方程式编译器和WellFoundedRelation#

要递归地定义函数和证明，如果在该类型上有良好的关系，则可以使用公式编译器

例如，naturals上的gcd定义使用了基础良好的递归

定义 gcd公司 (米 n个 : 国家) : 国家 :=
  如果 米 = 0 然后
    n个
  其他的
    gcd公司 (n个 % 米) 米
  终止（_B） 米
  减少_by simp_wf; 应用 模式lt _ (零_总_总_零 _); 假设

因为<是一种有充分根据的自然关系，而且因为m=0→n%m<m这个递归函数基础很好。

无论何时使用公式编译器，在递归的类型上都会有一个默认的基础良好的关系（由良好的关系实例），公式编译器将自动尝试证明函数在所述关系下建立良好。

当方程式编译器失败时，有两个主要原因。

  1. 它找不到减少的措施。
  2. 它未能证明所需的不平等。

证明所需不等式#

如果我们修改上面的gcd示例，通过删除终止（_B）&减少_by，我们得到一个错误。

定义 gcd公司 (米 n个 : 国家) : 国家 :=
  如果 米 = 0 然后
    n个
  其他的
    gcd公司 (n个 % 米) 米

未能显示终止国家gcd有个错误参数#1未用于结构递归无法消除递归应用程序（n%m）.gcd m参数#2未用于结构递归无法消除递归应用程序（n%m）.gcd m不能使用结构递归找不到递减度量值。每个递归调用的参数关联如下：（<，≤，=：证明关系，？所有证明均失败，_：未尝试证明）百万牛顿1) 93:4-18 ? ?请使用`termination_by`指定递减度量。

错误消息指示我们使用终止（_B）为了指定递减度量，我们使用米作为递减的度量，但我们得到了另一个错误。

定义 gcd公司 (米 n个 : 国家) : 国家 :=
  如果 米 = 0 然后
    n个
  其他的
    gcd公司 (n个 % 米) 米
  终止（_B） 米

未能证明终止，可能的解决方案：-使用“have”-表达式证明其余目标-使用`termination_by`指定不同的基础良好的关系-使用“decreasing_by”指定您自己实现此类目标的策略男：ℕ小时✝ : m=0⊢n%m<m

我们指定了正确的递减度量，因此我们的选项是使用有-表达式或使用减少_by.这里，我们使用通过策略减少证明此函数的终止。首先，让我们通过占位符对不起的显示目标。

定义 gcd公司 (米 n个 : 国家) : 国家 :=
  如果 米 = 0 然后
    n个
  其他的
    gcd公司 (n个 % 米) 米
  终止（_B） 米
  减少_by 对不起的

男：ℕ小时✝ : m=0⊢（invImage（fun x↦PSigma.casesOn x fun m \8614；m）instWellFoundedRelationOfSizeOf）.1⟨n%m，m⟩m，n \10217]

这个目标是编译器生成的，所以很难阅读，所以我们用简单（_wf）.

定义 gcd公司 (米 n个 : 国家) : 国家 :=
  如果 米 = 0 然后
    n个
  其他的
    gcd公司 (n个 % 米) 米
  终止（_B） 米
  减少_by simp_wf; 对不起的

男：ℕ小时✝ : m=0⊢n%m<m

顺便说一下，假设小时✝ : m=0来自哪里？事实上，在终止证明中，如果p则t其他f被重写为如果h:p，则t其他f，所以假设对变为可用。

剩下的任务只是证明这一目标：

定义 gcd公司 (米 n个 : 国家) : 国家 :=
  如果 米 = 0 然后
    n个
  其他的
    gcd公司 (n个 % 米) 米
  终止（_B） 米
  减少_by simp_wf; 应用 模式lt _ (zero_lt_of_ne_zero _); 假设

供您参考，如果我们使用选项有-表达式，函数的形式如下：

定义 gcd公司 (米 n个 : 国家) : 国家 :=
  如果 小时 : 米 = 0 然后
    n个
  其他的
    有 := 模式lt n个 (zero_lt_of_ne_zero 小时)
    gcd公司 (n个 % 米) 米

但是有-当我们使用方程引理时，表达式可能是一个障碍。

另一个示例是中的以下函数数据。多集。基本.

定义 strong感应开启 {对 : 多组 α → 排序*} (秒 : 多组 α) (国际卫生组织 : ∀ 秒, (∀ 吨 < 秒, 对 吨) → 对 秒) :
    对 秒 :=
    (国际卫生组织 秒) 乐趣 吨 _小时 =>
      strong感应开启 吨 国际卫生组织
终止（_B） 卡片 秒
减少_by 准确的 卡片_卡片 _小时

此示例使用卡作为一种减少的措施，而不是论点本身。

WellFoundedRelation实例#

我们不仅可以指定国家值，但也包括任何类型良好的关系作为递减的度量，正如您在中看到的数据。列表。Defs（定义）:

定义 排列Aux.rec {C类 : 列表 α → 列表 α → 排序 v（v）} (H0型 : ∀ 是, C类 [] 是)
    (上半年 : ∀ 吨 ts秒 是, C类 ts秒 (吨 :: 是) → C类 是 [] → C类 (吨 :: ts秒) 是) : ∀ l₁ l⁄, C类 l₁ l⁄
  | [], 是 => H0型 是
  | 吨 :: ts秒, 是 =>
      上半年 吨 ts秒 是 (排列Aux.rec H0型 上半年 ts秒 (吨 :: 是)) (排列Aux.rec H0型 上半年 是 [])
  终止（_B） ts秒 是 => (长度 ts秒 + 长度 是, 长度 ts秒)
  减少_by 所有目标（_G） (simp_wf; 欧米茄)

此示例使用纳特×纳特值作为递减度量。这个良好的关系在这种类型上是自然数的字典顺序，由中的以下实例定义初始化。WF公司:

实例 [哈 : 良好的关系 α] [血红蛋白 : 良好的关系 β] : 良好的关系 (α × β) :=
  法律 哈 血红蛋白