1简介和前言

度量不动点理论在泛函分析中有许多应用。底层函数上的压缩条件对于寻找度量不动点问题的解起着重要作用。巴拿赫收缩原理是度量不动点理论中的一个显著结果。多年来，数学家将其推广到了不同的方向（参见[1–25]). 2012年，萨米特等。[24]介绍了α-ψ-收缩的和α-可容许映射，并建立了完备度量空间中此类映射的各种不动点定理。之后是卡拉皮纳尔和萨米特[19]推广这些概念以获得不动点结果。本文的目的是进一步修改α-ψ-收缩的和α-完备度量空间中的可容许映射及其不动点定理。我们的结果是对[19,24]. 此外，还给出了一些积分方程的例子和应用，以说明所得结果的可用性。

用Ψ表示非递减函数族ψ:[0,+∞)→[0,+∞)这样的话 ∑ n个 = 1 ∞ ψ n个 (t吨)<+∞对所有人来说t吨>0，其中 ψ n个 是n个第个迭代ψ.

下面的引理很明显。

引理1.1 如果 ψ∈Ψ,然后 ψ(t吨)<t吨 为所有人 t吨>0.

定义1.1[24]

让T型是度量空间上的自映射(X（X）,d日)然后让α:X（X）×X（X）→[0,+∞)是一个函数。我们这么说T型是一个α-容许映射如果

x个,年∈X（X）,α(x个,年)≥1⟹α(T型x个,T型年)≥1.

定义1.2[24]

让T型度量空间上的自映射(X（X）,d日)我们这么说T型是一个α-ψ-存在两个函数时的压缩映射α:X（X）×X（X）→[0,+∞)和ψ∈Ψ这样的话

α(x个,年)d日(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )

为所有人x个,年∈X（X）.

对于以下示例α-可接受和α-ψ-压缩映射，请参见[19,24]以及下一节中的示例。

2主要成果

我们首先修改了α-容许映射。

定义2.1让T型度量空间上的自映射(X（X）,d日)然后让α,η:X（X）×X（X）→[0,+∞)是两个函数。我们这么说T型是一个α-关于的容许映射η如果

x个,年∈X（X）,α(x个,年)≥η(x个,年)⟹α(T型x个,T型年)≥η(T型x个,T型年).

请注意，如果我们η(x个,年)=1则该定义可简化为定义1.1。此外，如果我们采取α(x个,年)=1然后我们说T型是一个η-亚容许映射。

我们的第一个结果如下。

定理2.1 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-关于的容许映射 η.假设

x个,年∈X（X）,α(x个,年)≥η(x个,年)⟹d日(T型x个,T型年)≤ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) ,
(2.1)

哪里 ψ∈Ψ 和

M（M）(x个,年)=最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , d日 ( x个 , T型 x个 ) + d日 ( 年 , T型 年 ) 2 , d日 ( x个 , T型 年 ) + d日 ( 年 , T型 x个 ) 2 } .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥η( x个 0 ,T型 x个 0 );

  2. （ii）

    任何一个 T型 是连续的或对于任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥η( x个 n个 ,x个) 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

证明让 x个 0 ∈X（X）是这样的α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥η( x个 0 ,T型 x个 0 ).定义序列{ x个 n个 }在里面X（X）通过 x个 n个 = T型 n个 x个 0 =T型 x个 n个 − 1 为所有人n个∈N个.如果 x个 n个 + 1 = x个 n个 对一些人来说n个∈N个，那么x个= x个 n个 是的固定点T型并对结果进行了验证。因此，我们假设 x个 n个 + 1 ≠ x个 n个 对所有人来说n个∈N个.自T型是广义的α-关于的容许映射η和α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥η( x个 0 ,T型 x个 0 )，我们推断α( x个 1 , x个 2 )=α(T型 x个 0 , T型 2 x个 0 )≥η(T型 x个 0 , T型 2 x个 0 )=η( x个 1 , x个 2 )。继续这个过程，我们得到α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )为所有人n个∈N个∪{0}。现在，通过（2.1）x个= x个 n个 − 1 ,年= x个 n个 ，我们得到

d日(T型 x个 n个 − 1 ,T型 x个 n个 )≤ψ ( M（M） ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) .

另一方面，

M（M） ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) = 最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 − 1 , T型 x个 n个 − 1 ) + d日 ( x个 n个 , T型 x个 n个 ) 2 , d日 ( x个 n个 − 1 , T型 x个 n个 ) + d日 ( x个 n个 , T型 x个 n个 − 1 ) 2 } = 最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) + d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) 2 , d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 + 1 ) 2 } ≤ 最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) + d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) 2 } ≤ 最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } ,

这意味着

d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤ψ ( 最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } ) .

现在，如果最大值{d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 ),d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )}=d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )对一些人来说n个∈N个，那么

d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤ψ ( 最大值 { d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) } ) =ψ ( d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ) <d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 ),

这是一个矛盾。因此，对于所有人来说n个∈N个，我们有

d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤ψ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) .

通过归纳，我们有

d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤ ψ n个 ( d日 ( x个 0 , x个 1 ) ) .

修复ϵ>0，存在N个∈N个这样的话

∑ n个 ≥ N个 ψ n个 ( d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ) <ϵ为所有人n个∈N个.

让米,n个∈N个具有米>n个≥N个然后，通过三角不等式，我们得到

d日( x个 n个 , x个 米 )≤ ∑ k个 = n个 米 − 1 d日( x个 k个 , x个 k个 + 1 )≤ ∑ n个 ≥ N个 ψ n个 ( d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ) <ϵ.

因此， 林 米 , n个 , → + ∞ d日( x个 n个 , x个 米 )=0.因此{ x个 n个 }是一个柯西序列。自X（X）是完整的，有z（z）∈X（X）这样的话 x个 n个 →z（z）作为n个→∞现在，如果我们假设T型是连续的，那么我们有

T型z（z）= 林 n个 → ∞ T型 x个 n个 = 林 n个 → ∞ x个 n个 + 1 =z（z）.

所以，z（z）是的固定点T型另一方面，因为

α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )

为所有人n个∈N个∪{0}和 x个 n个 →z（z）作为n个→∞，我们得到

α( x个 n个 ,z（z）)≥η( x个 n个 ,z（z）)

为所有人n个∈N个∪{0}然后从（2.1）我们得到

d日( x个 n个 + 1 ,T型z（z）)≤ψ ( M（M） ( x个 n个 , z（z） ) ) ,

哪里

M（M）( x个 n个 ,z（z）)=最大值 { d日 ( x个 n个 , z（z） ) , d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) + d日 ( z（z） , T型 z（z） ) 2 , d日 ( x个 n个 , T型 z（z） ) + d日 ( z（z） , x个 n个 + 1 ) 2 } .

自M（M）( x个 n个 ,z（z）)>0，那么

d日( x个 n个 + 1 ,T型z（z）)≤ψ ( M（M） ( x个 n个 , z（z） ) ) <M（M）( x个 n个 ,z（z）).

通过将限制作为n个→∞在上述不等式中，我们有

d日(z（z）,T型z（z）)= 林 n个 → ∞ d日( x个 n个 + 1 ,T型z（z）)≤ 林 n个 → ∞ M（M）( x个 n个 ,z（z）)= d日 ( z（z） , T型 z（z） ) 2 ,

这意味着d日(z（z）,T型z（z）)=0,即,z（z）=T型z（z）. □

通过采取η(x个,年)=1在定理2.1中，我们得到了以下结果。

推论2.1 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-容许映射.假设 ψ∈Ψ,

x个,年∈X（X）,α(x个,年)≥1⟹d日(T型x个,T型年)≤ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

通过采取α(x个,年)=1在定理2.1中，我们有以下推论。

推论2.2 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 η-不允许测绘.假设 ψ∈Ψ,

x个,年∈X（X）,η(x个,年)≤1⟹d日(T型x个,T型年)≤ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 η( x个 0 ,T型 x个 0 )≤1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 η( x个 n个 ,x个)≤1 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

显然，推论2.1暗示了以下结果。

推论2.3（的定理2.1和定理2.2[24])

让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-容许映射.假设 ψ∈Ψ,

α(x个,年)d日(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )

为所有人保留 x个,年∈X（X）.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

推论2.4（的定理2.3和定理2.4[19])

让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-容许映射.假设 ψ∈Ψ,

α(x个,年)d日(T型x个,T型年)≤ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) ∀x个,年∈X（X）,

哪里

M（M）(x个,年)=最大值 { d日 ( x个 , 年 ) , d日 ( x个 , T型 x个 ) + d日 ( 年 , T型 年 ) 2 , d日 ( x个 , T型 年 ) + d日 ( 年 , T型 x个 ) 2 } .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

示例2.1让X（X）=[0,∞)被赋予通常的度量标准d日(x个,年)=|x个−年|为所有人x个,年∈X（X）然后让T型:X（X）→X（X）由定义

T型x个={ x个 2 ( x个 + 1 ) 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , 自然对数 x个 + | 罪 x个 | 如果 x个 ∈ ( 1 , ∞ ) .

还定义α:X（X）×X（X）→[0,+∞)和ψ:[0,∞)→[0,∞)通过

α(x个,年)={ 4 如果 x个 , 年 ∈ [ 0 , 1 ] , 0 否则 和ψ(t吨)= 1 2 t吨.

我们证明结论2.1可以应用于T型.但的定理2.2[24]和的定理2.4[19]无法应用于T型.

显然，(X（X）,d日)是一个完整的度量空间。我们展示了这一点T型是一个α-容许映射。让x个,年∈X（X），如果α(x个,年)≥1，那么x个,年∈[0,1]另一方面，对于所有人来说x个∈[0,1]我们有T型x个≤1。由此可见α(T型x个,T型年)≥1因此，该断言成立。基于上述论点，α(0,T型0)≥1.

现在，如果{ x个 n个 }是中的序列X（X）这样的话α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1对所有人来说n个∈N个∪{0}和 x个 n个 →x个作为n个→+∞，那么{ x个 n个 }⊂[0,1]因此x个∈[0,1]。这意味着α( x个 n个 ,x个)≥1为所有人n个∈N个.

让α(x个,年)≥1.然后x个,年∈[0,1].我们得到

d日 ( T型 x个 , T型 年 ) = T型 年 − T型 x个 = 年 2 ( 年 + 1 ) − x个 2 ( x个 + 1 ) = 年 − x个 2 ( 1 + x个 ) ( 1 + 年 ) ≤ 年 − x个 2 = 1 2 d日 ( x个 , 年 ) ≤ 1 2 M（M） ( x个 , 年 ) = ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) .

那就是，

α(x个,年)≥1⟹d日(T型x个,T型年)≤ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) .

结论2.1的所有条件均成立。因此，T型有一个固定点。让x个=0和年=1，那么

α(0,1)d日(T型0,T型1)=1>1/2=ψ ( d日 ( 0 , 1 ) ) .

也就是说[24]无法应用于T型.

此外，通过类似的方法，我们可以证明[19]无法应用于T型.

通过下面的简单示例，我们表明我们的结果改进了Samet的结果等。[24]卡拉皮纳尔和萨米特的结果[19].

例2.2让X（X）=[0,∞)被赋予通常的度量标准d日(x个,年)=|x个−年|为所有人x个,年∈X（X）然后让T型:X（X）→X（X）由定义T型x个= 1 4 x个此外，定义α: X（X） 2 →[0,∞)通过α(x个,年)=三和ψ:[0,∞)→[0,∞)通过ψ(t吨)= 1 2 t吨.

显然，T型是一个α-容许映射。也，α(x个,年)=三≥1为所有人x个,年∈X（X）因此，

d日(T型x个,T型年)= 1 4 |x个−年|≤ 1 2 |x个−年|=ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) ≤ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) .

那么推论2.1的条件成立，并且T型有一个固定点。但如果我们选择x个=4和年=8，那么

α(4,8)d日(T型4,T型8)=三>2=ψ ( d日 ( 4 , 8 ) ) .

也就是说[24]无法应用于T型类似地，我们可以证明[19]无法应用于T型进一步注意，巴拿赫收缩原理适用于本例。

示例2.3让X（X）=[0,∞)被赋予通常的度量d日(x个,年)=|x个−年|为所有人x个,年∈X（X）然后让T型:X（X）→X（X）由定义

T型x个={ 1 4 x个 2 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , 2 x个 三 + 1 如果 x个 ∈ ( 1 , ∞ ) .

还定义α,η:X（X）×X（X）→[0,+∞)和ψ:[0,∞)→[0,∞)通过

η(x个,年)={ 1 如果 x个 , 年 ∈ [ 0 , 1 ] , 4 否则 和ψ(t吨)= 1 2 t吨.

我们证明，推论2.2可以应用于T型但巴拿赫收缩原理不能应用于T型.

显然，(X（X）,d日)是一个完整的度量空间。我们证明了这一点T型是一个η-亚容许映射。让x个,年∈X（X），如果η(x个,年)≤1，那么x个,年∈[0,1]另一方面，对于所有人来说x个∈[0,1]，我们有T型x个≤1。由此可见η(T型x个,T型年)≤1此外，η(0,T型0)≤1.

现在，如果{ x个 n个 }是中的序列X（X）这样的话η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1为所有人n个∈N个∪{0}和 x个 n个 →x个作为n个→+∞，那么{ x个 n个 }⊂[0,1]因此x个∈[0,1]。这意味着η( x个 n个 ,x个)≤1为所有人n个∈N个.

让η(x个,年)≤1.然后x个,年∈[0,1].我们得到

d日(T型x个,T型年)= 1 4 |x个−年||x个+年|≤ 1 2 |x个−年|≤ 1 2 M（M）(x个,年)=ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) .

那就是，

η(x个,年)≤1⟹d日(T型x个,T型年)≤ψ ( M（M） ( x个 , 年 ) ) .

那么，推论2.2的条件成立。因此，T型有一个固定点。让x个=2,年=三和第页∈[0,1).然后

d日(T型2,T型三)=38>1>第页=第页d日(2,三).

也就是说，巴拿赫收缩原理不能应用于T型.

从我们的结果中，我们可以推断出以下推论。

推论2.5 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-容许映射.假设

( α ( x个 , 年 ) + ℓ ) d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ≤ ( 1 + ℓ ) ψ ( d日 ( x个 , 年 ) )
(2.2)

为所有人保留 x个,年∈X（X）,哪里 ψ∈Ψ 和 ℓ>0.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

证明让α(x个,年)≥1到（2.2）时，我们已经

( 1 + ℓ ) d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ≤ ( α ( x个 , 年 ) + ℓ ) d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ≤ ( 1 + ℓ ) ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

然后d日(T型x个,T型年)≤ψ(d日(x个,年))因此，推论2.1的条件适用于（f）有一个固定点。□

同样，我们有以下推论。

推论2.6 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-容许映射.假设

( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) + ℓ ) α ( x个 , 年 ) ≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) +ℓ
(2.3)

坚持到底 x个,年∈X（X）,哪里 ψ∈Ψ 和 ℓ>0.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 对所有人来说 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α( x个 n个 ,x个)≥1 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

注意Dutta和Choudhury的主要定理[9]保持为true，如果ϕ是下半连续的，而不是连续的（参见，例如, [1,8]).

我们假设

Ψ 1 = { ψ : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) 这样的话 ψ 非递减且连续 }

和

Φ= { φ : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) 这样的话 φ 是下半连续的 } ,

哪里ψ(t吨)=φ(t吨)=0当且仅当t吨=0.

定理2.2 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-关于的容许映射 η.假设 ψ∈ Ψ 1 和 φ∈Φ,

x个 , 年 ∈ X（X） , α ( x个 , T型 x个 ) α ( 年 , T型 年 ) ≥ η ( x个 , T型 x个 ) η ( 年 , T型 年 ) ⟹ ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤ ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) − φ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .
(2.4)

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥η( x个 0 ,T型 x个 0 );

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α(x个,T型x个)≥η(x个,T型x个) 为所有人 n个∈N个∪{0}.

然后 T型 有一个固定点.

证明让 x个 0 ∈X（X）这样的话α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥η( x个 0 ,T型 x个 0 ).定义序列{ x个 n个 }在里面X（X）通过 x个 n个 = T型 n个 x个 0 =T型 x个 n个 − 1 为所有人n个∈N个.如果 x个 n个 + 1 = x个 n个 对一些人来说n个∈N个，那么x个= x个 n个 是的固定点T型并对结果进行了验证。我们认为 x个 n个 + 1 ≠ x个 n个 对所有人来说n个∈N个.自T型是一个α-关于的容许映射η和α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥η( x个 0 ,T型 x个 0 )，我们推断α( x个 1 , x个 2 )=α(T型 x个 0 , T型 2 x个 0 )≥η(T型 x个 0 , T型 2 x个 0 )=η( x个 1 , x个 2 )。通过继续此过程，我们获得α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )为所有人n个∈N个∪{0}显然，

α( x个 n个 − 1 ,T型 x个 n个 − 1 )α( x个 n个 ,T型 x个 n个 )≥η( x个 n个 − 1 ,T型 x个 n个 − 1 )η( x个 n个 ,T型 x个 n个 ).

现在，通过（2.4）x个= x个 n个 − 1 ,年= x个 n个 ，我们有

ψ ( d日 ( T型 x个 n个 − 1 , T型 x个 n个 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) −φ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) ,

这意味着

ψ ( d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) −φ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) .
(2.5)

自ψ正在增加，我们得到

d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 )

为所有人n个∈N个也就是说，{ d日 n个 :=d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )}是正实数的非递增序列。然后就有了第页≥0这样的话 林 n个 → ∞ d日 n个 =第页.我们将证明这一点第页=0.通过将极限下确界取为n个→∞在（2.5）中，我们有

ψ(第页)≤ψ(第页)−φ(第页).

因此ϕ(第页)=0也就是说，第页=0.然后

林 n个 → ∞ d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )=0.
(2.6)

相反，假设{ x个 n个 }不是Cauchy序列。然后是ε>0和序列{米(k个)}和{n个(k个)}对于所有正整数k个,

n个(k个)>米(k个)>k个,d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )≥ε和d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) − 1 )<ε.

现在，为了所有人k个∈N个，我们有

ε ≤ d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ≤ d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) − 1 ) + d日 ( x个 米 ( k个 ) − 1 , x个 米 ( k个 ) ) < ε + d日 ( x个 米 ( k个 ) − 1 , x个 米 ( k个 ) ) .

将限额视为k个→+∞在上面的不等式和使用（2.6）中，我们得到

林 k个 → + ∞ d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )=ε.
(2.7)

自

d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )≤d日( x个 米 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) + 1 )+d日( x个 米 ( k个 ) + 1 , x个 n个 ( k个 ) + 1 )+d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 n个 ( k个 ) )

和

d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 )≤d日( x个 米 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) + 1 )+d日( x个 米 ( k个 ) , x个 n个 ( k个 ) )+d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 n个 ( k个 ) ),

然后将该限制作为k个→+∞在上述不等式中，通过使用（2.6）和（2.7），我们得出

林 k个 → + ∞ d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 )=ε.
(2.8)

另一方面，

α( x个 n个 ( k个 ) ,T型 x个 n个 ( k个 ) )α( x个 米 ( k个 ) ,T型 x个 米 ( k个 ) )≥η( x个 n个 ( k个 ) ,T型 x个 n个 ( k个 ) )η( x个 米 ( k个 ) ,T型 x个 米 ( k个 ) ).

然后，通过（2.4）x个= x个 n个 ( k个 ) 和年= x个 米 ( k个 ) ，我们得到

ψ ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ) −φ ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ) .

通过将限制作为k个→∞在上述不等式中，应用（2.7）和（2.8），我们得到

ψ(ε)≤ψ(ε)−φ(ε).

那就是，ε=0，这是一个矛盾。因此{ x个 n个 }是一个柯西序列。自X（X）是完整的，那么z（z）∈X（X）这样的话 x个 n个 →z（z）首先我们假设T型是连续的。然后我们推断

T型z（z）= 林 n个 → ∞ T型 x个 n个 = 林 n个 → ∞ x个 n个 + 1 =z（z）.

所以，z（z）是的固定点T型另一方面，因为

α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )

为所有人n个∈N个∪0和 x个 n个 →z（z）作为n个→∞，所以

α(z（z）,T型z（z）)≥η(z（z）,T型z（z）),

这意味着

α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )α(z（z）,T型z（z）)≥η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )η(z（z）,T型z（z）).

现在，通过（2.4），我们得到

ψ ( d日 ( x个 n个 + 1 , T型 z（z） ) ) =ψ ( d日 ( T型 x个 n个 , T型 z（z） ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 n个 , z（z） ) ) −φ ( d日 ( x个 n个 , z（z） ) ) .

通过限制inf asn个→∞在上述不等式中，我们有

ψ ( d日 ( z（z） , T型 z（z） ) ) = 林 n个 → ∞ ψ ( d日 ( x个 n个 + 1 , T型 z（z） ) ) =0.

那就是，z（z）=T型z（z）. □

通过采取η(x个,年)=1在定理2.2中，我们推导出以下推论。

推论2.7 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-容许映射.假设 ψ∈ Ψ 1 和 φ∈Φ,

x个,年∈X（X）,α(x个,T型x个)α(年,T型年)≥1⟹ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) −φ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 ,T型 x个 0 )≥1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α(x个,T型x个)≥1.

然后 T型 有一个固定点.

通过采取α(x个,年)=1在定理2.2中，我们推导出以下推论。

推论2.8 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 η-不允许测绘.假设 ψ∈ Ψ 1 和 φ∈Φ,

x个,年∈X（X）,η(x个,T型x个)η(年,T型年)≤1⟹ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) −φ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 η( x个 0 ,T型 x个 0 )≤1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 是连续的或对于任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 η( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 η(x个,T型x个)≤1.

然后 T型 有一个固定点.

例2.4让X（X）=[0,∞)被赋予通常的度量标准

d日(x个,年)={ 最大值 { x个 , 年 } 如果 x个 ≠ 年 , 0 如果 x个 = 年

为所有人x个,年∈X（X），并让T型:X（X）→X（X）由定义

T型x个={ x个 − x个 2 2 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , 2 x个 如果 x个 ∈ ( 1 , ∞ ) .

还定义α:X（X）×X（X）→[0,+∞)和ψ,φ:[0,∞)→[0,∞)通过

α(x个,年)={ 1 如果 x个 , 年 ∈ [ 0 , 1 ] , 1 2 否则 , ψ(t吨)=t吨和φ(t吨)= 1 2 t吨.

我们证明，推论2.7可以应用于T型，但中的主要定理[9]无法应用于T型.

通过与示例2.1类似的证明，我们表明T型是一个α-容许映射。假设α(x个,T型x个)α(年,T型年)≥1现在，如果x个∉[0,1]，那么α(x个,T型x个)= 1 2 等等α(x个,T型x个)α(年,T型年)<1这是矛盾的。如果年∉[0,1]同样，α(x个,T型x个)α(年,T型年)<1这是矛盾的。因此，α(x个,T型x个)α(年,T型年)≥1暗示x个,年∈[0,1]因此，我们得到

ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) =最大值 { x个 − x个 2 2 , 年 − 年 2 2 } ≤ 1 2 最大值{x个,年}=ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) −φ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

那就是，

α(x个,T型x个)α(年,T型年)≥1⟹ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) −φ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

符合推论2.7的条件。因此，T型有一个固定点。让x个=2和年=三，那么

ψ ( d日 ( T型 2 , T型 三 ) ) =6>1/2=ψ ( d日 ( 2 , 三 ) ) −φ ( d日 ( 2 , 三 ) ) .

也就是说，中的主要定理[9]无法应用于T型.

例2.5让X（X）=[0,∞)被赋予通常的度量d日(x个,年)=|x个−年|为所有人x个,年∈X（X），并让T型:X（X）→X（X）由定义

T型x个={ 1 5 ( 1 − x个 三 ) 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , | 罪 ( π 2 x个 ) | 如果 x个 ∈ ( 1 , ∞ ) .

还定义η:X（X）×X（X）→[0,+∞)和ψ,φ:[0,∞)→[0,∞)通过

η(x个,年)={ 1 如果 x个 , 年 ∈ [ 0 , 1 ] , 7 否则 , ψ(t吨)=t吨和φ(t吨)= 2 5 t吨.

我们证明，推论2.8可以应用于T型，但中的主要定理[9]无法应用于T型.

通过与示例2.3类似的证明，我们可以证明T型是一个η-亚容许映射。

假设η(x个,T型x个)η(年,T型年)≤1现在，如果x个∉[0,1]，那么η(x个,T型x个)η(年,T型年)>1，这是一个矛盾。同样，年∉[0,1]这是一个矛盾。因此，η(x个,T型x个)η(年,T型年)≤1暗示x个,年∈[0,1].我们得到

ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) = 1 5 |x个−年| | x个 2 + x个 年 + 年 2 | ≤ 三 5 |x个−年|=ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) −φ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

那就是，

η(x个,T型x个)η(年,T型年)≤1⟹d日(T型x个,T型年)≤ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) −φ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

那么推论2.8的条件成立T型有一个固定点。让x个=2,年=三.然后T型2=0和T型三=1，这意味着

ψ ( d日 ( T型 2 , T型 三 ) ) =1> 三 5 =ψ ( d日 ( 2 , 三 ) ) −φ ( d日 ( 2 , 三 ) ) .

也就是说，中的主要定理[9]无法应用于T型.

1984年可汗等。[20]证明了以下定理。

定理2.3 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 做一个自我-映射于 X（X）.假设

ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤c（c）ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) ∀x个,年∈X（X）,

哪里 ψ∈ Ψ 1 和 0<c（c）<1.然后 T型 具有唯一的固定点.

定理2.4 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 是广义的 α-关于的容许映射 η.假设

x个,年∈X（X）,α(x个,x个)α(年,年)≥η(x个,x个)η(年,年)⟹ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤c（c）ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) ,
(2.9)

哪里 ψ∈ Ψ 1 和 0<c（c）<1.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 , x个 0 )≥η( x个 0 , x个 0 );

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 )≥η( x个 n个 , x个 n个 ) 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α(x个,x个)≥η(x个,x个).

然后 T型 有一个固定点.

证明让 x个 0 ∈X（X）这样的话α( x个 0 , x个 0 )≥η( x个 0 , x个 0 ).定义序列{ x个 n个 }在里面X（X）通过 x个 n个 = T型 n个 x个 0 =T型 x个 n个 − 1 为所有人n个∈N个.如果 x个 n个 + 1 = x个 n个 对一些人来说n个∈N个，那么x个= x个 n个 是的固定点T型并对结果进行了验证。因此，我们假设 x个 n个 + 1 ≠ x个 n个 对所有人来说n个∈N个.自T型是广义的α-关于的容许映射η和α( x个 0 , x个 0 )≥η( x个 0 , x个 0 )，我们推断α( x个 1 , x个 1 )=α(T型 x个 0 ,T型 x个 0 )≥η(T型 x个 0 ,T型 x个 0 )=η( x个 1 , x个 1 )。通过继续此过程，我们获得α( x个 n个 , x个 n个 )≥η( x个 n个 , x个 n个 )为所有人n个∈N个∪{0}显然，

α( x个 n个 − 1 , x个 n个 − 1 )α( x个 n个 , x个 n个 )≥η( x个 n个 − 1 , x个 n个 − 1 )η( x个 n个 , x个 n个 ).

现在，通过（2.9）x个= x个 n个 − 1 ,年= x个 n个 ，我们有

ψ ( d日 ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ) =ψ ( d日 ( T型 x个 n个 − 1 , T型 x个 n个 ) ) ≤c（c）ψ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) <ψ ( d日 ( x个 n个 − 1 , x个 n个 ) ) .
(2.10)

自，ψ正在增加，我们得到

d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≤d日( x个 n个 − 1 , x个 n个 )

为所有人n个∈N个也就是说，{ d日 n个 :=d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )}是正实数的非递增序列。然后就有了第页≥0这样的话 林 n个 → ∞ d日 n个 =第页。我们将证明第页=0.将限额视为n个→∞在（2.10）中，我们有

ψ(第页)≤c（c）ψ(第页),

这意味着ψ(第页)=0,即,第页=0.然后

林 n个 → ∞ d日( x个 n个 , x个 n个 + 1 )=0.
(2.11)

相反，假设{ x个 n个 }不是柯西序列。按照定理2.2的证明，存在ϵ>0这样所有人k个∈N个存在n个(k个),米(k个)∈N个具有米(k个)>n个(k个)≥k个这样的话

林 k个 → + ∞ d日( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )=ε
(2.12)

和

林 k个 → + ∞ d日( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 )=ε.
(2.13)

显然，

α( x个 n个 ( k个 ) , x个 n个 ( k个 ) )α( x个 米 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) )≥η( x个 n个 ( k个 ) , x个 n个 ( k个 ) )η( x个 米 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ).

然后，通过（2.9）x个= x个 n个 ( k个 ) 和年= x个 米 ( k个 ) ，我们得到

ψ ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) + 1 , x个 米 ( k个 ) + 1 ) ) =ψ ( d日 ( T型 x个 n个 ( k个 ) , T型 x个 米 ( k个 ) ) ) ≤c（c）ψ ( d日 ( x个 n个 ( k个 ) , x个 米 ( k个 ) ) ) .

将限额视为k个→∞在上述不等式中，并应用（2.12）和（2.13），我们得到

ψ(ϵ)≤c（c）ψ(ϵ),

等等ϵ=0，这是一个矛盾。因此{ x个 n个 }是一个柯西序列。自X（X）是完整的，那么z（z）∈X（X）这样的话 x个 n个 →z（z）首先，我们假设T型是连续的。然后，我们推断

T型z（z）= 林 n个 → ∞ T型 x个 n个 = 林 n个 → ∞ x个 n个 + 1 =z（z）.

所以，z（z）是的固定点T型另一方面，因为

α( x个 n个 , x个 n个 )≥η( x个 n个 , x个 n个 )

为所有人n个∈N个∪{0}和 x个 n个 →z（z）作为n个→∞，我们得到

α(z（z）,z（z）)≥η(z（z）,z（z）),

这意味着

α(z（z）,z（z）)α( x个 n个 , x个 n个 )≥η(z（z）,z（z）)η( x个 n个 , x个 n个 ).

然后通过（2.12）我们推导出

ψ ( d日 ( x个 n个 + 1 , T型 z（z） ) ) =ψ ( d日 ( T型 x个 n个 , T型 z（z） ) ) ≤c（c）ψ ( d日 ( x个 n个 , z（z） ) ) .

将限额视为n个→∞在上述不等式中，我们有

ψ ( d日 ( z（z） , T型 z（z） ) ) ≤ψ(0)=0

然后z（z）=T型z（z）. □

推论2.9 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 成为 α-容许映射.假设

x个,年∈X（X）,α(x个,x个)α(年,年)≥1⟹ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤c（c）ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) ,

哪里 ψ∈ Ψ 1 和 0<c（c）<1.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 α( x个 0 , x个 0 )≥1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 α( x个 n个 , x个 n个 )≥1 为所有人 n个∈N个∪{0} 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 α(x个,x个)≥1.

然后 T型 有一个固定点.

推论2.10 让 (X（X）,d日) 是一个完备的度量空间，并让 T型 是广义的 α-关于的容许映射 η.假设

x个,年∈X（X）,η(x个,x个)η(年,年)≤1⟹ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤c（c）ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) ,

哪里 ψ∈ Ψ 1 和 0<c（c）<1.阿尔索,假设以下断言成立:

  1. （i）

    存在 x个 0 ∈X（X） 这样的话 η( x个 0 , x个 0 )≤1;

  2. （ii）

    任何一个 T型 连续或任何序列 { x个 n个 } 在里面 X（X） 具有 η( x个 n个 , x个 n个 )≤1 对所有人来说 n个∈N个∪0 和 x个 n个 →x个 作为 n个→+∞,我们有 η(x个,x个)≤1.

然后 T型 有一个固定点.

示例2.6让X（X）=[0,∞)被赋予通常的度量标准

d日(x个,年)={ 最大值 { x个 , 年 } 如果 x个 ≠ 年 , 0 如果 x个 = 年

为所有人x个,年∈X（X），并让T型:X（X）→X（X）由定义

T型x个={ x个 三 − x个 5 8 如果 x个 ∈ [ 0 , 1 ] , 2 x个 2 + | ( x个 − 2 ) ( x个 − 三 ) | 如果 x个 ∈ ( 1 , ∞ ) .

还定义α:X（X）×X（X）→[0,+∞)和ψ,φ:[0,∞)→[0,∞)通过

α(x个,年)={ 1 如果 x个 , 年 ∈ [ 0 , 1 ] , 1 2 否则 和ψ(t吨)= t吨 2 .

我们证明结论2.9可以应用于T型但定理2.3不能应用于T型.

通过与实施例2.1类似的证明，我们表明T型是一个α-容许映射。假设α(x个,x个)α(年,年)≥1现在，如果x个∉[0,1]，那么α(x个,x个)= 1 2 等等α(x个,x个)α(年,年)<1这是矛盾的。如果年∉[0,1]同样，α(x个,x个)α(年,年)<1这是矛盾的。因此，α(x个,x个)α(年,年)≥1暗示x个,年∈[0,1]因此，我们得到

ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) = ( 最大值 { x个 三 − x个 5 8 , 年 三 − 年 5 8 } ) 2 ≤ 1 16 ( 最大值 { x个 , 年 } ) 2 = 1 16 ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

那就是，

α(x个,x个)α(年,年)≥1⟹ψ ( d日 ( T型 x个 , T型 年 ) ) ≤ 1 16 ψ ( d日 ( x个 , 年 ) ) .

那么，推论2.9的条件成立。因此，T型有一个固定点。让x个=2和年=三，那么T型2=8和T型三=18，因此

ψ ( d日 ( T型 2 , T型 三 ) ) =100> 1 16 = 1 16 ψ ( d日 ( 2 , 三 ) ) .

也就是说，定理2.3不能应用于T型.

3积分方程解存在性的应用

许多论文研究了积分方程，如（3.1）（参见[2,11]以及其中的参考）。在本节中，我们寻找（3.1）In的非负解X（X）=C类([0,T型],R（右）).让X（X）=C类([0,T型],R（右）)是定义于[0,T型]然后让d日:X（X）×X（X）→ R（右） + 由定义

d日(x个,年)= ∥ x个 − 年 ∥ ∞

为所有人x个,年∈X（X）.然后(X（X）,d日)是一个完整的度量空间。

考虑积分方程

x个(t吨)=第页(t吨)+ ∫ 0 T型 S公司(t吨,秒)（f） ( 秒 , x个 ( 秒 ) ) d日秒,
(3.1)

然后让F类:X（X）→X（X）由定义

F类(x个)(t吨)=第页(t吨)+ ∫ 0 T型 S公司(t吨,秒)（f） ( 秒 , x个 ( 秒 ) ) d日秒.
(3.2)

我们假设

  1. （A）

    （f）:[0,T型]×R（右）→R（右）是连续的；

  2. （B）

    第页:[0,T型]→R（右）是连续的；

  3. （C）

    S公司:[0,T型]×R（右）→[0,+∞)是连续的；

  4. （D）

    存在ψ∈Ψ和θ:X（X）×X（X）→R（右）如果θ(x个,年)≥0对于x个,年∈X（X），然后针对每个秒∈[0,T型]我们有

    0 ≤ （f） ( 秒 , x个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , 年 ( 秒 ) ) ≤ ψ ( 最大值 { | x个 ( 秒 ) − 年 ( 秒 ) | , 1 2 [ | x个 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) | + | 年 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) | ] , 1 2 [ | x个 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) | + | 年 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) | ] } ) ;
  5. （F）

    存在 x个 0 ∈X（X）这样的话θ( x个 0 ,F类( x个 0 ))≥0;

  6. （G）

    如果θ(x个,年)≥0,x个,年∈X（X），那么θ(F类x个,F类年)≥0;

  7. （H）

    如果{ x个 n个 }是中的序列X（X）这样的话θ( x个 n个 , x个 n个 + 1 )≥0为所有人n个∈N个∪{0}和 x个 n个 →x个作为n个→+∞，那么θ( x个 n个 ,x个)≥0为所有人n个∈N个∪{0};

  8. （J）

    ∫ 0 T型 S公司(t吨,秒)d日秒≤1对所有人来说t吨∈[0,T型]和秒∈R（右）.

定理3.1 在假设条件下（A） -（J），积分方程(3.1)在中有解决方案 X（X）=C类([0,T型],R（右）).

证明考虑映射F类:X（X）→X（X）定义见（3.2）。

根据条件（D），我们推断

| F类 ( x个 ) ( t吨 ) − F类 ( 年 ) ( t吨 ) | = | ∫ 0 T型 S公司 ( t吨 , 秒 ) [ （f） ( 秒 , x个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , 年 ( 秒 ) ) ] d日 秒 | ≤ ∫ 0 T型 S公司 ( t吨 , 秒 ) | （f） ( 秒 , x个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , 年 ( 秒 ) ) | d日 秒 ≤ ∫ 0 T型 S公司 ( t吨 , 秒 ) [ ψ ( 最大值 { | x个 ( 秒 ) − 年 ( 秒 ) | , 1 2 [ | x个 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) | + | 年 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) | ] , 1 2 [ | x个 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) | + | 年 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) | ] } ) ] d日 秒 ≤ ∫ 0 T型 S公司 ( t吨 , 秒 ) [ ψ ( 最大值 { ∥ x个 ( 秒 ) − 年 ( 秒 ) ∥ , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ ] , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ ] } ) ] d日 秒 = ( ∫ 0 T型 S公司 ( t吨 , 秒 ) d日 秒 ) ψ ( 最大值 { ∥ x个 ( 秒 ) − 年 ( 秒 ) ∥ , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ ] , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ ] } ) ≤ ψ ( 最大值 { ∥ x个 ( 秒 ) − 年 ( 秒 ) ∥ , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ ] , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ ] } ) .

然后

∥ F类 x个 − F类 年 ∥ ∞ ≤ ψ ( 最大值 { ∥ x个 ( 秒 ) − 年 ( 秒 ) ∥ , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ ] , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ ] } ) .

现在，定义α:X（X）×X（X）→[0,+∞)通过

α(x个,年)={ 1 如果 θ ( x个 , 年 ) ≥ 0 , 0 否则 .

那就是，α(x个,年)≥1暗示

∥ F类 x个 − F类 年 ∥ ∞ ≤ ψ ( 最大值 { ∥ x个 ( 秒 ) − 年 ( 秒 ) ∥ , 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ ] , ∥ F类 x个 − F类 年 ∥ ∞ ≤ 1 2 [ ∥ x个 ( 秒 ) − F类 ( 年 ( 秒 ) ) ∥ + ∥ 年 ( 秒 ) − F类 ( x个 ( 秒 ) ) ∥ ] } ) , ∥ F类 x个 − F类 年 ∥ ∞ ≤ ψ ( 最大值 { ∥ x个 − 年 ∥ ∞ , 1 2 [ ∥ x个 − F类 ( x个 ) ∥ ∞ + ∥ 年 − F类 ( 年 ) ∥ ∞ ] , ∥ F类 x个 − F类 年 ∥ ∞ ≤ 1 2 [ ∥ x个 − F类 ( 年 ) ∥ ∞ + ∥ 年 − F类 ( x个 ) ∥ ∞ ] } ) .

结论2.1的所有假设都得到满足，因此映射F类有一个不动点，它是X（X）=C类([0,T型],R（右）)积分方程的(三.1). □