100个定理

弗里克·维迪克保持列表跟踪定理证明程序在形式化100个数学经典定理中的进展，作为比较著名定理证明程序的一种方式。目前，其中78个已在精益中正式化。我们还有一个包含列表中定理的页面尚不精益.

1.2的平方根的非理性#

作者：mathlib

定理 不合理的:
不合理的 √2

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2.代数基本定理#

作者：克里斯·休斯

定理 复杂.exists_root {传真：多项式的 ℂ} （高频：0 < （f）.度) :
∃ (z（z）:ℂ),（f）.IsRoot文件 z（z）

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3.有理数的可数性#

作者：克里斯·休斯

实例 老鼠.inst数字:
可数的 ℚ

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4.勾股定理#

作者：约瑟夫·迈尔斯

定理 欧几里得几何.dist_sq_eq_dist_sq_add_dist_sq _iff角_eq_pi_div_two {V：类型u_1} {电话：类型u2} [标准添加通信组 V（V）] [内部产品空间 ℝ V（V）] [MetricSpace（度量空间） P（P）] [标准加法器 V（V） P（P）] （第1页：P（P）) （第2页：P（P）) （第3页：P（P）) :
距离 第1页 第3页 * 距离 第1页 第3页 = 距离 第1页 第2页 * 距离 第1页 第2页 + 距离 第3页 第2页 * 距离 第3页 第2页 ↔ 欧几里得几何角 第1页 第2页 第3页 = 实际.pi / 2

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7.二次互惠定律#

作者：克里斯·休斯（第一）和迈克尔·斯托尔（第二）

定理 传奇Sym.二次互易性 {页码：ℕ} {问：ℕ} [事实 第页.灌注] [事实 q个.灌注] （马力：第页 ≠ 2) （总部：q个 ≠ 2) （马力：第页 ≠ q个) :
传奇Sym q个 ↑第页 * 图例符号 第页 ↑q个 = (-1) ^ (第页 / 2 * (q个 / 2))

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定理 雅各比西姆.二次互易性 {答：ℕ} {b：ℕ} （公顷：奇数 一) （血红蛋白：奇数 b条) :
雅可比对称 (↑一) b条 = (-1) ^ (一 / 2 * (b条 / 2)) * 雅各比西姆 (↑b条) 一

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9.圆的面积#

作者：詹姆斯·亚瑟、本杰明·戴维森和安德鲁·索瑟

定理 定理100.区域_光盘 （r：NN真实) :
测量理论.体积 (定理100.disc ↑第页) = ↑NN实际.pi * ↑第页 ^ 2

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10.费马小定理的欧拉推广#

作者：克里斯·休斯

定理 国家.模式Eq.电源（_T） {x：ℕ} {编号：ℕ} （小时：x个.互质 n个) :
x个 ^ n个.totient（转向） ≡ 1 [国防部 n个]

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11.素数的无限性#

作者：Jeremy Avigad

定理 国家.存在无穷素数 （编号：ℕ) :
∃ (第页:ℕ),n个 ≤ 第页 ∧ 第页.灌注

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14.欧拉求和1+（1/2）^2+（1/3）^2+…。#

作者：Marc Masdeu，David Loefler

定理 有Sum_zeta_two:
HasSum公司 (有趣(n个:ℕ) =>1 / ↑n个 ^ 2) (真实.pi ^ 2 / 6)

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15.积分基本定理#

作者：Yury G.Kudryashov（第一）和Benjamin Davidson（第二）

定理 interval积分.integration_hasStrictDeriveAt_of_tendsto_ae_reright积分 {电子：类型u3} [标准添加通信组 电子] [标准间距 ℝ 电子] [CompleteSpace（完整空间） 电子] {传真：ℝ→电子} ｛c：电子} {答：ℝ} {b：ℝ} （高频：间隔可积 （f） 测量理论.体积 一 b条) （hmeas公司：过滤器处的强可测量性 （f） (非霍奇金淋巴瘤 b条) 测量理论.体积) （血红蛋白：过滤器。丹德斯托 （f） (非霍奇金淋巴瘤 b条 ⊓ 测量理论.ae 测量理论.体积) (非霍奇金淋巴瘤 c（c）)) :
具有严格派生条件 (乐趣(u个:ℝ) =>∫ (x个:ℝ)英寸一..u个,（f） x个) c（c） b条

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定理 interval积分.积分_eq_sub_of_has派生_right_of_le {电子：类型u3} [标准添加通信组 电子] [标准间距 ℝ 电子] {答：ℝ} ｛b：ℝ} [CompleteSpace（完整空间） 电子] {传真：ℝ→电子} {f'：ℝ→电子} （哈伯：一 ≤ b条) （hcont:ContinuousOn（持续打开） （f） (设置。国际商会 一 b条)) （赫德里夫：∀x个∈设置。Ioo公司 一 b条,Has派生WithinAt （f） (f英尺 x个) (设置。Ioi公司 x个) x个) （注解：间隔可积 f英尺 测量理论.体积 一 b条) :
∫ (年:ℝ)英寸一..b条,f英尺 年 = （f） b条 - （f） 一

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16.一般高次方程的不可解性（Abel-Ruffini定理）#

作者：托马斯·布朗宁

定理 阿贝尔·鲁菲尼.存在_未解决_ by_rad:
∃ (x个:ℂ),伊斯代数 ℚ x个 ∧ ¬IsSolvableByRad（按半径解决） ℚ x个

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17.德莫伊夫尔公式#

作者：Abhimanyu Pallavi Sudhir

定理 复杂.cos_add_sin_mul_I_pow（cos_add_sin_mul_I_pow） （编号：ℕ) （z：ℂ) :
(z（z）.cos（成本） + z（z）.sin（犯罪） * 复杂。我) ^ n个 = (↑n个 * z（z）).cos（成本） + (↑n个 * z（z）).sin（犯罪） * 复杂。我

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18.刘维尔定理与先验数的构造#

作者：张菊建

定理 利乌维尔.超越的 {x：ℝ} （lx：利乌维尔 x个) :
先验的 ℤ x个

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19.四平方定理#

作者：克里斯·休斯

定理 国家.四平方和 （编号：ℕ) :
∃ (一:ℕ) (b条:ℕ) (c（c）:ℕ) (d日:ℕ),一 ^ 2 + b条 ^ 2 + c（c） ^ 2 + d日 ^ 2 = n个

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20.所有素数（1模4）等于两个平方和#

作者：克里斯·休斯

定理 国家.Prime（主要）.平方_地址_平方 {页码：ℕ} [事实 第页.灌注] （马力：第页 % 4 ≠ 三) :
∃ (一:ℕ) (b条:ℕ),一 ^ 2 + b条 ^ 2 = 第页

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22.连续体的不可数性#

作者：Floris van Doorn

定理 红衣主教.不可计算实际值:
¬集合.univ.可计数

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23.勾股三元组公式#

作者：Paul van Wamelen

定理 毕达哥拉斯三联.分类 {x：ℤ} {年：ℤ} {z：ℤ} :
毕达哥拉斯三联 x个 年 z（z） ↔ ∃ (k个:ℤ) (米:ℤ) (n个:ℤ),(x个 = k个 * (米 ^ 2 - n个 ^ 2) ∧ 年 = k个 * (2 * 米 * n个) ∨ x个 = k个 * (2 * 米 * n个) ∧ 年 = k个 * (米 ^ 2 - n个 ^ 2)) ∧ (z（z） = k个 * (米 ^ 2 + n个 ^ 2) ∨ z（z） = -k个 * (米 ^ 2 + n个 ^ 2))

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24.连续统假设的独立性#

作者：Jesse Michael Han和Floris van Doorn

结果

网站

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25.施罗德-伯恩斯坦定理#

作者：马里奥·卡内罗

定理 功能.嵌入.施罗德伯恩斯坦 {α :类型用户} {β :类型v}（v}） {传真：α→β} {克：β→α} （高频：功能。注射剂 （f）) （汞：功能。注射剂 克) :
∃ (小时:α→β),功能。双射的 小时

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26.莱布尼茨的Pi系列#

作者：本杰明·戴维森

定理 真实.tendsto_sum_pi_div_four公司:
过滤器。丹德斯托 (有趣(k个:ℕ) =>∑我∈微调范围 k个,(-1) ^ 我 / (2 * ↑我 + 1)) 过滤器顶部 (非霍奇金淋巴瘤 (实际.pi / 4))

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27.三角形的角度之和#

作者：约瑟夫·迈尔斯

定理 欧几里德几何.角度添加角度添加角度 {V：类型u_1} ｛P：类型u2} [标准添加通信组 V（V）] [内部产品空间 ℝ V（V）] [MetricSpace（度量空间） P（P）] [标准加法器 V（V） P（P）] {第1页：P（P）} {第2页：P（P）} {第3页：P（P）} （氢气：第2页 ≠ 第1页) （时3分：第3页 ≠ 第1页) :
欧几里得几何角度 第1页 第2页 第3页 + 欧几里得几何角 第2页 第3页 第1页 + 欧几里得几何角 第3页 第1页 第2页 = 实际.pi

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30.选票问题#

作者：Bhavik Mehta，Kexing Ying

定理 选票.选票问题 （问题：ℕ) （p：ℕ) :
q个 < 第页→(概率Theory.condCount (投票计数序列 第页 q个)) Ballot.stays正面 = (↑第页 - ↑q个) / (↑第页 + ↑q个)

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31.拉姆齐定理#

作者：巴维克·梅塔

结果

34.调和级数的发散#

作者：Anatole Dedecker，Yury Kudryashov

定理 真实.tendsto_sum_range_one_div_nat_succ_at顶部:
过滤器。丹德斯托 (有趣(n个:ℕ) =>∑我∈微调范围 n个,1 / (↑我 + 1)) 过滤器.at顶部 过滤器.at顶部

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35.泰勒定理#

作者：莫里茨娃娃

定理 泰勒平均维护图 {传真：ℝ→ℝ} {x：ℝ} {x₀：ℝ} {编号：ℕ} （高度：x₀ < x个) （高频：控制差异开 ℝ (↑n个) （f） (设置。国际协调委员会 x₀ x个)) （高频：DifferentiableOn（可区分开） ℝ (iteratedDeriveWith内 n个 （f） (设置。国际商会 x₀ x个)) (设置。Ioo公司 x₀ x个)) :
∃x’∈设置。Ioo公司 x₀ x个,（f） x个 - 泰勒与伊瓦尔 （f） n个 (设置。国际商会 x₀ x个) x₀ x个 = iteratedDeriveWith内 (n个 + 1) （f） (设置。国际商会 x₀ x个) x’ * (x个 - x₀) ^ (n个 + 1) / ↑(n个 + 1).阶乘

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定理 泰勒-米恩-莱曼-凯西 {传真：ℝ→ℝ} {x：ℝ} {x₀：ℝ} {编号：ℕ} （高度：x₀ < x个) （高频：控制差异开 ℝ (↑n个) （f） (设置。国际商会 x₀ x个)) （高频：DifferentiableOn（可区分开） ℝ (iteratedDeriveWith内 n个 （f） (设置。国际商会 x₀ x个)) (设置。Ioo公司 x₀ x个)) :
∃x’∈设置。Ioo公司 x₀ x个,（f） x个 - 泰勒与伊瓦尔 （f） n个 (设置。国际商会 x₀ x个) x₀ x个 = iteratedDeriveWith内 (n个 + 1) （f） (设置。国际商会 x₀ x个) x’ * (x个 - x’) ^ n个 / ↑n个.阶乘 * (x个 - x₀)

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36.Brouwer不动点定理#

作者：Brendan Seamas Murphy

结果

37.立方的解#

作者：Jeoff Lee

定理 定理100.立方体_eq_zero_off {克：类型u_1} [字段 K（K）] [可逆的 2] [可逆的 三] （a）K（K）) （b）K（K）) （抄送：K（K）) （d）K（K）) {ω :K（K）} {页码：K（K）} {问：K（K）} {序号：K（K）} {秒：K（K）} {电话：K（K）} （公顷：一 ≠ 0) （hω：IsPrimitiveRoot ω 三) （马力：第页 = (三 * 一 * c（c） - b条 ^ 2) / (9 * 一 ^ 2)) （hp_nonzero:第页 ≠ 0) （总部：q个 = (9 * 一 * b条 * c（c） - 2 * b条 ^ 三 - 27 * 一 ^ 2 * d日) / (54 * 一 ^ 三)) （小时：第页 ^ 2 = q个 ^ 2 + 第页 ^ 三) （hs3：秒 ^ 三 = q个 + 第页) （晚：t吨 * 秒 = 第页) （x：K（K）) :
一 * x个 ^ 三 + b条 * x个 ^ 2 + c（c） * x个 + d日 = 0 ↔ x个 = 秒 - t吨 - b条 / (三 * 一) ∨ x个 = 秒 * ω - t吨 * ω ^ 2 - b条 / (三 * 一) ∨ x个 = 秒 * ω ^ 2 - t吨 * ω - b条 / (三 * 一)

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38.算术平均值/几何平均值#

作者：Yury G.Kudryashov

定理 真实.地理平均加权 {ι :类型用户} （s：芬赛特 ι) （重量：ι→ℝ) （z：ι→ℝ) （硬件：∀我∈秒,0 ≤ w个 我) （硬件：∑我∈秒,w个 我 = 1) （赫兹：∀我∈秒,0 ≤ z（z） 我) :
∏我∈秒,z（z） 我 ^ w个 我 ≤ ∑我∈秒,w个 我 * z（z） 我

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39.佩尔方程的解#

作者：马里奥·卡内罗（第一）、迈克尔·斯托尔（第二）

定理 佩尔.eq_单元格 {答：ℕ} （a1：1 < 一) {x：ℕ} {年：ℕ} （马力：x个 * x个 - 佩尔。d日 第1页 * 年 * 年 = 1) :
∃ (n个:ℕ),x个 = 佩尔.xn 第1页 n个 ∧ 年 = Pell.yn公司 第1页 n个

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定理 佩尔.存在_of_not_isSquare {日期：ℤ} （h₀：0 < d日) （高清：¬IsSquare（平方码） d日) :
∃ (x个:ℤ) (年:ℤ),x个 ^ 2 - d日 * 年 ^ 2 = 1 ∧ 年 ≠ 0

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在pell.eq_电池,d日定义为a*a-1对于一个武断的a>1.

40.闵可夫斯基基本定理#

作者：亚历克斯·J·贝斯特、耶尔·迪利斯

定理 测量理论.存在_无_零_最小_间隔_测量_多_两_低_测量 ｛E：类型u_1} [可测量空间 电子] {μ :测量理论。测量 电子} {传真：设置 电子} {秒：设置 电子} [标准添加通信组 电子] [标准间距 ℝ 电子] [钻孔空间 电子] [有限尺寸 ℝ 电子] [μ.IsAddHaar度量值] {左：添加子组 电子} [可数的 ↥L（左）] （基金：测量理论。IsAddFundamentalDomain（添加基础域） (↥L（左）) F类 μ) （符号：∀x个∈秒,-x个 ∈ 秒) （h转换：凸面的 ℝ 秒) （小时：μ F类 * 2 ^ 有限尺寸.finrank ℝ 电子 < μ 秒) :
∃ (x个:↥L（左）),x个 ≠ 0 ∧ ↑x个 ∈ 秒

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42.三角形数的倒数和#

作者：贾勒克斯·斯塔克、尤里·库德里亚舍夫

定理 定理100.反三角形和 （编号：ℕ) :
∑k个∈微调范围 n个,2 / (↑k个 * (↑k个 + 1)) = 如果n个 = 0然后0其他的2 - 2 / ↑n个

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44.二项式定理#

作者：克里斯·休斯

定理 添加浏览（_P） {右：类型u1｝ [CommSemiring公司 R（右）] （x：R（右）) （年：R（右）) （编号：ℕ) :
(x个 + 年) ^ n个 = ∑米∈微调范围 (n个 + 1),x个 ^ 米 * 年 ^ (n个 - 米) * ↑(n个.选择 米)

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45.划分定理#

作者：Bhavik Mehta，Aaron Anderson

定理 定理100.分区_主题 （编号：ℕ) :
(自然分区赔率 n个).卡 = (自然分区区分 n个).卡

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49.凯莱-汉密尔顿定理#

作者：斯科特·莫里森

定理 矩阵.aeval_self_charpoly公司 {右：类型u_1} [通信环 R（右）] {编号：类型u4} [可判定等式 n个] [翅片类型 n个] （男：矩阵 n个 n个 R（右）) :
(多项式评估 M（M）) M（M）.查普利 = 0

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51.威尔逊引理#

作者：克里斯·休斯

定理 ZMod公司.威尔逊引理 （p：ℕ) [事实 第页.灌注] :
↑(第页 - 1).阶乘 = -1

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52.集合的子集数#

作者：mathlib

定理 芬赛特.卡_电源 {α :类型u_1} （s：芬赛特 α) :
秒.电源组.卡 = 2 ^ 秒.卡

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54.哥尼斯堡大桥问题#

作者：凯尔·米勒

定理 科尼斯伯格.非欧拉语系 {单位：科尼格斯堡垂直} {v：科尼格斯堡垂直} （第页：科尼格斯伯格.graph.步行 u个 v（v）) （小时：第页伊斯欧拉语) :
False（错误）

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55.弦段乘积#

作者：Manuel Candales

定理 欧几里德几何.cospherical_of_angle_eq_pi的多个列表 {V：类型u_1} [标准添加通信组 V（V）] [内部产品空间 ℝ V（V）] {电话：类型u2} [MetricSpace（度量空间） P（P）] [标准加法器 V（V） P（P）] {答：P（P）} ｛b：P（P）} {抄送：P（P）} {日期：P（P）} {页码：P（P）} （小时：欧几里德几何。Cospherical公司 {一,b条,c（c）,d日}) （大约：欧几里得几何角 一 第页 b条 = 真实.pi) （hcpd:欧几里得几何角 c（c） 第页 d日 = 实际.pi) :
距离 一 第页 * 距离 b条 第页 = 距离 c（c） 第页 * 距离 d日 第页

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57.苍鹭公式#

作者：马特·坎普斯特

定理 定理100.苍鹭 {V：类型u_1} {电话：类型u2} [Normed添加通讯组 V（V）] [内部产品空间 ℝ V（V）] [MetricSpace（度量空间） P（P）] [标准加法器 V（V） P（P）] {第1页：P（P）} {第2页：P（P）} {第3页：P（P）} （时1分：第1页 ≠ 第2页) （氢气：第3页 ≠ 第2页) :
让一:=距离 第1页 第2页;让b条:=距离 第3页 第2页;让c（c）:=距离 第1页 第3页;让秒:=(一 + b条 + c（c）) / 2;1/2 * 一 * b条 * (欧几里得几何角 第1页 第2页 第3页).sin（犯罪） = √(秒 * (秒 - 一) * (秒 - b条) * (秒 - c（c）))

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58.组合数公式#

作者：mathlib

定理 芬赛特.card_powersetCard卡 {α :类型u_1} （编号：ℕ) （s：芬赛特 α) :
(Finset.powerset卡 n个 秒).卡 = 秒.卡.选择 n个

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定理 芬赛特.mem_powersetCard（电源卡） {α :类型u_1} {编号：ℕ} {秒：芬赛特 α} {电话：芬赛特 α} :
秒 ∈ Finset.powerset卡 n个 t吨 ↔ 秒 ⊆ t吨 ∧ 秒.卡 = n个

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59.大数定律#

作者：塞巴斯蒂安·古泽尔

定理 概率论.strong法律（_A） {Ω :类型u_1} [测量理论。度量空间 Ω] [测量理论。Is概率度量 测量理论.体积] {电子：类型u2} [标准添加通信组 电子] [标准间距 ℝ 电子] [CompleteSpace（完整空间） 电子] [可测量空间 电子] [BorelSpace公司 电子] （X：ℕ→Ω→电子) （提示：测量理论。可积的 (X（X） 0) 测量理论.体积) （后腿：成对 有趣(我 j个:ℕ) =>概率论。索引Fun (X（X） 我) (X（X） j个) 测量理论.体积) （隐藏：∀ (我:ℕ),概率论。IdentDistribute（标识分发） (X（X） 我) (X（X） 0) 测量理论.体积 测量理论.体积) :
∀ᵐ (ω:Ω),过滤器。Tendsto公司 (有趣(n个:ℕ) =>(↑n个)⁻¹ • ∑我∈微调范围 n个,X（X） 我 ω) 过滤器.at顶部 (非霍奇金淋巴瘤 (∫ (一:Ω),X（X） 0 一))

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60.贝佐特定理#

作者：mathlib

定理 国家.gcd等效gcd ab （x：ℕ) （年：ℕ) :
↑(x个.gcd文件 年) = ↑x个 * x个.gcdA文件 年 + ↑年 * x个.gcdB（千分贝） 年

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62.公平博弈定理#

作者：Kexing Ying

定理 测量理论.submartingale_if_expected_stoppedValue_mono {Ω :类型u_1} {m0：可测量空间 Ω} {μ :测量理论。测量 Ω} {𝒢 :测量理论。过滤 ℕ 百万} {传真：ℕ→Ω→ℝ} [测量理论。IsFiniteMeasure公司 μ] （hadp:测量理论。改编 𝒢 （f）) （提示：∀ (我:ℕ),测量理论。可积的 (（f） 我) μ) :
测量理论。Submartingale公司 （f） 𝒢 μ ↔ ∀ (τπ:Ω→ℕ),测量理论。是停止时间 𝒢 τ→测量理论。是停止时间 𝒢 π→τ ≤ π→(∃ (N个:ℕ),∀ (x个:Ω),π x个 ≤ N个)→∫ (x个:Ω),测量理论停止值 （f） τ x个∂μ ≤ ∫ (x个:Ω),测量理论停止值 （f） π x个∂μ

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63.康托定理#

作者：mathlib

定理 红衣主教.康托 （a）红衣主教。{u}) :
一 < 2 ^ 一

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64.《医院规则》#

作者：Anatole Dedecker

定理 衍生.lhopital零硬盘 {答：ℝ} {l：过滤器 ℝ} {传真：ℝ→ℝ} {克：ℝ→ℝ} （硬盘驱动器：∀ᶠ (x个:ℝ)英寸非霍奇金淋巴瘤 一,可微分At ℝ （f） x个) （高度：∀ᶠ (x个:ℝ)英寸非霍奇金淋巴瘤 一,衍生 克 x个 ≠ 0) （高频分析：过滤器。丹德斯托 （f） (非霍奇金淋巴瘤 一) (非霍奇金淋巴瘤 0)) （hga：过滤器。丹德斯托 克 (非霍奇金淋巴瘤 一) (非霍奇金淋巴瘤 0)) （hdiv：过滤器。丹德斯托 (乐趣(x个:ℝ) =>衍生 （f） x个 / 衍生 克 x个) (非霍奇金淋巴瘤 一) 我) :
过滤器。丹德斯托 (有趣(x个:ℝ) =>（f） x个 / 克 x个) (nhds内 一 {一}ᶜ) 我

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65.等腰三角形定理#

作者：Joseph Myers

定理 欧几里德几何.角度_角度_距离_角度 {V：类型u_1} {电话：类型u2} [标准添加通信组 V（V）] [内部产品空间 ℝ V（V）] [MetricSpace（度量空间） P（P）] [标准加法器 V（V） P（P）] ｛p1：P（P）} {第2页：P（P）} {第3页：P（P）} （小时：距离 第1页 第2页 = 距离 第1页 第3页) :
欧几里得几何角 第1页 第2页 第3页 = 欧几里得几何角 第1页 第3页 第2页

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66.几何级数之和#

作者：Sander R.Dahmen（有限）和Johannes Hölzl（无限）

定理 地理_汇总_公司 {α :类型用户} [分割环 α] {x：α} （高度：x个 ≠ 1) {米：ℕ} {编号：ℕ} （嗯：米 ≤ n个) :
∑我∈芬塞特。图标 米 n个,x个 ^ 我 = (x个 ^ n个 - x个 ^ 米) / (x个 - 1)

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定理 NN真实.hasSum_geometric（几何） {序号：NN真实} （小时：第页 < 1) :
HasSum公司 (乐趣(n个:ℕ) =>第页 ^ n个) (1 - 第页)⁻¹

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67.e是先验的#

作者：张居建

结果

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68.算术级数之和#

作者：Johannes Hölzl

定理 芬赛特.总和范围id （编号：ℕ) :
∑我∈Finset.范围 n个,我 = n个 * (n个 - 1) / 2

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69.最大公因子算法#

作者：mathlib

定义 欧几里得域.gcd公司 {右：类型用户} [欧几里得域 R（右）] [可判定等式 R（右）] （a）R（右）) （b）R（右）) :
R（右）

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定理 欧几里得域.gcd光盘 {右：类型用户} [欧几里得域 R（右）] [可判定等式 R（右）] （a）R（右）) （b）R（右）) :
欧几里得域.gcd 一 b条 ∣ 一 ∧ 欧几里得域.gcd 一 b条 ∣ b条

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定理 欧几里得域.dvd_gcd {右：类型用户} [欧几里得域 R（右）] [可判定等式 R（右）] ｛a：R（右）} {b：R（右）} {抄送：R（右）} :
c（c） ∣ 一→c（c） ∣ b条→c（c） ∣ 欧几里得域.gcd 一 b条

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70.完全数定理#

作者：Aaron Anderson

定理 定理100.国家.eq_two_pow_mul_prime_mersene_of_even_perfect等式 {编号：ℕ} （版本：偶数 n个) （性能：n个.完美) :
∃ (k个:ℕ),(梅森 (k个 + 1)).灌注 ∧ n个 = 2 ^ k个 * 梅森 (k个 + 1)

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71.子群的阶#

作者：mathlib

定理 子组.卡_子组_虚拟数据卡 {α :类型u_1} [集团 α] （s：子组 α) :
国家信用卡 ↥秒 ∣ 国家信用卡 α

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72.西洛定理#

作者：克里斯·休斯

定理 西罗.exists_subgroup_card_pow_prime存在_子组_卡片_首字母 {希腊：类型用户} [集团 G公司] [翅片类型 G公司] （p：ℕ) {编号：ℕ} [事实 第页.灌注] （hdvd:第页 ^ n个 ∣ Fintype.card（翅片类型卡） G公司) :
∃ (K（K）:子组 G公司),Fintype.card（翅片类型卡） ↥K（K） = 第页 ^ n个

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sylow_结合

卡片_菱形_dvd

卡_低端_型号_一

73.升序或降序（Erdős–Szekeres定理）#

作者：巴维克·梅塔

定理 定理100.erdos_szekeres公司 {α :类型u_1} [线性顺序 α] {序号：ℕ} {秒：ℕ} {编号：ℕ} {传真：翅片 n个→α} （hn:第页 * 秒 < n个) （高频：功能。注射剂 （f）) :
(∃ (t吨:芬赛特 (翅片 n个)),第页 < t吨.卡 ∧ 严格单声道 （f） ↑t吨) ∨ ∃ (t吨:芬赛特 (翅片 n个)),秒 < t吨.卡 ∧ 严格反对 （f） ↑t吨

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74.数学归纳法原理#

作者：莱昂纳多·德·莫拉

感应的 国家:
类型

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定义自然数时自动生成

75.中值定理#

作者：Yury G.Kudryashov

定理 存在_派生_质量_斜面 （f：ℝ→ℝ) {答：ℝ} ｛b：ℝ} （哈伯：一 < b条) （高频：ContinuousOn（持续打开） （f） (设置。国际商会 一 b条)) （高频：DifferentiableOn（可区分开） ℝ （f） (设置。Ioo公司 一 b条)) :
∃c（c）∈设置。Ioo公司 一 b条,衍生 （f） c（c） = (（f） b条 - （f） 一) / (b条 - 一)

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76.傅里叶级数#

作者：Heather Macbeth

定义 四级Coeff {电话：ℝ} [小时：事实 (0 < T型)] {电子：类型} [标准添加通信组 电子] [标准间距 ℂ 电子] （f）添加圆形 T型→电子) （编号：ℤ) :
电子

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定理 具有源系列总和_L2 {电话：ℝ} [小时：事实 (0 < T型)] （f：↥(测量理论。Lp公司 ℂ 2 添加圆圈.haarAddCircle)) :
HasSum公司 (有趣(我:ℤ) =>四级Coeff (↑↑（f）) 我 • 四层Lp 2 我) （f）

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77.第k次幂之和#

作者：mathlib（莫里茨·菲尔辛（Moritz Firsching）、费比安·克鲁斯（Fabian Kruse）、阿什夫尼·纳拉亚南（Ashvni Narayanan））

定理 总和范围流动 （编号：ℕ) （第页：ℕ) :
∑k个∈微调范围 n个,↑k个 ^ 第页 = ∑我∈微调范围 (第页 + 1),伯努利 我 * ↑((第页 + 1).选择 我) * ↑n个 ^ (第页 + 1 - 我) / (↑第页 + 1)

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定理 汇总_输入_输出 （编号：ℕ) （p：ℕ) :
∑k个∈芬塞特。图标 1 (n个 + 1),↑k个 ^ 第页 = ∑我∈微调范围 (第页 + 1),伯努利' 我 * ↑((第页 + 1).选择 我) * ↑n个 ^ (第页 + 1 - 我) / (↑第页 + 1)

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78.Cauchy-Schwarz不等式#

作者：周航周

定理 内部mul内部self_le {𝕜 :类型u_1} {电子：类型u2} [RC类似 𝕜] [标准添加通信组 电子] [内部产品空间 𝕜 电子] （x：电子) （年：电子) :
‖⟪x个,年⟫_𝕜‖ * ‖⟪年,x个⟫_𝕜‖ ≤ RC喜欢.re ⟪x个,x个⟫_𝕜 * RC喜欢.re ⟪年,年⟫_𝕜

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定理 标准_内_标准 {𝕜 :类型u_1} {电子：类型u2} [RC类似 𝕜] [标准添加通信组 电子] [内部产品空间 𝕜 电子] （x：电子) （年：电子) :
‖⟪x个,年⟫_𝕜‖ ≤ ‖x个‖ * ‖年‖

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79.中间值定理#

作者：mathlib（Rob Lewis和Chris Hughes）

定理 中间值抄送 {α :类型用户} [有条件完成线性订单 α] [拓扑空间 α] [订单拓扑结构 α] [密集订购 α] {δ :类型u_1} [线性顺序 δ] [拓扑空间 δ] [订单关闭拓扑 δ] {答：α} {b：α} （哈伯：一 ≤ b条) {传真：α→δ} （高频：ContinuousOn（持续打开） （f） (设置。国际商会 一 b条)) :
设置。国际商会 (（f） 一) (（f） b条) ⊆ （f） '' 设置。国际商会 一 b条

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80.算术基本定理#

作者：mathlib（Chris Hughes）

定理 国家.因子_唯一 {编号：ℕ} {l：列表 ℕ} （h₁：我.触头 = n个) （小时2：∀第页∈我,第页.灌注) :
我.烫发 n个.因素

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实例 国际.欧氏域:
欧几里得域 ℤ

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实例 欧几里得域.到负责人理想域 {右：类型用户} [欧几里得域 R（右）] :
IsPrincipalIdealRing原则 R（右）

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班 唯一分解单体 (α :类型u_2） [取消零CommMonoid α] 延伸 WfDvd单体 :
道具

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定理 唯一分解单体.因子_唯一 {α :类型u_1} [取消零CommMonoid α] [唯一分解单体 α] {传真：多组 α} {克：多组 α} （高频：∀x个∈（f）,不可约的 x个) （汞：∀x个∈克,不可约的 x个) （小时：相关 （f）.触头 克.触头) :
多集。相对 相关 （f） 克

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它也有一个广义版本，通过证明每个欧几里德域是唯一的因子分解域，并表明整数构成欧几里得域。

81.素数倒数级数的发散性#

作者：Manuel Candales（档案）、Michael Stoll（Mathlib）

定理 定理100.真实.tendsto_sum_one_div_prime_at顶部:
过滤器。丹德斯托 (有趣(n个:ℕ) =>∑第页∈精细过滤器 (有趣(第页:ℕ) =>第页.灌注) (微调范围 n个),1 / ↑第页) 过滤器.at顶部 过滤器.at顶部

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定理 不包含素数的summable_one_div_on:
¬可汇总 ({第页:ℕ|第页.灌注}.指示器 有趣(n个:ℕ) =>1 / ↑n个)

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82.立方体解剖（J.E.Littlewood的“优雅”证明）#

作者：Floris van Doorn

定理 定理100.«82».cannot_cube_a_cube {编号：ℕ} :
n个 ≥ 三→∀ {秒:设置 (定理100。«82»。多维数据集 n个)},秒.有限→秒.非平凡→秒.成对不相交 定理100。«82»。立方体到集合→⋃c（c）∈秒,c（c）.to设置 = 定理100。«82»。立方体.unitCube.to设置→设置。注射 定理100。«82»。立方体。w个 秒→False（错误）

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83.友谊定理#

作者：Aaron Anderson、Jalex Stark、Kyle Miller

定理 定理100.友谊_定理 {V：类型用户} [翅片类型 V（V）] {希腊：SimpleGraph（简单图形） V（V）} （hG：理论100.友谊 G公司) [非空 V（V）] :
定理100.存在政治家 G公司

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85.可被3除规则#

作者：斯科特·莫里森

定理 国家.三道夫 （编号：ℕ) :
三 ∣ n个 ↔ 三 ∣ (自然数字 10 n个).sum（总和）

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86.勒贝格测量与整合#

作者：Johannes Hölzl

定义 测量理论.林特格拉 {α :类型u5} :
{x个:可测量空间 α} →测量理论。测量 α→(α→ENNReal公司)→ENNReal公司

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88.减量程公式#

作者：亨利·斯旺森

定理 卡_范围_eq_numDerangements (α :类型u_2） [翅片类型 α] [可判定等式 α] :
Fintype.card（翅片类型卡） ↑(错乱 α) = 数字比例 (Fintype.card（翅片类型卡） α)

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定理 numDerangements_sum数 （编号：ℕ) :
↑(num范围 n个) = ∑k个∈微调范围 (n个 + 1),(-1) ^ k个 * ↑((k个 + 1).asc析因 (n个 - k个))

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89.因子和余数定理#

作者：Chris Hughes

定理 多项式的.dvd_iff_isRoot {右：类型用户} {答：R（右）} [通信环 R（右）] {页码：多项式的 R（右）} :
多项式的。X（X） - 多项式的。C类 一 ∣ 第页 ↔ 第页.IsRoot文件 一

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定理 多项式的.修改_ X _ sub_ _ eq_ _ eval ｛R：类型用户} [字段 R（右）] （p：多项式的 R（右）) （a）R（右）) :
第页 % (多项式的。X（X） - 多项式的。C类 一) = 多项式的。C类 (多项式.eval 一 第页)

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90.斯特林公式#

作者：mathlib（莫里茨·菲尔辛（Moritz Firsching）、费边·克鲁斯（Fabian Kruse）、尼古拉斯·库恩（Nikolas Kuhn）、希瑟·麦克白（Heather Macbeth））

定理 斯特林.tendsto_stirlingSeq_sqrt_pi:
过滤器。丹德斯托 搅拌.搅拌Seq 过滤器.at顶部 (非霍奇金淋巴瘤 √实际.pi)

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91.三角不等式#

作者：周航周

定理 标准添加_列 {电子：类型u6}型 [半规范AddGroup 电子] （a）电子) （b）电子) :
‖一 + b条‖ ≤ ‖一‖ + ‖b条‖

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93.生日问题#

作者：埃里克·罗德里格斯

定理 定理100.生日:
2 * 金融类型.card (翅片 23 ↪ 翅片 365) < Fintype.card（翅片类型卡） (翅片 23→翅片 365) ∧ 2 * Fintype.card（翅片类型卡） (翅片 22 ↪ 翅片 365) > Fintype.card（翅片类型卡） (翅片 22→翅片 365)

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定理 定理100.生日_测量:
测量理论.体积 {（f）:翅片 23→翅片 365|功能。注射剂 （f）} < 1/2

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94.余弦定律#

作者：约瑟夫·迈尔斯

定理 欧几里德几何.dist_sq_eq_dist_sq_add_dist_sq _ sub_two_mul_dist_mul_dist_mul _角 {V：类型u_1} {电话：类型u2} [标准添加通信组 V（V）] [内部产品空间 ℝ V（V）] [MetricSpace（度量空间） P（P）] [标准加法器 V（V） P（P）] （第1页：P（P）) （第2页：P（P）) （第3页：P（P）) :
距离 第1页 第3页 * 距离 第1页 第3页 = 距离 第1页 第2页 * 距离 第1页 第2页 + 距离 第3页 第2页 * 距离 第3页 第2页 - 2 * 距离 第1页 第2页 * 距离 第3页 第2页 * (欧几里得几何角 第1页 第2页 第3页).cos（成本）

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95.托勒密定理#

作者：Manuel Candales

定理 欧几里德几何.cospherical的mul_dist_add_mul_dlist_eq_mul_dist_of_cospherical {V：类型u_1} [标准添加通信组 V（V）] [内部产品空间 ℝ V（V）] {电话：类型u2} [度量空间 P（P）] [标准加法器 V（V） P（P）] {答：P（P）} {b：P（P）} {抄送：P（P）} {日期：P（P）} {页码：P（P）} （小时：欧几里德几何。Cospherical公司 {一,b条,c（c）,d日}) （hapc:欧几里得几何角度 一 第页 c（c） = 实际.pi) （hbpd:欧几里得几何角 b条 第页 d日 = 实际.pi) :
距离 一 b条 * 距离 c（c） d日 + 距离 b条 c（c） * 距离 d日 一 = 距离 一 c（c） * 距离 b条 d日

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96.包容/排斥原则#

作者：Neil Strickland

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97.克拉默法则#

作者：Anne Baanen

定理 矩阵.mulVec_cramer（_cramer） {编号：类型v}（v}） {α :类型w}型 [可判定等式 n个] [翅片类型 n个] [通信环 α] （答：矩阵 n个 n个 α) （b）n个→α) :
一.mul维奇 (一.克莱姆 b条) = 一.det（详细信息） • b条

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98.伯特兰假设#

作者：博尔顿·贝利、帕特里克·史蒂文斯

定理 国家.贝特兰德 （编号：ℕ) （hn0：n个 ≠ 0) :
∃ (第页:ℕ),第页.灌注 ∧ n个 < 第页 ∧ 第页 ≤ 2 * n个

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99.布冯针问题#

作者：Enrico Z.Borba

定理 布冯斯针.浅黄色_短款 {Ω :类型u_1} [测量理论。度量空间 Ω] （d）ℝ) （l：ℝ) （高清：0 < d日) （hl:0 < 我) （B：Ω→ℝ × ℝ) （hBₘ：可测量的 B类) （hB:测量理论.pdf。IsUniform（Is统一） B类 (设置。国际商会 (-d日 / 2) (d日 / 2) ×ˢ 设置。国际商会 0 实际.pi) 测量理论.体积 测量理论.体积) （小时：我 ≤ d日) :
∫ (x个:Ω),布冯斯针。N个 我 B类 x个 = 2 * 我 * (d日 * 实际.pi)⁻¹

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定理 布冯斯针.buffon_long（长） {Ω :类型u_1} [测量理论。测量空间 Ω] （d）ℝ) （l：ℝ) （高清：0 < d日) （hl:0 < 我) （B：Ω→ℝ × ℝ) （hBₘ：可测量的 B类) （hB:测量理论.pdf。IsUniform（Is统一） B类 (设置。国际商会 (-d日 / 2) (d日 / 2) ×ˢ 设置。国际商会 0 实际.pi) 测量理论.体积 测量理论.体积) （小时：d日 ≤ 我) :
∫ (x个:Ω),布冯斯针。N个 我 B类 x个 = 2 * 我 / (d日 * 实际.pi) - 2 / (d日 * 实际.pi) * (√(我 ^ 2 - d日 ^ 2) + d日 * (d日 / 我).反正弦) + 1

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100.笛卡尔符号法则#

作者：Alex Meiburg

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