这个谜题是大声呼喊吗YouTube视频一个叫做“Hoop hop决战”的游戏。
以下是其规则的理想列表:
- 孩子们站在N个篮球圈的两端。
- 在比赛开始时,两端各有一个孩子开始以每秒一个篮圈的速度跳跃,直到他们在相邻的篮圈或同一个篮筐中相遇。
- 在那一刻,他们以每秒一场的速度玩石头剪纸游戏,直到其中一个孩子获胜。
- 失败者回到了他们的终点,一个新的孩子立即站到了终点,而胜利者和新的球员跳到了一起,直到他们撞到了一起。
- 这个过程一直持续到有人到达相反的终点。那个运动员的队赢了!
你刚被聘为Riddler小学的体育老师。你今天过得很糟糕,你想确保孩子们在整个课堂上都有时间。如果你投下八个篮球,比赛平均会持续多久?如果你想让比赛平均持续30分钟,你应该打多少圈?
以下是我如何解决问题的推导过程:
[显示解决方案]
注:问题中的措辞在一些细节上有点模棱两可。例如,运动员是从外侧开始,然后在开始时跳入第一个篮筐,还是从内侧开始?比赛是在最后一圈获胜时结束,还是在一秒钟后跳出时结束?我做出了我认为合理的假设来阐述这个问题。虽然问题细节上的微小变化可能会改变最终答案,但仍应采用相同的一般解决方法。
有$N$个篮球,但有$k=1,2,\点,2N-1$种可能的方式,两个孩子可以停下来进行摇滚剪纸(RPS)比赛。这是因为这两个孩子可以在同一个篮筐或相邻的篮筐中落地。下面是$N=3$的图表,显示了所有可能的对:
以下是在这个简单的场景中游戏可能如何进行的示例:
- 比赛开始时,两个孩子都不在球场上。2秒钟后,我们以$k=3$的情况结束。
- 假设蓝色赢了。然后一秒钟后,我们得到$k=5$。
- 假设橙色获胜。然后一秒钟后,我们得到$k=2$。
- 假设橙色获胜。然后一秒钟后,我们得到了$k=1$。
- 假设橙色获胜。然后游戏结束。
让我们将此过程推广到任意数量的环。如果我们当前处于$k$状态,我们将调用$f(k)$等待游戏结束的预期秒数。如果我们处于$k$状态,以下是选项:
- 如果橙色赢得RPS,下一场决战将在$\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor$秒后的$\left \lfloor \frac}{k+2}{4}\right \rfloor$状态下进行,除非$k=1$,在这种情况下游戏结束。
- 如果蓝色赢得RPS,下一场决战将在$\left\lfloor\frac{2N+k+1}{2}\right\rfloor$秒后的状态$\left \lfloor \frac{2N-k+2}{4}\right \rfloor$进行,除非$k=2N-1$,在这种情况下游戏结束。
请注意,我们使用的是符号$\left\lfloor x\right\lfloor$,它是楼层功能(将$x$四舍五入到最接近的整数)。我们还必须计算RPS游戏的平均持续时间。我们把这个叫做$r$。有九场可能的比赛,其中三分之一以平局告终(所以我们必须再打一场)。所以游戏持续时间满足:$r=1+\frac{1}{3} 对$. 换句话说,我们有$r=\frac{3}{2}$。综上所述,函数$f(k)$满足:
\开始{multline}
f(k)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2{left(\left\lfloor\frac{k+2}{4}\right\rfloor+f\biggl(\left \lfloor \frac{k}{2neneneep \right\ rfloor\biggr)\right)\\
+\frac{1}{2}\left(\left\lfloor\frac{2N-k+2}{4}\right\rfloor+f\biggl(\left \lfloor \frac{2 N+k+1}{2}\right \rfloor right)\biggr)
\完{multline}与边界条件$f(0)=f(2N)=0$。这些实际上是变量$f(k)$中的线性方程,对于$k=0,1,\dots,2N$。最终,我们想知道游戏的平均持续时间。第一场决战总是在$N$状态下进行,之前是$\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor$hops。因此,我们最终希望找到:
\[
T_\text{avg}=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor+f(N)
\]下面是在$N=3$的情况下如何解决问题。与不同$f(k)$相关的方程式可以以矩阵-矢量形式写出:
\[
\开始{bmatrix}
1&0&0&-\tfrac{1}{2}&0\\
-\tfrac{1}{2}&1&0&-\tfrac{1}{2}&0\\
-\tfrac{1}{2}&0&1&0&-\tfrac{1}{2}\\
0&-\tfrac{1}{2}&0&1&-\tfac{1{2}\\
0&-\tfrac{1}{2}&0&0&1
\结束{bmatrix}
\开始{bmatrix}
f(1)\(2)\(3)\(4)\(5)
\结束{bmatrix}
=\开始{bmatrix}
2\\tfrac{5}{2}\\tfrac{5}{2}
\结束{bmatrix}
\]解这些方程得到$f(3)=11.5$,因此$T_text{avg}=13.5\text{sec}$。当我们添加更多的环(增加$N$)时,过程是类似的,我们可以编写代码来快速求解这些方程,以获得广泛的$N$值……但我们可以做得更好!
注意,我们实际上并不关心$f(k)$的其他值。我们只需要知道中间的一个,$f(N)=f(3)$。还要注意,除了中间的列外,矩阵的所有列总和都为零……因此,如果我们对所有列求和(相当于将所有方程求和在一起),我们可以得到:
\[
f(3)=2+\tfrac{5}{2}+\tfrac{5}{2}+\tfrac}5}{2}+2=11.5
\]这与我们通过求解整个系统得到的答案相同!事实上,这种模式对所有$N$都适用。我们的矩阵将始终具有维度$(2N-1)\次(2N-1)$,除中间的列外,所有列的总和都将为零!因此,一般来说,我们可以将$N$箍的情况下的解决方案写成:
\开始{align}
T_\text{avg}&=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor+f(N)\\
&=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor+\sum_{k=1}^{2N-1}\left(\frac}3}{2{+\frac{1}{2neneneep \left\floor\frac{k+2}{4}\right \rfloor+\frac 1}{2}\left\ lfloor\ frac{2N-k+2}{4}\right\floorororoor\frac)\\
&=\frac{3}{2}(2N-1)+\left\lfloor\frac{N+1}{2{right\rfloor+\sum_{k=1}^{2N-1}\left\\
&=\frac{3}{2}(2N-1)+\sum_{k=1}^{2N}\left\lfloor\fracc{k+2}{4}\right\rfloor\\
&=\frac{3}{2}(2N-1)+\sum_{m=1}^{N}\left(\left\lfloor\frac{2m+1}{4}\right\rfloor+\left\floor\frac{2m+2}{4{right\floor\right)\\
&=\压裂{3}{2}(2N-1)+\sum_{m=1}^{N}m\\
&=\压裂{3}{2}(2N-1)+\压裂{1}{2} N个(N+1)\\
&=\压裂{1}{2}(N^2+7N-3)
\完{align}最后第三步中的简化是让$m=2q+r$,其中$r位于\{0,1\}$中。然后我们可以写:
\开始{align}
\左\lfloor\frac{2m+1}{4}\right\rfloor+left\lfloor \frac{2m+2}{4{right\floor
&=\left\lfloor\frac{4q+2r+1}{4}\right\rfloor+\left\floor\frac{4q+2r+2}{4{right\floor\\
&=2q+\left \lfloor\frac{2r+1}{4}\right \lfloor+\left \lfloor\frac{2r+2}{4}\right \lfloor\\
&=2q+r\\
&=米
\结束{对齐}
如果您只想看到解决方案:
[显示解决方案]
Hoop hop决战游戏的平均持续时间(秒)由以下公式给出:
$\显示样式
T_\text{avg}=\压裂{1}{2}(N^2+7N-3)
$
这里有一个图,显示了比赛的预期持续时间与篮球数量的关系。
因此,我们需要大约57个篮球,以确保一场篮球比赛的平均持续时间为30分钟。