四面体拼图

我们将用老派（读作高中）几何来解决这个问题。与其从四个球体开始，寻找包含它们的最小四面体，不如解决从一个固定四面体开始，寻找我们可以封装在里面的最大球体的等效问题。我们将使用单位边长的四面体。将一个顶点放在原点$\vec O（0,0,0）$上，一个顶点放在$x$轴$\vec P（1,0,0）$上，一个面放在$xy$平面上。这导致在$\vecQ（\frac{1}{2}，\frac}\sqrt{3}}{2{，0）$处有一个顶点，因为$OPQ$是一个等边三角形。为了找到最终的顶点$R$，我们通过对称性知道它的$x$和$y$坐标与$OPQ$的质心坐标相同，所以$x=\frac{1}{2}$和$y=\frac}\sqrt{3}}{6}$（它位于海拔的三分之一！）。为了找到最终的坐标，我们寻找$z$，这样$x^2+y^2+z^2=1$，因为所有边的长度都是$1$。这将引导我们到达四面体的最终顶点：$\vec R（\frac{1}{2}，\frac}\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt}}{3}）$。

四面体的中心可以通过查找形式为$\alpha（\vec P+\vec Q+\vecR）$的点（同样通过对称）来找到，其$x$-坐标为$\frac{1}{2}$。这样做会把我们带到中心：$\vec C（\frac{1}{2}，\frac}\sqrt{3}}{6}，\ frac{\sqrt}}{12}）$。接下来，让我们查找距离原点最近的球体中心。根据对称性，它的形式必须是$\vec C_1=\beta\vec C++。我们想找到$\beta$，它是$x$-到点$x=\frac{1}{2}$的距离是$r$（所以它只接触到最接近$\vecP$的球体），我们还想它的$z$坐标是$r$（所以它是到$xy$平面的距离$r$，因为它是球体的切点）。有关参考，请参见下图。我是说$C_1$（球体的中心）应该在$OC$线上，我们应该有$|C_1M|=|C_1A_1|=r$。

刚才描述的方程式是：
\开始{align}
\压裂{1}{2}\beta&=\frac{1}{2} -r（右）\\
\压裂{\sqrt{6}}{12}\beta&=r
\结束{对齐}
求解这个方程组得到$\beta=\frac{6-\sqrt{6}}{5}$和$r=\frac{\sqrt{6}-1}{10} 大约0.145美元。这是当四面体的边长为$1$时，我们可以使用的最大球体的半径。如果半径是$1$，那么我们必须相应地缩放四面体。产生的边长为：
\[
s=\frac{10}{\sqrt{6}-1}=2平方{6}+2约6.89898
\]这是一个包含四个球体的整个金字塔的比例图：