Strong convergence of a self-adaptive method for the split feasibility problem

Yao, Yonghong; Postolache, Mihai; Liou, Yeong-Cheng

doi:10.1186/1687-1812-2013-201

解分裂可行性问题的自适应方法的强收敛性

研究
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出版：2013年7月25日

2013年第卷，物品编号201, (2013)
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解分裂可行性问题的自适应方法的强收敛性

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摘要

允许自适应选择步长的自适应方法是解决一些重要问题的有效方法，例如变分不等式问题。本文致力于发展和改进解决分裂可行性问题的自适应方法。针对分裂可行性问题，提出了一种新的改进自适应方法。作为一种特殊情况，分裂可行性问题的最小范数解可以迭代求解。

MSC公司：47J25、47J20、49N45、65J15。

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1引言

正如我们所知，最初的分裂可行性问题（SFP）是由Censor和Elfving首先引入的[1]自1994年成立以来，备受关注。这是由于它在信号处理和图像重建方面的应用，特别是在调强放射治疗方面的进展；请看[2–6].

由于SFP是凸可行性问题（CFP）的一个特例，即在有限多个闭集和凸集的非空交点上寻找一个点，因此我们接下来简要回顾了一些与CFP相关的历史方法。CFP是一个重要的问题，因为工程和数学中的许多实际反演或估计问题都可以纳入这个框架；请参见，例如，组合框[7]博斯克和博文[8]和Kiwiel[9]. 传统上，求解CFP的迭代投影方法使用凸集上的正交投影(即，关于欧氏距离函数的最近点投影）；请参见，例如, [10–14]. Bregman提出的广义距离函数及其相关的广义投影已经做了很多工作[15].

1994年，Censor和Elfving[1]研究了在求解SFP的单个迭代过程中使用不同类型的广义投影。他们的建议是一种迭代算法，其中涉及矩阵逆的计算，这是一项众所周知的困难任务。这就是为什么拜恩[16,17]提出了所谓的CQ公司该算法通过具有适当步长的递归过程生成序列。这个CQ公司算法只涉及到对集合的投影的计算C类和问因此，在这些投影具有封闭形式表达式的情况下是可以实现的(例如,C类和问是闭合的球或半场）。关于CQ公司文献方法；例如，请参见[18–34]. 然而，我们必须指出，步长的确定取决于算子（矩阵）范数（或矩阵乘积的主要特征值）。这意味着为了实现CQ公司算法，首先必须计算（或至少估计）算子的矩阵范数，这在实践中通常不是一件容易的工作。

为了克服上述困难，开发了一种允许自适应选择步长的所谓自适应方法。注意，该方法是Goldstein投影方法的应用[35]莱维汀和波利亚克[36]一个合适的变分不等式问题，这是求解变分不等式的最简单的数值方法之一。然而，这种投影方法的效率在很大程度上取决于步长参数的选择。如果选择一个小参数以保证迭代序列的收敛，那么递归会导致收敛速度较慢。另一方面，如果选择较大的步长来提高收敛速度，则生成的序列可能不会收敛。在解决变分不等式问题的实际应用中，Lipschitz常数可能很难估计，即使底层映射是线性的，例如SFP。根据原有的Goldstein-Levitin-Polyak方法，发展了一些求解变分不等式问题的自适应方法[35,36]. 请参阅，例如, [37–45].

受自适应策略的激励，张等。[45]提出了使用可变步长代替Censor中固定步长的方法等。[46]. 此外，Zhao和Yang还介绍了一种自适应投影方法[29]通过使用类似Armijo的搜索，它被采用。这些算法的优点在于，既没有矩阵范数的先验信息A类也没有任何其他条件问和A类是必需的，并且仍然保证收敛。

本文进一步发展和改进了求解SFP的自适应方法。提出了一种改进的自适应方法来求解SFP。作为一种特殊情况，SFP的最小范数解可以迭代求解。

2框架和初步结果

让 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 是两个希尔伯特空间，让C类和问是的两个闭凸子集 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 分别是。让 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 是一个有界线性算子。拆分可行性问题（SFP）是要找到一个点 ${x个}^{*}$ 这样的话

{x个}^{*} \in C类 和 A类 {x个}^{*} \in 问 .

(1)

接下来，我们用Γ表示SFP的解集，即, $Γ = {x个 \in C类 : A类 x个 \in 问}$ .

1994年，Censor和Elfving[1]研究了在求解SFP的单个迭代过程中使用不同类型的广义投影。他们是第一个提出以下涉及逆运算的算法的人 ${A类}^{- 1}$ :

{x个}_{k个 + 1} = {A类}^{- 1} {P（P）}_{问} ({P（P）}_{A类 (C类)} (A类 {x个}_{k个})), k个 \geq 0,

哪里C类和问是封闭的，并且凸集在 $对^{n个}$ ，同时A类是一个完整的等级 $n个 \times n个$ 矩阵和 $A类 (C类) = {年 \in 对^{n个} ∣ 年 = A类 x个, x个 \in C类}$ 。请注意 ${A类}^{- 1}$ 不容易执行。因此，拜恩[16,17]提出了所谓的问题生成序列的算法 ${{x个}_{n个}}$ 通过递归过程

{x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{C类} ({x个}_{n个} - τ_{n个} {A类}^{*} (我 - {P（P）}_{问}) A类 {x个}_{n个}),

(2)

其中台阶尺寸 $τ_{n个}$ 在间隔中选择 $(0, 2 / {∥ A类 ∥}^{2})$ 值得注意的是CQ公司算法只涉及投影的计算 ${P（P）}_{C类}$ 和 ${P（P）}_{问}$ 到集合上C类和问，因此在以下情况下是可实现的 ${P（P）}_{C类}$ 和 ${P（P）}_{问}$ 具有封闭式表达式(例如,C类和问是闭合的球或半场）。然而，我们观察到，台阶尺寸的确定 $τ_{n个}$ 取决于算子（矩阵）范数 $∥ A类 ∥$ （或最大特征值 ${A类}^{*} A类$ ). 这意味着为了实际实施问题算法，必须首先计算（或至少估计）A类这在实践中通常不是一件容易的任务。

为了克服上述困难，所谓的自适应方法允许步长 $τ_{n个}$ 开发了自适应选择。如果我们设置

（f） (x个) : = \frac{1}{2} {∥ A类 x个 - {P（P）}_{问} A类 x个 ∥}^{2},

然后是凸目标（f）是可微的，并且具有由下式给出的Lipschitz梯度

\nabla （f） (x个) = {A类}^{*} (我 - {P（P）}_{问}) A类 .

因此CQ公司算法（2）可以通过最小化以下凸极小化问题得到

\underset{x个 \in C类}{最小值} （f） (x个) .

(3)

我们知道这一点 ${x个}^{*} \in C类$ 是问题（3）的驻点，如果它满足

〈 \nabla （f） ({x个}^{*}), x个 - {x个}^{*} 〉 \geq 0, \forall x个 \in C类 .

(4)

因此，我们可以使用下面的梯度投影算法来求解（SFP）

{x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{C类} ({x个}_{n个} - τ_{n个} \nabla （f） ({x个}_{n个})),

(5)

哪里 $τ_{n个}$ ，迭代时的步长n个，在间隔中选择 $(0, 2 / L（左）)$ ，其中L（左）是的Lipschitz常数（f）.

必须将上述方法（5）视为Goldstein投影方法的应用[35]莱维汀和波利亚克[36]变分不等式问题（4）是求解变分不等式的最简单的数值方法之一。然而，这种投影方法的效率在很大程度上取决于参数的选择 $τ_{n个}$ .一个小的 $τ_{n个}$ 保证了迭代序列的收敛性，但递归导致收敛速度较慢。另一方面，较大的步长将提高收敛速度，但生成的序列可能不会收敛。在解决变分不等式问题的实际应用中，Lipschitz常数可能很难估计，即使底层映射是线性的，例如SFP。

张中的方法等。[45]和审查员等。[46]提出了解决多集分裂可行性问题的方法。

算法2.1S1.给定一个非负序列 $τ_{n个}$ 这样的话 $\sum_{n个 = 0}^{\infty} τ_{n个} < \infty$ , $δ \in (0, 1)$ , $μ \in (0, 1)$ , $ρ \in (0, 1)$ , $ϵ > 0$ , $β_{0} > 0$ ，和任意初始点 ${x个}_{0}$ .设置 $γ_{0} = β_{0}$ 和 $n个 = 0$ .

S2.求最小非负整数 $我_{n个}$ 这样的话 $β_{n个 + 1} = μ^{我_{k个}} γ_{k个}$ 和

{x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{C类} ({x个}_{n个} - β_{n个 + 1} \nabla （f） ({x个}_{n个})),

这满足了

β_{n个 + 1} {∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) - \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) ∥}^{2} \leq (2 - δ) 〈 {x个}_{n个} - {x个}_{n个 + 1}, \nabla （f） ({x个}_{n个}) - \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) 〉 .

S3.如果

β_{n个 + 1} {∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) - \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) ∥}^{2} \leq ρ 〈 {x个}_{n个} - {x个}_{n个 + 1}, \nabla （f） ({x个}_{n个}) - \nabla （f） ({x个}_{n个 + 1}) 〉,

然后设置 $γ_{n个 + 1} = (1 + τ_{n个 + 1}) β_{n个 + 1}$ ; 否则，设置 $γ_{n个 + 1} = β_{n个 + 1}$ .

S4.如果 $∥ e（电子） ({x个}_{n个}, β_{n个}) ∥ \leq ϵ$ ，停止；否则，设置 $n个 : = n个 + 1$ 然后转到S2。

赵和杨介绍了以下自适应投影方法[29]通过使用类似Armijo的搜索，它被采用。

算法2.2给定常数 $β > 0$ , $σ \in (0, 1)$ 和 $γ \in (0, 1)$ .让 ${x个}_{0}$ 随心所欲。对于 $n个 = 0, 1, \dots$ , 计算

{x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{C类} ({x个}_{n个} - τ_{n个} \nabla （f） ({x个}_{n个})),

哪里 $τ_{n个} = β γ^{我_{n个}}$ 和 $我_{n个}$ 是最小的非负整数我这样的话

（f） ({P（P）}_{C类} ({x个}_{n个} - β γ^{我} \nabla （f） ({x个}_{n个}))) \leq （f） ({x个}_{n个}) - σ 〈 \nabla （f） ({x个}_{n个}), {x个}_{n个} - {P（P）}_{C类} ({x个}_{n个} - β γ^{我} \nabla （f） ({x个}_{n个})) 〉 .

算法2.1和算法2.2的优点在于，关于矩阵范数的先验信息A类也没有任何其他条件问和A类是必需的，并且仍然保证收敛。

我们将介绍我们改进的自适应方法来求解SFP。在这方面，我们需要立即引入配料。

让C类是实Hilbert空间的非空闭凸子集H（H）.A映射 $T型 : C类 \to C类$ 被称为非扩张如果

∥ T型 x个 - T型 年 ∥ \leq ∥ x个 - 年 ∥, \forall x个, 年 \in C类 .

地图 $ψ : C类 \to C类$ 据说是δ-如果存在常数，则为收缩 $δ \in [0, 1)$ 这样的话

∥ ψ (x个) - ψ (年) ∥ \leq δ ∥ x个 - 年 ∥, \forall x个, 年 \in C类 .

回忆一下（最近点或公制）投影H（H）到上面C类，表示为 ${P（P）}_{C类}$ ，分配给每个 $x个 \in H（H）$ 独特的点 ${P（P）}_{C类} (x个) \in C类$ 使用该属性

∥ x个 - {P（P）}_{C类} (x个) ∥ = inf公司 {∥ x个 - 年 ∥ : 年 \in C类} .

众所周知，度量投影 ${P（P）}_{C类}$ 属于H（H）到上面C类具有以下基本属性：

（a）
$∥ {P（P）}_{C类} (x个) - {P（P）}_{C类} (年) ∥ \leq ∥ x个 - 年 ∥$ 为所有人 $x个, 年 \in H（H）$ ;
（b）
$〈 x个 - 年, {P（P）}_{C类} (x个) - {P（P）}_{C类} (年) 〉 \geq {∥ {P（P）}_{C类} (x个) - {P（P）}_{C类} (年) ∥}^{2}$ 对于每个 $x个, 年 \in H（H）$ ;
（c）
$〈 x个 - {P（P）}_{C类} (x个), 年 - {P（P）}_{C类} (x个) 〉 \leq 0$ 为所有人 $x个 \in H（H）$ 和 $年 \in C类$ .

接下来，我们采用以下符号：

${x个}_{n个} \to x个$ 意味着 ${x个}_{n个}$ 强烈收敛于x个;
${x个}_{n个} ⇀ x个$ 意味着 ${x个}_{n个}$ 弱收敛到x个;
$ω_{w个} ({x个}_{n个}) : = {x个 : \exists {x个}_{{n个}_{j个}} ⇀ x个}$ 是弱者ω-序列的极限集 ${{x个}_{n个}}$ .

回想一下一个函数 $（f） : H（H） \to 对$ 称为凸，如果

（f） (λ x个 + (1 - λ) 年) \leq λ （f） (x个) + (1 - λ) （f） (年), \forall λ \in (0, 1), \forall x个, 年 \in H（H） .

众所周知，一个可微函数（f）是凸的当且仅当以下关系成立：

（f） (z（z）) \geq （f） (x个) + 〈 \nabla （f） (x个), z（z） - x个 〉, \forall z（z） \in H（H） .

回忆一下一个元素 $克 \in H（H）$ 据说是的次梯度 $（f） : H（H） \to 对$ 在x个如果

（f） (z（z）) \geq （f） (x个) + 〈 克, z（z） - x个 〉, \forall z（z） \in H（H） .

如果函数 $（f） : H（H） \to 对$ 在处至少有一个次梯度x个，据说在x个.的次梯度集（f）在这一点上x个称为的次微分（f）在x个，表示为 $\partial （f） (x个)$ .A函数（f）如果它是次可微分的，则称为次可微分 $x个 \in H（H）$ .如果（f）是凸的且可微的，则其梯度和次梯度重合。A函数 $（f） : H（H） \to 对$ 称为弱下半连续（w-lsc）x个如果 ${x个}_{n个} ⇀ x个$ 暗示

（f） (x个) \leq \underset{n个 \to \infty}{lim信息} （f） ({x个}_{n个}) .

（f）据说是w-lsc onH（H）如果每个点都是w-lsc $x个 \in H（H）$ .

第一个引理很容易证明。

引理2.1[14]

让 $（f） (x个) : = \frac{1}{2} {∥ A类 x个 - {P（P）}_{问} A类 x个 ∥}^{2}$ .然后

（i）
（f） 是凸的和可微的;
（ii）
（f） 是w-lsc打开 C类.

引理2.2[47]

鉴于 ${x个}^{*} \in {H（H）}_{1}$ .然后 ${x个}^{*}$ 解决了SFP协议当且仅当 ${x个}^{*}$ 求解不动点方程

{x个}^{*} = {P（P）}_{C类} ({x个}^{*} - γ {A类}^{*} (我 - {P（P）}_{问}) A类 {x个}^{*}),

哪里 $γ > 0$ .

引理2.3[48]

假设 ${一_{n个}}$ 是一个非负实数序列，使得

一_{n个 + 1} \leq (1 - γ_{n个}) 一_{n个} + δ_{n个},

哪里 ${γ_{n个}}$ 是中的序列 $(0, 1)$ 和 ${δ_{n个}}$ 是这样一个序列

(1)
$\sum_{n个 = 1}^{\infty} γ_{n个} = \infty$ ;
(2)
${酸橙酱}_{n个 \to \infty} \frac{δ_{n个}}{γ_{n个}} \leq 0$ 或 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} | δ_{n个} | < \infty$ .

然后 $林_{n个 \to \infty} 一_{n个} = 0$ .

引理2.4[49]

让 ${秒_{n个}}$ 是一个不在无穷远处减少的实数序列,在存在子序列的意义上 ${秒_{{n个}_{我}}}$ 属于 ${秒_{n个}}$ 这样的话 $秒_{{n个}_{我}} \leq 秒_{{n个}_{我} + 1}$ 为所有人 $我 \geq 0$ .对于每个 $n个 \geq {n个}_{0}$ ,定义整数序列 ${τ (n个)}$ 作为

τ (n个) = 最大值 {k个 \leq n个 : 秒_{{n个}_{我}} < 秒_{{n个}_{我} + 1}} .

然后 $τ (n个) \to \infty$ 作为 $n个 \to \infty$ 以及所有人 $n个 \geq {n个}_{0}$

最大值 {秒_{τ (n个)}, 秒_{n个}} \leq 秒_{τ (n个) + 1} .

3主要成果

在本节中，我们陈述并证明了我们的主要结果。

让C类和问是实Hilbert空间的非空闭凸子集 ${H（H）}_{1}$ 和 ${H（H）}_{2}$ 分别是。让 $ψ : C类 \to {H（H）}_{1}$ 成为δ-收缩 $δ \in [0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .让 $A类 : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ 是一个有界线性算子。

算法3.1对于给定的 ${x个}_{0} \in C类$ ，假设 ${{x个}_{n个}}$ 已建造。如果 $\nabla （f） ({x个}_{n个}) = 0$ ，然后停止并 ${x个}_{n个}$ 是SFP（1）的解决方案。否则，继续并计算 ${x个}_{n个 + 1}$ 通过递归

{x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{C类} [α_{n个} ψ ({x个}_{n个}) + (1 - α_{n个}) ({x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}))], n个 \geq 0,

(6)

哪里 ${α_{n个}} \subset (0, 1)$ 和 ${ρ_{n个}} \subset (0, 2)$ .

定理3.1 假设SFP协议是一致的,那就是, $Γ \neq \emptyset$ .假设以下条件成立:

（a）
$林_{n个 \to \infty} α_{n个} = 0$ 和 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} α_{n个} = \infty$ ;
（b）
${inf公司}_{n个} ρ_{n个} (2 - ρ_{n个}) > 0$ .

然后 ${{x个}_{n个}}$ 由定义(6)强烈收敛于 z（z）,它解决了以下变分不等式:

z（z） \in Γ 这样的话 〈 z（z） - ψ (z（z）), z（z） - x个 〉 \leq 0 为所有人 x个 \in Γ .

(7)

证明首先，很明显，变分不等式（7）的解是唯一的（由于 $我 - ψ$ 根据变分不等式中的相关结果），表示为z（z）.然后 $z（z） = {P（P）}_{Γ} (ψ (z（z）))$ 。我们可以假设 ${{x个}_{n个}}$ 是无限的，即算法3.1不会在有限次数的迭代中终止。因此， $\nabla （f） ({x个}_{n个}) \neq 0$ 为所有人n个。从（6）开始，我们有

\begin{array}{rcl} {∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥}^{2} & = & {∥ {P（P）}_{C类} [α_{n个} ψ ({x个}_{n个}) + (1 - α_{n个}) ({x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}))] - z（z） ∥}^{2} \\ \leq & {∥ α_{n个} (ψ ({x个}_{n个}) - z（z）) + (1 - α_{n个}) ({x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z）) ∥}^{2} \\ \leq & α_{n个} {∥ ψ ({x个}_{n个}) - z（z） ∥}^{2} + (1 - α_{n个}) {∥ {x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z） ∥}^{2} \\ \leq & (1 - α_{n个}) [{∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} + \frac{ρ_{n个}^{2} {（f）}^{2} ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} - \frac{2 ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} 〈 \nabla （f） ({x个}_{n个}), {x个}_{n个} - z（z） 〉] \\ + α_{n个} {(∥ ψ ({x个}_{n个}) - ψ (z（z）) ∥ + ∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥)}^{2} . \end{array}

(8)

通过凸性（f）（引理2.1）和事实 $\nabla （f） (z（z）) = 0$ 对于 $z（z） \in Γ$ ，我们推断

（f） ({x个}_{n个}) = （f） ({x个}_{n个}) - （f） (z（z）) \leq 〈 \nabla （f） ({x个}_{n个}), {x个}_{n个} - z（z） 〉 .

(9)

使用不等式 ${(一 + b条)}^{2} \leq 2 (一^{2} + {b条}^{2})$ 为所有人 $一, b条 \in 对$ ，我们有

\begin{array}{rcl} {(∥ ψ ({x个}_{n个}) - ψ (z（z）) ∥ + ∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥)}^{2} & \leq & 2 {∥ ψ ({x个}_{n个}) - ψ (z（z）) ∥}^{2} + 2 {∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥}^{2} \\ \leq & 2 δ^{2} {∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} + 2 {∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥}^{2} . \end{array}

(10)

从（8）到（10），我们得到

\begin{array}{rcl} {∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥}^{2} & \leq & (1 - α_{n个}) [{∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} - ρ_{n个} (2 - ρ_{n个}) \frac{{（f）}^{2} ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}}] \\ + 2 δ^{2} α_{n个} {∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} + 2 α_{n个} {∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥}^{2} \\ \leq & [1 - (1 - 2 δ^{2}) α_{n个}] {∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} + (1 - 2 δ^{2}) α_{n个} \frac{2 {∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥}^{2}}{1 - 2 δ^{2}} \\ \leq & 最大值 {{∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2}, \frac{2 {∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥}^{2}}{1 - 2 δ^{2}}} . \end{array}

通过归纳，我们推断

{∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥}^{2} \leq 最大值 {{∥ {x个}_{0} - z（z） ∥}^{2}, \frac{2 {∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥}^{2}}{1 - 2 δ^{2}}} .

因此， ${{x个}_{n个}}$ 有界。

通过使用的坚定非扩张性 ${P（P）}_{C类}$ ，我们得出

\begin{array}{rcl} {∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥}^{2} & = & {∥ {P（P）}_{C类} [α_{n个} ψ ({x个}_{n个}) + (1 - α_{n个}) ({x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}))] - {P（P）}_{C类} z（z） ∥}^{2} \\ \leq & α_{n个} 〈 ψ ({x个}_{n个}) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 + (1 - α_{n个}) 〈 {x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ = & α_{n个} 〈 ψ ({x个}_{n个}) - ψ (z（z）), {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 + α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ + (1 - α_{n个}) 〈 {x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ \leq & α_{n个} δ ∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥ ∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥ + α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ + (1 - α_{n个}) ∥ {x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z） ∥ ∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥ \\ = & (α_{n个} δ ∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥ + (1 - α_{n个}) ∥ {x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z） ∥) ∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥ \\ + α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ \leq & \frac{1}{2} {(α_{n个} δ ∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥ + (1 - α_{n个}) ∥ {x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z） ∥)}^{2} \\ + \frac{1}{2} {∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥}^{2} + α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 . \end{array}

由此可见

\begin{array}{rcl} {∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥}^{2} & \leq & {(α_{n个} δ ∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥ + (1 - α_{n个}) ∥ {x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z） ∥)}^{2} \\ + 2 α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ \leq & α_{n个} δ^{2} {∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} + (1 - α_{n个}) {∥ {x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}) - z（z） ∥}^{2} \\ + 2 α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ \leq & α_{n个} δ^{2} {∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} + (1 - α_{n个}) [{∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} - ρ_{n个} (2 - ρ_{n个}) \frac{{（f）}^{2} ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}}] \\ + 2 α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ = & [1 - (1 - δ^{2}) α_{n个}] {∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2} + 2 α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 \\ - (1 - α_{n个}) ρ_{n个} (2 - ρ_{n个}) \frac{{（f）}^{2} ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} . \end{array}

(11)

接下来，我们将证明这一点 ${x个}_{n个} \to z（z）$ 遵循中的想法[49]. 设置 $秒_{n个} = {∥ {x个}_{n个} - z（z） ∥}^{2}$ 为所有人 $n个 \geq 0$ .自 $α_{n个} \to 0$ 和 ${inf公司}_{n个} ρ_{n个} (2 - ρ_{n个}) > 0$ ，在不失一般性的情况下，我们可以假设 $(1 - α_{n个}) ρ_{n个} (2 - ρ_{n个}) \geq σ$ 对一些人来说 $σ > 0$ 因此，我们可以将（11）重写为

秒_{n个 + 1} - 秒_{n个} + (1 - δ^{2}) α_{n个} 秒_{n个} + \frac{σ {（f）}^{2} ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \leq 2 α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 .

(12)

现在，我们考虑两种可能的情况。

案例1。假设 ${秒_{n个}}$ 最终会减少，即，存在 $N个 > 0$ 这样的话 ${秒_{n个}}$ 正在减少 $n个 \geq N个$ 在这种情况下， ${秒_{n个}}$ 必须收敛，从（12）可以看出

\begin{array}{rcl} 0 \leq \frac{σ {（f）}^{2} ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} & \leq & 秒_{n个} - 秒_{n个 + 1} - (1 - δ^{2}) α_{n个} 秒_{n个} + 2 α_{n个} ∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥ ∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥ \\ \leq & 秒_{n个} - 秒_{n个 + 1} + M（M） α_{n个}, \end{array}

(13)

哪里 $M（M） > 0$ 是一个常数，因此 ${啜饮}_{n个} {2 ∥ ψ (z（z）) - z（z） ∥ ∥ {x个}_{n个 + 1} - z（z） ∥} \leq M（M）$ .出租 $n个 \to \infty$ 在（13）中，我们得到

\underset{n个 \to \infty}{林} （f） ({x个}_{n个}) = 0 .

自 ${{x个}_{n个}}$ 有界，则存在子序列 ${{x个}_{{n个}_{k个}}}$ 属于 ${{x个}_{n个}}$ 弱收敛到 $\tilde{x个} \in C类$ .

从弱下半连续性（f），我们有

0 \leq （f） (\tilde{x个}) \leq \underset{k个 \to \infty}{lim信息} （f） ({x个}_{{n个}_{k个}}) = \underset{n个 \to \infty}{林} （f） ({x个}_{n个}) = 0 .

因此， $（f） (\tilde{x个}) = 0$ ,即, $A类 \tilde{x个} \in 问$ 。这表明

ω_{w个} ({x个}_{n个}) \subset Γ .

此外，由于投影（c）的性质，

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 = \underset{ω \in ω_{w个} ({x个}_{n个})}{最大值} 〈 ψ (z（z）) - {P（P）}_{Γ} (ψ (z（z）)), ω - {P（P）}_{Γ} (ψ (z（z）)) 〉 \leq 0 .

从（12）中，我们得到

秒_{n个 + 1} \leq [1 - (1 - δ^{2}) α_{n个}] 秒_{n个} + 2 α_{n个} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{n个 + 1} - z（z） 〉 .

(14)

将引理2.3应用于（14），我们得到 $秒_{n个} \to 0$ .

案例2。假设 ${秒_{n个}}$ 最终不会减少。也就是说，存在一个整数 ${n个}_{0}$ 这样的话 $秒_{{n个}_{0}} \leq 秒_{{n个}_{0} + 1}$ 因此，我们可以定义一个整数序列 ${τ_{n个}}$ 为所有人 $n个 \geq {n个}_{0}$ 如下：

τ (n个) = 最大值 {k个 \in N个 ∣ {n个}_{0} \leq k个 \leq n个, 秒_{k个} \leq 秒_{k个 + 1}} .

显然， $τ (n个)$ 是一个非递减序列 $τ (n个) \to + \infty$ 作为 $n个 \to \infty$ 和

秒_{τ (n个)} \leq 秒_{τ (n个) + 1}

为所有人 $n个 \geq {n个}_{0}$ 在这种情况下，我们从（13）中得出

\frac{σ {（f）}^{2} ({x个}_{τ (n个)})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{τ (n个)}) ∥}^{2}} \leq M（M） α_{τ (n个)} \to 0 .

由此可见

\underset{n个 \to \infty}{林} （f） ({x个}_{τ (n个)}) = 0 .

这意味着 ${{x个}_{τ (n个)}}$ 在解集Γ中；即, $ω_{w个} ({x个}_{τ (n个)}) \subset Γ$ .

另一方面，我们注意到

∥ {x个}_{τ (n个) + 1} - {x个}_{τ (n个)} ∥ \leq α_{τ (n个)} ∥ ψ ({x个}_{τ (n个)}) - {x个}_{τ (n个)} ∥ + (1 - α_{τ (n个)}) \frac{ρ_{τ (n个)} （f） ({x个}_{τ (n个)})}{∥ \nabla （f） ({x个}_{τ (n个)}) ∥} \to 0,

从中我们可以推断出

\begin{array}{rcl} \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{τ (n个) + 1} - z（z） 〉 & = & \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{τ (n个)} - z（z） 〉 \\ = & \underset{ω \in ω_{w个} ({x个}_{τ (n个)})}{最大值} 〈 ψ (z（z）) - {P（P）}_{Γ} (ψ (z（z）)), ω - {P（P）}_{Γ} (ψ (z（z）)) 〉 \\ \leq & 0 . \end{array}

(15)

自 $秒_{τ (n个)} \leq 秒_{τ (n个) + 1}$ ，我们从（12）开始

秒_{τ (n个)} \leq \frac{2}{1 - δ^{2}} 〈 ψ (z（z）) - z（z）, {x个}_{τ (n个) + 1} - z（z） 〉 .

(16)

将（15）和（16）组合得出

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 秒_{τ (n个)} \leq 0,

因此

\underset{n个 \to \infty}{林} 秒_{τ (n个)} = 0 .

从（14）开始，我们有

\underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 秒_{τ (n个) + 1} \leq \underset{n个 \to \infty}{酸橙酱} 秒_{τ (n个)} .

因此，

\underset{n个 \to \infty}{林} 秒_{τ (n个) + 1} = 0 .

根据引理2.4，我们有

0 \leq 秒_{n个} \leq 最大值 {秒_{τ (n个)}, 秒_{τ (n个) + 1}} .

因此， $秒_{n个} \to 0$ 也就是说， ${x个}_{n个} \to z（z）$ 。这就完成了证明。□

从定理3.1，我们可以很容易地推导出以下算法和推论。

算法3.2对于给定的 ${x个}_{0} \in C类$ ，假设 ${{x个}_{n个}}$ 已建造。如果 $\nabla （f） ({x个}_{n个}) = 0$ ，然后停止并 ${x个}_{n个}$ 是SFP（1）的解决方案。否则，继续并计算 ${x个}_{n个 + 1}$ 通过递归

{x个}_{n个 + 1} = {P（P）}_{C类} [(1 - α_{n个}) ({x个}_{n个} - \frac{ρ_{n个} （f） ({x个}_{n个})}{{∥ \nabla （f） ({x个}_{n个}) ∥}^{2}} \nabla （f） ({x个}_{n个}))], n个 \geq 0,

(17)

哪里 ${α_{n个}} \subset (0, 1)$ 和 ${ρ_{n个}} \subset (0, 2)$ .

定理3.2 假设SFP协议是一致的,那就是, $Γ \neq \emptyset$ .假设以下条件成立:

（a）
$林_{n个 \to \infty} α_{n个} = 0$ 和 $\sum_{n个 = 1}^{\infty} α_{n个} = \infty$ ;
（b）
${inf公司}_{n个} ρ_{n个} (2 - ρ_{n个}) > 0$ .

然后 ${{x个}_{n个}}$ 由定义(17)强收敛于的最小范数解SFP。

4结束语

这项工作包含了我们致力于开发和改进解决分裂可行性问题的自适应方法的研究。我们引入了改进的自适应方法来解决分割可行性问题。作为一种特殊情况，分裂可行性问题的最小范数解可以迭代求解。本研究的动机是解决许多实际问题的相关应用，这些问题在变分不等式问题领域中产生了数学模型。

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致谢

第一作者部分获得了科学基金会11071279和科学基金会71161001-G0105的支持。第三位作者得到了NSC 101-2628-E-230-001-MY3的部分支持。

作者信息

作者和附属机构

天津理工大学数学系，天津，300387
姚永红
罗马尼亚布加勒斯特Splaiul Independeei 313号布加勒st“政治”大学应用科学学院，邮编：060042
弥海驿站
台湾高雄，833，成师大信息管理系
Yeong-Cheng Liou先生

作者

姚永红
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通讯作者

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作者的贡献

作者一起完成了论文。所有作者阅读并批准了最终手稿。

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Yao，Y.、Postolache，M.和Liou，YC。分裂可行性问题的自适应方法的强收敛性。不动点理论应用 2013, 201 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-2013

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收到:2013年5月21日
认可的:2013年7月10日
出版:2013年7月25日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-2013

解分裂可行性问题的自适应方法的强收敛性

摘要

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3主要成果

4结束语

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