序列由生成
年龄确定的插入树

约翰·莱曼
数学。弗吉尼亚理工大学系
                    <layman@math.vt.edu>
2006年1月


I.简单插入树。

A.我们首先说明插入树的一般概念通过以下众所周知的示例。

从有限序列（1，1）开始，通过在每对相邻项之间插入它们的和，依次形成更长的序列。这会产生一系列序列：

1                                               1
1                       2                       1
1           3           2           3           1
1     4     3     5     2     5     3     4     1
1  5  4  7  3  8  5  7  2  7  5  8  3  7  4  5  1
...
...

如果我们现在省略每行中的最后一个1并按顺序连接行，我们将获得序列的初始项

1,1,2,1 3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,...,

这是Stern-Brocot树序列（OEIS A002487）。如果我们用a（n）表示这个序列的项，对于n=0,1,2，。。。，则a（n）通过系数不大于2的2的幂和来计数n的表示的数量。


B.下面是一个序列的第二个例子，该序列由一个没有年龄依赖性的简单插入树的稍微修改形式生成。

从（1，1）开始作为第一行，并根据以下规则构造连续行：在前一行中的每对相邻项之间插入它们的和，然后用其自身的两个副本替换前一行的每一项（最后一个除外）。这将生成序列树：

             1                                        1
1 1 2 1
1      1     2     1     1     3     2     2     3    1  
1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 1 1 4 3 3 5 2 2 4 2 2 5 3 3 4 1
...
...

再次从每行中省略最右边的1，并将行连接起来以生成序列

1,1,1,2,1,1,2,1,1,3,2,2,3,1,1,2,1,1,3,2,2,3,1,1,2,1,1,4,3,3,5,2,2,4,2,2,5,3,3,4,...

这似乎是n的表示数序列，用系数不大于3的3次幂和表示n=0,1,2，。。。已验证n至3000。它在OEIS中显示为A054390。



二、。年龄确定的插入树。

答：我们现在认为，在每个连续生成的有限序列中，每个项都有一个“生日”，从中可以确定其“年龄”，并根据项的年龄选择插入规则。我们用一个简单的例子来说明。

再次从（11）开始，两个1都是在第0天“出生”的。我们现在使用以下规则在连续的几天中生成行：如果一个术语不完全是2天之前的，只需将其复制到下一行，但是如果它正好是2天之后的（比如说，在第n天），那么它不仅复制到下一行，而且，将该项及其最近邻项之和的2个副本插入项和相邻项之间，每个插入项的生日为n+1。这对两个相邻项都是如此，但在第2天，每个1只有一个相邻项。因此生成了以下序列序列：


第0天：1 1
第一天：11
第二天：1 2 2 1
第三天：1 2 2 1
第4天：1 3 3 2 4 2 3 3 1
第5天：1 3 3 2 4 2 3 3 1
第6天：1 4 4 3 6 6 3 5 2 6 4 8 4 6 2 5 3 6 3 4 1
第7天：1 4 4 3 6 3 5 2 6 4 8 4 6 2 5 3 6 3 4 1
...
...

如果我们再次省略每行右端的1并进行连接，则得到

1,1,1,2,2,1,2,2,1,3,3,2,4,4,2,3,3,1,3,3,2,4,4,2,3,3,1,4,4,3,6,6,3,5,5,2,6,6,4,8,8,4,6,6,2,5,5,3,6,6,3,4,4,...

如果我们用a（n）表示这个序列的项，对于n=0,1,2,3，。。。，似乎a（n）用系数不大于4的3的幂和来计算n的表示数。这已在n到2185的情况下得到验证。


B.特别有趣的是，与斐波那契数相关的序列显然可以通过构造年龄确定的插入树来确定，如下所示。

我们考虑通过使用序列（1,1）进行初始化而构造的年龄确定的插入树，每个项的年龄为2，并根据以下三个规则进行进化：
（1） 如果x是年龄为1的任何术语，那么x“分”为两个副本x，每个副本x指定一个年龄为1。
（2） 如果x是年龄为2的任何项，y是x的相邻项，x<>y，则x+y被赋值为0，插入x和y之间。
（3） 如果x的两个副本（年龄均为3）相邻，则在两个x之间插入年龄为0的2x。

我们详细展示了前几个阶段。从2岁时的（1,1）两个1开始。

11岁（均为2岁）
       
在下一行中，两个相邻项x=1都在3岁，因此规则3适用，因此在0岁时，2被插入两个1之间，给出

11岁（两岁时都是1岁）
1 2 1（0岁时为2，3岁时为1）
   
第三排是1岁时的2，4岁时的1。因此，规则1适用，因此2分为两个副本2，2，列表变为

1 1（2岁时都是1）
1 2 1（0岁时为2，3岁时为1）
1 2 2 1（1岁时2岁，4岁时1岁）

对于第四行，2的年龄为2，2<>1，因此规则2适用。因此，将总和1+2和2+1插入1,2和2,1之间，得出

11岁（两岁时都是1岁）
1 2 1（0岁时为2，3岁时为1）
1 2 2 1（1岁时2岁，4岁时1岁）
1 3 2 2 3 1（2的年龄为2，3的年龄为0）

在第5行，3个孩子都是1岁，所以规则1适用。此外，2的是3岁，所以规则3也适用。因此，每个3分为3、3和2*2=4，插入两个2之间，给出

11岁（两岁时都是1岁）
1 2 1（0岁时为2，3岁时为1）
1 2 2 1（1岁时2岁，4岁时1岁）
1 3 2 2 3 1（2的年龄为2，3的年龄为0）
1   3   3   2   4    2   3   3  1
       
继续这一过程可以：

1                                                              1
1                               2                              1
1                       2              2                       1
1           3           2              2           3           1
1        3     3        2       4      2        3     3        1
1   4    3     3    5   2     4  4     2   5    3     3   4    1
1  4  4  3  6  3  5  5  2  6  4  4  6  2  5  5  3  6  3  4  4  1
...
...

我们再次省略了每行右端的1，并连接行以获得序列：

1,1,2,1,2,2,1,3,2,2,3,1,3,3,2,4,2,3,3,1,4,3,3,5,2,4,4,2,5,3,3,4,1,4,4,3,6,3,5,5,2,6,4,4,6,2,5,5,3,6,3,4,4,...

似乎这个序列给出了n的表示数，作为n=1,2,3，…的不同斐波那契数之和，。。。（OEIS A000119）。这已经在n到1500的值中得到验证。因此，我们推测，这个特定的年龄决定的插入树实际上决定了所有n的A000119。    

创建者数学软件（2006年3月25日）