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我将首先解释如何在余结合余代数上丰富结合代数，并展示这种丰富如何提供一种新的条-条结构表示。 然后，我将概述如何将（co）代数的这些结果推广到Hopf操作数上。 我们将特别推导出操作式对合作式的丰富，以及操作式酒吧结构的新方法。 这是a.Joyal正在进行的工作。
树不仅仅是组合结构：它们也是生物结构，无论是以明显的方式，还是在进化研究中。 生物学家从活物种的DNA样本开始，试图重建最可能的系统发育树，描述这些物种是如何从早期物种进化而来的。 事实上，系统发育树是一个操作数“系统发育操作数”中的操作，它在分支马尔可夫过程的研究中起着普遍的作用。 为了理解这个操作数，以及更广泛地理解操作数和树之间的关系，我们使用了这样一个事实，即操作数本身就是（类型化）操作数的代数。 这是与尼娜·奥特和托德·特林布尔的合作。
使用简单的组合方法，可以构建许多不同的非明显非对称运算示例。 对于其中的每一个，都有两个相关的挑战：找到维度并获得演示文稿。 在最简单的两种颜色的情况下，已经涉及到有趣的组合对象。 与Samuele Giraudo合作。
类型理论的最新进展证明了形式语言、形式证明助手和高等范畴理论思想之间有趣的新联系。 Martin-Lof类型理论的恒等式为我们综合推理弱无穷群胚或等价同伦类型提供了一种系统的逻辑形式。
另一方面，将这些思想应用于更高类别而不是更高群胚的问题仍然悬而未决。 在这里，我将演示基于更高类别的opetopic模型的更高类别理论的原型证明助手。 证明助手使用基于Joyal、Kock、Batanin和Mascari的opetopic图的图解语法，并根据Thorsten Palm实现opetopichigher category的定义。
操作数的同伦自同构空间编码了由操作数控制的代数同伦范畴的内部对称性。 我将在我演讲的第一部分介绍中解释这些对象的定义。 在第二步中，我将解释计算这些同伦自同构空间的谱序列的一般定义，并说明该方法如何应用于E_n操作的情况。
尽管它们的起源迥然不同，但运算理论和解析函子理论有着深刻的联系。 本讲座的目的是概述这些联系，并介绍与安德烈·乔亚尔合作获得的一些最新结果。 特别地，我们已经证明了操作数、操作双模和双模映射构成笛卡尔闭双范畴。 证明涉及到一些关于双模范畴的结果，这些结果是独立的。
拟范畴理论中的一个关键定理是拟范畴C可逆箭头的无穷广群G（C）的构造。在这篇演讲中，我们发展了这个构造的一个丰富版本，并将其应用于更高的分析堆栈（和导出堆栈）。 主要观察结果是，在没有结肠炎的情况下，最好使用某种等价的无穷广群，这是Rezk在其关于完备Segal空间的工作中大约同时（90年代末）在拓扑设置中引入的。
这项工作是我们与Kai Behrend合作构建紧复流形上向量丛扭曲复形的解析高级堆栈的一部分。
由对称单体范畴的概念所确定的双范畴为有色运算的概念提供了一个自然的背景。 乔亚尔的物种理论生活在同一个双范畴中。 其他两类一方面支持非对称运算的概念，另一方面支持代数理论的标准概念。 我将解释这两个类别背后的抽象数学，以及它们在不同风格的理论之间的转换。
一般理论完全不限于标准示例。 我将通过构建一个包含运算元素和纯代数元素的理论概念来说明这些可能性。 这种新的理论是正在进行的关于微分lambda演算的基础研究的基础。
简要回顾了费曼图的Connes-Kreimer-Hopf代数和树的Butcher-Connes-Kremer-Hopf代数，它们出现在量子场论的BPHZ重整化中，本演讲的一个要点是通过P-树的中间双代数解释两者之间的关系， 对于P是原始图的某个多项式函子，并概述了从这个观点得到的一些分类解释。 Bergbauer-Kreimer的组合Dyson-Schwinger方程采用群胚中多项式不动点方程的形式，X=1+P（X）； 解X（因此在类型理论意义上是W型）由某些嵌套图组成，这些图是P树，表现为P上的自由单子$\bar P$的操作。所谓的重叠发散，是BPHZ重整化的一个主要微妙之处， 被解释为将图的运算定义为$\bar P$的商的关系。 在量子色动力学中，人们对生成子Hopf代数所需的DSE的某些截断感兴趣。 在抽象环境中，截断被解释为多项式内函子之间的单态自然变换，子hopf条件由笛卡尔自然变换满足。
在这次演讲中，我将回顾歌剧形式化的概念和一些经典结果。 然后我将介绍Swiss-cheee操作数，并解释Swiss-cheree操作数和小磁盘操作数之间的区别。 最后，我将证明瑞士歌剧的非形式性。
我们将线性多图定义为代数表示的高维线性重写系统，推广了非交换Gröbner基的概念。 它们是基于在高维向量空间中丰富的范畴概念构建的。 我们将展示如何从收敛表示开始，构造代数的多谱分解，以及如何将这些分解与Koszul属性联系起来。 这是与埃里克·霍夫贝克（Eric Hoffbeck）和伊夫·吉拉德（Yves Guiraud）合作完成的。
这篇介绍性演讲的目的是说明操作理论如何帮助我们理解证明和程序的数学结构。 40多年前，Lambek观察到自由笛卡尔闭范畴是简单类型lambda-calculus的类型和术语的范畴。 由此可知，每个笛卡尔闭范畴都定义了一个证明变模执行。 令人惊讶的是，20世纪90年代初，同样的功能原理在纽结理论中重新出现，出现了带状（或环状）范畴的概念。 实际上，就像笛卡尔闭范畴一样，每个带状范畴都定义了一个节点不变的模拓扑变形。 证明理论和纽结理论之间的这种相似性导致了对话范畴的概念，它位于这两个领域的前沿。 我将解释如何从操作理论启发下的纯二范畴观点理解对话范畴的概念，以及如何以这种方式确立自由对话范畴是对话游戏和无害策略的范畴。 我将以一系列与立体布景和小碟轻歌剧的神秘联系作为结束。
我们发展了一种“代数结构”理论，更准确地说，是一种附加函数、单子函数、它们的代数和单子下降的理论，其中定义和证明都可以在任何（严格的）2-范畴或（∞，2）-范畴中同时解释，这些范畴包含一类加权极限。 这里（∞，2）-范畴是指一个简单的富足范畴，其hom-space是拟范畴。 这些上下文是相关的：2范畴理论是（∞，2）范畴理论的特例，相反，任何（∞、2）范畴都有一个“同伦2范畴”； 此外，我们证明了任何（∞，2）范畴的同伦2-范畴中的任何附加都提升为同伦相干附加。 我们在两种情况下同时证明了一元性定理，并将其应用于发展一元下降理论。 这是与Dominic Verity的联合工作。
我们将给出导出代数几何的概念，并绘制一些或多或少最近的方向，包括导出辛几何、导出泊松结构、模空间的量化和导出对数几何。