From deep TLS validation to ensembles of atomic models built from elemental motions

Urzhumtsev, A.; Afonine, P.V.; Van Benschoten, A.H.; Fraser, J.S.; Adams, P.D.

doi:10.1107/S1399004715011426

研究论文

结构
生物学

国际标准编号：2059-7983

第71卷| 第8部分| 2015年8月| 第1668-1683页

https://doi.org/10.107/S1399004715011426

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从深度TLS验证到基于元素运动构建的原子模型集合

亚历山大·乌尔朱姆塞夫,^a、，^b条 ^* 帕维尔·V·阿芬妮,^c（c） Andrew H.Van Benschoten先生,^d日詹姆斯·弗雷泽 ^d日和保罗·D·亚当斯 ^c、，^{e（电子）}

^一法国伊利科奇洛朗弗里斯街1号CNRS–INSERM–UdS，英国石油公司10142，67404，Génétique et de Biologie Moléculaire et Cellulaire综合生物研究所中心，^b条洛林大学科学与技术学院，BP 239，54506 Vandouvre-les-Nancy，France，^c（c）美国加利福尼亚州伯克利市劳伦斯伯克利国家实验室物理生物科学部，^d日美国加州大学旧金山分校生物工程与治疗科学系^{e（电子）}美国加州伯克利大学生物工程系，伯克利，CA 94720
^*通信电子邮件：sacha@igbmc.fr

英国剑桥大学R.J.Read编辑(2014年12月18日收到； 2015年6月12日接受；在线2015年7月28日)

克鲁克申克、斯科马克和特鲁布拉德首次提出的平移-平动-螺旋模型描述了原子团的协同运动。使用TLS模型可以提高计算衍射数据与实验数据的一致性。因为T型,L（左）和S公司矩阵描述了原子振动和平动的组合，TLS模型也可能揭示涉及相关运动的分子机制。然而，TLS模型在机械研究中的使用受到了翻译结果的困难的阻碍精炼变成分子运动或结构整体。为了将基质转化为组成分子运动，基质元素必须满足几个条件。精炼T型,L（左）和S公司如果不考虑这些条件，矩阵元素作为独立参数可能会导致矩阵不代表协调的分子运动。在这里，描述了一个数学框架和用于分析TLS矩阵的计算工具，其结果是显式分解为对潜在运动的描述，或者是断裂条件的报告。然后可以将有效基本运动的描述输出为结构集合。所有方法都是作为菲尼克斯项目。

关键词： TLS模型;TLS矩阵;模型验证;分子迁移率;模型集合;扩散散射;平动;振动;相关运动.

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1.简介

1.1. 独立和协调的分子运动

目前很难从大分子晶体学中出现的模型推导出协调分子运动的结构基础，这些模型描述了每个原子的中心位置第页₀以及其他位移参数。德拜-沃勒因子可以捕捉到小幅度无序（尤其是热运动），它反映了原子从其中心位置移动一定距离的概率。如果模型包含此近似值，则每个原子对结构系数(小时,k个,我)必须按缩放

$[\exp[-2\pi^2｛\bf h｝^\tau｛\bf O｝^｛-1｝｛\bf U｝_｛\rm Cart｝（｛\bf O｝^｛-1｝）^\tau｛\bf h｝]，\eqno（1）]$

（例如，参见格罗斯·昆斯特里夫和亚当斯，2002年以及其中的参考）。在这里，O（运行）是给定晶体的正交化矩阵，小时是整数索引的列向量(小时,k个,我),U型_购物车是原子位移参数（ADP），上标τ表示矩阵和向量转置操作（此处和下文中）。【在格罗斯·昆斯特里夫和亚当斯（2002）)正交化矩阵定义为A类; 在这里，这封信是为开发中的矩阵保留的U型_购物车继Tickle&Moss（1999）之后 ).] 对称正定矩阵U型_购物车由沿每个坐标轴的平均原子位移（及其相关性）定义。矩阵U型_购物车在原子之间变化，并且对于假定各向同性运动的原子是对角的（元素相等）。

U型_购物车可以积累来自几个不同来源的贡献，包括总体晶体各向异性(U型_晶体)、各种协调运动(U型_组)单个原子的独立位移(U型_地方的)（例如，见Dunitz&White，1973 ; Prince&Finger出版社，1973年 ; 约翰逊，1980 ; 治安官和亨德里克森，1987年 ; 穆尔舒多夫等人。, 1999 ; 优胜者等人。, 2001 ; , 多泰等人。, 2012 ; 阿富汗等人。, 2013 ).

协调一致的动作有助于U型_组可以通过克鲁克申克（1956）提出的平移-平动-螺旋近似（TLS）进行建模 )Schomaker&Trueblood（1968）)并在许多出版物中得到进一步发展，例如Johnson（1970 )，Scheringer（1973年 )、豪林等人。(1989 , 1993 )、Kuriyan和Weis（1991年 )、Schomaker&Trueblood（1998年 )《痒与苔藓》（1999）)、穆尔舒多夫等人。(1999)，优胜者等人。(2001, 2003 )和Painter&Merritt（2005年，2006年一 ,b条 )。结构生物学家对这种近似值特别感兴趣，原因有二。首先，TLS表征了原子团的各向异性迁移率，并可以提供对分子机制的深入了解。其次，它通过减少参数数量简化了晶体学模型，同时提供了更真实的原子位移描述。

TLS参数化的一个常见误解是，它的唯一优点是提供了一种经济的方法来解释低分辨率下的各向异性运动。事实上，无论可用衍射数据的分辨率如何，TLS参数化都是有用的。TLS已成功用于分析具有重要功能的分子运动（Kuriyan&Weis，1991）; 哈里斯等人。, 1992 ; 什阿里等人。, 1992 ; Wilson&Brunger，2000年 ; Raaijmakers公司等人。, 2001 ; 你自己等人。, 2002 ; 帕皮兹等人。, 2003 ; 乔杜里等人。2004年 )证明了这种近似可以提供关键的结构信息。然而，由于难以分析产生的运动，使用TLS模型来获得功能见解受到了限制。虽然在某些程序中可以分析产生的各向异性位移参数（Howlin等人。, 1993; Painter和Merritt，2005年)，将TLS模型分解为由许多原子模型组成的结构系综，可以更直接地与其他数据集进行比较，特别是在漫X射线散射的情况下（Van Benschoten等人。, 2015 )。这项工作的主要目标是开发一种方法，将TLS矩阵转换为相应分子运动的旋转和平移描述。反过来，这允许验证TLS参数和生成结构系综。后者将使TLS得到更广泛的使用精炼用于发现和验证协同分子运动。在实现这一目标的过程中，我们遇到了一些复杂情况，这表明我们需要重新审视TLS优化的基本过程。

1.2. TLS模型

由于刚性原子组的位移是平移和旋转的组合（例如，参见Goldstein，1950 )、斯科马克和特鲁布拉德（1968）)展示了矩阵U型_组，n个一组原子的协同运动n个= 1, 2, …N个总的来说，

$[{\bf U}_{\rm群}，n}={\bf-T}+{\bfA}_n{\bf-LA}_n^τ+{\bf-A}_n{\b5-S}+{\ bf-S}^τ的A}_n^\τ（2）]$

反对称矩阵A类_n个是笛卡尔坐标的函数(x个_n个,年_n个,z（z）_n个)原子的n个

$[{\bf A}_n=\左（矩阵{0&{{z_n}}&{-{y_n}}\cr{-{z_n{}}&0&{x_n}}\cr{y_n{}和{-{x_n{}&0}\右）。\等号（3）]$

矩阵S公司和对称矩阵T型和L（左）对每个刚性群中的所有原子都是通用的。L（左）描述了围绕三个相互正交的旋转轴的平动（振荡旋转）。T型描述了原子群的表面平移（术语“振动”实际上可能更适合于围绕中心位置的随机平移）。S公司描述螺杆运动，即。振动和振动的结合。我们使用术语“表观翻译”是因为矩阵T型如§2

因此，关于原子运动的明确信息可以编码到TLS矩阵中，以生成运动的不明确描述符。这两种框架都有优点：明确的描述允许直接解释和分析运动，而不明确的TLS形式主义为计算结构因子提供了一个更简单的框架。然而，重要的是要记住，TLS参数化总是源于明确的原子运动；因此，TLS矩阵应遵守一定的限制，以便分解为代表协调物理运动的结构系综。当前精炼程序将TLS矩阵的元素视为自变量，并对矩阵的轨迹进行约束S公司[土耳其(S公司); 如§所述4] 和后细化强制U型_组，n个非负定（Winn等人。, 2001)。如下所示，强制执行U型_组，n个非负确定性不足以保证精化的TLS矩阵仍然与协同运动的基本物理模型一致。

之前，Zucker等人。(2010 )分析了包含TLS描述的所有PDB条目，并建议使用工具验证TLS参数。然而，该分析仅关注相邻TLS组之间的ADP平滑度。未能对单个组件强制执行所有条件U型_组，n个,即。可能导致TLS模型无效的矩阵。使用本手稿中介绍的方法和工具，我们分析了PDB（Bernstein）中的所有结构等人。, 1977 ; 伯曼等人。, 2000 ; 大约105000个条目，其中25000个包含TLS模型，总共有200000组矩阵）。我们的结果表明，当前TLS实现中存在重大问题。三分之一的分析结构包含T型或L（左）非正半定矩阵和另三分之一矩阵（表1)由于§§中讨论的原因，无法描述平动-振动相关运动 2-5.其中一些错误（但不是全部）很容易修复，例如修正的边际负特征值T型和L（左）或修改的跟踪S公司（§6和表1).

表1
TLS矩阵上至少有一个物理条件被破坏的PDB条目数

PDB中矩阵的统计数据显示（截至2015年3月，共有106 761个条目，其中25 904个条目带有TLS矩阵），默认条件为tr(S公司)=0（上一行），并且具有对角线的最佳选择S公司如§§所述，尽可能使用要素3和4（底线）。条件从左到右为：矩阵T型和L（左）是半正定的(T型≥0且L（左）≥0）；如果一个轴周围没有平动，则需要相应的S公司矩阵等于0(秒=0和w个= 0); 矩阵T型消除振动轴位移的贡献后为半正定(T型_C类≥ 0); 的元素S公司矩阵受T型和L（左）根据柯西条件的矩阵(S公司≤TL公司); 残差V（V）矩阵是半正定的(V（V）≥ 0). 该列(V（V）≥0）包括§§中的所有条件4.3和4.4. 当其中一个条件被破坏时，未对其他条件进行检查。

			条件已破坏
模式	PDB条目总数	TLS总数	T型≥0且L（左）≥ 0	秒=0和w个= 0	T型_C类≥ 0	S公司≤TL公司	V（V）≥ 0	TLS中断总数	TLS OK总数	中断的PDB条目总数
t吨_S公司= 0	25904	203261	71362	3104	52254	不适用	10492	137212	66049	22707
最佳t吨_S公司	25904	203261	71362	3104	52255	133	3776	130630	72631	22201

1.3. 论TLS的物理意义和使用

之前已经讨论过限制TLS参数以使其具有物理意义的努力（Winn等人。, 2001; Painter&Merritt，2006年一)。人们普遍认为B类值必须为正数，占用率必须介于0和1之间，原子坐标应根据化学知识定义模型几何。同样，如果TLS基团已被充分选择，则描述原子基团各向异性谐波运动的TLS参数（Schomaker&Trueblood，1968)应具有物理意义，否则TLS建模可能不适用。其中一个条件，但不是唯一的一个，是T型和L（左）矩阵是半正定的。

虽然从相应的振动和振动参数计算TLS矩阵是相当简单的（§2），逆过程不那么简单。如前所述（Johnson，1970; Scheringer，1973年; Tickle&Moss，1999年)由于同一组衍射数据（以及因此同一组TLS矩阵）可能对应于贡献原子或原子群的不同运动，因此问题本身就不太合适。此外，如果没有考虑矩阵的所有条件（§§3–5).

与物理上可能的运动组合相对应的TLS矩阵集明显小于所有TLS矩阵的集。由于限制任何函数的参数空间可能会无意中排除一些深层极小值，包括全局极小值精炼对TLS矩阵施加条件可能会导致更高R（右）如果忽略这些条件。由于TLS建模是对真实分子运动的近似，这在很大程度上取决于TLS基团的分配R（右）作为使用TLS的结果的因素可能并不总是指示该模型可分解为有效的大分子运动。

1.4. 提出的工作摘要

在本文中，我们讨论了以下几点。

（i）我们描述了一种算法（图1)根据相应运动的参数解释TLS矩阵。这包括振动主轴和平动主轴的方向、相应的平方根位移和平动轴的位置，以及振动和平动位移之间的相关性。
（ii）我们提供了一份完整的条件列表，必须满足这些条件才能实现上述TLS分解；这包括众所周知的条件(例如 T型和L（左）必须是半正定的）以及一些不太重要的条件，据我们所知，这些条件以前没有讨论过。
（iii）我们以现成的程序风格描述计算协议，以便可以在现有或未来的软件中实现。手稿中描述的大多数计算都很简单；在附录中可以找到一些不那么琐碎的表达和证明A类以及Urzhumtsev的审查等人。(2013 ).
（iv）我们在开源软件中实现了所描述的算法计算晶体学工具箱(cctbx公司; 格罗斯·昆斯特里夫等人。, 2002 )。我们还在菲尼克斯套房（亚当斯等人。, 2010 ):phenix.tls分析用于分析和验证精制TLS矩阵及其基本运动菲尼克斯.tls_as_xyz用于生成与TLS矩阵一致的结构的集合。
（v）我们将这些程序应用于所有包含TLS矩阵的PDB条目。我们发现，大多数矩阵都无法描述运动。在许多情况下，TLS矩阵的边际修改可以纠正错误。
（vi）我们使用菲尼克斯.tls_as_xyz生成用于计算甘油二磷酸酯酶GpdQ的X射线扩散散射的预测结构系综（Van Benschoten等人。, 2015).

图1
TLS分解为平动和振动复合运动的一般流程图。黄色省略号表示需要验证的条件。绿色矩形表示合成运动的输出参数。信件A类——D类指出文本中描述的程序的不同步骤。

2.根据元素运动计算TLS矩阵

本节提供了根据复合振动和振动参数计算TLS矩阵的逐步协议。反转此方案提供了一种从TLS矩阵中提取平动/振动参数的方法。

2.1. 利用振动参数构造TLS矩阵

（2）中的矩阵取决于给定原子坐标的基础。我们使用方括号中的索引来指示所使用的基数。让原子以某种基础表示[M]；例如，它可能是与存放在PDB中的模型相对应的基础。即使一个刚性组涉及几个同步运动（假设这些运动的振幅相对较小且运动是谐波的），总的运动也可以用三个轴的振动来描述我_x个,我_年,我_z（z）相互正交，并通过沿其他三个相互正交轴的振动，v（v）_x个,v（v）_年,v（v）_z（z）这三个轴组成了另外两个基，[L]和[V]。

在（2）中矩阵T型是几个组件的总和。在没有振动的情况下（即矩阵L（左）和S公司为零）等于贡献V（V）由纯振动引起的。在基[V]中，该矩阵为对角线，

$[{\bf V}_{[{\rm V}]}=\left（\matrix{\langle t_x^2\rangle}&0&0\cr0&{\langler t_y^2\langle}&0\cr 0&0&{langle t_z^2\rangle}}\right）。\等式（4）]$

这里，〈t吨_x个²〉, 〈t吨_年²〉, 〈t吨_z（z）²？是沿着主振动轴的相应均方根偏差（r.m.s.d.s）的平方v（v）_x个,v（v）_年,v（v）_z（z）和用奥数表示²如果有振动，矩阵L（左）总是以对角线为基础[L]，

$[{\bf L}_{[{\rm L}]}=\左（\matrix{\langle d_x^2\rangle}&0&0\cr0&{\langler d_y^2\rangle}&0 \cr0&0&{langle d_z^2\ rangle}}\右）。\等式（5）]$

这里，〈d日_x个²〉, 〈d日_年²〉, 〈d日_z（z）²〉是振动角的平方r.m.s.d.s，以平方弧度表示；对于较小的偏差，它们在数值上等于距离相应轴单位距离处各点的平方r.m.s.d.s。

实际上，主振动轴和平动轴彼此不平行；实际上，用公共基表示矩阵是很方便的。基[L]更方便，因为在此基中S公司（见下文）很容易通过平动的几何参数表示。矩阵V（V）在此基础上不再是对角线，而是等于

$[{\bf V}_{[{\rm L}]}={\bf-R}_{{\rm-VL}}^\tau{\bfV}_{[{\rm-L}]}{\bv R}_}{\rm-VL}}。\等式（6）]$

在这里，R（右）_VL公司是描述矢量叠加旋转的转换矩阵v（v）_x个,v（v）_年,v（v）_z（z）使用矢量我_x个,我_年,我_z（z）（附录A类)。通常，振动和平动运动不是独立的，而是与形成螺旋旋转相关的。通过这些参数可以方便地表征螺杆的旋转秒_x个,秒_年,秒_z（z）：对于螺杆旋转d日_z（z）围绕平行于的轴的弧度我_z（z）每个原子的位移为秒_z（z）沿着这个轴。其他两个参数使用了类似的定义。如果轴穿过原点，这种相关性会产生额外的贡献C类_【L】到T型由螺旋运动产生的矩阵，

$[{\bf T}_{\rm C[L]}={\bfV}_{[{\rmL}]}+{\bf-C}_{[{\orm L}]}=}\bf V}_[{\rma L}]}+\左（矩阵{{s_x^2\langle d_x^2\\rangle}&0\cr0&{s_y^2\langle d_y^2\\rangle}&0 \cr0&{sz ^2\ langle d_ z^2\rangle gle}}\右），\eqno（7）]$

也会导致非零S公司矩阵，

$[{\bf S}_{[{\rm L}]}=\左（\矩阵{{S_x\langle d_x^2\rangle}&0&0\cr0&{S_y\langle 2\range}&0\cr 0&0&{S _z\langle e_z^2\ rangle}}\右）。\等式（8）]$

最后，主平动轴不一定穿过原点，甚至没有共同点(即。它们可能不会相交）。如果他们通过积分w个^{lx（勒克斯）}_【L】= (w个_x个^{lx（勒克斯）},w个_年^{lx（勒克斯）},w个_z（z）^{lx（勒克斯）}),w个^第页_【L】= (w个_x个^第页,w个_年^第页,w个_z（z）^第页),w个^里兹_【L】= (w个_x个^里兹,w个_年^里兹,w个_z（z）^里兹)这将分别为T型矩阵，

$[{\bf T}_{[{\rm L}]}={\bf-T}_[{\rm C[L]}+{\bf-D}_{\rm-W[L]{，\eqno（9）]$

哪里

$[\eqalignno{&{\bf D}_{\rm W[L]}=\cr&\left[\matrix{{（W_z^j）^2\langle D_y^2\rangle+（W_y^k）^2\\langle D_ z^2\ rangle}&{-W_x^kw_y ^k\langle D_z^2\\rangle}&{-W _x ^jw_z ^j \langle D y^2\\rangle}\cr{-W _ x ^ kw_y|k \langle e_z ^2\rangle}&{（W_z^i）^2\langle D_x^2\rangle}+{（W_x^k）^2\\langle D_z^2\ rangle}&{-W_y^iw_z|i\langle D_x^2\rangle}\cr{-w_x^jw_z^j\langle d_y^2\rangle}&{-w_ y^iw_z|i\langle d_x^2\ rangle}和{（w_y^i）^2\langle d_x^2\rangle}+{（w_x^j）^2\\langle d y^2\\rangle}}\right]。\cr&&（10）}]$

考虑到螺杆运动和平动轴的位置，矩阵S公司成为

$[{\bf S}_{[{\rm L}]}=\左（\矩阵{{S_x\langle d_x^2\rangle}&{w_z^i\langle e_x^2\rangle}和{-w_y^i\angle d_x ^2\ rangle}\cr{-wz^j\langle 2\range}&{S_y\langle d_y^2\rangle}z^2\rangle}&{-w_x^k\langle d_z^2\\rangle}&{sz\langle e_z^2\rangle{right）。\等式（11）]$

最后，原始基[M]中的矩阵与原子坐标一起报告，可从L（左）_【L】(5),T型_【L】(9),S公司_【L】（11）)作为

$[\eqaligno{{\bf L}_{[{\rm M}]}&={\bf-R}_{\rm-ML}{\bf-L}_{[{\rma L}]}{\ff-R}_{\rm-ML}^\ tau，\cr{\bf-T}_{{\rmM}]}&={\bf-R}_{\ rm ML}{\baf-T}_{[{\rm-L}]}}{^\tau，\cr{\bfS}_{[{\rmM}]}&={\bf R}_{\rmML}{\bf-S}_[{\RML}]}{\ff R}_{\rm ML}^\tau&(12)}]$

在这里，R（右）_毫升是从基[M]到基[L]的转换矩阵（附录A类).

2.2. 分子基础和反应中心

TLS矩阵还取决于原点的选择。显然，平动轴位置的坐标随着原点的函数而变化。通常，原点被认为是原子群的质心，或者是由于围绕每个主轴的平动而导致平均原子位移大小相似的点。第二点被称为扩散中心（Brenner，1967）)或反应中心（Tickle&Moss，1999)。选择反应中心的原点可以最大限度地减少T型并使S公司对称（Brenner，1967年; Tickle&Moss，1999年; 乌尔珠姆塞夫等人。, 2013)。从一个原点切换到另一个原点T型和S公司但不会改变L（左）并且不修改搜索合成运动的算法。在下文中，我们将矩阵视为其原始基础（例如，正如PDB中定义的那样）。

3.从TLS矩阵计算元素运动：平动轴

本节提供了反问题的逐步解释，即。根据给定的TLS矩阵计算振动和平动轴以及相应的r.m.s.d.s、平动轴的位置以及描述平动和振动之间相关性的参数。

3.1. 对角化L（左）矩阵（[L]基；阶跃A类)

假设我们知道矩阵的元素（12）以[M]为基础。通过构造，矩阵T型和L（左）应为半正定（附录B类)对称的，T型_{[男]xy公司}=T型_{[男]yx公司},T型_[男]x赫兹=T型_{[男]兹克斯},T型_{[男]yz公司}=T型_{[男]zy公司}和L（左）_{[男]xy公司}=L（左）_{[男]yx公司},L（左）_[男]x赫兹=L（左）_{[男]兹克斯},L（左）_{[男]yz公司}=L（左）_{[男]zy公司}。这些属性适用于坐标系的任何旋转，即。在任何笛卡尔基础上；这对于进一步分析T型矩阵。

我们从矩阵开始程序L（左）_[男]，这只取决于平动参数。主平动轴对应于其三个相互正交的特征向量。首先，我们搜索对应的特征值0≤λ₁≤λ₂≤λ_三，必须为非负值（见方程式5; 特征值不随坐标系改变）。让我₁,我₂,我_三是相应的归一化特征向量，我们从中构造新的基[L]作为

$[｛\bf l｝_｛x｝=\ pm｛\bf l｝_｛1｝，\ quad｛\bf l｝_｛y｝=｛\bf l｝_｛2｝，\ quad｛\bf l｝_｛z｝=｛\bf l｝_｛3｝.\eqno（13）]$

适当的标志我_x个选择，以便（13）中的向量形成右手三和弦；例如，可以采取我_x个=我_年×我_z（z）这保证了这种条件。[L]基中的TLS矩阵为

$[\eqaligno{{\bf L}_{[{\rm L}]}&={\bf-R}_{\rm-ML}^\tau{\bf-L}_{[{\orm-M}]}{\b5-R}_[\rm-ML}，\cr{\bf-T}_{[{\rm-L}]}&={\bf-R}_{\ rm-ML}^ rm ML}，\cr{\bf S}_{[{\rm L}]}&={\bf-R}_{\rm-ML}^\tau{\bfS}_{[{\orm M}]}{\bf-R}_}，&（14）}]$

哪里R（右）_毫升是从基[M]到基[L]的转换矩阵（附录A类)。在这个新的基础上，矩阵L（左）_【L】与元素成对角线L（左）_【L】xx个=λ₁,L（左）_【L】年=λ₂,L（左）_{【L】zz（嗡嗡声）}=λ_三，给出估计值〈d日_x个²〉 =L（左）_【L】xx个, 〈d日_年²〉 =L（左）_【L】年, 〈d日_z（z）²〉 =L（左）_{【L】zz（嗡嗡声）}围绕三个主要平动轴的平动振幅的平方。

3.2. [L]基准中的平动轴位置（步骤B类)

在基准[L]中，平动轴与坐标轴平行，但不一定与它们重合。让他们通过一些点w个^{lx（勒克斯）},w个^第页,w个^里兹必须分别确定。使用（11），我们将这些点的坐标计算为

$[\eqaligno{{\bf w}_{[{\rm L}]y}^{lx}&=-{{S_{[{\rm L}]xz}}\在{L_{[}\rm L2}]xx}}}上，\quad{\bf-w}_[{\rma L}]z}^{1x}={{S_[{\RML}]xy}}bf w}_{[{\rm L}]x}^{ly}&={{S_{[{\rm L}]yz}}\在{L_{[[{\rma L}]yy}}}上，\quad{\bf w{{[{\ rm L{]z}^{ly}=-{{S_[{\rm L}yx}}}\超过{L_[{\orm L}2]yyy}}}，\cr{\bfw}_{[{\rm L}]x} ^{lz}&=-{{S_{[{\rm L}]zy}}\over{L_{[{\rm L}]zz}}}，\quad{\bf w}_{[{\rma L}]y}^{lz}={{S_[{\rm L}]zx}}\ over{L_{(15)}]$

（15）中任何分母的零值表示没有绕相应轴旋转；在这种情况下，相应的两个分子值也必须等于零，从而将零值赋给（15）中的相应坐标否则，输入矩阵不兼容，程序必须停止（附录B类)。这个x个的组件w个^{lx（勒克斯）}，的年的组件w个^第页和z（z）的组件w个^里兹基[L]可以是任何值。出于演示目的，将它们指定为

$[\eqaligno{{\bfw}_{[{\rm L}]x}^{lx}&={\textstyle{1\over 2}}（{\bf w}_}[{\orm L}]x}^ly}+{\bf-w}_[{\rma L}]x}w}_{[{\rm L}]y}^{lx}+{\bf w}_}[{\orm L}]y}^}lz}），\cr{\bf-w}_[{\rma L}]z}^{1z}&={\textstyle{1\over 2}} &(16)}]$

这将把这些点中的每一个定位在另外两个轴的中间。这种选择还可以减少最终的舍入误差。

了解位置（15和16)振动轴和元件L（左）_【L】，我们可以计算贡献D类_宽[升](10)由于平动轴偏离原点而产生的明显平移。然后，通过反转（9）我们可以计算剩余矩阵T型_{成本[成本]}在取消该出资后，

$[{\bf T}{{\rm C}[{\rmL}]}={\bv T}。\等式（17）]$

矩阵（17）必须是半正定的（附录B类)因为它是一个总和（7）两个半正定矩阵。矩阵S公司_【L】和L（左）_【L】在此步骤中不修改。

4.从TLS矩阵计算基本运动：螺钉组件（步骤C类)

4.1. 振动与平动的相关性及斜单元的选择S公司

接下来，我们使用矩阵L（左）_【L】和S公司_【L】确定螺杆参数秒_x个,秒_年,秒_z（z），从T型_{成本[成本]}矩阵使用（7）和（17）最后提取矩阵V（V）_【L】不相关振动。然而，在定义S公司_【L】从观察中可以明显看出，矩阵U型_{协调一致，n个}单个原子的数量不变t吨同时从所有三个对角线元素中添加或删除S公司_【L】这通常被称为矩阵迹的不确定性（Schomaker&Trueblood，1968）)。当前实践（§中提供了一个说明6.1）选择t吨这样它可以最小化结果矩阵的跟踪（而不是其绝对值），

$[{\bf S}_{\rm C}（t）={\bfS}_{[{\rmL}]}-t{\bf-I}\eqno（18）]$

（其中我是单位矩阵），即。最小化振动-振动相关性（Urzhumtsev等人。, 2013)，或简单地使跟踪等于零(https://www.ccp4.ac.uk/html/restrain.html; Coppens，2006年 )。无条件极小化

$[\min\limits_t|{\bf S}_{\rm C}（t）|=\min\limits_t|$

给予

$[t_0={\textstyle{1\over 3}}（S_{[{\rm L}]xx}+S_{[[{\rma L}]yy}+S_{[{\rm L}]zz}）={\textstyle{1_over 3{}{\rm-tr}（{\bf S}_{[{\ rm L{]}）。\等式（20）]$

然而，该值可能导致无法进行振动分解的矩阵，特别是禁止生成结构集合。例如，如果矩阵的元素S公司和相应的值秒_x个,秒_年,秒_z（z）太大，矩阵V（V）英寸（7）对于给定的，可能不是正定的T型_{成本[成本]}下一节描述了定义矩阵对角元素约束的过程S公司使用时（18）.

4.2. Cauchy–Schwarz条件

拆卸后D类_宽[L]（17），矩阵集T型_{成本[成本]},L（左）_【L】和矩阵S公司_【L】去掉非对角元素（减少方程式11中的矩阵公式8中的形式)对应于振动与螺钉围绕穿过原点的轴旋转的组合。这些矩阵的对角元素必须满足Cauchy-Schwarz不等式（附录A类),

$[\eqaligno{S_{\rm C}，xx}^2和\le T_{\rm-C}[{\rm-L}]xx}L_{[{\rm-L}]xxx}，\cr S_{\rm-C}，yy}^2与\le T_{\rm-C}[{\ rm-L}]yy}L_{[{rm L}]yy}.\rm L}]zz}L_{[{\rm L}]zz}，&（21）}]$

进而定义条件（附录A类和B类)

$[\eqaligno{（S_{[{rm L}]xx}-t）^2和\le t_{\rm C}[{orm L}]xx}L_{[{rm L}]xx}，\cr 2&\le t_{{rm C}[{rm L}]zz}L_{[{orm L}]zz}&（22）}]$

或

$[t_{\分钟，{\rm C}}\le t\le t_{\最大，{\rma C}}\eqno（23）]$

具有

$[\eqaligno{t_{min，{\rm C}}&=\max\{S_{[{\rmL}]xx}-r_x\simi S_{[}\rm L}]yy}-r-y\simi S-{[{\rm L}]zz}-ruz\}，\cr t_{max，{\rma C}}&=\ min\{S_[{\RML}]xxx}+r_x\semi S_{[{\orm L}]yyy}+r_y\sim S_{[{\rm L}]zz}+r_z\}，\cr r_x&=（{\textstyle{1\over 2}}t_{\rm-C}[{\rm-L}]xx}L_{[{rm-L}]xxx}）^{1/2}，\cr r_y&=（｛\textstyle｛1\over 2｝｝T_｛\rm C｝[｛\rm L｝]yy｝L_｛[｛\rm L｝]yy｝）^｛1/2｝，\cr r_z&=（｛\textstyle｛1\over 2｝｝T_｛\rm C｝[｛\rm L｝]zz｝L_｛[｛\rm L｝]zz｝）^｛1/2｝&(24)}]$

特别是，这明确定义了t吨矩阵的对角元素之一的值L（左）_【L】为零，因此S公司_【L】不得随意更改或分配（参见§4.4).

4.3. 的正半定义V（V）矩阵

最后要检查的条件是矩阵V（V）是半正定的。让我们假设矩阵的所有对角元素L（左）_【L】与零不同；§4.4考虑了替代情况。从（5）, (7), (8)和（18）我们找到了螺旋贡献的表达式

$[\eqaligno{&{\bf C}_{[{\rm L}]}（t）=\左（矩阵{{S_{\rm-C}，xx}^2L_{[}\rm-L}]xx}^{-1}}&0&0\cr 0&{S_{rm C}，yy}^2L{[{rm-L}]yy}^{-1{}&0\cr0&{S_{\orm-C}{[{\rm L}]zz}^{-1}}\right）\cr&=\left[\matrix{{（S_{[{\rm L}]xx}-t）^2L_{[{\ rm L{]xx}^{-1}}&0\cr0&{}&0\cr 0&0&{（S_{[{\rm L}]zz}-t）^2L_{[{[rm L{]zz}^{-1}}}\right]\cr&&（25）}]$

从矩阵（17）中减去

$[{\bf V}_{[{\rm L}]}={\bf-T}_{\rm-C}[{\rma L}]}-{\bf-C}_{[{\rm-L}]}（T）。\等式（26）]$

矩阵V（V）_【L】与一起为半正定

$[\eqalignno{{\bf V}{\Lambda}&=\left（\matrix{V_{XX}&V_{XY}&V_{XZ}\crv{YX}&V{YY}&V{YZ}\cr V_{ZX}&V_ZY}&V{ZZ}}\right）=\boldLambda^\tau{\bf T}_{\rm C}[{\rm-L}]}\boldLambda-\boldLanmbda^\tau{\bf-C}_{[{\rma L}]}（T）\boldLambda={\bfT}_{\ Lambda}-{\bfc}_{， &(27)}]$

哪里

$[\boldLambda=\boldLambda^\tau=\left（\matrix{L_{[{\rm L}]xx}^{1/2}}&0&0\cr0&{L_{[{\rma L}]yy}^{1/2}}&0 \cr 0&0&{L_{[{rm L{]zz}^{1,2}}}\right），\eqno（28）]$

$[{\bf T}_\Lambda=\左（\matrix{{T_{\rm C}[{\rmL}]xx}L_{[{\RML}]xxx}}和{T_{{\rmC}[{\rm L}]xy}L_{[{\orm L}]xx}^{1/2}L_{[{[{\rm L}]xx}^{1/2}L_{[{\rma L}]zz}^{1/2}}\cr{T_{\rm-C}[{\rm-L}]yx}L_{[{\orm-L}]xx}^{1/2}L_{&{T_{{\rm C}[{\rmL}]yz}L_{[{\rm L}]yy}^{1/2}L_{[{\tm L}]zz}^{1/2}}\cr{T_{\rm-C}[{\rma-L}]zx}L_{[{\rm-L}]xx}^{1/2}L_A{[{[rm-L}]zz{1/2}}和{T_{{\rm.C}}]yy}^{1/2}L_{[{\rm L}]zz}^{1/2}}&{T_{\rm-C}[{\rma L}]zz}L_{{\rm-L}]zz{}}\right），\eqno（29）]$

$[{\bf C}_{\Lambda}（t）=\left[\矩阵{{（S_{[{\rm L}]xx}-t）^2}&0&0\cr 0&{。\等式（30）]$

必要的是，（30）的所有对角线项不能大于最大特征值τ_最大值矩阵（29）的，提供必要的条件（附录B类)

$[\eqaligno{t_{min，\tau}&\le t\le t_{max，\tau}\cr t_{min、\tau{&=\max\{S_{[{\rm L}]xx}\semi S_{[[{\rma L}]yy}\semic S_{]xx}\semi S_{[{\rm L}]yy}\semi S_{[[{\rma L}]zz}\}+\tau_{max}^{1/2}&（31）｝]$

（30）的所有对角线项的条件不大于最小特征值τ_最小值第页，共页（29）是足够的，但不是必要的。

矩阵V（V）_Λ是半正定的当且仅当它的三个实特征值都是非负的（其中一些可能相互重合）。它们是三次特征方程的根

$[\nu^3+a_{\rm S}\nu^2+b_{\RMS}\nu+c_{\rm S}=0，\eqno（32）]$

使用系数

$[a{\rm S}（t）=-{\rm-tr}（{\bf V}{\Lambda}），\eqno（33）]$

$[\eqaligno{b_{rm S}（t）&=\det\left（\matrix{v_{XX}&v_{XY}\crv_{YX}&v{YY}}\right）+\det\leaft（\matrix{v_{YY}&v{YZ}\cr v_{ZY}和v{ZZ}\ right}&v_{XX}}\右），&（34）}]$

$[c｛\rm S｝（t）=-\det（｛\bf V｝_｛\Lambda｝）.\eqno（35）]$

（32）的根当且仅当以下三个不等式同时成立时为正，

$[a_{\rm S}（t）\le 0，\quad b_{\RMS}（t）\ge 0，\quid c_{\rma S}（t）\ le 0，\ eqno（36）]$

其中，剩余部分是参数的二阶、四阶和六阶多项式t吨，均为单位最高阶系数（附录A类)。（36）中的第一个条件定义的间隔t吨值（附录B类),

$[t{\min，{\rma}}=t0-t{\rma}\le-t\le-t{\max，{\rma}}=t_0+t{\rmaa}\eqno（37）]$

具有

$[t_{\rm a}=[t_0^2+{\textstyle{1\over 3}}{\rm-tr}（{\bf t}_{\Lambda}）-{\textstyle{1\\over 3{}（S_{[{\rm-L}]xx}^2+S_{[[{\rma-L}]yy}^2+S_{[\rm-L{]zz}^2）]^{1/2}。\等式（38）]$

我们未能找到与其他两个不等式相对应的分析表达式。因此，建议使用以下数值程序来找到最佳值t吨物理上可接受的值。

（i）计算t吨₀值（20）.
（ii）计算间隔(t吨_最小值,t吨_最大值)允许的t吨值作为区间的交集（23）, (31)和（37）,t吨_最小值=最大值{t吨_{最小值，C},t吨_{最小值，τ},t吨_{最小值，a}}，t吨_最大值=最小值{t吨_{最大值，C},t吨_{最大值，τ},t吨_{最大值，a}}; 如果t吨_最小值>t吨_最大值问题无法解决，程序停止（附录B类).
（iii）如果t吨_最小值=t吨_最大值我们检查条件b条_S公司(t吨_最小值) ≥ 0,c（c）_S公司(t吨_最小值)≤0，或条件V（V）_Λ为半正定；如果条件满足，我们分配t吨_S公司=t吨_最小值，否则问题无法解决，程序停止（附录B类).
（iv）如果t吨_最小值<t吨_最大值我们在精细的网格中用数字搜索这个点t吨_S公司在间隔中(t吨_最小值,t吨_最大值)并且最接近t吨₀这样的话b条_S公司(t吨_S公司) ≥ 0,c（c）_S公司(t吨_S公司) ≤ 0; 如果对于这个区间的任何一点，这些不等式中至少有一个是错误的，那么程序就停止了（附录B类).
（v）我们接受步骤（iii）或（iv）中获得的值作为最终值t吨_S公司.

4.4. 奇异旋转集

当其中一个L（左）_【L】xx个,L（左）_【L】年,L（左）_{【L】zz（嗡嗡声）}值为零（即，没有绕相应轴旋转），直接使用标准程序，包括（25）变得不可能了。然而，在这种情况下t吨_S公司值必须等于S公司_【L】xx个,S公司_【L】年或S公司_{【L】zz（嗡嗡声）}，对应于无旋转的轴，使（25）中对应的对角线元素等于零并转动（24）中相应的不等式变成平等。例如，如果L（左）_【L】xx个=0那么t吨_S公司=S公司_{[五十] ，xx个}，导致C类_【L】xx个= 0. 我们只需要检查（21）中的另外两个条件并确认剩余矩阵是半正定的（例如，通过计算方程36)。如果t吨_S公司不满足这些条件，则问题没有解决方案（附录B类).

4.5. 螺杆参数

对于t吨=t吨_S公司如上所述，我们计算矩阵S公司_C类(t吨_S公司) (18)从该矩阵中，我们获得了螺杆参数秒_x个=S公司_C、，xx个L（左）⁻¹_【L】xx个,秒_年=S公司_C、，年L（左）⁻¹_【L】年,秒_z（z）=S公司_{C、，zz（嗡嗡声）}L（左）⁻¹_{【L】zz（嗡嗡声）}用于当前与基准[L]的坐标轴对齐的旋转轴。如果其中一个L（左）_【L】xx个,L（左）_【L】年,L（左）_{【L】zz（嗡嗡声）}值等于零，对应的对角线元素为S公司_C类也必须等于零，并且我们指定相应的螺杆参数，秒_x个,秒_年或秒_z（z），为零。否则，矩阵相互不一致，程序停止（附录B类).

5.从TLS矩阵计算基本运动：振动分量（步骤D类)

5.1. 矩阵V（V）和振动参数（单位：[L]）

对于已知的t吨_S公司、矩阵C类_【L】(t吨_S公司)然后V（V）_【L】使用（25）计算和（26）独立振动的参数值根据V（V）_【L】矩阵类似于独立平动的矩阵，如我们从L（左）_[男]首先，我们计算三个特征值0≤μ₁≤μ₂≤μ_三矩阵的V（V）_【L】（附录B类; 实际上，所有这些都是积极的）。然后我们识别出三个相应的单位特征向量v（v）₁,v（v）₂,v（v）_三相互正交并指定

$[{\bfv}_x=\pm{\bf v}_1，{\bv v}_y={\bf-v}_2，{\bf v}_z={\fv}_3\eqno（39）]$

[的标志v（v）_x个取向量（39）形成右手三和弦]。我们提醒读者，这些轴定义了矩阵的基础[V]V（V）_【V】(6)与元素成对角线V（V）_【V】xx个=μ₁,V（V）_【V】年=μ₂,V（V）_{【V】zz（嗡嗡声）}=μ_三这定义了最后缺失的参数，即沿着这些轴的平方r.m.s.d.s值：〈t吨_x个²〉 =V（V）_【V】xx个, 〈t吨_年²〉 =V（V）_【V】年, 〈t吨_z（z）²〉 =V（V）_{【V】zz（嗡嗡声）}.

5.2、。振动和振动轴（单位：[M]）

振动和振幅以及螺杆参数与基础的选择无关，并且振动轴的方向在主[M]基础中已知。然而，不相关平移的方向v（v）₁,v（v）₂,v（v）_三在§中计算4和要点w个^{lx（勒克斯）}_【L】,w个^第页_【L】,w个^里兹_【L】属于平动轴（§3.2）现在在[L]基础上已知。

获取坐标的步骤(w个^{lx（勒克斯）}_[男]x个,w个^{lx（勒克斯）}_[男]年,w个^{lx（勒克斯）}_{[男]z（z）}), (w个^第页_[男]x个,w个^第页_[男]年,w个^第页_{[男]z（z）}), (w个^里兹_[男]x个,w个^里兹_[男]年,w个^里兹_{[男]z（z）})在[M]基础上的这些点中，我们应用转换

$[｛\bf w｝_｛[｛\rm M｝]｝^｛lx｝=｛\bf R｝_｛\rm ML｝｛\bf w｝_｛[｛\rm L｝]｝^｛lx｝，\ quad｛\bf w｝_｛[｛\rm M｝]｝^｛ly｝=｛\bf R｝_｛\rm ML｝_｛\bf w｝_ rm L｝]｝^｛lz｝。\等式（40）]$

类似地，定义轴方向的向量v（v）_x个,v（v）_年,v（v）_z（z）在基础[M]中可以得到

$[{\bfv}_{[{\rm M}]x}={\bf R}_{\rm-ML}{\bf-v}_[{\rma L}]x{，\quad{\bv}_{[{\orm M}]y}={\bf R}_{\ rm ML}{\fv}_}{[\rm L}]y{ML}{\bfv}_{[{\rmL}]z}。\等式（41）]$

此步骤完成了对与给定TLS矩阵集相对应的运动参数的提取。§6提供了该程序应用于PDB中存放的模型的一些示例。§7描述了一个示例，其中需要了解从TLS矩阵中提取的运动参数，以明确模拟相应结构的集合和相应的X射线漫反射散射。

6.TLS矩阵分析示例

如§所述TLS形式主义在协调运动的结构研究中有许多卓有成效的应用实例。本节的目标是说明上述算法，以描述在精炼并讨论进一步的发展。

6.1. PDB中可用TLS矩阵的调查

我们已经分析了PDB中所有可用的TLS矩阵。截至2015年3月，共有106 761个条目，其中有25 904个条目使用TLS建模。其中20000多个条目具有多个TLS组，总共产生203261组TLS矩阵（图2一)，每个条目的最大组数为283（PDB条目3 u8米; 罗德等人。, 2012 )。这些集合中大约有三分之一的特征值为负T型或L（左）矩阵。其中一些数值仅为轻微负值（图2b条和2c（c）)可以认为是舍入误差，而最坏的值小到−0.28 rad²对于L（左）和−20.72º²对于T型对于11 412T型矩阵和138L（左）矩阵所有三个特征值都是负的。

图2
PDB条目的数量（以千为单位）是各种参数的函数。中的蓝色直方图(b条), (c（c）)和(d日)表示最小特征值，红色直方图表示最大特征值。最左侧和最右侧的箱子包括值分别小于或大于轴上给定限制的所有情况。特征值以rad表示²对于L（左）和Å²对于T型。的TLS组总数为203 261(一), (b条)和(c（c）)大约7万美元(d日)当矩阵V（V）可以计算。(一)每个条目的TLS组数；最大的是283个。(b条)矩阵特征值的分布L（左）; 最小特征值在−0.285到0.164之间变化，最大特征值在-0.001到0.409之间变化。(c（c）)矩阵的特征值分布T型; 最小特征值在−20.716到6.852之间变化，最大特征值在-1.551到28.676之间变化。(d日)矩阵特征值的分布V（V）（该S公司如文章所述优化矩阵）；最小特征值在−0.001到2.815之间变化，最大特征值在0到5.950之间变化。

如§§3和4（表1).

在初始筛选后，找到正定T型和L（左）矩阵，然后我们在两种模式下搜索元素运动。首先，我们尝试分解直接从PDB文件中获取的TLS矩阵。如预期，tr的平均值(S公司)是3×10⁻⁵ Å (即。实际为零），相应的r.m.s.d.为σ= 10⁻² Å. 约12万S公司矩阵具有|tr(S公司)| < 10⁻⁴ Å. 带有|tr的矩阵数(S公司)|大于1σ, 3σ, 10σ和20σ分别只有3772人、486人、31人和3人。然后，我们将上述算法应用于值的最佳选择t吨_S公司从对角线中减去S公司每个案例中的元素。

表1显示了两次运行的结果，并说明可以通过修正TLS集合的对角线元素来修复6500个TLS集合（对应大约500个PDB条目）中发现的问题S公司矩阵，如上所述。该表通过修正略微为负的特征值（值接近于零的值大于10），考虑了可能的舍入误差⁻⁵默认单位：²，拉德²和奥拉德T型,L（左）和S公司分别）。例如，在S公司优化模式程序可以正式计算V（V）矩阵约70000套。对于2296例，该矩阵具有负特征值（图2d日)，而在2294种情况下，这些特征值更接近0，而不是10⁻⁵ Å²; 对于这样的矩阵，程序会进行自动更正并继续该过程。

需要注意的是，即使可以从TLS矩阵中正式提取元素运动的参数，这也不能保证它们具有物理意义，因此对于分解为具有代表性的结构系综是有效的。显然，振幅约为20º²不能代表谐波振动（图2d日)。类似地，TLS理论中包含的线性旋转近似仅在约0.1 rad的范围内有效；然而，PDB中可以找到更大的值（图2b条)。螺钉参数也有类似限制。产品秒_x个d日_x个,秒_年d日_年,秒_z（z）d日_z（z）显示由于这些轴周围的振动导致的沿螺杆轴的平均位移；PDB中接近3°的值似乎太大，无法描述谐波运动。

为了进行更详细的分析，我们从PDB中选择了几个条目。对于每个结构，我们都应用了标准TLS精炼协议在中实现菲尼克斯定义（黄嘌呤等人。, 2012 )包括TLS组的自动确定。期间精细化，20个矩阵元素被单独细化，其中6个用于T型，六个L（左）八个代表S公司; 的三个对角线元素S公司被约束，使得矩阵的轨迹等于0。上述程序（§§3–5）应用于所有获得的TLS矩阵集。

我们提醒读者L（左）和S公司矩阵以rad表示²和Årad，而在PDB文件中，它们以度为单位²和单位分别为？deg（表2).

表2
TLS矩阵示例

细化后从PDB文件中提取的矩阵元素（§6).

PDB代码	链条，残渣编号。	T型(Å²)	L（左）（度²)	S公司（摄氏度）
1dqv	A类1–A类97	0.1777 0.0090 −0.0044	1.4462 −0.0160 −0.2656	0.0467 −0.0523 0.0566
		0.0090 0.1306 0.0019	−0.0160 1.2556 0.4713	0.1010 0.0032 −0.0164
		−0.0044 0.0019 0.1372	−0.2656 0.4713 0.8689	0.0090 0.0188 0.0560
	B类1–B类97	0.1777 0.0090 −0.0044	1.4462 −0.0160 −0.2656	0.0467 −0.0523 0.0566
		0.0090 0.1306 0.0019	−0.0160 1.2556 0.4713	0.1010 0.0032 −0.0164
		−0.0044 0.0019 0.1372	−0.2656 0.4713 0.8689	0.0090 0.0188 0.0560
1年前	A类2–A类30	0.0899 0.0040 −0.0004	1.3491 −0.3760 −0.3971	−0.0249 −0.3537 −0.0874
		0.0040 0.1333 0.0058	−0.3760 0.6103 −0.3389	0.1275 0.0783 −0.0144
		−0.0004 0.0058 0.0728	−0.3971 −0.3389 0.3698	0.0183 0.0542 −0.0103
	A类31–A类74	0.0925 0.0037 0.0041	0.3464 0.3638 0.2923	−0.0220−0.0419−0.0793
		0.0037 0.0673 0.0062	0.3638 0.3283 0.1212	−0.0061 0.0018 0.1161
		0.0041 0.0062 0.1119	0.2923 0.1212 0.3799	−0.0041 −0.0385 −0.0009
	A类75–A类84	0.2433 0.0144 0.0917	0.0736 0.0171 0.0565	0.4357 0.1151 0.2346
		0.0144 0.2867 0.1720	0.0171 0.0068 −0.0203	−0.2521 −0.3549 −0.2041
		0.0917 0.1720 0.1749	0.0565 −0.0203 0.0336	−0.3793 −0.1499 0.0111
	A类85–A类147	0.0747 −0.0110 0.0066	0.6097 −0.0786 −0.1864	0.0180 0.1466 0.0378
		−0.0110 0.1384 0.0062	−0.0786 0.6474 −0.6233	0.0155 −0.0872 −0.0542
		0.0066 0.0062 0.0673	−0.1864 −0.6233 0.9637	−0.0440 0.1022 −0.0852
4b3倍	A类1–A类65	0.4663 0.0991 −0.0764	0.4738 0.0063 0.2318	0.0391 −0.0307 −0.4316
		0.0991 0.5443 −0.0321	0.0063 0.2120−0.0584	0.0587 0.1786 −0.2003
		−0.0764 −0.0321 0.5001	0.2318 −0.0584 0.1312	0.3665 0.4293 0.0403
	A类66–A类363	0.1649−0.0259 0.0184	0.8808 −0.0912 −0.1736	−0.0345 0.0102 −0.0661
		−0.0259 0.1422 0.0055	−0.0912 0.9522 0.0972	0.1159 −0.0222 0.0999
		0.0184 0.0055 0.2028	−0.1736 0.0972 1.6563	0.0424 −0.1330 −0.0237

6.2。突触调节蛋白

synaptotagmin III（PDB入口）晶体1dqv; 萨顿等人。, 1999 )包含分子的两个副本非对称单元。重新定义后的结构菲尼克斯定义如果没有TLS建模R（右）_工作0.200和R（右）_自由的分辨率为2.5º。执行TLS精炼将每个分子作为一个TLS组减少了R（右）因素到R（右）_工作=0.177和R（右）_自由的=0.211，表明该附加模型显著提高了与实验数据的一致性。表2显示了两组矩阵和表3包含使用我们的方法提取的相应运动参数。对于这两组，振动和平动实际上是各向同性的，并且具有相同的数量级。图3(一)显示了这些运动的主轴。

表3
从TLS矩阵分解中发现的元素运动参数示例

这些参数是以本文中使用的单位给出的，从而可以容易地估计相应的原子位移。未给出平动轴和旋转轴的方向。

PDB代码	链条，残渣编号。	T型:t吨_x个,t吨_年,t吨_z（z）(Å)	L（左）:d日_x个,d日_年,d日_z（z）（拉德）	S公司:秒_x个,秒_年,秒_z（z）(Å)	信托收据(S公司)
1dqv	A类1–A类97	0.3455 0.3671 0.4172	0.01239 0.02044 0.02273	1.343 1.137 −1.319	0
1dqv	B类1–B类97	0.3634 0.3885 0.4166	0.01608 0.01753 0.03069	0.679 −1.177 0.200	0
1年前	A类2–A类30	0.1944 0.2663 0.2870	0.00000 0.01602 0.02182	0.000 2.951 3.408	>0
	A类31–A类74	0.2110 0.2939 0.3068	0.00000 0.00860 0.01637	0.000 −18.14 −5.028	<0
	A类75–A类84	0.1692 0.4906 0.6598	0.00000 0.00000 0.00000	0.000 0.000 0.000	0
	A类85–A类147	0.0002 0.2270 0 3078	0.00553 0.01418 0.02109	20.83 0.800 −1.672	∼0
4b3倍	A类1–A类65	0.0994 0.6064 0.7116	0.00000 0.00825 0.01343	0.000 2.718 −11.05	<0
4b3倍	A类66–A类363	0.3306 0.4102 0.4413	0.01568 0.01720 0.02283	3.164 −2.276 −0.197	0

图3
振动-平动系综示例。红色/鲑鱼色/洋红色条表示主振动轴，原点位于组的中心；蓝色/海洋色/黑色杆是平动轴。黄色球体1千伏模型显示了反应中心。(一)1dqv模型。(b条)1年前模型；注意第3组（螺旋线）的纯振动，第1组和第2组没有一个平动轴。(c（c）)4b3倍模型。第一组的平动轴没有显示，因为它们离分子太远。

6.3. 钙调蛋白

钙调蛋白（PDB入口）的结构1个; Wilson&Brunger，2000年)之前以1.0º的分辨率测定。此示例说明了可以通过对TLS值进行最小修正来解决的可能问题。用于重新定义菲尼克斯定义模型被自动分为四个TLS组。对于第一组，矩阵的特征值之一L（左）等于−2×10⁻⁵ 拉德²。如果我们认为该值为零（在这种情况下，零值也必须分配给矩阵第一行的非对角元素S公司)合成运动只包含两个平动轴，可以提取其参数。所得矩阵的相应修改U型_组，n个(2)可通过个人供款的相应调整进行补偿U型_{本地，n个}。这将保留总ADP参数U型_{手推车，n个}保持不变，从而保持先前计算的结构系数和R（右）因素。将总原子位移参数值精确分离为多个来源的贡献（例如，参见Murshudov等人。, 1999; 优胜者等人。, 2001, 2003; 阿富汗等人。, 2012)是一个单独的正在进行的项目（Afonine和Urzhumtsev，2007 ).

对于第二组TLS，改进的TLS矩阵元包含一个简并平动。§§所述程序 3–5已成功应用。请注意，此过程修改了矩阵的对角元素S公司，删除适当的参数值t吨_S公司(§4.4）和制作tr(S公司)非零。

对于第三组，矩阵的所有三个特征值L（左）非常小（0.0,0.8×10⁻⁵和3×10⁻⁵ 拉德²)产生了很高的计算不稳定性和非常大的螺旋参数，导致程序无法找到半正定V（V）_【L】(27).如果我们定义所有振动都不存在并替换矩阵L（左）（分别为和S公司)通过零矩阵，可以很容易地从中找到振动参数T型事实上，该TLS群是一个两端由大畴保持的螺旋，这导致了纯振动运动的期望。

最后，对于第四组，矩阵的对角元素之一T型略为负面。增加矩阵的所有对角元素T型乘以0.002奥²使该矩阵正定（这对应于B类=0.16Å²)。如上所述，这种调整可以通过从单个原子贡献中删除等效量进行补偿U型_{本地，n个}（这样的减法可以使单个原子的贡献保持为正）。该组在平面上振动（图3b条)并且第3组（螺旋）的主振动轴平行于该平面，导致第3组和第4组至少部分地一起移动或沿着彼此滑动的合理假设。

为了检查手动修改对TLS矩阵的影响，我们重新计算了R（右）在不更新单个原子贡献的情况下执行这些更改之前和之后的因素U型_{本地，n个}对于上述所有修改，包括一起应用的修改集合R（右）因子只在第四个有效数字中变化。

这个例子表明，尽管当前精炼程序可能会导致TLS矩阵无法满足前面提到的条件，对其进行小的更改可能会提供足够的校正。这突出了在TLS模型中对可再融资参数使用适当约束的必要性。

6.4. 起始转换因子2（IF2）

IF2（PDB条目）的结构4b3倍)最近在我们的一个实验室中得到了解决（Simonetti等人。, 2013 )带有R（右）_工作0.180和R（右）_自由的分辨率为1.95Ω。后部TLS公司精炼分为两组：第一组包括N末端和随后的长螺旋，第二组包括其余结构。重新定义模型可以产生更好的统计数据R（右）_工作=0.176和R（右）_自由的= 0.203. 在本例中，第一组的TLS矩阵无法直接解释，因为剩余矩阵V（V）_【L】非半正定（最小特征值为-0.05）。与钙调蛋白的最后一个TLS组类似，我们人工添加0.06²矩阵的所有对角元素T型，大约相当于5º²（从残留原子中去除的量相同B类值，从而保留R（右）因素不变）。该修正允许根据元素运动解释TLS矩阵。我们注意到，对于第一个TLS组，其中一个旋转是退化的，并且赋值tr(S公司)=0将使该矩阵与L（左）.表3表明该群的振动本质上是各向异性的。图3(c（c）)还表明，该群的平动轴远离分子，这使得相应的旋转类似于平移。此外，我们认为秒_z（z）值表示矩阵S公司定义不明确。对第二组矩阵进行了解释，揭示了各向同性振动和平动。

最后，我们尝试在手动选择TLS基团作为残基1–50（N末端）、51–69（螺旋）、70–333（G域）和343–363（C域的连接器，此结构中不存在）后应用相同的程序。如前所述，这些矩阵对于G域是可解释的。对于第2组和第4组，在进行与上述内容类似的调整后（对角线略微增加T型残余原子减少的元素B类值），我们获得了螺旋的纯振动（对于钙调素情况）和终端群绕单轴的振动。相比之下，我们未能找到第一组矩阵的合理小修正，从而使它们能够根据物理运动进行解释，特别是可以用结构系综表示。

本案例说明了当前TLS精炼协议产生的矩阵大大减少了R（右）因子，而不提供可分解为其中一个组的物理真实运动的精细TLS参数。这突出了改进TLS的必要性精炼算法利用TLS矩阵上上述条件的约束。

7.用结构集成解释TLS矩阵

7.1. 生成一组具有与TLS一致的可变性的显式原子模型

一些结构问题可能明确需要一组描述给定迁移率的模型，例如对应于谐波运动的TLS矩阵。Van Benschoten在随附的论文中描述了这样一个问题的例子等人。（2015）（并在§7.4），其中X射线漫散射数据与对应于不同类型分子运动的计算数据进行了比较。其他例子可能包括分析大尺度非简谐运动，传统上使用诸如分子动力学轨迹等技术（麦卡蒙等人。, 1977 ).

如果存放在PDB中的模型包含TLS矩阵，则可以如上所述分解这些矩阵。一旦从TLS矩阵中提取出振动和平动的组合，我们就可以显式地建立一组相应的模型。三种振动和三种平动的知识提供了总位移下的原子位移。

通常更方便的方法是在自己的基础上生成每组原子位移：位移Δ^V（V）_【V】第页_n个由于[V]基和位移的振动Δ^L（左）_【L】第页_n个由于[L]基的平动。这里，我们采用线性近似，使得旋转角度为0.1 rad。对于每一组生成的特定偏移，它们被转换为[M]基，如下所示Δ^V（V）_[男]第页_n个和Δ^L（左）_[男]第页_n个和它们的总和，

$[\Delta_{[{\rm M}]}{\bf r}_n=\Delta_{[{\rm M}]}^L{\bf-r}_n+\Delta_A{[{\ rm M{]}^V{\bfr}_n，\eqno（42）]$

应用于相应的原子。模型生成的详细信息将在下一节中讨论。该过程被独立地重复多次，导致结构模型根据TLS矩阵分布。

7.2. 振动引起的模型位移计算

假设我们知道（在[M]的基础上）三个相互正交的轴的方向我_x个,我_年,我_z（z）用于独立的平动以及点的坐标w个^{lx（勒克斯）}_[男],w个^第页_[男],w个^里兹_[男]属于每个轴。我们重新计算这些点的坐标和坐标(x个_[男]n个,年_[男]n个,z（z）_[男]n个),n个=1，2…，N个，在所有原子中第页_[男]n个以[L]为基础

$[｛\bf r｝_｛[｛\rm L｝]n｝=｛\bf r｝_｛\rm ML｝^｛-1｝｛\bf r｝_｛[｛\rm M｝]n｝=｛\bf r｝_｛\rm ML｝^\tau｛\bf r｝_｛[｛\rm M｝]n｝\eqno（43）]$

（导出了点的类似关系w个^{lx（勒克斯）}_[男],w个^第页_[男],w个^里兹_[男])。我们提醒读者，平动振幅的平方d日_x个²〉 =L（左）_【L】xx个=λ₁, 〈d日_年²〉 =L（左）_【L】年=λ₂, 〈d日_z（z）²〉 =L（左）_{【L】zz（嗡嗡声）}=λ_三(§3.2）和螺杆参数秒_x个,秒_年,秒_z（z）(§4.5）独立于基础。

对于远处的原子R（右）距离旋转轴=1º，偏移概率d日_x个,d日_年,d日_z（z），其数值等于以弧度表示的旋转角度，等于

$[\eqalignno{{rm轴\，\，平行\，\-d_y^2/2\lambda_2），\cr{rm轴，\，平行\，\，到\，\$

如果其中一个特征值等于0，则相应的d日单位概率等于0。的特定值d日_x个0,d日_年0,d日_z（z）0使用具有基本正态分布的随机数生成器获得（44）.

对于每个轴我_x个,我_年,我_z（z）对于每个原子n个由向量描述第页_n个，我们以[L]为基础计算其位移的坐标Δ^{lx（勒克斯）}_【L】第页_n个,Δ^第页_【L】第页_n个,Δ^里兹_【L】第页_n个由于相应的旋转d日_x个0,d日_年0,d日_z（z）0（附录A类)。由于围绕三个轴的平动而产生的总位移是总和

$[\Delta_{[{\rm L}]}^L{\bf r}_n=\Delta_{[{\rm L}]}^{lx}{\bfr}_n+\Delta_A{[{\ rm L{]}^{ly}{\ff r}_n+\Delta_{[{\rma L}]}^{lz}{\bf r}_n.\eqno（45）]$

它从组中的一个原子变为另一个原子，必须对具有相同原子的组中的所有原子进行计算(d日_x个0,d日_年0,d日_z（z）0)三个旋转的特定实例的值。

转换原子移位（45）从[L]基到初始[M]基，我们反转（43）,

$[\Delta_{[{\rm M}]}^L{\bf r}_n={\bf-r}_{\rm-ML}\Delta_{[{\ rm L}]}^L{\bf r}_n.\eqno（46）]$

7.3. 振动引起的模型偏移的计算

在谐波近似下，独立振动位移t吨_x个,t吨_年,t吨_z（z）以[V]为基础表示，并根据概率定律进行分布

$[\eqaligno{P（t_x）&=（2\pi V_{[{\rm V}]xx}）^{1/2}\exp（-t_x^2/2V_{[{\orm V}]xx}\rm V}]yy}）=（2\pi\mu_2）^{1/2}\exp（-t_y^2/2\mu_2），\cr P（t_z）&=（2\\pi V_{[{\rm V}]zz}）^{1/2}\exp.\cr&&（47）}]$

使用随机数生成器，对于每个模型，我们可以获得以下特定值t吨_x个0,t吨_年0,t吨_z（z）0使用（47）.如果特征值之一μ等于零，则将零值指定给相应的移位。刚性基团中所有原子共有的总平移位移等于

$[\Delta_{[{\rm V}]}^V{\bf r}_n=t_{x0}{\bfv}_x+t_{y0}{\bfv}_y+t_{z0}{\ffv}_z.\eqno（48）]$

为了在[M]基础上获得这种偏移，我们进行了类似于（46）的计算,

$[\Delta_{[{\rm M}]}^V{\bf r}_n={\bf-r}_{\rm-MV}\Delta_{[{\rm V}]}^V{\bf r}_n.\eqno（49）]$

7.4. GpdQ的验证和应用

我们生成了甘油磷酸二酯酶GpdQ（Jackson等人。2007年 )。GpdQ位于产气肠杆菌通过水解磷酸甘油酯中的3′-5′磷酸二酯键，有助于细胞膜的稳态。每个二聚体每个单体包含三个不同的结构域：α/β含有活性位点的三明治褶皱、一个域摆动活性位点帽和一个由双标记反平行结构组成的新二聚化域β-由一个小的β-表。由于全球B类因素和漫反射信号的存在（图4)、杰克逊等人。(2007)对结晶无序进行了三种不同的TLS改进：全分子、单体和亚结构域。所有TLS精炼尝试提高了R（右）_自由的与标准各向同性相比较时的值B类-因子精细化；然而，决赛之间没有显著差异R（右）_自由的来自各种TLS运行的值。我们假设每个TLS运动产生的漫反射散射将包含显著差异，因为漫反射信号是相关运动的直接结果。TLS的概念精炼产生独特的漫射信号之前就有人提出过（Tickle&Moss，1999)。需要TLS运动的物理集合，而不是数学描述，以从菲尼克斯扩散剂.目视检查确认菲尼克斯.tls_as_xyz复制了TLS热椭球预测的各向异性运动（图5)。此外，我们计算了原始TLS预测的结构因子精炼`并将其与F类_模型值（例如，如Afonine中的定义等人。, 2012)由各种菲尼克斯.tls_as_xyz整体尺寸。结构因子收敛到全球相关值0.965，表明菲尼克斯.tls_as_xyz信号群准确地表示了TLS预测的运动精细化。潜在运动的物理表征还表明，虽然两种TLS细化产生的运动具有较小的方差（TLS理论中的必要性），但将每个功能区用作TLS组会产生明显不可能的波动（图4)。因此，查看TLS精炼以结构系综的形式对结果的有效性进行了有价值的检查，因为满足上述条件的矩阵元素仍然可能产生明显不可信的运动。

图4
GpdQ TLS信号群。GpdQ-TLS基团投射到蛋白质结构上。由菲尼克斯.tls_as_xyz如下所示。每个TLS PDB群显示为单个非对称单元由单位单元格。从左到右，整体运动明显增加。为了视觉上的简洁，展示了20人的合奏。

图5
菲尼克斯.tls_as_xyz系综复制TLS各向异性运动。(一)具有“全分子”TLS各向异性热椭球表示的GpdQ主链B类因素。(b条)菲尼克斯.tls_as_xyz“全分子”TLS产生的集成主干精细化。(c（c）)“全分子”TLS预测的全电子密度精细化。(d日)全球相关系数在实验结构系数振幅之间F类_{光突发事件}原始GpdQ的“整个动作”精炼和菲尼克斯.tls_as_xyz各种大小的合奏。收敛值稳定在0.935。

8.讨论

而我们之前对该主题的审查（Urzhumtsev等人。, 2013)描述了从一组已知的振动和平动参数（包括轴的位置和这些运动的相关性）中获取TLS矩阵的计算细节，当前工作的重点是从给定的TLS矩阵集提取这些参数的相反问题。这个问题并不像一开始看起来那么简单。

之所以会出现这种困难，是因为当前的结构重新定义程序将矩阵元素作为独立参数进行更改，并且常常忽略实际空间运动的关键约束。第二个挑战是，相同的运动可能由不同的振动-平动组合表示。因此，这些参数与TLS矩阵集之间没有一一对应的关系。特别是，选择矩阵的传统方法S公司因此，其轨迹等于零可能会导致TLS矩阵的组合相互不一致。

本手稿描述了可用于验证给定集合的约束T型,L（左）和S公司矩阵并改进精炼TLS参数的。超越已知的特征值非负条件T型和L（左），我们还讨论了与矩阵相关的条件，这是确保TLS结果的关键步骤精炼对应于振动和振动的物理可能组合。如果需要，考虑到所有这些条件，可以在某些情况下校正TLS矩阵。将这些条件构建为精炼协议可以消除不合理的细化TLS矩阵

TLS矩阵表示是一种方便的方式，可以将协同运动编码为适合计算结构因子的形式，进而计算结构精细化。这种方法的标准实现有两个缺点。首先，TLS矩阵不能很容易地根据潜在运动进行解释，而是需要额外的处理才能提取此信息。其次，直接精炼TLS矩阵元素的精细化可能导致不能被表示为结构集合的精细化矩阵。为了解决这两个缺点，我们建议使用振动和平动参数集作为可再融资变量（作者正在进行的项目），并在PDB文件中报告它们。实际上，使用实际运动描述符作为精炼变量将允许更有效地应用物理约束，进而保证精炼值可以转换为结构集合，从而简化对精炼结果，因为它们很容易解释。最后，该策略将减少使用原子模型对数据进行过拟合的可能性，原子模型代表了难以置信的协同运动。

对用TLS细化的PDB条目的调查显示，大约85%的沉积模型包含与协同运动的基本物理模型不一致的矩阵。因此，这些矩阵不能用刚体旋转和平移来解释，反过来也不能代表这些运动（表1)。这突出了两个迫切需要。首先，现有精炼应更新程序，以便对TLS模型的可再融资参数应用适当的限制或约束。随后应实施和使用TLS的全面验证精炼结果。

我们提出的算法的效用是双重的：它验证了TLS矩阵，以确认它们能够代表协调的结构运动，并根据它们所描述的基本运动来解释TLS矩阵。TLS模型传递的原子群运动信息可用于分析可能的分子机制（如前所述）。TLS运动的描述也可用于生成分子构象的集合，从中可以计算预测的漫散射信号（参见Van Benschoten的随附论文等人。, 2015.).

当前用于分析和验证TLS参数的程序，以及根据给定的平动和振动参数生成一组模型的算法，都在菲尼克斯套件和称为phenix.tls分析和菲尼克斯.tls_as_xyz分别是。这些程序从版本dev-1890开始可用。

附录A

算法的技术细节

A1.转移矩阵的定义

让我们有三个相互正交的单位向量我_x个,我_年,我_z（z）分别用它们的坐标来描述[(我_x个)_[男]x个, (我_x个)_[男]年, (我_x个)_{[男]z（z）}], [(我_年)_[男]x个, (我_年)_[男]年, (我_年)_{[男]z（z）}], [(我_z（z）)_[男]x个, (我_z（z）)_[男]年, (我_z（z）)_{[男]z（z）}]笛卡尔基[M]。这些向量可以被视为一个新的基[L]。向量的坐标第页在[L]和[M]中使用转换矩阵相互表示R（右）_毫升作为

$[\left（\matrix{x_{[{\rm M}]}\cry_{[[{\rma M}]}\crz_{[}\rm M}]}\ right）={\bf R}_{\rm-ML}\ left（\trix{x_{[{\orm L}]}\cry_{[{rm L}]}\cr z_{（{\rm-L}）}\ rift）=\left[\matrift矩阵{（L_x）_{[\rm L{]}（ly）{[{\rm M}]x}&（lz）{[[{\RMM}]x}\cr（lx_{[{\rm M}]z}和（l_z）_{[{\rm M}]z}\ right]\ left（\matrix{x_{[}\rm l}]}\cry_{[[{\rma l}]}\crz_{[\rm l}]}\ right）。\等式（50）]$

其他碱基对的转移矩阵，例如从[V]到[L]（§2.1）、[M]至[V]和反之亦然(§7.3）以类似的方式定义。

A2.TLS矩阵元素的Cauchy条件

让d日_x个,d日_年,d日_z（z）和u个_x个,u个_年,u个_z（z）分别是旋转和平移引起的随机位移。自S公司_xx个= 〈d日_x个u个_x个，V（V）_xx个= 〈u个_x个u个_x个〉,L（左）_xx个= 〈d日_x个d日_x个〉（Schomaker&Trueblood，1968）; 另见Urzhumtsev中的方程式8.5–8.7等人。, 2013)根据柯西不等式

$[S_{xx}^2\le T_{xx}左_{xx}。\等号（51）]$

在[L]的基础上S公司_【L】=S公司_C类(t吨_S公司) (18)，条件（51）成为

$[（S_{[{\rm L}]xx}-t）^2\le t_{C[{\orm L}]xx}L_{[{\ rm L{]xx}。\方程式（52）]$

类似地，我们得到了另外两个条件

$[（S_{[{\rm L}]yy}-t）^2\le t_{C[{\rma L}]yy}L{[{\rm L}]yy}，\quad{（S_{[{\orm L}]zz}-t。\等号（53）]$

A3.特征方程系数的多项式

如果t吨_xx个,t吨_xy公司,t吨_x赫兹 等。是矩阵的各个元素T型_Λ(29)，系数（36）作为参数函数的特征方程t吨是

$[\eqaligno{a_{rm S}（t）&=[（t-S_{[{rm L}]xx}）^2-t_{xx}]+[（t-S-{[{orm L}]yy}）#2-t_}y}]\cr&\ quad+\[（t-S-{[{rm L}]zz}）|2-t_[zz}]，&（54）}]$

$[\eqaligno{b_{rm S}（t）&=[（t-S_{[{rm L}]xx}）^2-t_{xx}][（t-S-{[{orm L}]yy}）#2-t_}yy}]\cr&\ quad+\[（t-S-{[{arm L}]yy}]）^2-t_{yy}[t-S_{{[{rm L}+zz}]cr&\quad+\[（t-S_{[{\rm L}]zz}）^2-t_{zz}][（t-S-{[{[rm L{]xx}）#2-t_{xx}]\cr&\quad-\（t_{xy}^2+t_{yz}^2+t_{zx}^2），&（55）}]$

$[\eqaligno{c_{rm S}（t）&=[（t-S_{[{rm L}]xx}）^2-t_{xx}][（t-S-{[{orm L}]yy}）#2-t_}yy}][[（t-S_{[}rm L{]zz}）|2-t_[zz}]\cr&\四元-\t_{yz}^2[（t-S{[{rm L}]xx}]）^2-t{xx}]-t_{xz}^2[（t-S_{[{\rm L}]yy}）^2-t_{yy}]\cr&\quad-\t_{xy}^2（t-S_[{\rma L}]zz}）_｛xy｝t_{yz}吨_{xz}。&(56)}]$

A4.给定参数旋转引起的原子位移的显式表达式

让(x个_【L】,年_【L】,z（z）_【L】)是点的笛卡尔坐标第页以[L]为基础。对于绕平行于我_z（z）并穿过该点w个^里兹_【L】= (w个^里兹_【L】x个,w个^里兹_【L】年,w个^里兹_{【L】z（z）})，首先重新计算矢量的坐标第页−w个^里兹_【L】相对于旋转轴，

$[x_{[{\rm A}]}=x_{[{\rma L}]}-w_x^{lz}\semi，y_{[[{\orm A}]}=y_{{\rmL}]}-w_y^{lz}\semi\，z_{[}]}=z_{。\等号（57）]$

如果第页'表示通过角度旋转后同一点的位置d日_z（z）0围绕这个轴第页′ −w个^里兹_【L】，相对于轴的点为

$[\eqaligno{（x_{[{\rm A}]}\cosd_{z0}-y_{[}\rm A}]}&\sind_{z0{）\semi\，（x_}[{\rma A}]}\sin d_{z 0}+y_{[{\orm A}]}\COsd_{z0}）\simicr&(58)}]$

这就产生了原子位移

$[\eqaligno{\Delta_{[{\rm L}]}^{lz}{\bf r}&={\bfr}'-{\bf-r}={lz}]{\bfl}{y}\cr&\quad+\szd_{z0}{\bf1}{z}。\cr&（59）}]$

由于围绕其他两个轴旋转，位移有类似的表达式：

$[\eqaligno{\Delta_{[{\rm L}]}^{lx}{\bf r}&=[（y_{[}\rm L}]}-w_y^{lx}）（\cosd_{x0}-1）-（z_{[[{\rma L}]}-w_ z^{lx-}）\sin d_{x0{}]{\bf-L}_y\cr&\quad+[（y_{[{rm L{]}-w _y^ lx}）x}）\sin d_{x0}+（z_{[{\rm L}]}-w_z^{lx}）（\cos d_{x0}-1）$

$[\eqaligno{\Delta_{[{\rm L}]}^{ly}{\bf r}&=[（z_{[}\rm L}]}-w_z^{ly{）（\cos d_{y0}-1）-（x_{[[{\rma L}]}-wx^{ly}）\sin d_{y}]{\bf L}_z\cr&\quad+\[（z_{[{rm L{]}-w _z^ly}）\sin d_{y0}+（x_{[{\rm L}]}-w_x^{ly}）（\cos d_{y0}-1）]{\bf L}_{x}\cr&\quad+\s_y d_{y 0}{\bf-L}{y}。\cr&&（61）}]$

附录B

需要中断程序的异常情况列表

本附录总结了所述算法中断时的情况。以下每个条件都从相应的程序消息开始，然后参考主文本和图1为了分析PDB内容，程序可以在步骤C类我们分配t吨_S公司= 0,即。当矩阵S公司没有任何修正[在大多数情况下，这对应于当前的默认约束tr(S公司) = 0]. 在这种情况下，我们直接计算矩阵C类并检查条件（x）–（xii）。

步骤A类：基准[L]；确定振动轴和振幅。

（i） “输入矩阵L[M]不是半正定的”，§3.1.

（ii）“输入矩阵T[M]不是半正定的”，§3.1.

步骤B类：点的确定w个在平动轴上。

（iii）“非零对角S[L]和零L[L]元素”，§3.2, (15).

（iv）“矩阵T_C[L]不是半正定的”，§3.2, (17).

步骤C类：确定螺钉参数：左分支（所有三个轴周围的振动）。

（v） “空（tmin_c，tmax_c）间隔”，§4.2, (23).t吨_{最小值，C}>t吨_{最大值，C}.

（vi）`空（tmin_t，tmax_t）间隔'，§4.3, (31).t吨_{最小值，τ}>t吨_{最大值，τ}.

（vii）“估算tmin_a时的否定论点”，§4.3, (38).

（viii）“t_S的区间交集为空”，§4.3，步骤（ii）。t吨_最小值>t吨_最大值.

（ix）`t_min=t_max给出非正半定V_lambda'，§4.3，步骤（iii）。

（x） “区间（t_min，t_max）没有给出正半定V的t值”，§4.3，步骤（iv）。

步骤C类：确定螺钉参数：右分支（至少一个轴周围没有振动）。

（xi）“Cauchy-Schwarz条件对发现的t_S是错误的”，（22）具有t吨_S公司在§中计算4.4。

（xii）“零L[L]元素的非零对角S[L]元”，§4.4。

步骤D类：确定振动参数。

（xiv）`矩阵V[L]不是正半定'，§5.1.

步骤中的额外检查C类当某些条件可能因舍入错误而失败时。

（1）在（24）中计算平方根时，由于半正定矩阵的对角元素是非负的，因此根据前面的条件（i）和（iv），参数是非负。

（2）在（28）中计算平方根时，根据前面的条件（i），自变量是非负的。

（3）计算（31）中的平方根时，论点τ_最大值是非负的，因为T型_{成本[成本]}根据之前的条件（iv），也是非负的。

致谢

PVA和PDA感谢美国国立卫生研究院（拨款GM063210）和PHENIX工业联合会对PHENIX项目的支持。JSF是塞尔学者、皮尤学者和帕卡德研究员，由NIH OD009180、GM110580和NSF STC-1231306支持。这项工作得到了美国能源部的部分支持，合同编号为DE-AC02-05CH111231。非盟感谢法国集成结构生物学基础设施（FRISBI）ANR-10-INSB-05-01和Instruct，它是欧洲研究基础设施战略论坛（ESFRI）的一部分，并得到国家成员订阅的支持。

参考文献

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