Banach空间中的表示定理：最小范数插值、正则化学习和半离散反问题
王瑞、徐月生; 22(225):1−65, 2021.
摘要
从有限数量的采样数据点（测量值）学习函数是科学和工程中的一个基本问题。这通常被表示为希尔伯特空间或巴拿赫空间中的最小范数插值（MNI）问题、正则化学习问题或通常的半离散反问题（SDIP）。本文的目的是系统地研究这些问题在Banach空间中的解。我们的目标是获得其解的显式表示定理，然后可以在此基础上发展方便的求解方法。对于MNI问题，显式表示定理使我们能够用插值泛函线性组合的范数来表示下确界。为了开发高效的计算算法，我们建立了这些问题解的不动点方程公式。我们揭示了与Hilbert空间不同的是，一般来说，Banach空间中这些问题的解可能无法简化为真正的有限维问题（隐藏了某些无限维分量）。我们演示了在Banach空间为$\ell_1（\mathbb{N}）$的特殊情况下，如何消除这个障碍，将原始问题简化为真正的有限维问题。
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