关于\（\字母\）-类型F类-收缩和一些有序理论不动点结果

摘要

我们观察到，所有涉及\（\字母\）-类型F类-现在的缩写形式不正确。在本文中，我们证明了一些扩展的不动点结果F类-度量空间和序度量空间中的弱压缩映射。我们的观察结果和结果的可用性通过适当的例子得到了证实。作为应用，我们证明了满足周期边界条件的一阶常微分方程在其上下解存在的情况下解的存在唯一性。

导言和序言

2012年，沃多夫斯基[1]通过引入一种新的收缩类型（称为F类-收缩：

定义1.1

[1]自我映射（f）关于度量空间(X（X）, d日)据说是F-收缩如果存在\（\tau>0\）这样的话

$$\开始{对齐}d（fx，fy）>0\右箭头\tau+F$$

(1.1)

为所有人\（x，y\在x中，\）哪里\（F:\mathbb{右}_+\右箭头\mathbb{R}\）是满足以下条件的映射：

• 第一层： F类正在严格增加，

• 二层： 对于每个序列\（\｛s_n \｝\）正实数，

  $$\begin{aligned}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}s_n=0\Leftrightarror\lim\ limits_{n\riftarrow\finfty{F（s_n）=-\infty，\end{alinged}$$

• 第3层： 存在\（k\英寸（0,1）\）这样的话\（\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}s^kF（s）=0.）

让我们用表示\（\mathcal{F}\），所有函数的系列F类满足条件F1–F3。一些著名的成员\（\mathcal{F}\）是\（F（s）=,\（F（s）=s+ln s）,\（F（s）=\frac{-1}{\sqrt{s}}\）和\（F（s）=ln（s^2+s））此外，沃多夫斯基[1]证明了每一个F类-完备度量空间上的压缩映射具有唯一的不动点。此外，关于改变\（\mathcal{F}\）适当地，可以推导出文献中的各种已知缩略语。

示例1.1

[1]考虑\（F\in\mathcal{F}\）由提供\（F（s）=。然后每个自映射（f）在X（X）满足不等式(1.1)是一个F类-收缩，从而

$$\开始{aligned}d（fx，\，fy）\lee^{-\tau}d（x，y），\end{aligned}$$

哪里\（x中的x，y\）和\（x\ne y\）观察一下，如果\（x=y）.

在定义中使用Chi-irić型广义收缩1.1、Wardowski和Van Dung[2]（也是独立的Mnak等人[三])引入了F类-弱收缩并利用其推广[1]以及其他一些现有文献的结果。

定义1.2

[2,三]让\（（X，d），~τ）和F类按定义1.1.自我映射（f）在X（X）据说是F-弱收缩如果

$$\开始{aligned}\tau+F（d（fx，fy））\le F（M_F（x，y）），结束{aligned}$$

(1.2)

为所有人\（x中的x，y\）无论何时\（d（fx，fy）>0）哪里

$$\begin{aligned}M_f（x，y）=\mathrm{max}\left\{d（x，y），d（x、fx），d。\结束｛对齐｝$$

通常，文献中也使用以下缩写：

$$\begin{aligned}m_f（x，y）=\mathrm{max}\left\{d（x，y），\frac{d（x，fx）+d（y，fy）}{2}，\frac{d（x-fy）+d。\结束｛对齐｝$$

定理1.1

[2,三]让(X（X）, d日)一个完整的度量空间和 \（f:X\右箭头X\） 成为 F类-一些人的弱收缩 \（F\in\mathcal{F}\）.然后 （f） 具有唯一的固定点 \（x中的x） 并且对于每个 \（x中的x_0）,皮卡德序列 \（{f^nx0\}\） 收敛到 x个 提供以下任一项

• （a） F类 是连续的或

• （b） （f） 是连续的.

2016年，Gopal等人。[4]引入了\（\字母\）-类型F类-收缩（为了简单起见，我们写\（αF）-收缩）如下：

定义1.3

[4]让\（（X，d），~τ）和F类按定义1.1.A映射\（f:X\右箭头X\）据说是一个 \（αF）-弱收缩如果存在\（\alpha:X\乘以X\右箭头\{-\infty\}\杯（0，+\infty）\）这样的话

$$开始{aligned}\tau+\alpha（x，y）F（d（fx，fy））\le F（M_F（x，y）），结束{aligned}$$

(1.3)

为所有人\（x中的x，y\）无论何时\（d（fx，fy）>0）.

雇佣定义1.3，戈帕尔et（等）阿尔。[4]证明了以下结果：

定理1.2

[4]让(X（X）, d日)是一个完整的度量空间，并且 \（f:X\右箭头X\） 一个 \（αF）-满足以下条件的弱收缩:

• （a） 存在 \（x中的x_0） 这样的话 \（\alpha（x_0，fx_0）\ge 1\）,

• （b） （f）是\（\字母\）-可接受的即。，\（\alpha（fx，fy）\ge 1） 无论何时 \（α（x，y）第1页）,

• （c） （f） 是连续的(或 F类 是连续的，如果是序列 \（x中的\{x_n\}\） 这样的话 \（阿尔法（xn，x{n+1}）第1页） 为所有人 \（n\in\mathbb{n}\） 和 \（x_n\右箭头x\） 作为 \（n\rightarrow\infty\）,然后 \（α（x_n，x）\ge 1）).

然后 （f） 具有唯一的固定点 \（x中的x） 对于每一个这样的人 \（x中的x_0）,皮卡德序列 \（{f^nx0\}\） 收敛到 x个.

近年来F类-收缩已经引起了一些研究人员的注意，到目前为止，已有大量关于这一概念的文献（参见[5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18]以及其中的参考）。

定义1.4

公制空间(X（X）, d日)连同部分订单“\（\程序\）“它被称为有序度量空间并用表示\（（X，d，\preceq）\）此外，对于任意元素x个, 年属于X（X）和自映射（f）在X（X）我们这么说

• （i） x个, 年是可比的如果\（x\程序y\）或\（y\precq x\）.

• （ii） （f）是增加的如果\（fx\precqfy\）无论何时\（x\程序y\）.

• （iii） (X（X）, d日)是f-轨道完全如果每个Cauchy序列\（{f^nx\}\）收敛于X（X）.

• （iv） X（X）是有规律的如果对于每个递增序列\（{x_n\}\）在里面X（X）具有\（x_n\右箭头x\），我们有\（x_n\进程x\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）.

尽管图里尼奇[19,20]1986年提出了一些订单理论结果，但通常在2004年指出，其中Ran和Reurings[21]尼托和罗德里格斯-洛佩斯很好地遵循了一个更自然的结果[22,23]. 对于这类工作，可以参考[24,25,26,27,28,29,30,31].

备注1.1

在有序度量空间的设置中，条件(1.1–1.3)只需对所有可比较的元素对进行保存\（x中的x，y\）.

阿巴斯et（等）等。[32]利用了F类-收缩以获得序理论公共不动点结果。最近，Durmaz等人。[33]证明了通过设置可以获得以下结果\（g=I:X\右箭头X\）在的定理2中[32]:

定理1.3

[33]让 \（（X，\proceq，d）） 是一个完备的有序度量空间 \（f:X\右箭头X\） 一个 F类-对某些人的收缩 \（F\in\mathcal{F}\）.如果以下条件成立:

• （a） 存在 \（x中的x_0） 这样的话 \（x_0\进程fx_0\）,

• （b） （f） 正在增加,

• （c） 任何一个 （f） 是连续的(或 F类 是连续的，并且 X（X） 是常规的),

然后 （f） 有一个固定点.

此外，作者[33]给出了以下条件以确保定理中不动点的唯一性1.3:

• B类： 每对元素X（X）有下限和上限。

备注1.2

最近，维特罗[34]扩大了班级\（\mathcal{F}\）（并表示相同\（\mathbb{F}\）)通过撤销条件F3并替换常量\（\套\）通过函数\（\sigma:\mathbb{右}_+\右箭头\mathbb{右}_+\)具有\（\lim\inf_{t\rightarrows^+}\sigma（t）>0\）为所有人\（第0页）显然，\（\mathcal{F}\subseteq\mathbb{F}\）和\（F（s）=-1/s\）是的成员\（\mathbb{F}\）不在中的\（\mathcal{F}\）。我们用表示\（\mathbb{S}\）所有函数的族\（\西格玛\）.

本文的目的是指出，关于\（\字母\）-类型F类-收缩在现有形式中是不正确的。我们还推广了定理1.3在两个方向上使用ch-irić型收缩，其中\（\sigma\in\mathbb{S}\）利用而不是常量\（头饰）通过这样做，我们得到了一个稍微尖锐的定理1.1。我们通过合适的例子和应用程序来支持我们的结果。

关于\（\字母\）-类型F类-收缩

我们从以下方面开始观察[4]其中作者扩大了\（\字母\）包括\（-\infty\）同时假设表达式\（-\infty\）.0具有值\（-\infty\）这很不自然。受此替代的启发，我们能够提供以下反例：

示例2.1

让\（X=\{0，\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1\}\）配备普通公制d日.然后(X（X）, d日)是一个完整的度量空间。定义\（\alpha:X\乘以X\右箭头\{-\infty\}\杯（0，\infty）\）通过

$$\begin{aligned}\alpha（x，y）={\left\{\begin{array}{ll}-\infty，&{}\text{for}\；x、 y\ in \{0,1\}，x\ ne y；\\2-\frac{\ln3}{\ln4}，&{}\text{for}\；x、 y\in\{\frac{1}{4}，\frac}{2}，x\ne-y1，&{}\text{others.}\end{array}\right.}\结束｛对齐｝$$

让（f）自我映射X（X）定义为\（f0=1，压裂{1}{4}=压裂{1{2}，压裂{1}{2}=压裂{1{4}\），以及\（f1=0）.然后（f）是连续的，并且\（\字母\）-可接受。通过例行计算，可以验证（f）满足收缩条件(1.3)的\（F（s）=和\（τ=ln\frac{4}{3}）特别是对于\（x=0）和\（y=1），我们有

$$\begin{aligned}-\infty=\ln\big（4/3\big）+（-\inft）\ln（1）&\le\ln\big（\\mathrm{max}\big\{1,1,0,0\big\}\big。\结束｛对齐｝$$

观察一下，（f）不动点自由，从而推翻了定理1.2.

即使我们限制\（\字母\）到\（（0，\infty）\）定义中1.3为了恢复定理1.2，这个定理仍然是错误的。以下示例说明了这一事实：

例2.2

考虑\（X=[1，\infty）\）配备离散度量D类也就是说，

$$\begin{aligned}D（x，y）={\left\{\begin}array}{ll}0，&{}\text{for}\；x=y；\\1，&{}\text{others.}\end{array}\right.}\结束｛对齐｝$$

采取\（fx=ax，\）为所有人\（x中的x）哪里\（a \ in（1，\ infty）\）。然后使用\（α（x，y）=2，\）为所有人\（x中的x，y\）和\（F（s）=-\frac{1}{\sqrt{s}}\）,（f）满足定理的所有要求1.2（用于\（套<1）)但是（f）是一个无固定点的。

事实上，在所有关于\（αF）-收缩，例如[4，第962页第4行]和[12，方程式（2.4）]，作者假设\（F（s）\le\alpha（x，y）F（s，用于\（α（x，y）第1页）这通常是不正确的（因为F类可能有负值）。

主要成果

为了推广定理1.3，需要以下定义：

定义3.1

让(X（X）, d日)是一个度量空间，并且\（\sigma\in\mathbb{S}\）.A映射\（f:X\右箭头X\）据说是F弱收缩的延长如果是所有人\（x中的x，y\），我们有

$$\开始{aligned}\西格玛（d（x，y））+F（d（fx，\，fy））\le F（M_F（x，y））\end{aligned}$$

(3.1)

无论何时\（d（fx，\，fy）>0），其中\（F\in\mathbb{F}\）.

定义3.2

有序度量空间\（（X，d，\preceq）\）据说是\（\前面\）-有规律的如果对于每个递增序列\（x_n\）在里面X（X）具有\（x_n\右箭头x\），存在子序列\（{x_{nk}）属于\（{x_n\}\）和一个正整数\（k_0\）这样的话\（x{nk}\precqx\）为所有人\（k\ge k_0）.

首先，我们证明了以下结果：

定理3.1

让 \（（X，\proceq，d）） 是有序度量空间，并且 \（f:X\右箭头X\） 扩展的 F类-某些函数的弱收缩 \（F\in\mathbb{F}\）.如果(X（X）, d日)是 （f）-轨道完整，以满足以下条件:

• （a） 存在 \（x中的x_0） 这样的话 \（x_0\进程fx_0\）,

• （b） （f） 正在增加,

• （c） F类 是连续的，并且 X（X） 是 \（\程序\）-有规律的

然后 （f） 有一个固定点 \（x中的x）.此外，对于每一个 \（x中的x_0） 满足(一),顺序 \（{f^nx0\}\） 收敛到 x个.

证明

让\（x中的x_0）是这样的\（x_0\进程fx_0\）.定义序列\（{x_n\}\）在里面X（X）通过\（x_｛n+1｝=：fx_n\）为所有人\（n \ in \ mathbb{N} _0（0）=：\mathbb{N}\cup\{0\}\）.如果\（x_n=x_｛n+1｝\）对一些人来说\（n \ in \ mathbb{N} _0（0）\)，然后我们就完成了。否则，我们假设\（d（xn，x{n+1}）>0）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）.作为\（x_0\进程fx_0\）和（f）正在增加，我们有

$$\开始｛对齐｝x_0\前序x_1\前序x_2\前序\cdots\前序x_n\前序x_｛n+1｝\前序\cdots~。\结束｛对齐｝$$

现在，开始设置\（x=x{n-1}\）和\（y=x{n}\）英寸(3.1)，我们有

$$开始{对齐}\sigma（d（x_{n-1}，x_{n}））+F（d（x_{n-}，x_{n+1}）。\结束｛对齐｝$$

如果\（d（x{n-1}，xn）\le d（xn，x{n+1}）\）对一些人来说\（n\in\mathbb{n}\），那么

$$开始{对齐}F（d（x{n}，x{n+1}））\le F（d$$

矛盾如\（σ（d（x{n-1}，x{n}））>0）因此，

$$开始{对齐}F（d（x{n}，x{n+1}））\le&{}F$$

这反过来又会产生

$$开始{对齐}F（d（x_{n}，x_{n+1}））\le F（d$$

(3.2)

为所有人\（n\in\mathbb{n}.\）关于出租\（n\rightarrow\infty\）英寸(3.2)，我们得到\（lim\limits_{n\rightarrow\infty}F（d（x_{n}，x_{n+1}））=-\infty。）因此，（由于F2）

$$\begin{aligned}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，x_{n+1}）=0。\结束｛对齐｝$$

(3.3)

我们断言\（{x_n\}\）是一个柯西序列。让我们假设\（{x_n\}\）不是这样。那么就存在\（epsilon>0\）和两个子序列\（{x_{nk}）和\（{x_{mk}\}\）属于\（{x{n}）这样的话

$$\begin｛aligned｝n_k＞m_k\ge k，~~d（x_｛n_k｝，x_｛m_k｝）\ge\epsilon\text｛and｝d（x_{{n_k}-1}，x_{m_k}）<\epsilon\text{for-all}k\in\mathbb{N}。\结束｛对齐｝$$

现在，我们有了

$$\开始｛对齐｝\ε\d（x_｛n_k｝，x_｛m_k｝）\d（x_｛n_k｝，x_{{n_k}-1})+d（x）日_{{n_k}-1}，x{mk}）\le d（x{nk}，x_{{n_k}-1})+\epsilon\end{对齐}$$

以便

$$\begin{aligned}\lim\limits_{k\rightarrow\infty}d（x_{n_k}，x_{m_k}）=\epsilon。\结束｛对齐｝$$

同样，我们有

$$开始{aligned}\epsilon\led（x{n_k}，x{n_nk}+1}）+d（x_{n_k}+1}，x{m_k}+1}）+d（x_$$

所以（在出租时）\（k\rightarrow\infty\）)

$$开始{aligned}\epsilon\le\liminf_{k\rightarrow\infty}d（x_{n_k}+1}，x_{m_k}+1}）。\结束｛对齐｝$$

类似地，我们可以推断出

$$开始{aligned}\epsilon\le\liminf_{k\rightarrow\infty}d（x_{n_k}+1}，x_{m_k}）\text{和}\epsilon\le\ liminf_{k\ rightarror\infty}d。\结束｛对齐｝$$

因此，存在\（l\in\mathbb{N}\）具有\（d（x{{nk}+1}，x{{mk}+1}）>0\）,\（d（x{{nk}+1}，x{mk}）>0\）和\（d（x{{mk}+1}，x{nk}）>0\）为所有人\（k\ge l.）那么，对所有人来说\（k \ge l），我们有（正在设置\（x=x{nk}\）和\（y=x{mk}\）英寸(3.1))

$$开始{对齐}\σ（d（x_{n_k}，x_{m_k}））+F（d（x_{n_nk}+1}，x_{m_nk}+1}））\le&{}F（m_F（x_}n_k{，x_ n_kneneneep）），\nonumber\end{aligned}$$

(3.4)

哪里

$$开始{对齐}M_f（x{n_k}，x{M_k}）=&{}\max\bigg\{d{{nk}+1}）}{2}\bigg\}\\{}\le&{}\max\bigg\\{d（x{nk}，x{mk}k}+1}）+d（x{mk}，x{nk}）+d（x{nk}，x{k}+1}）}{2}\bigg\}。\结束｛对齐｝$$

出租\（k\rightarrow\infty\）在主持不平等和鉴于\（\西格玛\）以及F类，我们得到

$$开始{对齐}F（\epsilon）$$

矛盾使得\（{x_n\}\）是一个Cauchy序列，有一个极限\（x中的x）接下来，我们展示x个是一个固定点。假设\（x_n=fx\）对于无限多\（n\in\mathbb{n}\），则存在以下子序列\（{x_n\}\）其收敛于外汇极限的唯一性完成了证明。从此，我们假设\（fx_n\n一个fx\）为所有人\（n \ in \ mathbb{N} _0（0）\)。使用\（\程序\）-的规律性X（X），存在子序列\（{x_{nk}）属于\（{x_n\}\）和一个正整数\（k_0\）这样的话\（x_{n_k}\precq\x\）为所有人\（n_k\ge k_0）。现在，为了\（n_k\ge k_0），我们可以设置\（x=x{nk}}\）和\（y=x）英寸(3.1)因此

$$开始{对齐}\西格玛（d（x_{{n_k}}，x））+F（d（x_{n_k}+1}，fx））\le&{}F（M（x_n，x数字{1}{2}[d（x_{n_k}}，x）+d（x，fx）+d（x，x_{n_k}+1}）]\Big\}\bigg）。\结束｛对齐｝$$

(3.5)

相反\（d（x，fx）>0）.制作\（n\rightarrow\infty\）英寸(3.4)，一个得到

$$\开始{aligned}\gamma+F（d（x，fx））\le F（d$$

哪里\（0<\gamma=\lim\inf_{d（x_n，x）\rightarrow 0^+}\sigma（d（x-n，x矛盾，所以\（d（x，fx）=0）证明到此结束。\（\平方\）

以下结果是定理的另一个版本3.1:

定理3.2

定理 3.1 如果条件为(c（c）)被以下连续性所取代 （f） 无论何时 \（F\in\mathcal｛F｝\）.

证明

该证明与定理证明相同3.1最多(3.3)即。，

$$\begin{aligned}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}d（x_{n}，x_{n+1}）=0。\结束｛对齐｝$$

由于（F3），存在\（k\英寸（0,1）\）这样的话

$$开始{aligned}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}（d（x_{n}，x_{n+1}））^kF（d（x（x（n）}，x（n+1）））=0。\结束｛对齐｝$$

(3.6)

现在，从(3.2)，我们有

$$开始{对齐}d（x{n}，x{n+1}）^k\left[F（d（x_{n}，x{n+1}））-F。\结束｛对齐｝$$

(3.7)

使用时(3.3), (3.5)并让\（n\rightarrow\infty\）英寸(3.6)，我们得到

$$开始{aligned}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\sigma（d（x_0，x{1}））d（x{n}，x}n+1}）^k=0。\结束｛对齐｝$$

因此，存在\（m\in\mathbb{N} _0（0）\)这样的话\（n d（x{n}，x{n+1}）^k\le 1）为所有人\（n \ge m，\）以便

$$开始{aligned}d（x{n}，x{n+1}）\le\frac{1}{n^{frac{1'{k}}}\text{for-all}n\gem.\end{aligned}$$

(3.8)

我们断言\（{x_n\}\）是一个柯西序列。考虑\（s，t\in\mathbb{N} _0（0）\)具有\（s>t \ ge m \）.使用三角形不等式和(3.7)，我们有

$$\开始{aligned}d（x_t，x_s）\le&{}\sum_{i=t}^{s-1}天（x_i，x_{i+1}）\nonnumber\\le&{}\sum_{i=t}^{infty}d（x_i，x_i+1}）_nonumber\\le&}\sume_{i=t}^{infty}\frac{1}{i^{frac{1}{k}}。\结束｛对齐｝$$

作为\（\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{\frac}1}{k}}\）趋同，让\（s，t\rightarrow\infty\）引起

$$\begin{aligned}\lim\limits_{s，t\rightarrow\infty}d（x_s，x_t）=0\end{aligned}$$

这样就建立了断言。自X（X）是（f）-轨道完整，存在\（x中的x）这样的话\（lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x.）连续性（f）暗示

$$\begin{aligned}x=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=f（\lim\ limits_{n\riftarrow\finfty{x_n）=fx。\结束｛对齐｝$$

证据到此结束。\（\平方\）

备注3.1

定理3.5比定理更具优势3.6作为\（\mathbb{F}\）与相比，仍然是一个相对较大的类\（\mathcal{F}\）同时，中使用的大多数功能\（\mathcal{F}\）已经是连续的。

推论3.1

定理 1.3 遵循定理 3.1 和 3.2.

下面的例子展示了这个定理3.1是定理的适当推广1.3:

示例3.1

让\（X=A杯B杯C杯）哪里\（A=[0,1]，B=（1，\压裂{3}{2}]\）和\（C=（压裂{3}{2}，2]）.然后，\（（X，d，\preceq）\）是有序度量空间，其中d日是通常的度量和偏序\（\程序\）'上的X（X）由定义

$$\开始{aligned}x\precqy\Leftrightarrow\text{one}x=y\text{or}\big\{x\ley:（x\ in A\text{and}y\ in B）\text{or}（x\ inB\text{and}y\ inC）\}。\结束｛对齐｝$$

考虑\（F\in\mathbb{F}\）由提供\（F（s）=\frac{-1}{\sqrt{s}}\），用于\（s>0\）和\（σ（t）=frac{1}{4}，）为所有人\（t \ in \ mathbb{右}_+\)定义自映射（f）在X（X）通过

$$\begin{aligned}f（x）={\left\{\begin}array}{ll}1，&{}\text{for}x\in A；\\\断裂{3}{2}，&{}\text{代表B中的}x\2，&{}\text{for}x\in C.结束{array}\right.}\结束｛对齐｝$$

现在，为了验证不等式(3.1)，我们区分以下两种情况：

案例1：\（x\在A\中）和\（y\在B\中）。在这里，我们有

$$\begin{aligned}F\Big（A中的\inf_{x\，B中的y}M_F（x，y）\Big）=&{}F\ Big{2} -年，\压裂{y-x}{2}+\压裂{1}{4}\Big\}\Big/}\Big）{2} -年，y-\frac{1}{4}\Big\}\Big/}\Big）\\=&{}F\Big（\frac}3}{4{Big）\{}=&{{}-\frac{2}{\sqrt{3}}。\结束｛对齐｝$$

自\（σ（d（x，y））+F\big（d（fx，fy）\big）=\frac{1}{4}+F\big（\frac}{2}\big{4}-\方形{2}\）,（f）验证(3.1).

案例2：\（B\中的x\）和\（y \在C\中）。在这里，我们有

$$\开始{对齐}F\Big（B中的\inf_{x\，C}M_F（x，y）\Big）=&{}F\ Big（B中的\inf_{x，C}中的y\Big\{mathrm{max}\Big\{y-x，x-\ frac{3}{2}，2-y，\frac{y-x}{2{+\frac}{1}{4}\Big \}\Big/}\Big.}）\\=&{{}C}\Big\{\mathrm{max}\Big \{y-\frac{3}{2}，2-y，y-\frac{1}{2{\Big\}\Big/}\Bigh）\\=&{}F（1）\\{}=&{{}-1中的_{y\。\结束｛对齐｝$$

自\（σ（d（x，y））+F\big（d（fx，fy）\big）=\frac{1}{4}+F\big（\frac}{2}\big{4}-\方形{2}\）,（f）验证(3.1)在这种情况下也是如此。因此，总而言之，（f）是一个F类-收缩确保某个不动点的存在（f）.

请注意\（x=\frac｛3｝｛2｝\）和\（y=2），右侧(1.1)让我们明白了\（F（1/2）=-\sqrt{2}\）.作为\（压裂{1}{4}+F（d（F（3/2），f2））=压裂{1{{4}-\sqrt{2}，\）不平等(1.1)不成立，因此定理1.3不适用于本示例的上下文。

现在我们证明了以下与定理相对应的唯一性结果3.1和3.2:

定理3.3

如果除了定理的假设 3.1(或定理 3.2),满足以下条件,然后 （f） 具有唯一的固定点:

• B类： \（固定（f）：={x\在x中，fx=x\}\） 是一个完全有序的集合.

证明

我们证明了定理的结论3.1（对于定理3.2，证明类似）。如果\（F\in\mathcal{F}\）证据与\（σ（d（x，y））等于τ）.让x个, 年是的两个元素修复(（f）)这样的话\（d（x，y）>0）.然后，

$$开始{对齐}\sigma（d（x，y））+F（d（y，x））\le&{}\sigma（d（x，y）&{}F（d（x，y）），\结束{对齐}$$

矛盾，所以\（d（x，y）=0.） \（\平方\）

在下面的唯一性结果中，我们以相对更强的收缩条件为代价削弱了条件（B）。

定理3.4

如果除了定理的假设 3.1,条件（B）感到满意,然后 （f） 提供了唯一的固定点 \（M_f（x，y）\） 处于收缩状态(3.1)被替换为 \（m_f（x，y）\）.

证明

让x个, 年是的两个元素修复(（f）). 然后就有了\（z\在X\中）这样的话z（z）可与两者相比x个和年。对于\（x\prec\suck z\），我们可以假设\（z\precq x）（类似的论据\（y\prec\suck z\）). 自（f）增加，我们推断

$$\开始{aligned}f^nz\precq x，f^nx\precqy y.结束{aligned}$$

让\（xi_n=：d（x，f^nz））。我们断言\（\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\xi_n=0\）.用于替换\（x=x，y=f^{n} z（z）\)在收缩条件下，我们有

$$开始{对齐}F（\xi_{n+1}）\le&{}\sigma（\xi_n）+F（\xi_{n+1}）\\le&{{}F \xi_{n}}{2}\right\}\bigg）\nonumber\\=&{}F\ bigg（\mathrm{max}\left\{xi_{n}，\frac{xi_}n+1}+\xi_}}{2}\right \}\bigg）\\\非数字\结束{对齐}$$

(3.9)

现在，如果\（xi{n}<xi{n+1}），那么(3.9)成为

$$\开始{对齐}F（\xi_{n+1}）\le F\大$$

自那以后F类正在严格增加，我们已经\（\ xi _｛n+1｝\ le \ xi _｛n｝\）这是一个矛盾。因此，\（xi{n}\ge\xi{n+1}\）以便\（\xi _n\）是非负实数的递减序列，如下所示\（\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\xi_n=r\ge 0\）.如果\（r>0\）然后再出租n个趋于无穷大(3.8)，我们得到\（F（r）<F（r这是不可能的。因此，在所有情况下，\（极限值{n\rightarrow\infty}d（x，f^nz）=0.）同样，我们可以证明\（极限值{n\rightarrow\infty}d（y，f^nz）=0.）自\（d（x，y）\le d（x、f^nz）+d（f^nx、y）\rightarrow 0）作为\（n\rightarrow\infty\），建立了不动点的唯一性。证明到此结束。\（\平方\）

备注3.2

由于1和2在示例中不是可比较的元素3.1，不动点不是唯一的，支持我们的唯一性结果。

以下结果立竿见影。通过拓宽函数类\（\mathcal{F}\）定义中1.2，我们可以导出以下结果，它仍然是定理的度量版本3.1:

定理3.5

让(X（X）, d日)是一个度量空间，并且 \（f:X\右箭头X\） 扩展的 F类-某些函数的弱收缩 \（F\in\mathbb{F}\）.如果(X（X）, d日)是 （f）-轨道完成且以下条件成立:

• （a） F类 是连续的.

然后 （f） 具有唯一的固定点 \（x中的x）.此外，对于每一个 \（x中的x_0）,皮卡德序列 \（{f^nx0\}\） 收敛到 x个.

证明

存在性证明部分与定理的部分非常相似3.1唯一性遵循定理3.3只有我们在这里提到，其中的额外条件确保了我们适用于不平等的要素之间的可比性(3.1).\（\平方\）

备注3.3

以检验定理的有效性3.5在示例的上下文中3.1（无任何部分订单X（X）)，请注意\（x=1）和\（y=2）, (3.1)引起

$$\开始{对齐}-\frac{1}{2}=\frac}1}{2]+F（d（f1，f2））\ge F（1）=-1\end{aligned}$$

使得不平等(3.1)不满意。这证明了证明定理的有序版本的实用性3.5.

下面是定理的另一个版本3.5这仍然是一个稍微尖锐的定理1.1（证明用于连续映射（f）).

定理3.6

让(X（X）, d日)是一个度量空间，并且 \（f:X\右箭头X\） 扩展的 F类-某些函数的弱收缩 \（F\in\mathcal{F}\）.如果(X（X）, d日)是 （f）-轨道完整且

• （a） （f） 是连续的,

然后 （f） 具有唯一的固定点 \（x中的x）.此外，对于每一个 \（x中的x_0）,皮卡德序列 \（{f^nx0\}\） 收敛到 x个.

由于该证明与[18，定理2.4]和[三，定理2.2]，其中利用了整个空间的完备性，而不是（f）.

推论3.2

定理 1.1 遵循定理 3.5 和 3.6.

推论3.3

让(X（X）, d日)是一个完整的度量空间，并且 \（f:X\右箭头X\）.假设存在 \（F\in\mathbb{F}\） 和 \（\sigma\in\mathbb{S}\） 这样的话 （f） 是 F类-Hardy-Rogers的收缩。，

$$\开始{对齐}\sigma（d（x，y））+F（d（fx，fy））\le&{}F\big（a_1d（x、y）+a_2d（x和fx）+a_3d（y，fy$$

为所有人 \（x中的x，y\） 无论何时 \（d（fx，fy）>0）,哪里 \（a_i\在[0，\infty）~\对于所有i\）,\（a_1+a_2+a_3+2a_4=1\）,\（a_3\ne 1） 和 \（a_1+a_3+a_5\le 1）.然后 （f） 具有唯一的固定点 \（x中的x）.

证明

对于所有人\（x中的x，y\），我们有

$$\begin｛aligned｝&a_1d（x，y）+a_2d（x，fx）+a_3d（y，fy）+a_4d（x，fy）+a_5d（y，fx）\\&\le（a_1+a_2+a_3+2a_4）\max\big\｛d（x，y），d（x，fx），d（y，fy），\frac｛d（x，fy）+d（y，fx）｝｛2｝\big\｝\\&=\max\big\｛d（x，y），d（x，fx），d（y，fy），\frac｛d（x，fy）+d（y，fx）｝｛2｝\big\｝。\结束｛对齐｝$$

\（\平方\）

应用

灵感来自[22]，我们建立了以下一阶周期边值问题关于其上下解的存在唯一解：

$$\开始{aligned}{\left\{\begin{array}{我}你^{\素数}=f（s，u（s）），\；\；s\在I=[0，s]\\u（0）=u（s）中，\\end{array}\right.}\结束｛对齐｝$$

(4.1)

哪里\（S>0\）和\（f:I\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）是一个连续函数。

让\（\mathcal{C}（I）\）表示上定义的所有连续函数的空间我。我们回顾以下两个定义：

定义4.1

[22]A函数\（\gamma\in\mathcal{C}^1（I）\）称为的下解(4.1)，如果

$$\begin{aligned}{{left\{begin{array}{ll}\gamma^{prime}\lef（s，\gamma（s）），\；\；在I\\伽马（0）\le\gamma（s）中为s\结束{数组}\右}}\结束｛对齐｝$$

定义4.2

[22]A函数\（\gamma\in\mathcal{C}^1（I）\）称为的上解(4.1)，如果

$$\begin{aligned}{{left\{begin{array}{ll}\gamma^{prime}\gef（s，\gamma（s）），\；\；在I\\伽马（0）\ge\gamma（s）中为s\结束{数组}\右}}\结束｛对齐｝$$

现在，我们证明了关于所描述问题解的存在唯一性的以下结果(4.1)存在下溶液（或上溶液）。

定理4.1

关于这个问题(4.1),假设以下条件成立:

• （i） 存在 \（\tau>0\） 这样所有人 \（x，y\in\mathbb{R}\） 具有 \（x \ le y \）

  $$\开始{对齐}0\le f（s，y）+e^{-\tau}y-[f（s），x）+e ^{-\t au}x]\le e ^{-\tau}（y-x）。\结束｛对齐｝$$

  (4.2)

• （ii） 存在一个函数 \（\omega:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\） 这样所有人 \（在I中为） 以及所有人 \（a，b\in\mathbb{R}\） 具有 \（ω（a，b）\ge 0）,

  $$\开始{aligned}\omega\Big（\int_{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，u（t））+e^{-\tau}u（t{d} t吨，\gamma（s）\Big）\ge 0，\end{对齐}$$

  哪里 \（\gamma\in\mathcal{C}^1（I）\） 是的较低解决方案(4.1).

• （iii） 为所有人 \（在I中为） 以及所有 \（x，y\在\数学{C}^1（I）\中）,\（\omega（x（s），y（s））\ge 0\）暗示

  $$\开始{aligned}\omega\Big（\int_{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，x（t））+e^{-\tau}x（t{d} t吨，\nint_{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，y（t））+e^{-\tau}y（t{d} 吨\大）\ge 0，\end{对齐}$$

• （iv） 如果 \（x_n\rightarrow x\in\mathcal{C}^1（I）\） 和 \（ω（x_{n+1}，x_n）\ge 0，\） 然后 \（\omega（x_n，x）\ge 0\） 为所有人 \（n\in\mathbb{n}\）.那么问题的下解的存在性(4.1)确保问题解的存在性和唯一性(4.1).

证明

描述的问题(4.1)可以重写为

$$\开始{对齐}{\left\{\begin{array}{ll}u^{\prime}（s）+e^{-\tau}u（s）=f（s，u（s，s）+e ^{-\t au}u；\对于I\\u（0）=u（s）\\end{array}\right.}中的所有~s\\结束{对齐}$$

这相当于积分方程

$$\开始{aligned}u（s）=\int_{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，u（t））+e^{-\tau}u（t{d} t吨，\结束{对齐}$$

(4.3)

其中Green函数克(秒, t吨)由提供

$$\begin{aligned}G（s，t）={{left\{begin{array}{ll}\frac{e^{e^}-\tau}（s+t-s）}{e^ e^{-\tau{s}-1}\；\；0\let<s\leS，\\frac{e^{e^}-e^{-\tau}（t-s）}}{e^_e^{-\t au}s}-1}\；；\；\；0\le s<t\le s.\\end{数组}\right.}}\结束｛对齐｝$$

定义函数\（\mathcal{X}:\mathcal{C}（I）\rightarrow\mathcali{C}（I）\）通过

$$\开始{aligned}（\mathcal{十} u个)（s） =\int_{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，u（t））+e^{-\tau}u（t{d} t吨\;\;\对于I中的所有~s\结束{对齐}$$

(4.4)

显然，如果\（u \ in \ mathcal{C}（I）\）是的固定点\（\mathcal{X}\），那么\（u \ in \ mathcal{C}^1（I）\）是的解决方案(4.3)因此(4.1). 现在，定义一个度量d日在\（\数学｛C｝（I）\）通过

$$\begin{aligned}d（u，v）=\sup\limits_{s\in I}|u（s）-v（s）|\；\；\对于所有~u，v\in\mathcal{C}（I）。\结束｛对齐｝$$

(4.5)

打开\（\mathcal{C}（I）\），定义偏序\（\程序\）由提供

$$\开始{aligned}u，v\in\mathcal{C}（I）；u\precq v\Longleftrightarrow u（s）\le v（s）\；\；\对于I中的所有~s\结束{对齐}$$

(4.6)

显然，\（（\mathcal{C}（I），d，\precq）\）是一个完备的有序度量空间。我们检查定理的所有其他条件3.4:

首先，让\（\gamma\in\mathcal｛C｝^1（I）\）是以下问题的较低解决方案(4.1); 我们有

$$\开始{aligned}\gamma^{\prime}（s）+e^{-\tau}\gama（s）\lef（s，\gamma（s；\对于I中的所有~s\结束{对齐}$$

将两边乘以\（e^{e^{-\tau}s}\），我们得到

$$\开始{aligned}（\gamma（s）e^{e^{-\tau}s}）^{prime}\le[f（s，\gammas）+e^{-\tau}\gamma's）]e^{e\tau}s}\；\；\对于I中的所有~s\，\结束{对齐}$$

这意味着

$$开始{对齐}\gamma（s）e^{e^{-\tau}s}\le\gamma（0）+\int_{0}^{s}[f（t，\gamma-（t））+e^{-\tau}\garma（t）]e^{e-\tau}t}\mathrm{d} t吨\;\;\对于I中的所有~s\结束{对齐}$$

(4.7)

作为\（伽玛（0）\le\gamma（S）\），我们有

$$开始{aligned}\gamma（0）e^{e^{-\tau}S}\le\gamma（S）e^}e^{e-\tau}S}\le\ gamma{d} t吨\结束{对齐}$$

以便

$$\开始{对齐}\gamma（0）\le\int_{0}^{S}\frac{e^{e^}-\tau}t}}{e^{e^_\tau}S}-1}[f（t，\gamma（t））+e^{-\tau}\garma（t）]\mathrm{d} t。\结束{对齐}$$

(4.8)

使用时(4.7)和(4.8)，我们获得

$$\开始{对齐}\gamma（s）e^{e^{-\tau}s}\le&{}\int_{0}^{s}\frac{e^}e^{-e^{-\t au}t}}{e^ e^{-\tau}s}-1}[f（t，\tau（t））+e^{-tau}\gama（t）]\mathrm{d} t吨\\&+\整数{0}^{s} e（电子）^{e^{-\tau}t}[f（t，\gamma（t））+e^{-tau}\gamma（t）]\mathrm{d} t吨\\\le&｛｝\int _｛0｝^｛s｝\frac｛e^｛e^｛-\tau｝（s+t）｝｝｛e^｛e^｛-\tau｝s｝-1｝[f（t，\gamma（t））+e^｛-\tau｝\gamma（t）]\mathrm{d} t吨\\&+\整数{s}^{s}\分形{e^{e^}-\tau}t}}{e^｛e^{-\tau{s}-1}[f（t，\gamma（t））+e^{-\tau}\gamma（t）]\mathrm{d} t吨\结束｛对齐｝$$

以便

$$开始{对齐}\gamma（s）\le&{}\int_{0}^{s}\frac{e^{e^}-\tau}（s+t-s）}}{e^｛e^{-\tau{s}-1}[f（t，\gamma（t））+e^{-\tau}\garma（t）]\mathrm{d} t吨\\&+\int_{s}^{s}\分形{e^{e^}-\tau}（t-s）}}{e^｛e^{-\tau{s}-1}[f（t，gamma（t））+e^{-tau}\gamma{d} t吨\\=&{}\int_{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，γ（t））+e^{-\tau}\gamma（t）]\mathrm{d} 吨\\=&{}（\mathcal{X}\gamma）\end{aligned}$$

为所有人\（在I中为），这意味着\（\gamma\proceq\mathcal{X}（\gama）\）.

第二，接受\（u，v\ in \ mathcal{C}（I）\）这样的话\（程序v）; 然后通过(4.2)，我们有

$$\开始{对齐}f（s，u（s））+e^{-\tau}u（s；\对于I中的所有~s\结束{对齐}$$

(4.9)

使用时(4.4), (4.9)事实上\（G（s，t）>0）对于\（（s，t）\单位：I \次I \），我们得到

$$\开始{aligned}（\mathcal{十} u个)（s） =&{}\int_{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，u（t））+e^{-\tau}u（t{d} t吨\\\le&{}\int{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，v（t））+e^{-\tau}v（t{d} t吨\\=&{}（\mathcal{十} v（v）)（s） \；\；\；\对于I中的所有\s\，\结束｛对齐｝$$

这是由于(4.6)，意味着\（\mathcal{X}（u）\preceq\mathcal{X}（v）\）以便\（\数学｛X｝\）正在增加。

最后，按递增顺序\（{u_n\}\subset\mathcal{C}（I）\）这样的话\（u_n\rightarrow u\in\mathcal{C}（I）\）; 然后针对每个\（在I中为）,\（{un（s）\}\）是中的序列\（\mathbb{R}\）收敛到u个(秒). 因此，对于所有人来说\（n\in\mathbb{n}\）以及所有人\（在I中为），我们有\（u_n（s）\le u（s）\）为所有人\（n \ in \ mathbb{N} _0（0）\)以便\（\mathcal{C}（I）\）是\（\程序\）-常规。

现在我们展示一下\（\mathcal{X}\）是F类-对某些人的收缩\（F\in\mathbb{F}\）.接受\（u，v\ in \ mathcal{C}（I）\）这样的话\（程序v），使用(4.2), (4.4)和(4.5)，我们有

$$\开始{对齐}d（\mathcal{十} u个，\mathcal{十} v（v）)=&{}\sup\limits_{s\inI}|（\mathcal{十} u个)（s） -（\mathcal{十} v（v）)（s） |=\sup\limits_{s\in I}\big（（\mathcal{十} v（v）)（s） -（\数学{十} u个)（s） \大）\\le&{}\sup\limits_{s\inI}\int_{0}^{S} G公司（s，t）[f（t，v（t））+e^｛-\tau｝v（t）-f（t，u（t））-e^｛-\tau｝u（t）]\mathrm{d} t吨\\\le&{}\sup\limits_{s\inI}\int_{0}^{S} G公司（s，t）e^{-\tau}（v（t）-u（t））{d} t吨\\{}=&{}e^{-\tau}d（u，v）\sup\limits\inI}\int_{0}^{S} G公司（s，t）\数学{d} t吨\\=&｛｝e^｛-\tau｝d（u，v）\sup\limits _｛s\in I｝\frac｛1｝｛e^｛e^｛-\tau｝s｝-1｝\Big（\frac｛1｝｛e^｛-\tau｝e^｛-\tau｝（s+t-s）｝\Big]_0^s+\frac｛1｝｛e^｛-\tau｝e ^｛-\tau｝（t-s）｝\Big]_s^s\Big）\=&｛｝e^｛-\tau｝d（u，v）\frac｛1｝｛（e^｛e^｛-\tau｝s｝-1）｝（e^｛e^｛-\tau｝s｝-1）\\=&｛｝e^｛-\tau｝d（u，v）\\le&｛｝e^｛-\tau｝\mathrm｛max｝\left（u，v），\frac{d（u，\mathcal{十} u个)+d（v，\mathcal）{十} v（v）)}{2} ，\frac{d（u，\mathcal{十} v（v）)+d（v，\mathcal）{十} u个)}{2} \右\}，\结束{对齐}$$

为所有人\（u，v在X中）具有\（程序v）因此，\（\mathcal{X}\）是F类-弱收缩\（\套\）在中选择(我)和\（F（s）=因此，定理的所有条件3.1满足于确保某个不动点的存在\（\mathcal{X}\）.请注意，任意\（u，v\ in \ mathcal{C}（I）\）,\（w:=\max\{u，v\}\in\mathcal{C}（I）\）可与两者相比u个和v（v）因此，根据定理，3.4,\（\mathcal{X}\）有一个唯一的不动点，这意味着这个问题(4.1)有一个独特的解决方案。\（\平方\）

定理4.2

定理 4.1 如果我们替换下解的存在性(4.1)通过上解的存在