本周的小提琴手是用较小的正方形平铺正方形。
假设你有无限多的3×3厘米瓷砖和无限多的5×5厘米瓷砖。您希望使用其中一些瓷砖精确覆盖边长为整数厘米的正方形。瓷砖不能重叠，必须完全覆盖较大的正方形，而不超出其边界。这个较大的正方形的最小边长是多少，以便使用至少一个3乘3的瓷砖和至少一个5乘5的瓷砖精确覆盖？
额外学分：
这一次，对于边长大于1厘米的每一个奇数整数（以厘米为单位），你有无限多的方形瓷砖。换句话说，你有无穷多的3×3厘米瓷砖，无穷多的5×5厘米瓷砖，无限多的7×7厘米瓷砖，等等。您希望使用一个或多个这些平铺来精确覆盖边长为$N$cm的正方形，其中$N$是一个整数。同样，瓷砖不能重叠，它们必须完全覆盖更大的方形，而不超出其边界。此任务不可能执行的最大整数N是多少？
我的解决方案：
[显示解决方案]
这个问题是关于用较小的正方形平铺正方形，这是一个著名的问题，被称为“正方形的平方”。有一个漂亮的维基百科文章关于它，还有一个我找到的网站具有不同瓷砖的综合数据库。在平方正方形时，有一些有趣的特性：
- 简单平铺：它不包含子平铺
- 完美瓷砖：所有子方格大小不同
- 对称的：在最终形状中存在一定的旋转或反射对称性。
然而，这些都无济于事，因为我们不关心这些属性对于这个问题的用途！
在我们的例子中，我们可以重复瓷砖（不完美），我们可以有子瓷砖（不简单），我们不强制任何特殊的对称性。此外，我们可以使用的瓷砖种类也受到限制。为了解决这个问题，我使用列枚举方法将这个问题表述为一个混合整数程序。这是我用来解决类似过去问题的相同方法2017年的Riddler问题，所以如果你对我是如何建模感兴趣的话，一定要阅读前面的帖子！
第一个问题：最小尺寸
我重新使用了上面链接的2017年帖子中的代码，并做了两个更改：
- 将可用瓷砖限制为3×3和5×5。
- 添加了一个约束，该约束要求至少使用每种类型的平铺中的一种。
我从4×4开始循环遍历可能的总大小，并在整数程序发现平铺后停止。最小尺寸为$N=18$，下面显示了一种可能的平铺。
代码很快解决了这个问题，在几秒钟内测试了所有$N\leq 18$。
第二个问题：最大尺寸
第二个问题有点棘手，因为我们需要最大的方形不能被平铺。所以在我们开始计算之前，我们需要做一些演绎工作。如果存在仅使用奇数大小的正方形瓷砖的$N\乘以N$正方形的瓷砖，我会说$N$是“可瓷砖的”。下面是一些观察结果：
- 任何奇数$N$都可以平铺（使用大小为$N\乘以N$的单个大平铺）。
- 如果$M$是可平铺的，那么对于任何$k$，$N=k M$是可以平铺的。我们可以简单地从$M\times M$方块的平铺开始，然后以$k\times k$模式重复它，以获得$N\times N$平铺。
- 根据第1项和第2项，如果$N$不可平铺，则必须是$2$的幂。
- 根据第2项，如果$N=2^k$是可平铺的，那么$2$的任何更大的幂也都是可以平铺的。
换句话说，找到$2$的最小可平铺功率就足够了，所有较大的$N$也都可以平铺。再次使用该代码，这一次允许所有奇数大小的瓦片，我能够验证$2$、$4$、$8$和$16$是不可平铺的，但$32$是可平铺的！！！这里有一个可能的平铺，它使用大小为$3$、$5$、$7$和$11$的平铺。
因此，我们得出结论，$N=16$是最大的整数，对于该整数，$N\次N$正方形不能使用奇数边长大于$1$的较小正方形平铺。
计算说明：我使用了古罗比解算器解决了这个问题，在我的笔记本电脑上花了大约16秒。我也试过了莫塞克，但速度较慢，大约40秒。
矛盾
怎么可能最小的可平铺$N$是$18$，而最大的不可平铺$N$是16？
这些实际上是不同的问题！对于第一个问题，我们只允许使用尺寸为3×3和5×5的瓷砖。在这种情况下，18是最小的可平铺数字，但并非所有后续数字都是可平铺的！结果是19、22、23、26、28、29（以及更多……）不可平铺。在第二个问题中，我们有更多的瓦片可供使用，因此在这种情况下，不可关闭的$N$自然会更少。
