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集合理论宇宙不一定是HOD的类驱动扩展

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答复

[bibtex key=“HamkinsReitz:The-set-theoretic-universe-is-not-nessary-a-forcing-extension-f-HOD”]

摘要。根据Vopěnka的著名定理，在ZFC中证明了每个集合在$\newcommand\HOD{\text{HOD}}\HOD$上都是泛型的，很自然地要通过$\HOD$s中一些可能的正确类强制概念来询问集合理论宇宙$V$是否必须是$\HOD$的类强制扩展。我们消极地表明，如果ZFC是一致的，那么存在一个ZFC模型，它不是它的$\HOD$的类驱动扩展，对于任何可在$\HOD$中定义的类驱动概念，并且在那里具有可定义的强制关系（允许参数）。与此同时，S.Friedman（2012）积极地表明，如果用特定的ZFC可接受类$a$（定义为$V$）来增加$\HOD$，那么集合理论宇宙$V$是扩展结构$\langle\HOD，\in，a\rangle$的类驱动扩展。我们的结果表明，这个增强过程是必要的。同一示例表明，$V$不一定是地幔的类驱动伸展，该方法为中间模型性质提供了一个反例，即通过某种可定义的驯力进行的类驱动延伸$V\substeq V[G]$和传递的中间内部模型$V\sSubsteq W\substeq-V[G]$with$W\models\text{ZFC}$，这样$W$就不是$V$的类强制扩展，任何类强制概念在$V$中都有可定义的强制关系。这改进了Friedman（1999）之前的一个例子，省略了$0^\ sharp$的必要性。

 

1972年，冯卡证明了以下著名的结果。

定理。（Vopěnka）如果$V=L[A]$，其中$A$是一组序号，则$V$是内部模型$\HOD$的强制扩展。

结果现在是标准的，出现在Jech（Set Theory 2003，p.249）和其他地方，通常的证明建立了一个更强大的结果，在ZFC中简单地陈述为断言：每个集合在$\HOD$上都是通用的。换句话说，对于每个集合$a$，都有一个强制概念$\mathbb{B}\In\HOD$和一个$\HOD$-通用过滤器$G\subseteq\mathbb{B}$，其中$a\In\HOD[G]\subsetqV$。因此，完整的集合理论宇宙$V$是所有这些不同的集合驱动通用扩展$\HOD[G]$的联合。

很自然会想知道这些不同的强制扩展$\HOD[G]$是否可以统一或合并，通过$\HOD$中可能合适的类强制概念将$V$实现为$\HOD$的单个类强制扩展。我们预计，集合理论家和集合理论研究生的比例一定很高，他们在第一次学习Vopěnka定理时，会立即提出这个问题。

主要问题。set-theoretic宇宙$V$必须是$\HOD$的类驱动扩展吗？

我们打算更具体地问一个问题，宇宙$V$是否作为$\HOD$的bona-fide类驱动扩展而出现，在这个意义上，有一个类驱动概念$\mathbb{P}$，可能是一个适当的类，它可以在$\HOD$中定义，并且具有可定义的驱动关系$P\Vdash\varphi（\tau）$用于任何所需的一阶公式$\varphi$，例如$V$作为某些$\HOD$通用过滤器$G\subseteq\mathbb{P}$的强制扩展$V=\HOD[G]$出现，不一定是可定义的。

在本文中，我们将通过提供一个无法实现的ZFC模型作为其$\HOD$的类驱动扩展来否定这个问题。

主要定理。如果ZFC是一致的，那么有一个ZFC模型，它不是它的$\HOD$的强制扩展，由任何类强制扩展它的$\ HOD$中定义的概念，并且在那里有一个可定义的强制关系。

在本文中，当我们说一个类是可定义的时，我们的意思是说它可以用允许设置参数的集合论的一阶语言定义。

主要定理应与Sy Friedman的以下结果进行对比。

定理。（Friedman 2012）有一个可定义的类$a$，它对$\HOD$非常友好，因此集合理论宇宙$V$是$\langle\HOD，\in，a\rangle$的泛型扩展。

如果有人愿意用$\HOD$中可能无法定义的类$a$来增加$\HOD$，那么这是对主要问题的积极回答。我们的主要定理表明，一般来说，这种增广过程是必要的。

在集合理论地质学的背景下，提出主要问题的变体是很自然的。

问题。集合理论宇宙$V$必须是其地幔的类属延伸吗？

地幔是所有背景的交叉点，因此宇宙在某种意义上与地幔很接近，也许有人会希望它足够接近，可以作为地幔的类背景延伸。然而，答案是否定的。

定理。如果ZFC是一致的，则ZFC的模型不会作为地幔$M$的类强制扩展而出现，因为任何类强制概念都具有$M$中可定义的强制关系。

我们还使用我们的结果为中间模型的强制性质提供了一些反例。在集合强制的情况下，众所周知，ZFC集合理论的每一个传递模型$W$，即中间$V\subseteq W\substeq V[G]$一个基本模型$V$和一个强制扩展$V[G]$，都是作为强制扩展$W=V[G_0]$出现的。

然而，在类强制的情况下，这可能会失败。

定理。如果ZFC是一致的，则存在ZFC集合论$V\subseteq W\subsete V[G]$的模型，其中$V[G]$是$V$的类强制扩展，$W$是$V[G]美元的传递内部模型，但$W$不是任何在$V$中具有可定义强制关系的类强制概念对$V$进行的强制扩展。

定理。如果ZFC+Ord是Mahlo一致的，那么可以对类驱动中间模型属性$V\subseteq W\subsete V[G]$形成这样一个反例，其中$G\subset\mathbb{B}$是Ord-c.tame可定义的完备类布尔代数$\mathbb{B}$的$V$泛型，然而，$W$并不是由类通过任何具有可定义强制关系的可定义强制概念强制超过$V$而产生的。

更多详细信息，请参阅论文（点击arxiv获取pdf）。[bibtex key=“HamkinsReitz:The-set-theoretic-universe-is-not-nessary-a-forcing-extension-f-HOD”]

何时每个可定义非空集都有一个可定义元素？

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[bibtex key=“DoraisHamkins:When-does-every-definitable-nonempty-set-have-a-definitable-element”]

摘要。每个可定义集都有一个可定义元素的断言在ZF上等价于原理$V=\newcommand\HOD{\text{HOD}}\HOD$，事实上，我们证明了，这个断言也仅仅是每个$\Pi_2$-definitable集都有有序可定义元素。同时，ZFC的每个模型都有一个满足$V\neq\HOD$的强制扩展，其中每个$\Sigma_2$-definitable集都具有一个序数可定义元素。对于$\HOD（\mathbb{R}）$和$\HOD（\text{Ord}^\omega）$以及$\HOD$的其他自然实例，也有类似的结果。

不难看出，ZF集理论中每个可定义非空集都有一个可定义元素的模型正是$V=\HOD$的模型。也就是说，如果$V=\HOD$，那么宇宙存在一个可定义的阱序，因此任何可定义的非空集合的$\HOD$最小元素是可定义的；相反，如果$V\neq\HOD$，则最小秩非OD集集是可定义的，但可以没有可定义元素。

在这篇简短的文章中，我们将根据定义的复杂性来确定这一基本观察的局限性。具体地说，我们将证明$V=\HOD$等价于断言每个$\Pi_2$-可定义的非空集都包含一个序数可定义元素，但不能用$\Sigma_2$-定义性替换此处的$\Pi_2$-可确定性。

定理。以下内容在ZF的任何型号$M$中都是等效的：

  1. $M$是$\text{ZFC}+\text{V}=\text{HOD}$的模型。
  2. $M$认为宇宙存在可定义的有序性。
  3. $M$中的每个可定义非空集都有一个可定义元素。
  4. $M$中的每个可定义非空集都有一个序数可定义元素。
  5. $M$中的每个序号可定义非空集都有一个序号可定义元素。
  6. $M$中的每个$\Pi_2$-definitable非空集都有一个ordinal-definitable元素。

定理。ZFC的每个模型都有一个满足$V\neq\HOD$的强制扩展，其中每个$\Sigma_2$可定义集都有一个可定义元素。

后一个定理的证明让人联想到极大值原理的几个证明（参见一个简单的最大值原理)，其中执行强制迭代，尝试在每个阶段强制并保留给定的$\Sigma_2$断言。

这项调查源于MathOverflow上发布的一系列问题和答案以及作者之间的交流。

集合的HOD在整个通用多元宇宙中是不变的

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爱荷华州国会大厦-法律图书馆_ Flickr-照片共享！$\newcommand\HOD{\text{HOD}}$哥德尔引入的公理$V=\HOD$断言每个集合都是有序定义的。这个公理有一个比最初预期的更微妙的基础方面。原因是“对象$x$可以用参数$p$定义”的一般概念在集合论中一般不是一阶可表示的；当然，它是一个二阶性质，只有相对于真值谓词才有意义，根据Tarski定理，我们不可能有一阶可定义的真值谓词。因此，如果没有进一步的限定或解释，在集合论的一阶语言中，短语“可使用序数参数定义”就没有直接意义。然而，幸运的是，当我们允许定义使用任意的序数参数时，就像我们对$\HOD$所做的那样，我们实际上可以通过这样的方式进行限定，使得公理在集合论中成为一阶可表达的。具体地说，我们正式地说$V=\HOD$成立，如果对于每个集合$x$，在V_theta$中有一个带$x的序数$\theta$，对于这个$x$可以由结构$langleV_theta，{in}rangle$中使用序数参数的公式$\psi（x）$定义。由于$V_theta$是一个集合，我们可以自由引用$V_ttheta$中的一阶真值，而不需要$V$中的任何真值谓词。当然，任何这样的$x$也可以在$V$中顺序定义，因为我们可以使用$\theta$和$\psi$的Gödel-code也作为参数，并且注意$x$是唯一的对象，它位于$V_theta$中，并且满足$\tisi$在$V\theta$中的要求。（请注意，在集合论的$\omega$-非标准模型中，我们可能确实需要使用$\psi$作为参数，因为它可能是非标准的，并且$x$可能无法使用元理论标准自然数在$V_\theta$中定义；但幸运的是，公式的哥德尔码是一个整数，它仍然是一个序数，这个问题是这个问题的关键。）相反，如果$x$可以使用公式$\varphi（x，\vec\alpha）$和序数参数$\vec\ alpha$在$V$中定义，那么根据反射定理，$x$是由某些$V_theta$中的$\varpi。因此，$V=HOD$的这个公式是可表达的，并且准确地捕获了每个集合都是有序定义的所需的二阶属性。

接下来考虑公理$V=\HOD（b）$，它断言每个集合都可以由序数参数和参数$b$定义。与之前一样，$V=\HOD（b）$官方声称，对于每一个$x$，都有一个序数$\theta$、公式$\psi$和序数$\vec\alpha<theta$，因此$x$是$V\theta$$中唯一的对象，$\langle V\theta，{in}\rangle\models\psi（x，vec\alpha，b）$，反射论证再次表明，这种定义公理的方式准确地捕捉了预期的想法。

我实际上想关注的公理是$\existsb\，\left（V=\HOD（b）\right）$，它断言宇宙是集合的$\HOD$。（我在背景理论中假设ZFC。）事实证明，这个公理在整个通用多元宇宙中是恒定的。

定理。断言$\存在b\，（V=\HOD（b））$强制不变。

  • 如果它保持在$V$中，则它将继续保持在每一组中，强制扩展$V$。
  • 如果它保持在$V$，那么它保持在每一个$V$的底线上。

因此，这个公理的真理在整个通用多元宇宙中是不变的。

证明。假设$\text{ZFC}+V=\HOD（b）$，并且$V[G]$是V$中通用过滤器$G\subset\mathbb{P}\对$V$的强制扩展。根据地模型可定义性定理，$V$可以从参数$P（\mathbb{P}）^V$在$V[G]$中定义。因此，使用此参数以及$b$和其他序数参数，我们可以在$V[G]$中定义$V$中的任何特定对象。由于这包括了用于构成$V[G]$的所有$\mathbb{P}$-名称，因此$V[G]=\HOD（b，P（\mathbb{P}）^V，G）$，因此$V[G]$根据需要是集合的$\HOD$。

相反，假设$W$是$V$的基，因此对于某些$W$，$V=W[G]$是通用过滤器$G\subset\mathbb{P}\，对于某些集合$b$，$V=\HOD（b）$。设$\dot b$为$\dotb_G=b$的名称。W$中的每个对象$x\都可以从$b$和序数参数$\vec\alpha$在$W[G]$中定义，因此存在一些公式$\psi$，其中$x$是唯一的，例如$\psi（x，b，\vec\ alpha）$。因此，存在一些条件$p\in\mathbb{p}$，使得$x$是唯一的，例如$p\Vdash\psi（\check x，\dot b，\check{vec\alpha}）$。如果$\langle p_\beta\mid\beta<|\mathbb{p}|\rangle$是$W$中$\mathbb{p}$的固定枚举，那么对于某些序数$\beta$，$p=p_\beta$，因此我们可以使用序数参数、$\dot b$和$\mat血红蛋白{p}的固定枚举来定义$W$的$x$。因此，$W$认为宇宙是一个集合的$\HOD$。

由于泛型多重宇宙是通过迭代移动到强制扩展到基来获得的，并且每个这样的移动都保留了公理，因此可以得出$\存在b\，（V=\HOD（b））$在整个泛型多重世界中是恒定的。量化宽松政策

定理。如果$V=\HOD（b）$，则存在强制扩展$V[G]$，其中$V=\ HOD$保持不变。

证明。我们在ZFC工作。假设$V=\HOD（b）$。我们可以假设$b$是一组序数，因为这样的集合可以对任何给定的集合进行编码。考虑以下强制迭代：首先添加一个Cohen实数$c$，然后执行强制$G$，该$G$以不可数基数将$c$、$P（\omega）^V$和$b$编码到GCH模式中，然后执行自编码，强制$H$高于该编码，并对$G$进行编码（请参阅我的论文套理论地质学有关自编码强制的更多详细信息）。因此，在最终模型$V[c][G][H]$中，对象$c$、$b$、$P（\omega）^V$、$G$和$H$都可以在没有参数的情况下定义。由于$V\subset V[c][G][H]$的闭包点在$\omega$，它满足$\omega _1$-近似和覆盖属性，因此类$V$可以在$V[c][G][H]$中定义，使用$P（\omega）^V$作为参数。由于该参数本身可以在没有参数的情况下定义，因此$V$可以在$V[c][G][H]$中无参数定义。由于$b$在那里也是可定义的，因此$\HOD（b）^V=V$的每个元素在$V[c][G][H]$中都是顺序可定义的。由于$c$、$G$和$H$也可以在没有参数的情况下定义，因此根据需要，我们有$V[c][G][H]\模型V=\HOD$。量化宽松政策

推论。以下内容是等效的。

  1. 宇宙是集合的$\HOD$：$\exists b\，（V=\HOD（b））$。
  2. 在通用多元宇宙的某个地方，宇宙是集合的$\HOD$。
  3. 在通用多元宇宙的某个地方，公理$V=\HOD$成立。
  4. 公理$V=\HOD$是可执行的。

证明。这是前面定理的直接结果$1至4至3至2至1$。量化宽松政策

推论。公理$V=\HOD$，如果为真，即使在通用多元宇宙中的任何地方为真，也是一个开关。

证明。开关是这样一种陈述：它和它的否定都必须通过强制才能实现；也就是说，在每个强制扩展集合中，可以强制语句为true，也可以强制语句为false。只要添加一个科恩实数，我们总是可以迫使$V=\HOD$失败。如果$V=\HOD$为真，那么根据第一个定理，对于某些$b$，每个强制扩展都有$V=\ HOD（b）$，在这种情况下，根据第二个定理，$V=\\HOD$仍然是可强制的。量化宽松政策

集合论中的Ehrenfeucht引理

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[bibtex key=FuchsGitman-Hamkins2018:EhrenfeuchtsLemmaInSetTheory]

这是与冈特·富克斯和维多利亚·吉特曼.$\newcommand\HOD{\text{HOD}}\newcommand\Ehrenfeucht{\text}}$

摘要。Ehrenfeucht引理断言，只要Peano算法模型的一个元素可以从另一个元素定义，那么它们就满足不同的类型。我们在这里考虑集合论模型的Ehrenfeucht引理的相似性。最初的论证直接适用于任何集合论模型的序数可定义元素，尤其是Ehrenfeucht引理完全适用于满足$V=\HOD$的集合论模型。然而，我们证明，在具有$V\neq\HOD$的集合论模型中，引理可能会失败，并且在强制扩展以添加泛型Cohen实数时必然会失败。我们接着制定了Ehrenfeucht引理的自然参数推广方案，即$\Ehrenfaucht（a，P，Q）$形式的原理，该形式断言，无论何时使用$P$中的参数在$M$中的某个$a\a$中定义一个对象$b$，$b\neq-a$中的$a$和$b$超过$Q$的$M$的类型是不同的。我们还考虑了用代数性代替可定义性得到的Ehrenfeucht引理的各种类似物，其中集合$b$是$a$中的emph{代数}，如果它是可从$a$定义的有限集合的成员（如J.D.Hamkins和C.Leahy集合论中的代数性和隐式可定义性). 我们证明了Ehrenfeucht引理对序代数集成立的充要条件是序代数集和序可定义集重合。通过使用类似的分析，我们回答了我在与Leahy的论文中提出的两个公开问题，即（i）代数性和可定义性在集合论模型中不需要一致，（ii）有序代数的内部和外部概念不需要一致。

什么时候每个可定义集都有一个可定义成员？纽约市立大学集合理论研讨会，2014年10月

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这将是一个关于纽约市立大学集合论研讨会2014年10月10日，12pm GC 6417。

摘要虽然“可定义”的概念在集合论语言中一般不可表达，但事实证明，每个可定义非空集都有一个可定义元素的ZF模型正是V=HOD模型。实际上，V=HOD相当于断言每个$\Pi_2$-definitable集都有一个ordinal-definitable元素。同时，在$\Sigma_2$可定义的情况下，这是不正确的，因为ZFC的每个模型都有一个满足$V\neq\text｛HOD｝$的强制扩展，其中每个$\Sigma_2$可定义集都有一个序数可定义元素。

这是与弗朗索瓦·多雷斯和埃米尔·杰亚贝克（Emil Jeřábek）产生于MathOverflow上的一些问题和答案，即，

没有可定义成员的可定义集合
五年前，阿舒托什提出了一个问题，在这个问题上，弗朗索瓦和我逐渐找到了答案。
每个可定义集都有一个可定义成员是一致的吗？
上周（匿名）用户38200问了一个类似的问题
如果每个$\Sigma_2$可定义集都有一个序数可定义成员，$V\neq\text{HOD}$可以吗？
在回答前一个问题时，我提出了一个关于问题局限性的问题。

在这次演讲中，我将给出所有这些问题的答案，并将结果置于可定义性的经典结果的背景下，包括对研究生基本概念的回顾。

HOD中的大基数不必很大

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[bibtex key=ChengFriedmanHamkins2015:LargeCardinalsNeedNotBeLargeInHOD]

摘要我们证明，大红衣主教一般不需要在HOD中展示其大红衣性质。例如，超紧基数$\kappa$在HOD中不必是弱紧的，并且在$V$中可以有一类适当的超紧基数，它们在HOD里都不是弱紧的。类似的结果适用于许多其他类型的大基数，例如可测量的和强基数。

在本文中，我们证明了大基数在HOD（遗传序数可定义集的内部模型）中一般不必表现出其大基数性质，并且环境集理论宇宙$V$的大基数与HOD的大基数在强度上可能存在分歧。我们的总主题涉及以下问题：

问题.

1.$V$中的大型基数在多大程度上必须在HOD中显示其大型基数属性？

2.$V$中大基数的存在在多大程度上意味着HOD中存在大基数？

我们证明，对于超越最弱概念的大型基本概念，答案通常是否定的。例如，在定理4中，我们构造了一个具有超紧基数的模型，该超紧基数在HOD中不是弱紧的，而定理9将其扩展到了一类适当的超紧基数，其中没有一个是HOD中的弱紧基数，从而提供了（1）的一些强负实例。同一模型有一类适当的超压缩基数，但在HOD中没有超压缩基数，提供了（2）的负实例。这些情况的自然共同强化是一个具有适当类别的超紧基数的模型，但HOD中没有弱紧基数。然而，我们无法安排这种情况，而且它还将被猜想13排除，这是W.Hugh Woodin最近提出的（2）的一个有趣的积极例子，即，如果有一个超紧凑基数，那么HOD中就有一个可测量的基数。许多其他的自然可能性，例如HOD中没有弱紧基数的适当类的可测基数，仍然是一个悬而未决的问题。

CUNY谈话| 罗格斯大学的演讲|Luminy谈话

大型基数在HOD中不必很大，集合理论国际研讨会，CIRM，Luminy，2014年9月

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答复

我将在第十三届集合论国际研讨会，在CIRM国际数学研究中心在Luminy附近2014年9月29日至10月3日，法国马赛

摘要。我将证明，大红衣主教一般不需要在HOD中展示他们的大红衣性质。例如，超紧基数在HOD中不必是弱紧的，在$V$中可以有一类合适的超紧基数，在HOD里它们都不是弱紧的。类似的结果也适用于许多其他类型的大基数，例如可测量基数和强基数。有许多开放性问题。

本次演讲将包括与程勇和Sy-David Friedman的合作。

第条 | 参与者 | 幻灯片

大型基数不可破坏性：先前结果的两个光滑的新证明

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$\newcommand\HOD{\text{HOD}}$

最近，我利用阿瑟·阿普特的观察结果，发现了两个巧妙的新证据，证明了我之前关于不可毁灭性的一些结果。他注意到的是：

观察。（Apter[1]）如果$\kappa$是Laver不可破坏的超紧基数，那么$V_\kappa\subet\HOD$。事实上，$V_\kappa$满足连续编码公理CCA。

证明。连续体编码公理断言，每一组序数都被编码到GCH模式中（因此，它们都被无限频繁地编码）。如果$x\subset\kappa$是任何有界的序数集，那么让$\mathbb{Q}$强制在$\kappa$正上方的常规基数处将$x$编码到GCH模式中。这种强迫是${lt}\kappa$定向关闭的，因此根据我们的假设，$\kappa$仍然是超紧的，特别是$\Sigma_2$-反射在分机$V[G]$中。由于$x$被编码到$V[G]$的GCH模式中，接下来的反射是$V_\kappa=V[G]_\kappa$也必须认为$x$是编码的，因此$V_\ kappa\models\text{CCA}$。量化宽松政策

首先，我注意到的是，这立即意味着小型强制废墟的不可摧毁性：

定理（Hamkins，Shelah[2]，Hamkins[3]）在任何小于$\kappa$的非平凡强迫作用之后，基数$\kappa$不再是不可毁灭的超紧凑，甚至不再是不可以毁灭的$\Sigma_2$反射。

证明。非平凡的小强制$V[g]$将在$\kappa$以下添加一组新的序数，这些序数不会经常被无界地编码到$V[g]$的连续体函数中，因此$V[g]_\kappa$将不满足CCA。因此，$\kappa$不会是牢固的$\Sigma_2$-反映在那里。量化宽松政策

这个论点可以被视为与[2]中给出的Shelah 1998年的论点基本相关。

其次，我还注意到可以用类似的想法来证明：

定理（巴加里亚、哈姆金斯、察普罗尼斯、乌苏巴[4]）超强红衣主教和其他大红衣主教永远不会被拉沃尔摧毁。

证明。假设$\kappa$的超强是不可摧毁的。随后观察到$V_\kappa$满足连续编码公理。现在强制添加$V$通用Cohen子集$G\subset\kappa$。如果$\kappa$在$V[G]$中是超强的，那么将有$j:V[G]到M$，其中$V[G]_{j（\kappa）}=M_{j。由于$G$没有编码到连续函数中，因此$M_{j（\kappa）}$不满足CCA。这与元素$V_\kappa=V[G]_\kappa\prec M_{j（\kappa）}$相矛盾。量化宽松政策

论证表明，即使是$\Sigma_3$-可扩展性$\kappa$永远不会是Laver坚不可摧的。

然而，我要注意的是，光滑证明并没有达到[4]的更强有力的结果，即即使通过$\text{Add}（\kappa，1）$，超强也永远不会被摧毁，并且在强制将Cohen子集添加到$\kappa$之后（在许多其他常见的强制概念中），基数$\kappa$决不是$\Sigma_3$-可扩展的（因此不是超强的，也不是弱超强的等等）。上面的光滑证明通过编码强制使用不可破坏性来获得$V_\kappa$中的CCA，不清楚人们会如何论证这种方法来获得[4]的这些更强的结果。

[1] 亚瑟·W·阿普特和肖莎娜·弗里德曼。HOD超紧性、不可破坏性和逐层等效《波兰科学院公报》（数学版）。

[2] Joel David Hamkins、Saharon Shelah、超毁灭性：拉沃尔不可毁灭性的双重性、J。符号逻辑，第63卷，第2期（1998年），549-554。

[3] 乔尔·大卫·哈姆金斯，较小的强制力使任何基数都可以超毁J.符号逻辑，63（1998）。

[4] Joan Bagaria、Joel David Hamkins、Konstantinos Tsaprounis、Toshimichi Usuba、Superstrong和其他大型红衣主教从来都不是Laver坚不可摧的，他们出现在了数学逻辑档案（纪念Richard Laver的特刊）中。

2014年4月，罗格斯大学逻辑研讨会，HOD中的大型红衣主教不必太多

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我将在罗格斯逻辑研讨会2014年4月21日下午5:00-6:20，罗格斯大学布施校区希尔中心705室。

摘要。 我将说明，大型基数，例如可测量的、强大的和超紧凑的基数，不需要在HOD中显示其大型基数性质。具体地说，在HOD中，超紧基数不是弱紧的，这是相对一致的，人们可以用一类适当的超紧基数来构造模型，但在HOD中超紧基数中没有一个是弱紧的。这是目前与程勇的联合工作。

第条

2014年1月，纽约市立大学集合理论研讨会的HOD中，大基数不必很大

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这将是一个关于纽约市立大学集合论研讨会2014年1月31日上午10:00。

摘要。我将证明，大型基数不需要在HOD中表现出其大型基数的性质。我将从HOD中无法测量的可衡量基数的例子开始。在这之后，我将描述如何迫使更极端的分歧。例如，在其他可能性中，HOD中存在一个非弱紧的超紧基数是相对一致的。这是与程勇最近的合作。

第条

集合论中的代数性和隐式可定义性

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[bibtex key=HamkinsLeahy2016:代数性和隐含可定义性InSetTheory]

本文旨在分析用较弱的模型理论代数性概念及其伴随的隐式可定义性概念取代集合论中几种可定义性的自然用法的效果。例如，代替遗传序数可定义集的类HOD，我们考虑遗传序数代数集的类HOA。代替集合论的逐点可定义模型，我们研究了它的（逐点）代数模型。并取代G&ouml；通过迭代可定义幂集运算得到del的可构造宇宙L，引入了通过迭代代数或隐式可定义幂集合运算得到的隐式可构造宇宙Imp。在每种情况下，我们都研究了从可定义性到代数性的变化是如何影响结果概念的性质的。我们对Imp特别感兴趣，因为它是ZF的一个新的规范内部模型，其微妙的特性刚刚被发现。关于Imp的公开问题比比皆是。

在继续之前，让我们回顾一下基本的可定义性定义。在一阶逻辑的模型理论中，元素$a$是可定义的如果它是$M$中满足一阶属性$\varphi$的唯一对象，也就是说，如果$M\models\varphi[b]$只是在$b=a$的情况下。更一般地说，元素$a$是代数的在$M$中，如果它有一个属性$\varphi$，它只由$M$的有限多个对象显示，那么在M\mid-M\models\varphi[b]\}$中的$\{b\是一个包含$a$的有限集。对于每个类$P\subset M$，我们可以通过允许公式$\varphi$具有来自$P$的参数来类似地定义元素是$P$可定义或$P$代数的含义。

在二阶上下文中，一个子集或类$a\子集M^n$称为可定义的在$M$中，如果对于某些一阶公式$\varphi$，$A=\{\veca\在M\mid M\models\varphi[\veca]\}$中。特别是，$A$是$M^n$中唯一的类，其中包含$\langle M、A\rangle\models\forall\vecx\、[\varphi（\vecx）\iff A（\vec x）]$，在我们为$A$添加谓词符号的语言中。推广这个条件，我们说类$a\子集M^n$是隐式可定义的在$M$中，如果展开语言中有一个一阶公式$\psi（a）$，则不一定是$\forall\vecx\，[\varphi（\vecx）\iff a（\vec x）]$，这样$a$是唯一的，因此$\langle M，a\rangle\models\psi（a）$。因此，每个（显式）可定义的类也都是隐式可定义的，但反过来可能会失败。更一般地说，我们说类$a\子集M^n$是代数的如果展开语言中有一个一阶公式$\psi（a）$，例如$\langle M，a\rangle\models\psi（a）$，并且只有有限多个$B\subset M^n$，其中$\langleM，B\rangle\ models\psi（B）$。允许固定类$P\subet M$中的参数出现在$\psi$中，产生了$P$可定义性、隐式$P$可定义性和$P$代数的概念。简化术语，我们说$A$是可定义的、隐式可定义的或代数的结束（而不是在里面)如果它是$M$可定义的，则为$M$隐式可定义的或$M$代数的。这些概念的自然概括是允许二阶量词出现在$\psi$中。因此，我们可以将类$a$称为二阶可定义、隐式二阶可确定或二阶代数。当然，通过允许$\psi$使用其他强逻辑的资源，可以进一步概括。

本文的主要定理是：

定理。遗传序数代数集的类与遗传序数可定义集的类相同：$$\text{HOA}=\text{HOD}$$

定理。 ZF的每个逐点代数模型都是ZFC+V=HOD的逐点可定义模型。

在本文的后半部分，我们介绍了我们所认为的可构造宇宙的自然代数模拟，即隐式构造的宇宙，表示Imp，构造如下：

$$\text（美元）{小鬼}_0=\空集$$

$$\text（美元）{导入}_｛\alpha+1｝=P_｛imp｝（\text{导入}_\阿尔法）$$

$$\text（美元）{导入}_\λ=\bigcup_{\alpha<\lambda}\text{导入}_\alpha，\text{表示极限}\lambda$$

$$\text{Imp}=\bigcup_\alpha\text{导入}_\阿尔法$$

定理。Imp是带有$L\subset\text{Imp}\subet\text{HOD}$的ZF内部模型。

定理。 $\text{Imp}\neq L$与ZFC相对一致。

定理。在$L$的任何集合强制扩展$L[G]$中，还有一个扩展$L[C][H]$，其中$\text{gImp}^{L[G][H]}=\text{Imp}^{L[P][H]}=L$。

关于小鬼的公开问题比比皆是。$\text{Imp}^{\text{Imp}}$与$\text}Imp}$不同吗？$\text{Imp}$满足选择公理吗？$\text{Imp}$可以有可测量的基数吗？当$0^\sharp$存在时，它必须位于$\text{Imp}$中吗？（在与Menachem Magidor和Gunter Fuchs的对话中，出现了一个肯定的答案，我们希望$\text{Imp}$将包含更多的大基数特征。我们预计未来会有一篇关于隐含可构造宇宙的文章。）哪些大基数对$\text}$是绝对的？$\text｛Imp｝$是否具有良好的结构？我们应该期待任何类似凝聚的原理吗？CH或GCH能否在$\text{Imp}$中失败？可以在$\text{Imp}$的无数构建阶段添加reals吗？我们可以将$\text{Imp}$与HOD分开吗？通过强制，我们可以控制$\text{Imp}$多少？我们可以将任意集放入合适的强制扩展的$\text{Imp}$中吗？关于相对于$\mathbb｛R｝$可隐式构造的集合的宇宙$\text｛Imp｝（\mathbb｛R｝）$，以及更一般地，关于其他集合$X$的$\text｛Imp｝（X）$，可以说些什么？在这里，我们希望至少已经引起了人们对这些问题的兴趣。

本文来源于关于MathOverflow的问题我的合著者科尔·莱希和我们随后的接触。

集合论中的代数性和隐式可定义性，纽约市立大学，2013年5月

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三

这是2013年5月10日的演讲纽约市立大学集合论研讨会.

摘要。一个元素一是可定义的在模型M中，如果它是M中满足某种一阶性质的唯一对象。它是代数的相反，如果它是满足某种一阶性质φ的至多有限多个对象之一，也就是说，如果{b|M满足φ[b]}是包含一在这次演讲中，我的目的是考虑当人们用较弱的代数性概念取代集合论几个部分中的可定义性时所出现的情况。例如，代替所有遗传序数可定义集的HOD类，我想考虑所有遗传序数代数集的HOA类。这两个类是如何联系的？代替对集合论的逐点可定义模型的研究，我想考虑集合论的逐点代数模型。这些都一样吗？代替可构造宇宙L，我想考虑迭代代数（或隐式）幂集运算而不是可定义幂集运算产生的内部模型。结果是ZFC的一个非常有趣的新内部模型，称为Imp，其特性现在才被发现。小鬼和L一样吗？它是绝对的吗？我将在演讲中回答所有这些问题，但还有许多其他问题尚未解决。

这是与科尔·莱希（麻省理工学院）。

NYlogic摘要|MathOverflow帖子

乔纳斯·雷茨

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Jonas Reitz于2006年6月在我的指导下在纽约市立大学研究生中心获得博士学位。他真的很乐意监督。从他论文研究的最初几天起，他就有自己的工作主题计划：他想“撤消”强制，以某种方式向后强制，从扩展到地面模型。起初我持怀疑态度，但随着时间的推移，想法围绕着基本公理结晶（现在有了自己的公理）维基百科条目)，使用Richard Laver当时的最新结果配制。与拉弗定理一起，乔纳斯的论文是现在被称为集合理论地质学乔纳斯在纽约市立大学纽约市理工学院担任终身职位。

乔纳斯·雷茨


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Jonas Reitz，“基本公理”，博士论文，纽约市立大学研究生中心，2006年6月ar$\chi$iv

摘要。 提出了一个新的公理，即基本公理，主张宇宙不是任何内部模型的非平凡的集合驱动扩展。基本公理是一阶可表达的，ZFC的任何模型都有一个满足它的类驱动扩展。基本公理独立于许多著名的集合理论断言，包括广义连续体假设，断言V=HOD，即每个集合都是有序可定义的，以及可测基数和超紧基数的存在。相关的基岩公理（Bedrock Axiom）断言，宇宙是满足地面公理的模型的一个定势延伸，也是一阶可表达的，其否定是一致的。由于许多结果都依赖于对适当类的强制，因此提供了一个附录，对适当类强制的基本理论进行了阐述。

一定有我们无法描述或定义的数字吗？指向可定义性和数学茶争论，布里斯托尔，2012年4月

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答复

这是我计划于2012年4月18日在布里斯托尔大学举行的集合论研讨会上的演讲。

在一杯好的数学茶上听到了一个古老的论点：“一定有一些实数我们既不能描述也不能定义，因为实数有无数个实数，但定义却只有无数个。”它经得起仔细审查吗？在这次演讲中，我将讨论集合论的逐点可定义模型，其中每个对象都可以在没有参数的情况下定义。除了经典的和民间的关于集合论点态可定义模型存在性的结果外，主要的新定理是，ZFC的每个可数模型和GBC的每个可计数模型都可以扩展到具有相同序数的集合论模型，其中每个集合和类都可以在没有参数的情况下定义。这是与乔纳斯·雷茨（Jonas Reitz）和大卫·莱因茨基（David Linetsky）共同完成的工作，以S.Simpson、R.Kossak、J.Schmerl、S.Friedman和A.Enayat的工作为基础。

幻灯片|文章

必须有不可定义的数字吗？逐点可定义性和math-tea论点，KGRC，维也纳，2011年

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答复

本次讲座将是大学研究生“高级入门”系列讲座的一部分库尔特·哥德尔研究中心2011年11月4日。

也许在数学茶上听到过一个古老的论点：“一定有一些实数我们既不能描述也不能定义，因为有无数个实数，但只有无数个定义。”它经得起仔细审查吗？在这次演讲中，我将讨论集合论的逐点可定义模型，其中每个对象都可以在没有参数的情况下定义。除了经典的和民间的关于集合论点态可定义模型存在性的结果外，主要的新定理是，ZFC的每个可数模型和GBC的每个可计数模型都可以扩展到具有相同序数的集合论模型，其中每个集合和类都可以在没有参数的情况下定义。这是与乔纳斯·雷茨（Jonas Reitz）和大卫·莱因茨基（David Linetsky）共同完成的工作，以S.Simpson、R.Kossak、J.Schmerl、S.Friedman和A.Enayat的工作为基础。

幻灯片 |第条