如果我们稍稍退后一步来考虑一个隐含逻辑的结构，比如怀特海和罗素的结构，我们会发现它完全包含在等价逻辑的结构中。不同之处在于所使用的步骤类型。在一种情况下，表达式在隐含点分离，在另一种情况中，它们在等价点分离。

G.斯宾塞·布朗•形式法则

我们一直在探索一个简单但优雅的形式系统的属性，该系统展示了逻辑的有用应用。这种简单性有助于我们在一个远没有一般逻辑系统混乱的环境中专注于形式系统和逻辑推理的核心功能。早些时候我们谈到了二元性主题将数学形式的辐射引入逻辑主题，这是我们将再次谈到的主题。 

但是，虽然我们有一个简单但关键的双重否定的例子，让我们用它来说明逻辑图的另一个中心特征，它关系到逻辑的数学基础结构。这就是在证明中使用等式推理胜过含意推理的力量。

这里又是与双重否定原则相对应的形式方程，如下图理论和遍历字符串形式所示。

任何原理是作为公理还是必须作为定理加以证明，取决于手头的形式系统。在当前系统中，双重否定是以下一组公理的结果。

公理

正式体系逻辑图由四个形式方程定义，称为首字母当纯粹从形式上考虑时，从潜在的解释中抽象出来，并称之为公理当被解释为逻辑等价时。有两个算术首字母和两个代数首字母，如下所示。

算术首字母

代数首字母

逻辑解释

为初始方程分配逻辑意义的一种方法称为实体解释（英语）。在En下，公理如下。

为初始方程分配逻辑意义的另一种方法称为存在解释（例如）。在Ex下，公理如下。

等式推理

下文中的形式证明使用了斯宾塞·布朗注释方案的一种变体来标记证明的每一步，根据这一点，公理被调用来许可句法转换的相应步骤，无论它适用于图还是字符串。上述集合中的所有公理都具有方程的形式。这意味着他们许可的推理步骤都是可逆的。校对注释方案使用了双条为了标记这一事实，读者通常要决定应用所示公理所需的两个可能方向中的哪一个。

这是双重否定的证明。

事实上，与简单的推论规则相比，证明是一件更具战略性的事情。造成这种情况的部分原因在于，含意推理规则将探究状态的前进与人们认为不立即相关的任何信息的丢失结合在一起，至少是在局部焦点和相关证据的短时间逐点进展中看不到的。从长远来看，这会产生有害的副作用，因为人们在战略上被迫重建许多在证据的早期阶段被战略上认为会忘记的信息，其中在证明开始之前可能被视为证据的早期阶段。

这也是研究等式推理规则具有指导意义的原因之一。等式形式的推理在数学中是最重要的，但传统逻辑教科书的学生对它们不太熟悉，他们可能会在这里发现一些惊喜。

资源

• 逻辑教学大纲
• 逻辑图
  •非正式介绍
  •正式开发
  •验证动画
• 逻辑图的未来
• 命题方程推理系统秒

参考

• 斯宾塞·布朗（1969），形式法则乔治·艾伦（George Allen）和安文（Unwin），英国伦敦，第118页。

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