2.1、。光束线设置

在三条ESRF光束线（ID06（技术和仪器测试光束线）、ID18（核磁共振光束线）和ID26（X射线吸收和发射光谱光束线）上，同时在ESRF对LN2冷却的Si单色器晶体进行了热负荷实验。为了在不改变X射线束其他特性的情况下改变束流功率，存储环中的电子束电流以50 mA的步长从0增加到300 mA，通过200 mA（目前最常见的工作电流）。为这些热负荷测试分配了两次专门的实验课。两条光束线（ID06、ID18）配备0.3 mm菱形窗口，而ID26无窗口。所有光束线都具有水冷的主狭缝和LN2冷却的双硅晶体单色器。在ID26光束线处，双晶单色器（DCM）的上游还有一个水冷的白色光束镜。白光反射镜降低了DCM上的热负荷，但可能会影响光束发散。因此，为了评估液氮冷却硅晶体单色器的性能，更适合集中于暴露在白光下的DCM。对于这里给出的定量结果，我们使用来自波束线ID06和ID18的数据，尽管在ID26进行的测量与其他结果在定性上一致。

光束线ID06和ID18的实验装置示意图如图1所示在光束线ID06处有两个波荡器：真空波荡器U18和常规波荡器U32。真空波动器U18的间隙设置为8.3 mm，以便在e（电子）₁=13.848 keV，波荡器U32的间隙为13.55 mm，以便在相同的光子能量下产生三次谐波。除了0.3 mm厚的菱形窗将储存环和光束线隔开外，在单色器上游的光束线ID06处还有两个总厚度为1 mm的铍窗。光束线ID18的实验装置非常相似。三个U20波荡器与间隙集一起使用，以在e（电子）₁=14.413千伏。表1总结了波荡器的特性、束线设置和200mA电子束电流下2mm×1mm（H×V）初级狭缝开口的计算功率单色器上游的主狭缝定义了单色器上的光束大小，并具有固定的开口[大多为2 mm×1 mm（H×V）]，以在实验期间保持恒定的热负荷分布。在单色仪之后，将二次狭缝设置为水平窄间隙（50µm），并垂直移动以将摇摆曲线数据隔离到第一晶体表面上的特定条纹区域。

图1 在窄间隙出口狭缝的不同垂直位置使用摇摆角扫描进行热变形轮廓测量的设置方案。摇摆角度θ'对应于畸变第一晶体摇摆曲线中的峰值强度与布拉格角 θB类（未畸变晶体的峰值位置）。晶体的角度畸变由下式给出Δθ=θ′ −θB类.每个狭缝位置x个秒(x个秒=0表示光束中心）允许记录相对于X射线束撞击位置处第一个晶体表面的摇摆曲线x个c（c）=x个秒/罪恶θB类.热斜率分布Δθ(x个c（c）)可以通过改变单色仪后窄缝的垂直位置来测量晶体的厚度。

用于这些测试的DCM允许扫描第二个晶体，同时保持第一个晶体固定。由于第一晶体吸收了几乎所有的入射功率，因此第二晶体上的热负荷对热变形来说是微不足道的。因此，第二晶体被认为是不变形的，具有理想的平坦形状。畸变第一晶体相对于未畸变平板晶体的摇摆曲线宽度的增加（在二次狭缝之后测量）提供了对整体斜率误差（峰-峰斜率误差）的估计。为了测量第一晶体表面的局部斜率误差分布，在单色仪后，在窄缝的不同垂直位置测量了一系列摇摆曲线。每个狭缝位置x个_秒(x个_秒=0表示光束中心）允许记录与光子撞击位置处第一个晶体表面有关的摇摆曲线x个_c（c）=x个_秒/罪θ'，其中θ′ =θ_B类+Δθ,θ_B类是布拉格角和Δθ晶体的角度畸变（见图1). 这些角度可以通过摇摆曲线测量来确定：θ′，畸变晶体的摆动曲线达到最大值时的摆动角；θ_B类，未畸变平面晶体的峰值位置。对于液氮冷却的硅晶体，热斜率误差Δθ约为10µrad，比布拉格角 θ_B类（ID06单色仪为25.4°）。单色器之后的出射光束由于双晶体而平行于入射光束。第一晶体的热变形会引起平行光束位移δx个_秒在扫描狭缝的位置。该位移可计算为δx个_秒=我Δθ棕褐色(θ_B类)，其中我是出射光束和入射光束之间的距离，约等于15 mmΔθ=10µrad的热斜率误差，光束位置偏移δx个_秒≃0.071µm远小于扫描狭缝间隙（50µm），并且与扫描狭缝和单色器之间的距离无关。这种方法的优点是只使用不同摇摆曲线的峰值位置。因此，它与衍射轮廓无关，因此它也适用于大热变形的情况，其中衍射轮廓通常由Takagi–Taupin方程计算。通过改变窄缝的垂直位置，我们得到了角度分布Δθ(x个_c（c）)也称为热斜率误差分布。该角度分布的积分给出了变形轮廓；这个角度分布的导数给出了曲率（近似于半径的倒数）分布。综上所述，传统的全光束摇摆曲线宽度测量仅给出摇摆曲线加宽，提供了有关热变形的间接和全局信息，而通过不同狭缝位置的垂直窄缝测量摇摆曲线峰值角位置，可以记录变形晶体的斜率剖面，从而提供关于热变形的直接和局部信息。

2.2.热量测定法描述

硅的热性能和机械性能与在液氮温度范围内，温度呈强非线性。液氮冷却硅晶体的温度和热变形对热负荷非常敏感。因此，对于FEA模拟，必须使用实验中使用的光束功率的非常准确的值。为了满足这一要求，ESRF开发了一种量热计来测量X射线束功率（Zhang&Biasci，2005). 它由一个100 mm×50 mm×50毫米的铜块组成，铜块上有一个直径为10毫米、深度为70毫米的孔，X射线束通过该孔发射。在这种几何结构中，铜块外部散射造成的功率损失可以忽略不计。热量计安装在真空容器中，由隔热材料支撑，在测量过程中未冷却。连接在铜块上的Pt-100温度传感器用于测量量热计的温度响应。最初，温度T型₀铜块的厚度是均匀的。X射线束被送入孔内约Δt吨=60秒，然后通过快速快门关闭。在Pt-100传感器位置测得的温度稳定在恒定值T型_米光束关闭后约120秒。在这段短时间内，能量损失小于总入射光束能量的0.6%。因此，均匀温度T型_米实际上是光束关闭时热量计的平均温度。平均光束功率P（P）可以根据这段时间内的温度升高来计算ΔT型=T型_米负极T型₀作为

哪里米是铜块的质量c（c）_第页是热容量铜。使用这种方法，一次功率测量大约需要180秒。考虑到温度测量精度和功率损耗，热量计的精度估计在0到−1.2%之间。

2.3. 结果

2.3.2. 摇摆曲线宽度

摇摆曲线布拉格角使用ID06光束线单色仪测量25.4°。之所以选择Si（333）反射，是因为在此反射下双晶单色器的固有摇摆曲线宽度(e（电子）_三=13.848 keV）为6.2µrad（FWHM），这明显小于反射Si（111）（4.616 keV时为96.2µrad.）。因此，在13.848keV下的Si（333）反射允许观察到更小的晶体畸变。

如§2.1所述，测量了单色仪下游垂直平移窄缝的不同位置的摇摆曲线，如图2所示在电子束电流下，这些摇摆曲线的半高宽近似恒定（～9.5µrad）我=101 mA和晶体吸收的功率P（P）=194.5 W。通过将实验半高宽与本征半高宽进行反褶积，估计包括晶体初始变形在内的热斜率误差为7.2µrad FWHM（或假设高斯分布为3.1µrad-RMS）(即对于未变形的第一晶体）达尔文曲线加宽θ_入侵=6.2µrad（半高宽）。每个摇摆曲线峰值的角位移直接导致第一个晶体在每个x个_c（c）坐标。它是从拟合到摇摆曲线的高斯分布的峰值位置获得的。测量的晶体斜率剖面是横向足迹宽度的加权平均值，沿中心轴的权重系数最高。

图2 束线ID06处单色器在13.848keV硅（333）反射、101mA电子束电流和晶体吸收功率下的摆动曲线P（P）=194.5 W。主狭缝开口为2 mm×1 mm（H×V）。二次狭缝的垂直开口为0.05 mm。曲线1和14分别对应于晶体表面上最上游和最下游的位置。每条曲线(我)在与前一个相隔0.47mm的位置进行测量(我−1）沿晶体表面上的光束方向。

2.3.3. 变形晶体斜率和剖面

如上所述获得的沿晶体足迹长度的斜率分布可用于通过晶体坐标上斜率分布的积分计算X射线束功率下的变形晶体轮廓x个_c（c）图3显示了在光束线ID18和ID06处进行的实验得出的热斜率分布和变形轮廓的结果(一)–3(d日)。在小束流（低热负荷）下，晶体的形状为扁平或稍凹。随着电子束电流（功率）的增加，轮廓凹度增加，然后减小，形成大致平坦的表面。获得这种近似平坦表面的电子束电流取决于狭缝孔径和布拉格角， 即总功率和功率密度。当电子束电流进一步增加时，晶体变形为凸形，形成一个突起，突起随着电子束电流或晶体上的热负荷快速增长。

图3 热斜率(一,b条)和位移剖面(c（c）,d日)第一块硅晶体与晶体坐标x个c（c）在两条束线ID18处的不同电子束电流（功率负载）下(一,c（c）)和ID06(b条,d日). 右侧刻度(b条,d日)用于200 mA电子束电流的情况（红线）。

3.1. 材料属性

晶体单色器上的温度分布取决于撞击X射线束的功率分布导热系数 k个晶体材料（用于本研究的硅）、晶体几何形状和冷却条件。温度梯度引起晶体的热变形。相关材料属性为热膨胀系数α.对于常数材料k个和α，热变形与导热系数 k个与热膨胀系数α.比率α/k个通常用于估计热变形。对于硅，这两种材料的特性与温度有很大的相关性（图4一). 比率α/k个在液氮温度（1 atm下为77 K）下，硅的含量远低于室温。因此，与水冷相比，液氮冷却可以显著降低硅晶体的热变形。

图4 (一)导热系数和热膨胀硅系数与温度。用圆和三角形表示的数据来自头楼阶等。(1970一); 连续线是多项式拟合。(b条)热膨胀系数：α（黑线），正割α东南方（绿线）和热应变∊第个（红线）与硅晶体的温度，参考温度为T型参考=77 K。

温度变化时固体的热应变T型_参考到T型是

对于硅热膨胀系数α在125 K时为零，但当硅晶体的温度与LN2温度不同时（例如，T型_参考=77 K）至125 K。当α是常量，则此表达式变为

对于温度依赖型α，仍然可以使用类似于（4）的公式计算应变，但正在替换α割线系数为热膨胀， α^东南方（参见ANSYS有限元分析软件文档理论参考),

哪里

请注意α^东南方取决于参考温度T型_参考和温度T型。的数据热膨胀文献中给出的系数通常为α随着温度的变化等。(1970b条). 这就是所谓的“瞬时”α在中ANSYS有限元分析软件文档。的割线系数热膨胀 α^东南方由（6）计算在T型_参考=77 K，以及热应变∊_第个由（3）图4显示了硅的温度函数(b条)值得注意的是热膨胀 α在处为零T型=125 K，但割线系数热膨胀热应变为零T型=165 K。让我们考虑冷却至LN2温度的无应力硅块T型_参考=77 K，则均匀地热身了。来自温度T型_参考=77 K至125 K，热收缩至∊_第个= −16.5 × 10⁻⁶125 K时[方程式（3）或图4(b条)曲线∊_第个]. 在125K以上，硅晶体热膨胀它补偿了从77 K到125 K的累积热收缩，然后在165 K时恢复到其初始尺寸（无变形）。对于在X射线功率下LN2冷却的硅晶体，晶体的温度从初始LN2温度增加到较高但不均匀温度。晶体的最高温度位于X射线束照射的区域。当最高温度接近时T型=165 K，晶体的热变形达到局部最小值（但不是零变形，因为晶体中的温度不均匀）。在T型=125 K，硅晶体的热变形不是最小的（见图4b条)但主要是热收缩。在同步辐射社区中流传的观点是，液氮冷却的硅晶体在125K时没有热变形，这是不正确的。（见附录A类讨论ANSYS有限元分析软件温度相关命令热膨胀系数。）

硅的各向异性机械性能（Wortman&Evans，1965; 张，2009)使用Si（111）的刚度系数矩阵，已用于本研究的有限元分析。

3.2. 晶体吸收的光束功率

单色器晶体在热负荷下的热变形不仅取决于上述材料特性，还取决于与此处讨论的光束功率分布相关的光束参数。

对于波荡器光束，垂直于光束一定距离的平面内的功率空间分布d日源信号很好地近似于带参数的高斯分布σ_V（V）和σ_H（H）.如果光束线ID06位于晶体位置d日=35.8 m，距离波荡器震源，我们有σ_V（V）=1.55毫米和σ_H（H）=3.28mm。在不同的电子束电流下，对液氮冷却硅晶体进行了热负荷实验。权力P（P）_v（v）单位体积硅晶体在电子束电流下的吸收我由提供

哪里P（P）_a0（单位：W mm⁻²)是晶体位置处的计算功率密度，英尺/平方英尺_cor公司=0.14是计算功率与吸收功率之差的修正系数（见§2.3.1),我_参考是标称电子束电流（200 mA），如果(z（z）)是硅的功率吸收函数，计算为吸收功率的比率P（P）_{abs-by公司-Δz（z）硅}通过一片硅（厚度Δz（z）)和入射功率P（P）_{股份有限公司}作为如果(z（z）) =P（P）_{abs-by公司-Δz（z）硅}/P（P）_{股份有限公司}/Δz（z）.功能如果(z（z）)是在高达100 keV的整个光子能量谱上平均的衰减函数。第个结果，共个如果(z（z）)如图5所示。这里的坐标系是O-xyz公司，其中x个和年分别为水平轴和垂直轴；这个z（z）-轴沿光束路径，坐标系的原点为点O（运行）位于晶体表面印迹的中心。在晶体表面的坐标系中O-XYZ公司，投影因子sinθ_B类必须相应应用。不同术语的单位为：P（P）_v（v），W毫米⁻³;P（P）_a0，W毫米⁻²;我，毫安；x个,年,σ_H（H）,σ_V（V），毫米；如果(z（z）)，毫米⁻¹.

图5 体积功率吸收功能如果(z（z）)沿着硅中的光束路径。计算中考虑了波动源U18+U32、0.3mm金刚石和1mm厚铍窗。此函数如果(z（z）)是硅在100 keV以下所有相关光子能谱上的平均衰减函数。

3.3. 有限元模型

ID06单色器的第一个硅晶体（以及ID26和ID18的硅晶体）由铜块从两侧冷却，铜块在两个接口上各有0.5 mm厚的铟箔（图6一). 铟箔确保铜块和硅晶体之间有良好的热接触。一个小的压力使它们保持接触，而不会使晶体变形。在本研究中，有限元建模仅适用于硅晶体，一个长240 mm、厚50 mm、宽28 mm的块（图6b条)，与之前的研究一样（Zhang，1993; 张等。, 2001, 2003). 有效对流冷却系数小时_简历应用于与铜块接触的晶体的侧面。该冷却系数取决于冷却块中的液氮流速和热接触电阻，并由晶体的测量温度确定。硅晶体体积的吸收功率（如图6所示b条)通过方程式（7）计算使用函数如果(z（z）)如图5所示.对于开口为2 mm×1 mm（H×V）的狭缝，电子束电流为我=200 mA，功率校正系数为英尺/平方英尺_cor公司=0.15，总吸收功率为385.2 W布拉格角属于θ_B类=25.4°，足迹接近晶体的一端，如图6所示(b条)，晶体表面左侧的小红点。¹晶体的温度是在靠近底部的晶体左端的一个点上测量的，远低于功率吸收体积。

图6 ID06单色仪的有限元模型：(一)第一个带有液氮冷却系统的硅晶体(b条)第一个硅晶体的有限元模型。功率密度刻度对应于以下条件下的总吸收功率385.2 W：主狭缝开口=2 mm×1 mm（H×V）；束流我=200毫安；功率校正系数英尺/平方英尺cor公司= 14%.

假设X射线束沿着晶体中心，在矢状方向对称地照射在晶体上。因此，只需对晶体的一半进行建模。对称边界条件被应用于平行于冷却表面的中心平面。由于我们的兴趣是计算热变形，因此假设晶体不受与铜块相关的机械约束。

吸收功率的晶体体积是一个长度为20mm的倾斜矩形棱镜，以光束足迹（2.58mm×3.01mm）为基础（图6b条). 足迹首先在矩形二维单元中进行网格划分，然后沿光束路径逐渐增加单元尺寸，将其拉伸为三维单元(z（z）-轴）超过总长度我_z（z）=20 mm。这对应于硅厚度（沿Z轴-轴，垂直于晶体表面）t吨_Z轴=20sinθ_B类=8.58 mm。可变元件网格的高度ΔZ轴_我与可变厚度有关Δz（z）_我用于计算体积功率吸收函数：ΔZ轴_我=Δz（z）_我罪θ_B类。总长度为我_z（z）=20毫米硅，传输功率（高达100千伏高能光子）仅为入射功率的3.3%。晶体厚度为50 mm，相当于沿X射线束路径的116.6 mm长度布拉格角25.4°。通过整个晶体传输的功率可以忽略不计（0.01%）。为了限制模型的尺寸，所有吸收的功率都输入到倾斜的矩形棱镜体积中。一旦这个倾斜的棱镜体被网格化，剩下的硅晶体就会被半自动地与几个中间过渡体网格化。

4.1. 温度分布和冷却系数

有效冷却系数小时_简历主要取决于硅晶体和铜冷却块之间界面的热接触电阻。对这种热接触电阻的关键影响参数是施加的压力（接触压力）和界面接触体的表面状态（Vallet&Zhang，2003; 马里恩等。, 2004). 各种估计（张，1993; 张等。, 2003)表明该有效冷却系数小时_简历对于液氮冷却的硅和铜块，大多在1000–5000 W m范围内⁻² K（K）⁻¹.冷却系数的精确值小时_简历将在比较实验结果和FEA结果时确定。

通过假设冷却系数进行有限元分析小时_简历计算硅晶体中的温度分布，特别是在测量温度的位置。有效冷却系数小时_简历可以通过将FEA装配到此位置的测量温度来推断。我们对一种热负荷情况进行了这种拟合，然后在所有其他热负荷条件的计算中使用推导出的冷却系数。冷却系数的最终微调小时_简历以获得最佳温度拟合。推导出的有效冷却系数小时_简历为2906瓦⁻² K（K）⁻¹在束线ID06和2656 W m处进行的第一次实验⁻² K（K）⁻¹五个月后在同一束线进行的第二次实验。这两个值之间的差异仅为9%，主要是由于液氮流量的变化。当吸收功率处于线性区域时，液氮冷却硅晶体的热变形几乎与冷却系数无关（张等。, 2003). 例如，硅晶体的温度分布如图7所示对于缝隙开口为2 mm×1 mm（H×V）和束流的情况我=200 mA。在这种情况下，晶体的最高温度达到202 K。温度高于100 K的区域很小，围绕着光束足迹。

图7 ID06单色仪第一晶体在开2 mm×1 mm（H×V）初级狭缝和电子束电流下的温度分布我=200毫安(P（P）=385.2瓦）。

将热电偶位置处的计算温度与不同测试条件（电子束电流、缝隙开口）下的测量温度进行比较（图8). 计算温度和测量温度之间的差异小于0.6 K。计算温度和实测温度之间的良好相关系数（0.9995）证实了FEA中所用热边界条件（冷却系数和功率负载）的良好选择。

图8 针对ID06硅单晶，在不同的测试条件下，将有限元法计算的热电偶位置温度与实测温度进行了比较。实验数据来自两次专门的热负荷测试（实验1和实验2）。这条线是眼睛的指南。计算温度与测量温度之间的相关系数为0.9995。

与ID18光束线的实验结果相比，类似的有限元模拟导致有效对流冷却系数为小时_简历=3510瓦米⁻² K（K）⁻¹在这两条光束线中，硅晶体和铜冷却块的安装是不相同的。接触压力和流量也不同。考虑到这些影响，有效冷却系数在光束线ID06和ID18之间是可比较的。

4.2. 硅晶体的热变形

计算出的温度分布用于计算硅晶体中的纯热变形。虽然在实际中冷却铜块组件可能会引入机械应力和应变，但假设晶体块没有机械约束。初始状态被选择为具有机械应变的晶体形状，这是由于制造/安装以及在打开热负荷之前从室温冷却到液氮温度。然后，由热负荷引起的热变形与初始状态线性叠加，可以单独处理。在很小的功率负载下，通过比较有限元分析结果和实验结果，可以估计晶体的初始变形。例如，该技术用于估计1.1弧秒的初始斜率误差，这是由于安装、制造和冷却ESRF光束线ID09（Zhang等。, 2003).

晶体的纯热变形是通过假设晶体中的初始应变可以忽略不计且晶体是扁平的来获得的。通过有限元分析直接得到了硅晶体在功率载荷下的位移结果。根据位移导数计算沿子午轴的热斜率U型_Z轴（垂直于晶体表面）到晶体坐标x个_c（c）（斜率=¼U型_Z轴/∂x个_c（c）). 对于足迹内的每个坡度剖面，我们计算相应的RMS值。足迹区域（X射线束照射下）变形晶体形状的有限元分析结果如图9所示(一)–9(d日)以及热变形位移U型_Z轴对于从ID06光束线测量中选择的四个代表性案例。主狭缝的孔径为2 mm×1 mm（H×V）。表3给出了这四种情况下的电子束电流和功率负载，其中还包括沿足迹中心轴计算的最大温度和RMS斜率误差(x个-轴）。增加晶体上的电子束电流或功率负载时(一)在低吸收功率（19.1 W）下，晶体轻微变形为凹形；(b条)在中等吸收功率（194.5 W）下，晶体明显变形为凹形，晶体中的最高温度为120.3 K，接近125 K，其中热膨胀硅的系数为零，但热应变为负；(c（c）)在较高的吸收功率（288.9W）下，晶体具有从凹面到凸面的形状反转，晶体中的最高温度为153.6K，RMS热斜率误差为2.19µrad，小于2.98µrad-(b条); (d日)在更高的吸收功率（385.2W）下，晶体变形很大，呈凸形，晶体中的最高温度为205.7K，RMS热斜率误差为22.03µrad。案例中的吸收功率(d日)仅比案例高33%(c（c）)，但热变形（均方根斜率误差）增加了10倍，这是一个非常强的非线性效应。万一(c（c）)观察到从凹到凸的形状反转发生在印迹的入射侧，吸收功率比出射侧小。这可以通过倾斜体积中的功率吸收来解释布拉格角 θ_B类=25.4°：足迹上游一半的体积吸收的功率小于足迹下游一半的体积。

图9 左侧列(一,b条,c（c）,d日)：在光束线ID06处晶体上的四种热负荷条件下，沿垂直于晶体表面的方向，足迹区域变形晶体形状的有限元分析结果以及热变形位移（四种情况下的位移范围不同）：(一,e（电子）)P（P）=19.1瓦，T型最大值=85.0 K(b条,如果)P（P）=194.5瓦，T型最大值=120.3千(c（c）,克)P（P）=288.9瓦，T型最大值=153.6 K(d日,小时)P（P）=385.2瓦，T型最大值=205.7 K。主狭缝开口为2 mm×1 mm（H×V）。带箭头的红线表示X射线束的入射和反射方向。右侧列(e（电子）,如果,克,小时)：比较四种热负荷条件下晶体表面经向热斜率分布的计算值和测量值（红线：沿中心轴；黑线：横向足迹宽度的平均值）。坡度分布的相同比例用于(e（电子）), (如果)和(克); 箱子使用了更大的垂直刻度(小时).

有限元分析模拟的热斜率分布也与这四种情况的测量结果进行了比较[图9(e（电子）)–9(小时)]. 给出了中心轴（FEA_centre）的FEA结果，并对横向足迹宽度（FEA_mean）进行了平均。当硅晶体呈凹形时，平均斜率剖面非常接近（尽管略小于）沿中心轴的斜率剖面e（电子）,如果)，但当晶体变得凸起时明显更小（情况克和小时). 如§2.3.2所述，测量的晶体斜率剖面是横向足迹宽度的加权平均值，沿中心轴的权重系数最高；FEA斜率分布的平均值应采用相同的权重函数。但后者是未知的。因此，我们对有限元分析结果使用了简单的平均值，这与前三种情况下的实验结果非常一致(e（电子）,如果,克). 发现小差异，以防(小时)在高热负荷和较大热变形的情况下。在以下情况下，FEA中沿中心轴的斜率剖面略大于实验结果(克)，但在以下情况下达成一致(小时). 晶体斜率分布的测量精度约为1µrad。需要强调的是，四种情况下晶体的斜率分布差异很大，对应于晶体形状从凹形变为凸形，FEA模拟与测量结果非常吻合。这种良好的一致性证实了有限元分析前一节所述参数选择的相关性。实验和有限元分析中热斜率分布的差异(e（电子）)和(如果)结果表明，第一晶体的初始形状为凹面，斜率误差估计为1.1µrad峰对峰和约0.45µradRMS。

对于不同热负荷下热变形硅晶体的全局图像，我们对电子束电流的许多值进行了如上所述的FEA模拟，并以RMS为单位绘制了热斜率误差与吸收功率。对于每个功率负载条件，均方根斜率误差是根据上述两个斜率误差分布（FEA_center，FEA_mean）计算的，这两个斜率误差分布覆盖了由主狭缝的垂直开口定义的全覆盖区长度。对于ID06光束线，该垂直开口为1 mm。中心圆锥波荡器辐射的半高宽在主狭缝位置的垂直方向上约为0.5 mm，即主狭缝垂直开口的一半。计算与波荡器中心圆锥投影相对应的长度上的均方根斜率误差也很有趣，该投影约为足迹长度的一半。图10所示的RMS热斜率误差根据沿中心轴的斜率分布或横向足迹宽度的平均值（av）计算整个足迹或半足迹（fp/2）长度。功率值小于280 W（在局部最小值附近）时，平均RMS斜率误差与沿中心轴的误差非常接近，但对于更高的功率，其差异显著。当功率小于对应于局部最小值的功率时，计算出的半足迹长度上的RMS斜率约为整个足迹长度上RMS斜度的一半。四点(一,b条,c（c）,d日)如图10所示对应于图9所示的四种热负荷条件图10中这四个点的位置以及图9所示的相应晶体形状(一)–9(d日)给出了硅晶体在不同热负荷下均方根斜率误差和相应变形形状的整体行为中的不同工作点。

图10 ID06 LN2冷却硅晶体的RMS热斜率误差和最高温度与吸收功率。根据沿中心轴的斜率分布或横向足迹宽度的平均值（_av），计算整个足迹或半足迹（_fp/2）长度的RMS值。主狭缝开口为2 mm×1 mm（H×V）。四点(一,b条,c（c）,d日)对应于图9所示的四种热负荷条件.

晶体的最高温度与吸收功率也如图10所示在整个足迹上计算的均方根斜率误差曲线的局部最大值处约为125 K。该局部最大值对应于具有累积热收缩效应的硅晶体的最凹形状。在125K以上，硅晶体处于热膨胀。凹形和RMS斜率在斜率曲线中减小到局部最小值与吸收的功率。在该局部最低温度下，晶体的最高温度约为150 K，显著高于125 K，但低于165 K（理论上制服非变形温度，如前所述）。

我们还可以将以RMS斜率误差表示的有限元分析结果与实验结果进行对比。如§2.3.2所示从摆动曲线宽度来看，热斜率误差（包括晶体因安装而产生的初始变形）在FWHM中约为7.2µrad（假设高斯分布，则为3.1µradRMS）。第一晶体的初始形状为凹面，斜率误差估计为0.45µrad RMS（1.1µrad-峰对峰）。RMS中的纯热斜率误差应在（2.65，3.07）µrad的区间内，其中下限和上限分别对应于晶体的热变形形状和初始形状完全相关（3.1−0.45=2.65µrad）和不相关的情况[（3.1²− 0.45²)^1/2=3.07µrad]。在功率负载下测量了实验摇摆曲线P（P）=194.5瓦[点(b条)如图10所示]. FEA的纯热RMS斜率误差沿中心轴为2.98µrad，在横向平均剖面中为2.86µrad-在整个足迹长度上计算得出（图10). 因此，根据摇摆曲线加宽测量值估算的热斜率误差与FEA结果一致，FEA结果计算了整个足迹长度的RMS斜率误差。

经过实验验证后，FEA模拟可用于光束线光学器件的设计和优化。一个例子是正在建设的ESRF UPBL6光束线预单色器中的LN2冷却硅晶体。第一个硅晶体是一个长150 mm、宽60 mm、厚100 mm的块体，放置在距离U26和U32波荡源30 m的位置。光子能量扫描范围为5–20 keV，对应于5.6°到23.1°之间的布拉格角。光束尺寸由27 m处主狭缝的孔径确定：1.8 mm×0.8 mm（H×V）。X射线束中心锥尺寸为1.2 mm×0.4 mm（FWHM_小时×半高宽_v（v）). 我们将重点放在晶体表面中心圆锥体照亮的区域的有限元分析结果上。绘制RMS热斜率误差与图11中不同布拉格角下的吸收功率图11显示了与200 mA电子束电流（最大工作电流）相对应的工作点，全部位于平坦部分（对吸收功率不太敏感）或曲线局部极小值的左侧，此处硅晶体呈凹形。在该区域或这些工作点，晶体的纵向轮廓近似为圆形，其均方根斜率误差（与曲率半径的倒数成正比）随功率线性增加。该区域的热变形可以通过光束线中的其他聚焦元件进行补偿。无论入射角如何，晶体的热斜率误差都可以保持在2µrad以下。此外，如果选择局部最小值作为高功率负载的工作点，则其可以低于1µrad，并且可能是特定实验的良好选择。然而，这些位置非常不稳定：功率的小幅度增加可能导致非常高的热变形。

图11 ESRF UPBL6束线项目中LN2冷却硅晶体在不同布拉格角的可变热负荷下的RMS热斜率误差。RMS热斜率是在晶体表面的中心锥照明长度上计算的（半足迹）。工作点位于我=200 mA（ESRF当前最常见的操作电子束电流）也显示为圆点。

热变形硅晶体的详细形状显著影响DCM下游的光束波前。当晶体热变形为凹（凸）形时，平面入射波可以变成会聚（发散）波。当晶体形状由凹向凸演化时，晶体曲率沿衍射方向不恒定，影响波前的空间延伸和形状。为了估计沿晶体曲率的不均匀性布拉格角 θ_布拉格绘制=16.2°与吸收功率（图12)再加上脚印中心的曲率，以及中心圆锥体照亮的晶体表面上的最大、最小和平均曲率。在小功率负载下，平均曲率为正（凹形），达到最大值，然后在与RMS斜率曲线中的局部最大值和最小值大致相同的功率负载下通过零点与功率，然后在增加吸收功率时变为强负值（凸形或凹凸）。足迹中心的曲率值几乎与最小曲率值相同。然而，值得指出的是，曲率的最大值和最小值之间的差异表明热变形的晶体形状不是球形（或不是恒定曲率）。图12结果表明，热变形在单色器上引起的曲率是不均匀的，可能会强烈改变光束特性，其结果明显取决于特定的光束线设计和应用。图11所示的曲线图和12为液氮冷却硅晶体单色器的设计和优化提供了方便的指导，并有助于确定光束线光学布局。图11中的结果还表明，液氮冷却硅晶体的热负荷极限随布拉格角：450 W用于θ_B类=6.6°，230 Wθ_B类= 23.1°. 这些热负荷极限也取决于束流尺寸，但仅略微取决于张报告的冷却系数等。(2003).

图12 RMS热斜率（绿线，左轴）错误与吸收功率布拉格角 θ布拉格=16.2°，对于ESRF UPBL06光束线项目的LN2冷却硅晶体。绘制（非恒定）曲率的不同值（右轴）：在足迹的中心，在中心圆锥体照明半足迹长度上的最大值、最小值和平均值。注意，在吸收功率范围（225270）W内，最大曲率为正（凹），而最小曲率为负（凸）。