[bibtex key=HamkinsJohnstone 2014：复活Axioms和提升红雀队]
摘要。我们引入了复活公理，一类新的强迫公理和提升基数，一个新的大基数概念，并证明了在ZFC上复活公理的各种实例与提升基数的存在是等价一致的。
许多经典的强迫公理可以被看作是宇宙在其强迫扩展中存在封闭的主张，至少非正式地这样认为，因为公理通常断言某些类型的过滤器（可能存在于强迫扩展$V[G]$中）已经存在于$V$中。在一些情况下，这种非正式的观点被更正式地实现了：马丁的公理等价于断言$H_{\frak{c}}$在所有c.c.c中都是存在封闭的，强制宇宙的扩展，这意味着对于所有此类扩展，$H_}\frak}c}\prec_{\Sigma_1}V[G]$都是存在闭的；有界真强迫公理等价于$H_{\omega_2}$在所有真强迫扩张或$H_}\omega_2}\prec_{\Sigma_1}V[G]$中存在闭的断言；还有其他类似的例子。
在模型理论中，子模型$M\子集N$是存在闭在$N$中，如果$M$中关于$M$参数的存在断言在$M$已经为真，也就是说，如果$M是$N$的$\Sigma_1$-基本子结构，我们将其写为$M\prec_{\Sigma _1}N$。此外，在一般的模型理论背景下，存在闭包与本文的主题复活紧密相连。
基本事实。如果$\mathcal{M}$是$\mathcal{N}$的子模型，那么以下是等价的。
- 模型$\mathcal{M}$在$\mathcal{N}$中是存在闭的。
- $\mathcal{M}\subset\mathcal{N}$已复活。也就是说，还有一个扩展名$\mathcal{M}\subset \mathcal{N}\subset\mathcali{M}^+$，其中$\mathcal{M{prec\mathcall{M}^+$。
我们称之为复活因为尽管$\mathcal{M}$中的某些真理在扩展$\matchal{N}$中可能不再成立，但在进一步扩展到$\mathcal{M{M}^+$时，这些真理仍然根据$\matlcal{Mneneneep \prec\mathcal{M}+$复活。
在强制公理的上下文中，我们更感兴趣的是强制扩展的情况，而不是事实中出现的任意扩展$\mathcal{M}^+$，在这种上下文中，（1）和（2）的等价性打破了自我，尽管相反的蕴涵$（2）到（1）$总是成立的，每一个复活的实例都意味着存在闭包的相应实例。这一关键观察让我们看到本文的主要统一主题，即
复活可能使我们能够制定更有力的强制公理
而不是存在闭包或关于过滤器和稠密集的组合断言。因此，我们在本文中引入了利用复活概念的一系列新的强制公理。
主要定义。 设$\Gamma$是一个固定的可定义强制概念类。
- 这个复活公理$\text{RA}（\Gamma）$是这样的断言：对于\Gamma$中的每个强制概念$\mathbb{Q}，都有进一步的强制$\mathbb{R}$，其中$\vdash_{mathbb}Q}\mathbb{R}\ in \Gamma$.这样，如果$g\asth\subset\mathbb2{Q}ast\mathbp{R}$s是$V$-泛型的，那么$h_{frak{c}}\precH_{\frak{c{}}^{V[g\ast h]}$。
- 这个弱复活公理$\text{wRA}（\Gamma）$是这样的断言：对于\Gamma$中的每一个$\mathbb{Q}\，都有进一步的强制$\mathbb{R}$，这样如果$g\asth\subset\mathbb{Q}\ast\mathbb2{R}$是$V$-通用的，那么$h_{\frak{c}}\precH_{\frak{c{}^{V[g\asth]}$。
主要结果是证明复活公理的各种表述与提升基数的存在是等价一致的，其中无法到达的基数$\kappa$是上升的，如果存在任意大的不可访问基数$\gamma$，其中$H_\kappa\prec H_\gamma$。这是一个相当弱的大基数概念，其一致性强度严格小于Mahlo基数的存在，传统上认为Mahlo的基数在大基数层次中非常低。本文的一个亮点是我们开发了“世界上最小的拉弗函数”，即拉弗函数概念，用于提升红衣主教，我们对拉弗准备进行了模拟，以实现公元前强迫的复活公理。
主要定理。以下理论与ZFC一致：
- 有一位令人振奋的红衣主教。
- $\text{RA}（\text{all}）$。
- $\text{RA}（\text{ccc}）$。
- $\text｛RA｝（\text｛semi-proper｝）+\neg\text｛CH｝$。
- $\text{RA}（\text{proper}）+\neg\text{CH}$。
- 对于某些可数序数$\alpha$，公理$\text{RA}（\alpha\text{-propert}）+\neg\text{CH}$。
- $\text{RA}（\text{axiom-A}）+\neg\text{CH}$。
- $\text{wRA}（\text{semiproper}）+\neg\text{CH}$。
- $\text{wRA}（\text{proper}）+\neg\text{CH}$。
- 对于某些可数序数$\alpha$，公理$\text{wRA}（\alpha\text{-property}）+\neg\text{CH}$。
- $\text{wRA}（\text{axiom-A}）+\neg\text{CH}$。
- $\text{wRA}（\text{可数闭}）+\neg\text{CH}$。
证明大纲从两个方向进行：一方面，复活公理通常意味着连续体$\frak{c}$在$L$中上升；相反，给定任何提升基数$\kappa$，我们可以对$\Gamma$强制执行适当的抽奖迭代，以获得$\Gamma$的复活公理，该公理是在带有$\kampa=\frak{c}$的强制扩展中实现的。
在一篇即将完成的后续文章中，我们讨论了黑体复活公理，该公理允许谓词$a\subset\frak{c}$，并要求对扩展中的某些$a^\ast\subset\frak{c{}}、{In}、a\rangle\prec\langleH_{frak{c}}^{V[g\asth]}、}、^\ast\rangle$形式进行扩展。在那篇文章中，我们证明了黑体复活的各种公式与一个强烈提升的基数的存在是等价的，我们证明这个基数与一个超强展开的基数是相同的。
