这个谜语人这个谜题是关于缠结的电线。你能想出如何解开它们吗?
有N根电线从钟楼的顶部一直延伸到一楼。但是,正如电线往往做的那样,这些已经变得无可救药地纠结在一起。幸好顶层的电线都贴上了标签,从1到N。而底部的电线却没有。(回想起来,有人可能早该料到会发生一两起纠纷。)
您需要确定哪根接地导线的末端对应于哪根顶层导线的末端。(大部分电线都藏在墙后,所以你不能简单地解开它们。)在一楼,你可以把两个电线头绑在一起,你可以随意多扎几对。然后你可以走到顶层,使用电路检测器检查塔顶的任何两根电线是否连接。为了正确标记底部的所有电线,您需要到塔顶的最少行程是多少?
这是我的解决方案。
[显示解决方案]
当$N=2$时,不可能解开电线,因为电路检测器无法告诉我们电线是否交叉。因此,乍一看,这个难题似乎无法解决。当然,随着我们的添加,这不会变得更容易更多电线,可以吗?
它可以!事实上,对于任何$N\ge 3$,只需两次行程即可解开导线。我将通过一个示例来说明解决方案。假设$N$是奇数,以$N=7$的情况为例,导线缠绕在一起,如下所示。在顶部标记导线$\{1,2,\dotes,7\}$,在底部标记导线$\{A,B,\dots,G\}$。
在第一次旅行中,我们将电线成对连接,如紫色所示。在我们的第二次旅行中,我们再次将电线成对连接,但移动了一根,如深蓝色所示。以下是使用电路检测器时在塔顶观察到的连接对列表。
\开始{align}
\文本{第一次旅行:}&\quad\{(A,B),(C,D),(E,F)\}\mapsto\{(2,4),(1,6),(5,7)\}\\
\文本{第二次旅行:}&\quad\{(B,C),(D,E),(F,G)\}\mapsto\{(4,6),(1,5),(3,7)\}
\完{align}属于当然,我们不知道哪些线对对应于哪些线。例如,考虑第一次旅行的结果。我们知道$(A,B)$对应于$(2,4)$、$(1,6)$或$(5,7)$,但不是哪一个。即使我们知道$(A,B)$对应于$(2,4)$,我们也不知道$A=2$和$B=4$是否相反。然而,我们学到的信息是有用的,因为如果我们知道例如$E=6$,那么我们可以推断$F=1$,因为$E$和$F$是连接的,并且$1$和$6$是成对的。
在这两次跳闸的组合中,除$A$和$G$外,每条导线都连接了两次,而这两条线路都连接了一次。检查上述两个列表中数字的出现情况,我们发现$2$和$3$只出现一次。因此,这些数字按一定顺序对应于$A$和$G$。我们在第一次旅行中连接了$A$,这是$2$发生的列表,因此$A=2$。我们可以通过以下链接重建整个图案:
- $A=2$和$(2,4)$位于第一个列表中,我们在其中使用了$(A,B)$。所以B美元=4美元。
- $B=4$和$(4,6)$在第二个列表中,我们使用了$(B,C)$。所以$C=6$。
- $C=6$和$(1,6)$在第一个列表中,我们使用了$(C,D)$。所以$D=1$。
- $D=1$和$(1,5)$在第二个列表中,我们使用了$(D,E)$。所以$E=5$。
- $E=5$和$(5,7)$在第一个列表中,我们使用了$(E,F)$。所以$F=7$。
- $F=7$和$(3,7)$在第二个列表中,我们使用了$(F,G)$。所以$G=3$。
这种重建之所以有效,是因为两个端点$A$和$G$是在不同的行程中访问的,很明显我们将如何将其扩展到$N$是任何奇数的情况。如果$N$是偶数,两个端点将在同一行程中访问,我们将无法区分它们。要纠正这种情况,只需让一根导线保持未连接状态,然后对其余导线执行步骤。然后,通过消除,从未连接的导线将与从未发生的数字$\{1,\dots,N\}$相关联。