完美的披萨分享

推导面积公式

首先假设披萨是一个半径为1的圆，然后使用坐标系，原点位于披萨的中心。由于所有切割都必须在圆内部的一个公共点相交，因此可以旋转圆，使交点位于正$x$-轴上。设交点为$X$，坐标为$（X，0）$。我们通过这一点进行$n$切割，这将导致$n$和弦在$x$-轴上方$n$点处与圆相交，在$n$轴下方$n$处相交，因此总共$2n$点。

• 让$\theta_i$表示点$i$与正$x$-轴的夹角，相对于交点$x$进行测量。
• 让$\phi_i$表示点$i$与正$x$-轴的夹角，相对于原点$O$测量。
• 让$L_i$表示点$i$和交点$X$之间的线段长度。

下图说明了$n=3$情况下的一组可能的削减。

现在我们必须计算不同切片的面积。在上面的图表中，在削减$1$和$2$之间的一个这样的部分是阴影。我们将把每个切片分成三角形部分$\triangle_{12}$和四舍五入部分$\bigcirc_{12{$。

• 三角形部分是三角形$XP_1P_2$。根据边长$XP_1=L_1$和$XP_2=L_2$以及角度$\angle P_1XP_2=\theta_2-\theta_1$，面积为
  \[
  \三角{12}=\压裂{1}{2} L_1L_2\sin（\theta_2-\theta_1）
  \]

• 圆角部分是圆形扇区$O P_1P_2$和三角形$OP_1P_2$s之间的差值。由于披萨的半径为$1$，因此$OP_1=OP_2=1$。圆形扇区的面积为$\frac｛1｝｛2｝（\phi_2-\phi_1）$，三角形的面积为$\frac｛1｝｛2｝\sin（\phi_2-\phi_1）$。因此，切割$1$和$2$之间的切片具有总面积：
  \[
  \bigcirc{12}=\frac{1}{2}\左（（\phi_2-\phi_1）-\sin（\phi_2-\phi_1）\右）
  \]

我们的下一个任务是用$x$和$\theta_i$表示$\phi_i$和$L_i$。考虑点$P_i$。根据我们是通过$O\到P_i$还是通过$O\到X\到P_i$到达那里，我们可以用两种不同的方式来写它的坐标。这就产生了
\[
P_i=\begin{bmatrix}\cos\phi_i\\sin\phi_i\end{bmatricx}
=\开始{bmatrix}x+L_i\cos\theta_i\\L_i\sin\theta_i\end{bmatrix}
\]将这些方程平方并求和以消除$\phii$，我们得到
\[
1=（x+L_i\cos\theta_i）^2+L_i^2\sin^2
\]求解$L_i$并保持正根（因为$L_i \gt 0$），我们发现
\[
L_i＝\sqrt｛1-x^2 \ sin^2 \ theta_i｝-x \ cos \ theta_i。
\]把所有的东西放在一起，我们现在有了一个切片面积的公式！在切割$1$和$2$之间的切片情况下，面积为：

$\显示样式
\开始{对齐}
A_{12}（x，θ_1，θ_2）&=frac{1}{2} L_1L_2\sin（\theta_2-\theta_1）+\frac{1}{2}\bigl（（\phi_2-\phi_1）-\sin（\phi_2-\phi_1）\bigr）\\
\text｛where：｝\，\，&\ left \｛\ begin｛aligned｝文本
L_i&=\sqrt{1-x^2\sin^2\theta_i}-x\cos\theta_i\\
\phi_i&=\arccos\left（\cos\theta_i\sqrt{1-x^2\sin^2\theta_i}+x\sin^2\theta_i \right）
\右端{对齐}。
\结束{对齐}
$

类似的公式适用于其余的切片，因此如果我们有$n$个切割，并且我们指定了交点的位置$x$和角度$\theta_1、\dots、\theta_n$，我们可以找到每个切片$A{ij}$的面积的公式。

寻找最佳切割集

如果我们有$n$的削减，就会有$2n$的切片。为了简单起见，让我们规范化区域，使总面积为$1+2+\dots+2n=2n^2+n$，并将规范化区域标记为$A_1、\dots、A{2n}$（以逆时针顺序，从$A{12}$开始）。这样做的原因是，例如，在$n=2$的情况下，我们希望$4$片的比率为$1:2:3:4$。因此，我们将总面积归一化为$1+2+3+4=10$。这样我们可以直接尝试使$A_1=1$、$A_2=2$等。

每个区域都是参数$\{x、\theta_1、\dots和\theta_n\}$的函数。目标是找到一组参数，这些参数给出的面积与数字$1,2，\点，2n$非常接近。有很多方法可以定义“亲密度”。我将使用最小二乘法标准，在这种情况下做得很好，因为它确保所有区域“大致相等地接近”它们应该是什么，并且没有大的偏差。

例如，在$n=2$的情况下，我们的任务是选择$（x，\theta_1，\theta _2）$，以便将以下函数最小化：
\[
J_1=（A_1-1）^2+（A_2-2）^2+
\]但还有更多……如果切片没有按照这个特定的顺序1、2、3、4出现呢？我们还应该检查其他排列！例如，我们还应该尝试以下功能：
\开始{align}
J_2&=（A_1-1）^2+（A_2-2）^2+\\
J_3&=（A_1-1）^2+（A_2-3）^2+\\
&\光盘
\完{align}输入全部，将有$（2n）！$排列，或者在$n=2$的情况下为$24$。如果我们利用反射中的对称性，这个数字可以减少2美元。

因此，我们的流程如下：

1. 选择$\{1,2，\dots，2n\}的排列$p$$
2. 求最小平方成本的$（x，\theta_1，\tosts，\theta _n）$
   \[
   J_p=\sum_{i=1}^{2n}\bigl（A_i（x，θ_1，点，θ_n）-p_i\bigr）^2
   \]受约束$0\leq x\leq 1$和$0\leq\theta_1\lt\cdots\lt\theta_n\leq\pi$的约束。

3. 如果我们可以获得$J_p=0$，那么我们就有了一个完美的匹配，我们可以停止。否则，返回步骤1并选择不同的排列$p$。重复上述步骤，直到测试完所有排列。

函数$J（x，theta_1，dots，theta_n）$是一个困难的（读：非凸）函数，但仍然相对良好（读：连续可微），因此标准的非自助解算器足以完成此任务。我使用了Matlab的约束非线性优化器fmincon公司.

4片案例

对于$n=2$（4件）的情况，可以实现精确的理想比率。这里有一个可行的解决方案，我用它的标准化区域标记每个切片。

在上面的例子中，$x=0.3406$和$\theta={0^\circ，69.838^\cic}$。这个案例很好，因为$1+4=2+3$，所以其中一个切口实际上是一个直径，并穿过中心！总的来说，有六种排列可以为4个切片的情况提供有效的解决方案：

左栏中的每个解决方案在右栏中的旁边都有一个“孪生”，它来自于反映关于$x$-轴的解决方案。

6片案例

在这种情况下，不可能达到准确的理想比率。一些排列可以变得“更接近”（在最小二乘意义上），因此为了找到最佳排列，我们必须尝试所有可能的排列。可实现的最小最小二乘误差为0.0024$，它是通过单个排列（及其孪生排列）实现的。这就是解决方案。再次，我用其标准化区域标记每个切片。

这个解对应于$x=0.3488$和$\theta=\{19.200^\circ，80.363^\cic，160.910^\cic\}$。

8片案例

这个案例与前一个案例类似。这一次，可实现的最小最小二乘误差为0.0032$，再次通过单个排列（及其孪生排列）实现。这就是解决方案。

该解决方案对应于$x=0.1875$和$\theta=\｛13.768^\大约，28.356^\大约，68.600^\大约，135.310^\大约。有趣的是，即使有一些排列会导致均衡分割，例如$2+3+5+8=1+4+6+7$（这样的分割意味着其中一个分割穿过中心），但这些均衡分割都不会产生与上述所需比率接近的解决方案。