T型 x个 三 )≤ q个 2 ψ ( d日 ( x个 2 , x个 三 ) ) =ψ ( ψ ( q个 ψ ( t吨 0 ) ) ) .

通过继续这个过程，我们得到了一个序列{ x个 n个 }在里面X（X）这样的话 x个 n个 ∈T型 x个 n个 − 1 , x个 n个 ≠ x个 n个 − 1 , α ∗ ( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥ η ∗ ( x个 n个 , x个 n个 + 1 )和d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤ ψ n个 − 1 (q个ψ( t吨 0 ))为所有人n个∈N个现在，所有人米>n个，我们可以写

d日( x个 n个 , x个 米 )≤ ∑ k个 = n个 米 − 1 d日( x个 k个 , x个 k个 + 1 )≤ ∑ k个 = n个 米 − 1 ψ k个 − 1 ( q个 ψ ( t吨 0 ) ) .

因此，{ x个 n个 }是一个柯西序列。自(X（X）,d日)是一个完整的度量空间，则存在z（z）∈X（X）这样的话 x个 n个 →z（z）作为n个→∞现在，从α( x个 n个 ,z（z）)≥η( x个 n个 ,z（z）)为所有人n个∈N个，那么 α ∗ (T型 x个 n个 ,T型z（z）)≥ η ∗ (T型 x个 n个 ,T型z（z）)因此，从（4.1）可以看出

d日(z（z）,T型z（z）)≤H（H）(T型 x个 n个 ,T型z（z）)+d日( x个 n个 ,z（z）)≤ψ ( d日 ( x个 n个 , z（z） ) ) +d日( x个 n个 ,z（z）)

为所有人n个∈N个.将限额视为n个→∞在上面的不等式中，我们得到d日(z（z）,T型z（z）)=0,即,z（z）∈T型z（z）. □

如果在定理4.1中我们取η(x个,年)=1，我们有以下推论。

推论4.1 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 α ∗ -可接受的和封闭的-价值多功能 X（X）.假设

x个,年∈X（X）, α ∗ (T型x个,T型年)≥1⟹H（H）(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 α( x个 0 , x个 1 )≥1;

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.

如果在定理4.1中我们取α(x个,年)=1，那么我们得到了以下结果。

推论4.2 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 η ∗ -次可接受且已关闭-价值多功能 X（X）.假设

x个,年∈X（X）, η ∗ (T型x个,T型年)≤1⟹H（H）(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 η( x个 0 , x个 1 )≤1;

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个∈N个,我们有 η( x个 n个 ,x个)≤1 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.

推论4.3（的定理2.1和2.3[12])

让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 α ∗ -容许和封闭-价值多功能 X（X）.假设

α ∗ (T型x个,T型年)H（H）(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )
(4.6)

为所有人 x个,年∈X（X）.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 α( x个 0 , x个 1 )≥1;

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.

证明假设 α ∗ (T型x个,T型年)≥1对于x个,年∈X（X）到（4.6）时，我们已经

H（H）(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

也就是说，推论4.1的条件成立，并且T型有一个固定点。□

类似地，我们可以推导出以下推论。

推论4.4 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 α ∗ -容许和封闭-价值多功能 X（X）.假设

( α ∗ ( T型 x个 , T型 年 ) + 1 ) H（H） ( T型 x个 , T型 年 ) ≤ 2 ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )

为所有人 x个,年∈X（X）.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 α( x个 0 , x个 1 )≥1;

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.

推论4.5 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 α ∗ -容许和封闭-价值多功能 X（X）.假设

( H（H） ( T型 x个 , T型 年 ) + ℓ ) α ∗ ( T型 x个 , T型 年 ) ≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) +ℓ

为所有人 x个,年∈X（X）,哪里 ℓ>0.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 α( x个 0 , x个 1 )≥1;

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.

推论4.6 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 η ∗ -次可接受且已关闭-价值多功能 X（X）.假设

H（H）(T型x个,T型年)≤ η ∗ (T型x个,T型年)ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )

为所有人 x个,年∈X（X）.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 η( x个 0 , x个 1 )≤1;

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个∈N个,我们有 η( x个 n个 ,x个)≤1 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.

推论4.7 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 η ∗ -次可接受且已关闭-多功能开启 X（X）.假设

2 H（H） ( T型 x个 , T型 年 ) ≤ ( η ∗ ( T型 x个 , T型 年 ) + 1 ) ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )

为所有人 x个,年∈X（X）.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 η( x个 0 , x个 1 )≤1;

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个∈N个,我们有 η( x个 n个 ,x个)≤1 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.

推论4.8 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间,然后让 T型:X（X）→ 2 X（X） 成为 α ∗ -容许和封闭-价值多功能 X（X）.假设

H（H）(T型x个,T型年)+ℓ≤ ( ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) + ℓ ) η ∗ ( T型 x个 , T型 年 )

为所有人 x个,年∈X（X）,哪里 ℓ>0.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 和 x个 1 ∈T型 x个 0 这样的话 η( x个 0 , x个 1 )≤1;

  2. （ii）

    对于序列 { x个 n个 }⊂X（X） 收敛到 x个∈X（X） 和 η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个∈N个,我们有 η( x个 n个 ,x个)≤1 为所有人 n个∈N个.

然后 T型 有一个固定点.