我想分享一个我最近发现的令人惊讶的事实的简单证明：有一个通用算法，能够计算任何给定的函数！

等等，什么？我到底是什么意思？我们不能证明一些函数是不可计算的吗？是的，当然。

我的意思是，有一个通用算法，一个能够计算任何所需函数的图灵机程序，只要有人在正确的宇宙中运行该程序。有一个图灵机程序$p$，它的性质是，对于自然数上的任何函数$f:\newcommand\N{mathbb{N}}\N\to\N$，包括不可计算的函数，都有一个算术或集合论模型，其中$p$计算的函数与所有标准有限输入上的$f$完全一致。您必须在不同的环境中运行该程序，以便它能够计算所需的函数$f$。
$\newcommand\ZFC{\text{ZFC}}
\newcommand\PA{\text{PA}}
\newcommand\Con{\mathop{\text{Con}}}
\newcommand\provens{\vdash}
\新命令{\concat}{\mathbin{}^\smallnrow}}
\newcommand\restrict{\upharpoonright}
$
定理有一个图灵机程序$p$，它执行证明中描述的特定算法，因此对于任何函数$f:\N\to\N$，都有一个算法模型$M\models\PA$，或者确实有一个集合论模型$M\ models\ZFC$或更多（如果一致），这样，$M$中的程序$p$计算的函数与所有标准有限输入上的$f$完全一致。

该证明是初等的，本质上只依赖于哥德尔·罗塞尔定理的经典证明的思想。简单回顾一下，对于任何扩展$\PA$的可计算公理化理论$T$，都有一个相应的句子$\rho$，称为罗斯这句话断言，“对于$T$中$\rho$的任何证明，都有一个较小的$\neg\rho$s证明。”也就是说，我的意思是证明的Gödel-code较小。一个人通过一个简单的哥德尔不动点引理的应用来构造句子$\rho$，就像一个人构造通常的哥德尔句子来断言它自己的不可证明性一样。关于Rosser句子的基本经典事实包括：

• 如果$T$是一致的，那么$T+\rho$和$T+\neg\rho也是一致的$
• $\PA+\Con（T）$证明$\rho$。
• 理论$T$、$T+rho$和$T+negrho$是等价一致的。
• 如果$T$是一致的，则$T+\rho$不能证明$\Con（T）$。

第一个陈述是哥德尔-罗瑟定理的基本断言，很容易证明：如果$T$是一致的，$T\provides\rho$，那么证明在元理论中是有限的，因此由于$T$必须证明$\neg\rho$有一个较小的证明，该证明在元理论中也是有限的，因此是一个实际的证明，与$T$的一致性相矛盾。类似地，如果$T\provides\neg\rho$，那么元理论中的证明将是有限的，因此$T$将能够验证$\rho$s是真的，而$T\rovides\rho$又与一致性相矛盾。通过将前面的参数内化到PA中，我们可以看到$\PA+\Con（T）$将证明$\rho$和$\neg\rho$$在$T$中都是不可证明的，这使得$\rho$在这种情况下是虚真的，并且还为第二和第三个语句建立了$\Con。特别是，$T+\Con（T）证明了\Con。

现在让我们继续证明这个定理。首先，我们构建我称之为玫瑰树根据c.e.理论$T$。也就是说，我们递归地为2^{{<}\omega}$中的每个有限二进制字符串$s\定义理论$R_s$，将初始理论$R{\emptyset}=T$放在根，然后在每个阶段递归地为理论$R_s$添加Rosser语句$\rho_s$或其否定$\neg\rho_s$，以形成树的下一级理论。
$$R_{s\concat 1}=R_s+\rho_s$$
$$R_｛s\concat 0｝=R_s+\neg\rho_s$$
因此，每个理论$R_s$都是$T$的一个有限扩展，即在$s$描述的模式中连续添加适当的Rosser句子或其否定。如果初始理论$T$是一致的，那么它通过使用哥德尔-罗瑟定理的归纳得出，Rosser树中的所有理论$R_s$都是一致的。将我们的符号扩展到通过树的分支，如果$f\in{}^\omega 2$是一个无限二进制序列，我们让$R_f=\bigcup_nR_{f\upharpoonrightn}$是沿着Rosser树的分支出现的理论的联合。通过这种方式，我们构建了一套完美的连续体——许多不同的一致性理论。

我现在将描述计算二进制函数的通用算法。考虑理论$T=\PA+\neg\Con（\PA）$上的Rosser树。这是一个一致的理论，恰好证明了它自己的不一致性。通过按顺序考虑Gödel-codes，该算法应该首先在初始理论$R{\emptyset}$中搜索Rosser语句$\rho{\embtyset}$或其否定的证明。如果找到了这样的证明，则该算法将分别在输入$0$上输出$0$或$1$，具体取决于首先找到的是Rosser语句还是其否定，并通过将相反的语句添加到当前理论中，转到Rosser树中的下一个理论。然后，它开始搜索Rosser语句的证据那个理论或其否定。在算法的每个阶段，都有一个当前的理论$R_s$，具体取决于找到了哪些先验证明，算法搜索$\rho_s$或$\neg\rho_s$的证明。如果找到，它会相应地输出$0$或$1$（在输入$n=|s|$上），并通过将相反的语句添加到当前理论中，转到Rosser树中的下一个理论。

如果$f:\N\to 2=\｛0,1\｝$是自然数上的任何二元函数，则设$R_f$是通过Rosser树的相应路径产生的理论，并设$M\models R_f$是该理论的模型。我声称，我刚才描述的通用算法将精确计算此模型中输入$n$的$f（n）$。需要注意的是，由于$\neg\Con（\PA）$是初始理论的一部分，模型$M$会认为Rosser树中的所有理论都不一致。因此，该模型将对Rosser树中的任何理论的每一个陈述及其否定都有大量的证明，特别是，由$p$在$M$中计算的函数将是一个总函数。问题是，在每个阶段，哪些证明将首先出现，从而影响函数的值。设$s=f\restrict n$，注意$R_s$在$M$中为true。假设归纳起来，$p$计算的函数在$M$中$n$以下正确运行，并考虑过程的阶段$n$。通过归纳，当前的理论正好是$R_s$，算法将搜索$\rho_s$或其在$R_s$中的否定的证明。请注意，如果$\rho_s$在$M$中为true，$f（n）=1$，并且由于$\rhoS$所断言的以及$M$认为它在$R_s$中是可证明的事实，因此必须有一个较小的$\neg\rho_s$证明。因此，在这种情况下，该算法将首先找到$\neg\rho_s$的证明，因此，根据该算法的精确指令，它将在输入$n$上输出$1$，并将$\rho_s$（相反的语句）添加到当前理论中，移动到Rosser树中的理论$R{s\concat1}$。类似地，如果$f（n）=0$，那么$\neg\rho_s$在$M$中将为真，因此算法将首先找到$\rho_s$的证明，给出输出$0$，并将$\neg \rho_s$添加到当前理论中，移动到$R_{s\concat 0}$。通过这种方式，算法以正确的方式找到了证明，从而使$R{f\限制n}$作为当前阶段$n$的理论，从而根据需要精确计算函数$f$。

基本上，理论$R_f$断言，证明将以正确的顺序找到，这样程序$p$将在所有标准有限输入上精确计算$f$。因此，每个二进制函数$f$都是由理论$R_f$的任何模型中的算法计算出来的。

现在，让我解释一下如何扩展结果以处理所有函数$g:\N\到\N$，而不是像上面那样只处理二进制函数。其思想是简单地修改二进制通用算法。任何函数$g:N\ to \N$都可以用二进制函数$f:N\至2$以规范的方式进行编码，例如，在$f$中有连续的块$1$s，用$0$s隔开，其中$N^{\rm-th}$块的大小为$g（N）$。假设$q$是运行上述二进制通用算法的算法，从而计算二进制序列，然后从该二进制序列中提取从$\N$到$\N$的相应函数（例如，如果二进制序列是有限的或只有有限多的$0$s，则这可能会失败）。然而，对于任何函数$g:\ N\ to \N$，都有一个二进制函数$f:\ N\to 2$，它以我们描述的方式对其进行编码，并且在任何模型$M\模型R_f$中，二进制通用算法都将计算$f$，从而使此适配算法根据需要精确计算所有标准有限输入上的$g$。

最后，让我描述一下如何将结果扩展到使用集合论模型，而不是算术模型。假设$\ZFC ^+$是ZFC的一致c.e.扩展；也许是ZFC本身，或者是ZFC加上一些大的基本公理。通过不完全性定理，让$T=\ZFC^++\neg\Con（\ZFC_+）$是一个略强的理论，这也是一致的。由于$T$解释了算术，所以应用了Rosser语句理论，因此我们可以在$T$上构建相应的Rosser树，也可以使用$T$作为初始理论进行二进制通用算法。如果$f:\N\to2$是任何二元函数，那么让$R_f$是通过Rosser树在相应分支上产生的理论，并假设$M\models R_f$。这是$\ZFC^+$的模型，它还认为$\ZFC ^+$不一致。因此，通用算法将在这个模型中找到大量的证明，和以前一样，它将以正确的顺序找到证明，即二进制通用算法将精确计算函数$f$。根据这个二进制通用算法，可以根据需要再次为所有函数$g:N\到N$设计通用算法。

人们还可以得到另一种普遍性。也就是说，有一个程序$r$，对于任何有限的$s\子集\N$，都有一个$\PA$的模型$M$（或$\ZFC$，等等），这样，在模型$M$s中，程序$r$s将枚举集合$s$，仅此而已。人们可以从定理的程序$p$中获得这样一个程序$r$：只需让$r$运行通用二进制程序$p$直至生成一个双$0$，然后将该有限二进制字符串解释为要输出的集合$s$。

现在我还要讨论另一种形式的普遍性。

推论
有一个程序$p$，对于任何模型$M\models\PA+\Con（\PA）$和任何可以在$M$中定义的函数$f:M\到M$，都有一个$M$到更高模型$N\models\ PA$的最终扩展，这样在$N$中，程序$p$s计算的函数与$f$在输入$M$时完全一致。

证明
我们简单地应用$M$中的主要定理。关键是，如果$M$认为$\Con（\PA）$，那么它可以构建它认为的Rosser扩展树，并且它会认为每个步骤都保持一致。因此，它构建的理论$T_f$在$M$中是一致的，因此有一个模型（Henkin模型）可以在$M$中定义，因此这将是$M$的最终扩展。
量化宽松政策

最后一个应用程序与最近由拉斯穆斯·布兰克（Rasmus Blank）和阿里·埃纳亚特（Ali Enayat）扩展的伍丁定理有着明显的相似性。请参阅Victoria Gitman关于这些定理的研讨会演讲的帖子：可计算过程可以在非标准模型中产生任意输出,延续.

替代性证明以下是基于Vadim Kosoy下面的评论对该定理的另一种优雅证明。让$T$是解释PA的任何一致的可计算公理化理论，比如PA本身或ZFC或其他什么。对于任何图灵机程序$e$，让$q（e）$是一个执行以下过程的程序：在输入$n$上，系统地搜索有限函数$h:X\to\mathbb{n}$，其中$X$是有限的，而$n\是X$中的，为了证明“程序$p$在$X$的所有输入上与$h$不一致”只使用函数$h$作为此断言的值列表。对于发现的第一个这样的函数和证明，如果有，请将值$h（n）$作为输出。

由于函数$e\mapsto q（e）$是可计算的，因此根据Kleene的递归定理，有一个程序$p$，其中$p$和$f（p）$计算相同的函数，并且$T$证明了这一点。因此，程序$p$正在搜索$p$本身没有以某种方式表现的证据，然后当找到这样的证据时，它就会以这种方式表现。

我声称，对于任何特定的有限函数$h:X\to\mathbb{N}$，理论$T$实际上并没有证明“程序$p$在$X$的输入上与$h$不一致”的任何语句。如果它确实证明了这样一个语句，那么对于最小的函数和证明，根据设计，$p$在$X$中的所有输入上的输出实际上是$h$。因此，也可以证明该程序做同意这个特殊的$h$，因此$T$将被证明是一个矛盾，与我们的假设相反，它是一致的。所以$T$实际上并没有证明这些说法。特别是，程序$p$在标准算术模型中计算空函数。但是，对于任何特定的有限函数$h:X\to\mathbb{N}$，我们都可以将断言“程序$p$在$X$的输入上与$h$一致”添加到$T$，因为$T$没有反驳这个断言。

对于任何函数$f:\mathbb{N}\到\mathbb2{N}$，让$T_f$是理论$T$，以及对于特定值$k=f（N）$，形式为“程序$p$在输入$N$上以$k$停止”的所有断言。我声称这个理论是一致的，因为如果不是，那么通过紧性，会有有限多的断言导致不一致，因此会有一个有限的函数$h:X\to\mathbb{N}$，其中$h=f\upharpoonrightX$，这样$T$就证明了程序$p$在$X$的输入上与$h$不一致。但在前一段中，我们证明了这种情况不会发生。因此，$T_f$理论是一致的。

最后，请注意，在任何$T_f$模型中，程序$p$在标准输入上计算函数$f$，因为这些断言都是在理论上做出的。量化宽松政策