Indexing of superimposed Laue diffraction patterns using a dictionary–branch–bound approach

Seret, A.; Gao, W.; Juul Jensen, D.; Godfrey, A.; Zhang, Y.

doi:10.1107/S1600576722006021

研究论文

的日志
应用
结晶学

国际标准编号：1600-5767

第55卷| 第5部分| 2022年10月| 第1085-1096页

https://doi.org/10.107/S1600576722006021

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使用字典-分支绑定方法对叠加劳厄衍射图案进行索引

安东尼·塞雷特,^一 ^* 高文强,^b条多特·朱尔·延森,^一安迪·戈弗雷 ^b条和张玉斌 ^一 ^*

^一丹麦理工大学土木与机械工程系，地址：Kongens Lyngby，2800，Denmark，and^b条清华大学材料科学与工程学院先进材料重点实验室，北京，100084，中华人民共和国
^*通信电子邮件：anthony.seret@oca.eu,yubz@dtu.dk

编辑：A.Borbély，法国圣埃蒂安国家矿山管理学院(收到日期：2021年12月1日； 2022年6月6日接受； 2022年8月24日在线)

X射线劳厄衍射是表征多晶材料局部晶体取向和弹性应变的重要方法。现有的分析方法主要用于索引探测器图像中记录的单个或几个劳厄衍射图案。在这项工作中，提出了一种称为字典-分支界限（DBB）的新方法，仅使用探测器图像中的光斑位置来确定平行X射线入射光同时照射的多个晶体的晶体取向。DBB用于模拟X射线劳厄衍射数据。在模拟中，同时照明多达100个具有随机晶体取向的晶体。将伪点随机添加到检测器图像中，以测试DBB的鲁棒性。此外，随机删除点，以测试DBB对由于背景噪声和/或点重叠而未检测到的真实点的恢复能力。此外，还添加了泊松噪声，以测试DBB对检测到的点的不太准确位置的敏感性。在所有情况下，除了最具挑战性的情况外，都可以获得平均角度误差低于0.08°的完美分度。为了进一步证明DBB的潜力，将其应用于同步辐射微衍射数据。最后，提供了在实验数据中使用DBB的指南。

关键词：劳厄衍射;叠加图案;索引;晶体取向.

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1.简介

平行宽带X射线束照射晶体样品时，会发生劳厄衍射。劳厄衍射图样的索引可以确定晶体取向，在某些情况下，还可以确定样品的晶格弹性应变和缺陷（Sheremetyev等。, 1991 ; Marín&Diéguez，1999年 ; Maaß等。, 2006 ; 徐等。, 2017 ; 迪伦等。, 2019 ). 随着利用聚焦光束的劳厄微衍射技术的发展，可以实现亚微米空间分辨率的无损三维表征（拉森等。, 2002 ; Larson&Levine，2013年 ; 霍夫曼等。, 2012 ; Cornelius&Thomas，2018年 ; 厄尔斯等。, 2018 ; 阿尔廷克特等。, 2018 ). 因此，劳厄微衍射是当今材料表征的主要工具。已建立的技术包括基于同步加速器和实验室源X射线的方法（拉尔森等。, 2002; 塔穆拉等。, 2003 ; 莱文等。, 2006 ; 史蒂文森·林奇等。, 2007 ; 田村林奇等。, 2007 ; 霍夫曼等。, 2012; Larson&Levine，2013年; 周等。, 2016 ; Cornelius&Thomas，2018年; 厄尔斯等。, 2018; 阿尔廷克特等。, 2018).

已经开发了几种方法来索引包含多个斑点的劳厄衍射图案。传统方法通过匹配实验衍射矢量的三元组和理论衍射矢量（未变形晶体）的三元团之间的角度来确定晶体取向（Ohba等。, 1981 ; Chung&Ice，1999年 ; 塔穆拉等。, 2003). 最近，提出了预先选择检测点的例行程序（Dejoie&Tamura，2020 )提高“小”单元-细胞样品索引方法的稳健性（这会产生“大量”衍射点）。为了提高这些方法的可靠性，还提出了一种广义霍夫变换策略（Morawiec&Bieda，2005）). 通过转换任何可能的匹配集(例如成对或三联）在旋转空间中变成点（Morawiec，2020 )或单个点到线（Gevorkov等。, 2020 )在晶体学取向域中匹配或相交的元素将累积，从而提高索引的鲁棒性。

随着计算能力的提高，最近开发了基于前向模拟的新索引方法。这种方法基于字典晶体取向生成大量劳厄衍射图案，然后使用对应测量将其与实验结果进行比较（Gupta&Agnew，2009 ). 这种方法的主要优点是对低质量劳厄衍射图案的鲁棒性。

这些基于词典的方法的一个关键要素是晶体取向空间的均匀采样（Singh&De Graef，2016）; Larsen&Schmidt，2017年 ; 奎等。, 2018 ). 字典晶体方向必须与目标角度精度匹配。实际上，这导致了大量的字典模式，即使考虑到晶体对称性减少了这个数字。所有字典模式都必须与实验模式进行对比，这意味着与使用直接三元组匹配的方法相比，这种方法通常速度较慢（Singh&De Graef，2016).

在当前的工作中，提出了一种新的路由，称为基于字典的分支和绑定（DBB），以缓解此问题。这种方法受到了分支定界方法的启发（杨等。, 2016 )用于确定计算机视觉中两个点集之间的刚体旋转。一个合适的上限标准允许我们在使用较粗的字典时达到尽可能最好的角度精度。因此，减少了计算时间和内存需求。

开发DBB的另一个重要动机是能够对许多晶体的叠加衍射图案进行索引，这对于使用三重匹配方法来说是非常具有挑战性的。本文证明DBB可以很容易地处理100个晶体的衍射图案。为了测试方法和纳入典型的实验挑战，考虑了模拟数据：（i）当被照明的晶体数量较大时，光斑重叠；（ii）在探测器上添加虚假斑点，以代表物理制品和/或过度敏感的斑点检测；（iii）移除真实点，以模拟由于不足而未检测到的真实点亮度与噪声比较；（iv）在检测器图像上添加的泊松噪声。最后，作为演示，DBB还用于处理实验同步辐射微衍射数据。

2.字典-分支绑定索引

2.1. 总体路线

DBB适用的典型（微）衍射装置如图1所示宽带平行X射线束入射到多晶样品上，并衍射到探测器上。后者可以放置在任何位置，包括变速器（如图1所示)、90°反射和后反射配置。

图1
DBB适用的典型衍射装置。在这种情况下，探测器被置于传输配置中。箭头表示衍射X射线束。

图2总结了DBB的总体路线。假设晶体结构已知样品的宽带入射光束的X射线能量范围和探测器几何结构（位置和像素信息）。入射光束被认为是平行的。与样品到探测器的距离相比，样品中每个晶体的质量中心与计量体积中心之间的距离可以忽略不计。最后，利用检测到的衍射点的位置计算实验单位衍射矢量（因为衍射光子波长未知）。

图2
字典-分支绑定方法的流程图。

DBB包括三个主要步骤：

（i）晶体取向空间被细分为称为分支的块，其晶体取向空间的覆盖范围通常对应于2-4°的偏离角。对于每个分支，分支预期的反射(即（第2.2节），图2中的步骤1).

（ii）对于每个分支，其预期反射与检测到的点相匹配，以构建候选晶体方向（第2.3节，图2中的步骤2).

（iii）迭代选择最佳候选晶体方向，以尽可能精确地索引（迄今为止）未索引的检测点，然后细化以构成索引晶体方向（第2.4节，图2中的步骤3).

2.2. 分支（步骤1）

晶体学取向空间的基本区域（考虑晶体对称性）由字典采样，对于每个字典晶体学取向，定义一个称为其周围分支的域，使得分支的并集包含晶体学取向空间的基本区域。字典晶体取向及其分支可能在晶体取向空间的基本区域之外和/或分支可能相交，即相互重叠，不会产生任何问题。

晶体取向字典及其分支的示例如图3所示其中字典是一个间距为10°的规则三维网格，分支是以字典晶体方向为中心沿宏观实验室方向的10°边长立方体。

图3
1300个晶体取向（红点）字典的示例，定义为旋转的轴角表示中具有10°间距的规则三维网格，其基础是从宏观实验室方向定义的。分支（为便于阅读，未显示）是以字典晶体方向10°边缘为中心的立方体，沿着宏观实验室方向。一些字典晶体取向和分支超出了 $[m{\overline 3}m]$ 点编组（灰色区域）。这是为了确保它们覆盖 $[m{\overline 3}m]$ 点组。

对于每个分支，确定在给定设置和入射光子波长范围内探测器上预期产生斑点的反射（附录一); 这些被称为预期反射（ER）。虽然每个反射的Bragg衍射光子波长被单独考虑，但导致相同酉法向量的反射合并为一个。用于分支字典晶体定向的ER的相同酉法向量称为预期字典法向量（EDNV），并将用于匹配（第2.3节).

2.3. 匹配（步骤2）

在匹配步骤中，对每个分支重复以下过程。首先，每个EDNVN个+N个*将分支的最强ER与每个实验法向量进行比较，以找到潜在的匹配项（第2.3.1节)根据特定标准。N个是用于构建候选晶体取向的分支的ER数。然而，不仅是测试N个分支的ER，可以测试N个*增加一个，使比赛对未检测到的真实点更有弹性。其次，所有可能的候选组合都使用N个分行的EDNV及其N个在N个 + N个*测试分支的ER。计算相关的候选晶体取向（第2.3.2节).

2.3.1. 匹配条件

对于每个N个+N个*分支机构EDNV最强大的ER $[{\bfn}_{d}[（hkl），{\cal B}]]$ 与实验法向量进行比较n个_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})每个检测到的点S公司_{e（电子）}使用以下标准检查可能的匹配：

$[\left\|{\bfn}{e}\ left（S_{e}\right）-{\bf n}{d}\ left[\ left$

式中，方程（1）右侧的上限由支管松动距离组成 $[\Delta_{\cal B}]$ 和不确定距离Δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})关于实验法向量n个_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})检测到的点的S公司_{e（电子）}（图4).

图4
显示预期字典法向量{红色箭头、， $[{\bfn}_{d}[（hkl），{\cal B}]]$ }ER的(小时k个我)在分支中 $[{\cal B}]$ ，以及法线向量[蓝色向量，n个_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})]检测到的斑点S公司_{e（电子）}EDNV $[{\bfn}_{d}[（hkl），{\cal B}]]$ 属于由树枝松动距离限定的红色半透明区域 $[\Delta_{\cal B}]$ .真（未知）法向量属于由不确定距离限定的深蓝色半透明区域Δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})关于实验法向量n个_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})检测到的点的S公司_{e（电子）}.在图中 $[{\bfn}_{d}[（hkl），{\cal B}]]$ 可能与n个_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})英寸 $[{\cal B}]$ .

支管松动距离 $[\Delta_{\cal B}]$ 涵盖了字典晶体学定向和分支中任何晶体学方向之间的差异。更严格地说， $[\Delta_{\cal B}]$ 是从字典晶体学方向旋转到分支中任何位置时单位向量变化范数的上界。支管松动距离 $[\Delta_{\cal B}]$ 计算为

$[\Delta_{\cal B}=2\sin{\Delta_{\ cal B{}}\ over{2}}，\eqno（2）]$

其中分支松动角度 $[\delta_{\cal B}]$ 是从字典晶体方向旋转到分支中任何位置时任何向量的角度偏差的上限。因此 $[\Delta_{\cal B}]$ 这取决于字典和分支的构造方式，并且可以通过几何考虑来推导。

不确定距离Δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})关于实验法向量n个_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})检测到的点的S公司_{e（电子）}涵盖检测到的斑点和（未知）真实斑点之间的差异。更准确地说，对于检测到的光点，它是与检测到的点和真实光点相关的法向量之间的差值范数的上限。该不确定距离Δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})可能来自于（i）探测器上检测光斑位置的不确定性，这可能源于探测器信号中的弹性/塑性应变和/或噪声，（ii）晶体在样品中的物理尺寸偏离了所有衍射光束来自其中心的假设，以及（iii）非完全平行光束的发散。计算Δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})见附录B类.

这里，距离被计算为差异的标准(即非正式地，箭头尖之间的距离）在（酉）向量而不是角度之间。通过这种方式，三角不等式保证了 $[\Delta_{\cal B}]$ 和Δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})是一个适当的上界。

2.3.2. 构建候选晶体取向

对于每个N个+N个*在分支中测试EDNV，实验法向量之间可能有几个可能的匹配（图5). 通过对齐构建候选晶体取向N个EDNV退出N个+N个*测试向量及其在实验法向量中的可能匹配。

图5
示意图显示了EDNV和实验法向量之间可能匹配的候选组合的构造。在图中，N个=3，三个红色箭头是分支中三个最强ER的EDNV，其他彩色向量是实验法向量。该分支总共可以构造2×2×1=4个候选组合。

让我们首先定义N个_下午(≤N个+N个*)作为EDNV的数量（N个+N个*测试的），在实验法向量中至少有一个可能的匹配。如果N个_下午<N个，数字N个_下午不足以构造候选组合，因此不进一步考虑此分支。如果N个_下午≥N个，则所有选项N个其中包括EDNVN个_下午每个都至少有一个可能的匹配项¹考虑构造所有可能的候选组合（图5).

对于每个候选组合，通过尽可能精确地对齐N个EDNV与其对应的N个实验法向量。这是通过最小化向量之间差异的最小二乘范数来实现的(即解决Wahba问题；瓦巴，1965年 )通过奇异值分解，通过距离不确定性的平方逆进行加权（Markley，1988 )[类似于Gupta&Agnew（2009）使用的程序)].

2.4. 选择（步骤3）

在候选晶向中选择最佳晶向，然后对其进行细化，从而得到最终的分度晶向。

选择通过三个步骤迭代完成：（i）确定最佳剩余(即非选择）候选晶体取向，（ii）检查其是否满足两个标准（详见下文），（iii）如果满足，则选择它，即将其附加到索引晶体方向集。当剩余的最佳候选不满足条件时，此过程将停止，此时DBB索引也将停止。

直观地说，剩下的最佳候选是与迄今为止未检测到的无索引点最匹配的候选。为了在实践中实现这一点，对于任何晶体取向的输入集秒与每个检测到的点相关联S公司_{e（电子）}，定义为

$[s（s_{e}）=\max{\left\{1-\left[{{\Delta（s_{e}）}\over{\Delta_{e}（s_{e\}）{}\right]^2，0\right\}}，\eqno（3）]$

哪里Δ(S公司_{e（电子）})是检测点的实验法向量之间的差值的范数S公司_{e（电子）}以及所有反射中最接近的酉法向量（不仅是N个+N个*最强的ER）。检测到的点的得分S公司_{e（电子）},秒(S公司_{e（电子）})，量化了它被晶体学取向的输入集合索引的程度；当且仅当检测到的点的分数为正时，才认为该点已被索引。

剩下的最佳候选人确定如下。选定的晶体取向被视为输入集，检测到的未分度的点(即其分数为零）被确定并称为“当前未编入索引”。然后，将剩余的每个候选点附加到选定的晶体学方向以形成输入集，并在求和之前计算每个当前未索引的检测点的分数。剩余的最佳候选者是使该和最大化的候选者，以下表示ΔS公司.数字Δn个还计算了由最佳剩余候选新索引的检测点的个数。

只有在满足以下两个标准的情况下，才能选择剩下的最佳候选人：

（i）ΔS公司大于分数（f）_{thr（星期三）}的平均值ΔS公司与先前选择的晶体取向相关的值。分数（f）_{thr（星期三）}使用X射线劳厄衍射模拟，从经验上选择了等于1/4的最佳值。

（ii）Δn个大于用户定义的值Δn个_{thr（星期三）}.

最后，考虑到与所有ER相关的衍射点，对每个选定的晶体取向进行细化（使用与创建候选晶体取向相同的方法）。精选的晶体取向为指数取向。

DBB已经在MATLAB中实现，并使用开源MTEX公司工具箱(https://mtex-toolbox.github.io/)用于涉及旋转、晶体取向和晶体对称性的计算。该代码可根据要求提供。

3.使用模拟数据评估DBB的性能

为了说明DBB的性能并了解其设置的影响，以及为其选择提供实际指导，使用模拟衍射数据对DBB进行了测试。

本文考虑了可能由典型实验问题引起的几种人工制品，包括（i）点扩散函数，（ii）探测器噪声引起的假点，（iii）低光斑强度导致的未检测到的真点，以及（iv）背景噪声。这样，就考虑了DBB在索引实际实验数据时将面临的最重要的问题。与实验相比，这种基于模拟的方法的优点包括（i）基本事实已知，（ii）每个实验问题的效果与其他问题分开，这有助于理解。

3.1. 方法

衍射设置如图1所示已考虑用于模拟。使用几何射线追踪方法模拟X射线的路径。尽管只使用相关的法向量作为DBB的输入，但也计算了斑点的强度，因为强度可能会影响斑点检测。将样品模拟为一组铝晶体，其中（i）每个晶体是一个材料点，即没有体积，（ii）所有晶体都叠加在相同的样品位置，（iii）所有晶体具有不同的晶体取向。这使我们能够将所有衍射X射线模拟为从空间中的一个独特点发出。

应用高斯卷积来模拟典型探测器的点扩散函数，从而模拟实验中光斑的典型实验信号（有关详细信息，请参阅支持信息). 模拟探测器图像的示例如图6所示.

图6
通过几何射线追踪方法模拟的探测器图像。案例1（十个晶体-见表1

)此处考虑。放大的插图显示了程序为每个点显示的标签，识别相关的晶体（通过数字）和反射。

首先考虑了具有10个、50个和100个随机晶体取向的样品，以研究光斑重叠的影响。为了模拟其他实验挑战，通过以下方式进一步处理来自100晶体样品的探测器图像：（i）添加假斑点（真实斑点的10%），每个假斑点的强度等于最小真实斑点强度，（ii）随机删除25%的真实斑点，以及（iii）添加泊松噪声（使用MATLAB加噪函数），以便每个像素的泊松分布等于应用泊松噪声之前的像素信号值。因此，噪声水平与真实信号水平相当。

斑点检测采用基于高斯模板归一化互相关的自动方法，其中局部最大值高于某个阈值t吨在区间[0；1]被保留为检测点。对于无噪图像，t吨使用=0.05，而对于噪声图像，阈值较高t吨被选中（见表1)消除噪音带来的污点。

表1
15例DBB索引模拟数据运行结果

案例	晶体数量	斑点数量	假添加（+）或真删除（−）点的数量	检测到的斑点数量	t吨	N个*	分度晶体数量	FN数量	FP数量	$[\overline{\delta_{\rm err}}]$ (°)	计算时间（min）
1	10	276	0	272	0.05	0	10	0	0	0.04	14
2	50	1373	0	1145	0.05	0	50	0	0	0.06	16
三	100	2715	0	1872	0.05	0	100	2	2	0.07	57
4	100	2715	0	1872	0.05	1	100	0	0	0.05	222
5	100	2715	+296	1946	0.05	0	100	2	2	0.07	56
6	100	2715	+296	1946	0.05	1	100	0	0	0.05	249
7	100	2715	−679	1543	0.05	0	108	16	24	0.12	28
8	100	2715	−679	1543	0.05	1	99	2	1	0.07	108
9	100	2715	−679	1543	0.05	2	100	1	1	0.06	300
10	100	2715	0	2302	0.2	0	153	7	60	0.08	72
11	100	2715	0	2302	0.2	1	152	三	55	0.07	365
12	100	2715	0	1806	0.3	0	115	4	19	0.08	34
13	100	2715	0	1806	0.3	1	114	0	14	0.07	145
14	100	2715	0	1462	0.4	0	106	7	13	0.08	18
15	100	2715	0	1462	0.4	1	100	0	0	0.08	60

对于索引，字典和分支的构造如图3所示具有字典分辨率θ_字典4°。字典和分支的这种构造使我们能够确定一个有效的 $[\delta_{\cal B}]$ 作为字典分辨率的函数θ_字典[从引理1获得，即不等式（6），在杨的作品中等。(2016)],

$[\delta_｛\cal B｝=｛｛3^｛1/2｝｝\超过｛2｝｝\，\ theta_｛\rm dict｝.\eqno（4）]$

使用该字典，100个晶体学取向中的任何一个与最近的字典晶体学定向之间的最大错向角为3.43°（分布如图7所示)，低于方程（4）确定的3.46°上限.

图7
情况3-15常见的100个地-地晶体取向中每个取向角的分布（见表1

)最接近字典晶体方向。

分布（图7)表明99%的基态晶体学取向与字典取向相差0.5°以上。这构成了对DBB的一项关键测试，DBB必须从偏离方向角超过0.5°、高达3.43°的字典开始检索地面晶向。

总共研究了15个测试用例（表1). 为了量化测试用例的索引质量，定义了以下几个参数。

（i）角度不确定性δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})检测点的实验法向量S公司_{e（电子）}根据(一)用作不确定度的3/2探测器像素对角线Δ_d日探测器上检测到的点位置，以及(b条)探测器设置（附录B类2). 请注意δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})取决于探测器上的光斑位置，并且对于靠近发射光束中心的光斑更大。

（ii）实验法向量的平均角度不确定度 $[\overline{\delta_{e}}]$ 计算为所有检测点的平均值。因此 $[\overline{\delta_{e}}]$ 表示人们对设置可能预期的典型角度不确定度，并用于评估分度质量。只有当且仅当有一个比 $[\overline{\delta_{e}}]$ 就方位角而言。假阴性（FN）是一种没有正确分度的大地晶向。假阳性（FP）是指一种指数晶体取向，其地面-地面晶体取向不比 $[\overline{\delta_{e}}]$ 就方位角而言。

（iii）平均角度误差 $[\overline{\delta_{\rm err}}]$ 定义为所有正确分度的地-地晶体取向的平均值，即每一个具有最接近分度晶体取向的错误取向角。决定评估分度晶体取向的角度精度。因此 $[\overline{\delta_{e}}]$ 表示可接受的上限 $[\overline{\delta_{\rm err}}]$ 在输入晶向和分度晶向之间。

分度设置N个被设置为3，N个*不同的值（0、1和2）（见表1)和Δn个_{thr（星期三）}至4。

所有计算（探测器图像模拟和DBB索引）都是在配备Intel Core i9 9700中央处理器和64 GB随机访问内存的Hewlett-Packard Prodesk 600G5 Small Form Factor个人计算机上执行的。

3.2. 结果和讨论

不同情况下检测到的斑点不同（斑点检测的详细信息见支持信息). 大量检测到的斑点往往会减少 $[\overline{\delta_{e}}]$ 不同情况之间（表1). 对于每种情况，实验法向量的平均角度不确定度为 $[\overline{\delta_{e}}]$ = 0.60°. 在所有病例的所有检测点中，最低和最高δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})分别为0.17°和3.40°。

当样品中的晶体数量增加时，由于斑点重叠，每个晶体检测到的平均斑点数量减少。如表1所示，对于案例3，2715个真实点中只有1872个(即69%）。这导致了较大的点位移（支持信息).

与案例3相比，案例1和案例2的点重叠不太严重，DBB索引完全令人满意（图8)：未推导出FN或FP，但平均角度误差 $[\overline{\delta_{\rm err}}]$ 由于更多的点重叠，从情况1增加到情况2。对于情况3（100个晶体），DBB索引产生了两个FN和两个FP。这是因为斑点重叠导致探测器上检测到的斑点位置不准确，即检测到的点位置比选择的点位置离真实点位置更远Δ_d日3/2探测器像素对角线的值。因此，一些检测到的斑点没有被捕获为与N个没有创建ER和两个相关的正确候选人，导致两个FN。他们被另外两名候选人取代，为检测到的“孤儿”（应该由两名FN索引）点编制索引，从而产生两名FP。

图8
案例2（50个晶体）的输入（绿环）和索引（红圈）晶体方向的轴角表示。灰色区域是点群的基本区域 $[m{\overline 3}m]$ 铝晶体结构。

可以通过增加DBB设置来解决此问题N个*从0（情况3）到1（情况4），虽然计算时间延长了四倍（见表1). 平均角度误差 $[\overline{\delta_{\rm err}}]$ 减少为N个*增加。这是因为当N个*增加。

当添加296个假斑点（案例5和案例6）时，检测到的斑点总数仅增加了74个（与案例3和案例4相比），这与任何真实斑点都没有重叠。与案例3和案例4相比，案例5和案例6的结果表明，标引质量不受伪点的影响。

随机去除四分之一的真实斑点（案例7-9）后，其中一些斑点对应于N个+N个*最强的ER被淘汰，因此无法作为可能的匹配捕获。因此，没有构建对应于基本事实晶体学取向的相关正确候选者，直接导致FNs。这个问题可以通过增加N个*. 使用N个*=2（病例9）只剩下一个FP和一个FN。设置N个*=3导致内存需求过大。然而，人们相信，通过增加N个*，因为平均每块晶体上仍有超过15个斑点。

平均角度误差 $[\overline{\delta_{\rm err}}]$ 在病例7和8中分别高于病例3和4。这是因为由于去除了真实斑点，从而产生了更少的候选者，这消除了在情况3和4中索引的一些斑点，并且更接近地面晶体方向。

对于添加泊松噪声的情况（情况10-15），每个像素的噪声预期值与像素的真实信号水平成比例，因此信号仅在真实点附近局部退化（图S1支持信息). 即使在设置斑点检测阈值时t吨高达0.2，在有噪声的情况下（2302，案例10），检测到的斑点比无噪声的情况（1872，案例3）更多。这意味着对于情况3中没有噪声的一些检测点（每个点都必须位于真实点上），在有噪声的情况10中存在多个相邻的移位检测点（中的红色箭头图S1). 在计算分数时，检测真实点附近的更多相邻移动点会干扰索引。事实上，如果对于不同的真实点，存在不同数量的（噪声引起的）相邻位移检测点，它们对分数的贡献将不均衡。这可能会降低对候选人的总体评价、候选人的选择和索引结果。

可以通过增加阈值来纠正这种情况t吨并不断增加N个*. 提高阈值t吨消除了仅由噪音产生的斑点（中的红色箭头图S1)从而通过选择正确的候选项（表1中的情况10、12和14）消除了不正确的可能匹配和FP以及FN). 增加的N个*有助于捕捉可能的正确匹配，尽管由于噪音造成的点偏移过大，因此有助于构建正确的候选。使用实现了完美的索引t吨=0.4和N个*在合理的时间范围内=1（案例15）。请注意，病例15中检测到的斑点数量仅为1462个，甚至少于病例7-9。这是因为增加了阈值t吨实际上消除了由噪声引起的形状不佳的假斑点和最弱反射中的微弱真斑点。失去后一个对DBB来说没有问题，因为它们来自最弱的反射，因此在寻找可能的匹配时不太可能进行测试，因此对索引的影响较小。然而，噪声增加了光斑偏移，从而导致更高的平均角度误差 $[\overline{\delta_{\rm err}}]$ 情况15比情况4。

这些测试案例的结果表明，DBB索引的弹性可以通过三种方法进一步提高：（i）提供更准确的检测点作为DBB的输入（这与点检测有关，而不是DBB本身），（ii）增加所选的不确定性Δ_d日在检测器上检测到的光斑位置，以更好地处理检测到的更高的光斑偏移（由于真实的光斑重叠和/或噪声），以及（iii）增加N个*，这是最多价的方法，因为它有助于处理检测到的点的移动（由于真实点重叠和/或噪声）和未检测到的真实点（由于噪声）。

结果表明，检测点的数量和设置N个*影响计算时间。理论上，这一时间和内存需求取决于所构建的候选晶体取向的数量，并且与之成比例，其本身可以估计为与时间因素成比例（f）作为检测到的斑点数量的函数n个（作为DBB的输入提供）和设置N个和N个*,

$[\eqalignno{&{rm计算\，\，时间\，\$

方程（5）的解释详见第S3节支持信息.

实际上，通过考虑标准化时间因素（f）/（f）_三,即时间因素除以案例3的时间因素（作为参考），图9显示了等式（5）很好地预测了所有情况下的（相对）计算时间。这样可以计算不同数据集的时间范围（更改点的数量n个)和/或设置（更改N个和/或N个*).

图9
标准化时间因子（f）/（f）_三（红叉）[理论值，根据方程式（5）计算

]以及情况1-15的归一化计算时间（蓝色方块，实验）。归一化指的是除以情况3的值。

4.字典-分支-绑定到实验数据的应用

为了进一步证明DBB的威力，将其应用于同步辐射劳厄微衍射数据。为了评估分度结果，使用差分孔径获得深度分辨率图案，并使用劳埃戈软件包(https://www-stg.aps.anl.gov/Sience/Sientific-Software/LaueGo).

4.1. 方法

同步辐射劳厄微衍射数据是在美国阿贡国家实验室（Larson）先进光子源的光束线34-ID-E上获得的等。, 2002; 杨等。, 2004 ). 入射光束是一束平行光束，具有洛伦兹轮廓，由一组非色散Kirkpatrick–Baez反射镜定义的半最大宽度为300 nm。样品为火花等离子烧结铝，平均晶粒尺寸为5µm（Zhang等。, 2020 ). 它安装在与入射光束成45°倾角的位置。将Perkin–Elmer方形平板探测器水平放置在样品上方511 mm处（因此为90°反射配置），其中一个边缘沿着入射光束。该探测器具有2048×2048像素，像素边缘长度为200µm。本试验考虑了随机选择的一个样品位置。采用铂刃丝作为差分孔径，以分辨深度信息。在平行于样品表面的平面上以250µm的距离对孔径进行扫描，在此基础上，沿着入射光束从样品表面到样品表面以下193µm深度的193个深度分辨率探测器图像被获得。

这193幅深度分辨率探测器图像均使用劳埃戈软件包，将每个图像与可能的最佳索引晶体方向相关联（尽管索引可以导致几个索引晶体方向），导致193劳埃戈晶体取向。使用0.2°的错位角度阈值去除重复，导致53劳埃戈晶体取向。

然后将193个深度分辨率的探测器图像汇总为单个探测器图像（称为“合并”），该图像由DBB索引，从而得出下文所述的DBB晶体取向。

使用与模拟数据相同的方法从合并的探测器图像中检测斑点（第3.1节)，选择检测器图像和高斯模板之间的归一化互相关的局部最大值，该局部最大值大于所选择的阈值t吨= 0.32.

对于DBB索引，使用了以下设置：θ_字典= 1°,Δn个_{thr（星期三）}= 4,Δ_d日=1.5像素边缘长度和N个=3，测试0到3之间的值N个*. 在此配置中，字典分辨率θ_字典4°导致捕获太多可能的匹配项和构造太多候选项，导致存储它们的内存不足。注意，与模拟案例相比（第3节)，更大的采样到探测器距离将细化可实现的角度精度，并通过实验法向量的平均角度不确定性进行量化 $[\overline{\delta_{e}}]$ 检测到的斑点为0.0049°。

最后劳埃戈使用0.0049°+arctan（193µm/511 mm）+0.2°=0.23°的错向角阈值比较DBB晶体取向，即如果偏差不超过0.23°，则视为相同。

4.2. 结果

合并后的检测器图像中有1558个检测点（图10).

图10
一个合并了1558个检测点的探测器图像，这些检测点用红色圆环标记。

DBB索引结果如表2所示如果53劳埃戈晶体学取向可以被视为基本事实，然后成功索引的晶体学方位及其平均角误差 $[\overline{\delta_{\rm{err}}]$ ，假阴性和假阳性如表2所示模拟数据已观察到（第3节)，正在增加N个*导致更成功地索引晶体取向，并且索引检测点的数量也相应增加。相关的平均角度误差 $[\overline{\delta_{\rm err}}]$ 如预期，小于选择用于匹配的0.23°角，但大于仅考虑检测到的点位置的不确定性时实验法向量的0.0049°平均角度不确定性，这表明样品中的晶体位置和一个晶粒中晶体取向的不均匀性都会影响角度精度。对于本案N个*=3,46（共53个）劳埃戈-DBB成功地索引了合并的晶体取向，即有七名FN。这被认为是一个非常有希望的结果。然而，有103个FP。

表2
深度分辨率探测器图像的DBB索引结果

N个*	分度晶体数量	索引的检测点数量	成功索引的数量劳埃戈-合并结晶取向	$[\overline{\delta_{\rm err}}]$ (°)	FN数量	FP数量
0	94	752	36	0.038	17	58
1	128	1017	44	0.036	9	83
2	144	1170	44	0.033	9	99
三	150	1230	46	0.032	7	103

FP的比例出奇的高。这可能是由于将单个深度分辨率的探测器图像相加到合并的探测器图像中时，斑点变得可见，从而增加了信噪比，即其中一些“假阳性”实际上是DBB成功索引的真实晶体取向。它也可能与实验噪声有关，如第3节中的情况10和11.从现在起劳埃戈结果并不构成一个有保证的基本事实，需要更多的工作来验证DBB索引结果。然而，令人鼓舞的是劳埃戈当只使用一个单一的合并探测器图像时，DBB可以索引晶体取向。

5.总结

开发了一种称为字典-分支绑定的方法，以确定由平行宽带X射线束同时照射的多个（至少多达100个）晶体的晶体取向，只使用光斑位置作为输入。

考虑到典型的实验装置，DBB已经在模拟数据上进行了测试。用宽带X射线束照射了几个具有随机选择晶体取向的（10到100）铝晶体，并对探测器图像进行了模拟。通过内部检测方法检测斑点，并将其位置作为输入提供给DBB。其他案例被视为模拟实验困难：添加假点以测试DBB对探测器伪影的恢复力和/或过度敏感的点检测，随机移除真点以测试由于点重叠和/或背景噪声而未检测到的真点对DBB的恢复力，和泊松噪声添加到检测器图像中。通过适当的参数，DBB可以确定所有的晶体取向。粗字典分辨率（通常为4°）允许比普通字典方法更快的计算，同时保持所需的角度精度（通常为0.05°）。DBB也在实验同步加速器微衍射数据上进行了测试，并在通过劳埃戈偏差小于0.04°。

DBB的健壮性来自于其组合：（i）几何推导上界的保证，以检测预期反射和检测到的光斑之间可能的匹配，（ii）如果发现光斑是反射的可能匹配，则不会立即消除光斑，而是在与反射匹配的整个过程中保持不变，（iii）构建所有可能的候选晶体取向，以及（iv）使DBB对假点具有鲁棒性的得分策略。

在测试的基础上，还获得了DBB设置的选择指南：设置N个到3在实践中效果良好，并且不断增加N个*是一种有用的多价方法，既有助于捕捉更多真实的晶体取向，也有助于提高其角度精度，因为它有助于处理偏移和未检测到的真实斑点。

6.相关文献

有关支持信息，见德崔斯（2021 ),结晶学在线词典(2021 )和Wolfram Research（2021年 ).

附录A

评估分支是否需要反射

要检查分支是否需要反射，即无论在该分支中具有晶体取向的晶体是否可以从探测器上的反射中产生光斑，对于分支中的任何晶体取向，必须同时满足两个条件：（i）衍射光束击中探测器，（ii）衍射光子能量在入射光束的范围内。此评估基于字典分辨率θ_字典，下面详细介绍几何推理。

起点是考虑 $[\delta_{\cal B}]$ 根据定义，它限定了从字典晶体方向旋转到分支中任何位置时任何矢量的角度偏差。如图11所示, $[\delta_{\cal B}]$ 定义孔径角一半的“法向圆锥体” $[\delta_{\cal B}]$ （图11中的绿色虚线圆锥体)围绕字典晶体取向反射的酉法向量。然后将其转换为角度界限 $[2\delta_{\cal B}]$ 衍射光束方向（图11中的深蓝色)，定义了孔径角一半的圆锥体 $[2\delta_{\cal B}]$ （图11中的深色-正方形虚线圆锥体)绕衍射光束的方向。

图11
确定反射的光斑位置是否保证保留在探测器上，因为晶体方向可能在分支中取任何值。法向角度界限 $[\delta_{\cal B}]$ 明显地转换为上限‖GG公司探测器上光斑位置的偏差。

让我们表示为G公司分支的字典晶体学取向的斑点位置在探测器平面上的位置（图11). 请注意G公司必须在探测器区域内，否则反射将被认为是分支不需要的。几何上，对于恒定的角度偏差 $[2\delta_{\cal B}]$ 围绕衍射光束的方向，光斑位置将偏离G公司到另一个位置G公司'当衍射光束的偏离方向为PG公司和GG公司'共线且方向相同，其中P（P）是中心探测器平面上的正交投影E类在计量体积中发出衍射光束的晶体的体积。位移上限G公司实际上可以计算为

$[\left\|{\bf GG}^{\prime}\right\|=\ left\{\tan\，\left[\angle\，\ left（{\bf-EP}，{\bf-EG}\right）+2\，\Delta\theta\right]-\tan\，\leaft[\langleft（}，}\bf-EG}\rift）\right]\right\}\！\，\，\！\left\|{\bf EP}\right\|，\eqno（6）]$

其中∠(欧洲药典, 如)是（非定向，即始终为正）夹角欧洲药典和如.然后‖GG公司〃‖与G公司和最靠近探测器的边界，以检查第一个条件。

通过验证反射衍射的波长间隔[max{0，2来检查第二个条件d日罪(θ−Δθ)}; 2d日罪(θ+Δθ)]（当角度不确定度 $[\delta_{\cal B}]$ ）完全包括在入射光束的波长范围内。

注意，字典分辨率越粗，探测器上光斑位置偏差的上限就越大GG公司〃‖和更大的波长间隔[max{0,2d日罪(θ−Δθ)}; 2d日罪(θ+Δθ)]，从而减少分支的ER。然后必须选择足够精细的字典分辨率以获得足够的分辨率，即至少N个+N个*，给定设置的每个分支的ER。

附录B

被测点实验法向量的不确定度

当检测到的光斑位置偏离其真实光斑位置时，例如由于探测器背景噪声或弹性或塑性应变，这种偏差将传播到该检测到的点的实验法向量。因此，上限Δ_d日对于探测器上检测到的光斑位置和真实光斑位置之间的差异，选择上限Δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})导出了实验法向量变化的相关范数。

B1.衍射光束实验单位矢量的不确定度

如图12所示，中心E类发出衍射光束的晶体体积的一半近似为标距体积的中心，然后标距体积被投影到探测器平面上以提供该点P（P）不确定度（图12中的粗品红色线)Δ_d日探测器上检测到的光斑位置被认为是P（P）因为它是使衍射光束产生的角度不确定性最大化的位置。如图12所示衍射光束实验酉矢量的角度不确定度 $[｛\delta｝^*_｛e｝]$ 是衍射光束从真实光束到实验光束的角度偏差的上限，其定义如下：

$[\delta^*_{e}=\arctan\left（{{\delta_{d}}\over{\left\|{\bf EP}\right\|}}\right）.\eqno（7）]$

衍射光束实验酉矢量的距离不确定度 $[\Delta ^*_{e}]$ 是衍射光束幺正矢量从真实矢量到实验矢量的变化范数的上界，其定义如下：

$[\Delta^*{e}=2\sin\左（{{Delta^*_{e}}\上{2}}\右）.\eqno（8）]$

图12
衍射光束实验酉矢量的角度不确定度 $[{\delta}^*_{e}]$ 通过考虑（i）距离‖计算欧洲药典‖从发射点E类样品中的不确定度Δ_d日在检测器上检测到的光点位置中，假设真实光点位置在以检测到的点位置所在的像素为中心的像素窗口中。

B2.实验法向量的不确定性

距离不确定性 $[\Delta ^*_{e}]$ ，最初应用于衍射光束的实验酉矢量的箭头端日_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})，被“翻译”（由−我，入射光束的幺正向量）到实验非规范化法向量的尖端日_{e（电子）}(S公司_{e（电子）}) −我（图13). 距离不确定性 $[\Delta ^*_{e}]$ 然后让我们定义一个不确定球（图13中的绿色圆圈)“属于”实验非规范化法向量的箭头尖日_{e（电子）}(S公司_{e（电子）}) −我，能够研究法线方向的不确定性。如果（i）实际法向尽可能偏离计算的非正规法向量，而（ii）仍与测不准球相交，则可获得法向上的角度不确定度。如果实际法线方向与球相切，则会出现此配置。法线方向与真实方向到实验方向的角度偏差的上界，也称为实验法向量上的角度不确定度，表示为δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})，可以表示为

$[\delta_｛e｝（S_｛e｝）=\arcsin\left[｛\delta^*_｛e｝｝\over｛\left\|｛\bf dd｝_｛e｝（S_｛e｝）-｛\bf i｝\right\|｝\right]。\等式（9）]$

实验法向量的角度不确定度δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})然后根据距离进行转换。这提供了真实法向量和实验法向量之间差值范数的上限，称为实验法向量上的距离不确定性，表示为Δ_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})并表示为

$[\Delta_{e}（S_{e}）=2\sin\left[{{\Delta_{e}（S_{e{）}\over{2}}\right]，\eqno（10）]$

用于匹配标准[第2.3.1节，方程式（1）].

图13
实验法向量的角度不确定度δ_{e（电子）}用衍射光束的实验幺正矢量计算日_{e（电子）}(S公司_{e（电子）})及其角度不确定性 $[｛\delta｝^*_｛e｝]$ .

支持信息

其他理论。内政部：https://doi.org/10.107/S1600576722006021/nb5318sup1.pdf

脚注

¹所以有

$[\left（\matrix{N_{\rm-pm}\cr-N}\right）={N__{\rm-pm}！}\over{（N_{.rm-pm}-N）！\，N！}}]$

选择。

资金筹措信息

这项工作主要由维尔姆·丰登实验拨款资助，项目编号为00028354。DJJ还承认欧洲研究理事会根据欧盟地平线2020研究和创新计划（M4D，拨款协议编号788567）提供的资金。

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