本节的第一个主要结果是α-η-Geraghty型[4]收缩。
定理2.1 让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 α-关于的容许映射 η.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
(2.1)
假设
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
证明让这样的话.定义序列在里面X(X)通过为所有人.如果对一些人来说,那么是的固定点(f)并对结果进行了验证。因此,我们假设为所有人.自(f)是一个α-关于的容许映射η和,我们推断。通过继续此过程,我们获得为所有人.然后,
现在从(2.1)开始,我们有
现在,如果对一些人来说,那么
此外,如果对一些人来说,那么
总之,就是这样,我们有
因此,
(2.2)
为所有人,这意味着.顺序如下正在减少。因此,存在这样的话.我们将证明从(2.2)中,我们有
这意味着.关于函数的属性β,我们得出结论
(2.3)
接下来,我们将证明是一个柯西序列。相反,假设不是Cauchy序列。然后是和序列和对于所有正整数k个,我们有
通过三角不等式,我们得出
.将限制视为在上面的不等式中,关于(2.3)中的极限,我们得到
(2.4)
再次,通过三角不等式,我们发现
和
取上述不等式中的极限为,与(2.3)和(2.4)一起,我们推断
(2.5)
现在,因为
然后从(2.1)、(2.4)和(2.5)中,我们得到
因此,
出租在上面的不等式中,我们得到
那就是,,这是一个矛盾。因此是一个柯西序列。自X(X)是完整的,那么这样的话首先,我们假设(f)是连续的。自(f)是连续的,那么我们有
所以z(z)是的固定点(f)接下来,我们假设(b)成立。然后,等等,现在(2.1),我们已经
因此
出租在上面的不等式中,我们得到也就是说,. □
如果在定理2.1中我们取,,那么我们有以下推论。
推论2.1 让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
推论2.2 让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 使得对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
为所有人 ,哪里 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
推论2.3 让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
为所有人 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
推论2.4 让 是一个度量空间,使得 是完整的,并且 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
为所有人 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
此外,如果在定理2.1中我们取,那么我们有以下推论。
推论2.5 让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 η-不允许测绘.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
推论2.6 让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 η-不允许测绘.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
为所有人 ,哪里 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
推论2.7 让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 η-不允许测绘.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
为所有人 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
推论2.8 让 是一个公制空间,以便 已完成,然后让 是 η-不允许测绘.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
为所有人 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
根据推论2.1,我们可以推断出以下推论。
推论2.9 让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
此外,根据上述推论,我们可以推断出以下推论。
推论2.10(的定理4[9])
让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正雷亚尔, 意味着 和
为所有人 ,哪里 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
推论2.11(第6条定理[9])
让 是一个完备的度量空间,然后让 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
为所有人 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
推论2.12(第8个定理[9])
让 是一个公制空间,以便 已完成,然后让 成为 α-容许映射.假设存在一个函数 对于任何有界序列 正实数的, 意味着 和
为所有人 .假设其中之一
-
(a)
(f) 是连续的,或
-
(b)
如果 是中的序列 X(X) 这样的话 , 为所有人 n个,然后 .
如果存在 这样的话 ,然后 (f) 有一个固定点.
示例2.1让被赋予通常的度量标准为所有人,并让由定义
还定义和通过
我们证明推论2.9可以应用于(f),但推论2.10、2.11和2.12([9])无法应用于(f).
显然,是一个完整的度量空间。我们证明了这一点(f)是一个α-容许映射。让具有,那么另一方面,对于所有人来说,我们有。由此可见因此,该断言成立。也,现在,如果是中的序列X(X)这样的话为所有人和作为,那么,因此。这意味着为所有人.
让.然后。我们得到,
那就是,
则结论2.1的条件成立,并且(f)有一个固定点。
让,,并让,那么
也就是说,推论2.10([9])无法应用于此示例。
让,,并让,那么
也就是说,推论2.11([9])无法应用于此示例。
让,,并让,那么
即推论2.12([9])无法应用于此示例。