给定一个图G和k∈N，我们介绍以下在G中玩的游戏。每一轮，Alice将G的一个未着色顶点涂成红色，然后Bob将其涂成蓝色（如果还有）。一旦每个顶点都被着色，如果存在阶数至少为k的连通红色分量，则Alice获胜，否则Bob获胜。这是[Bensmail et al.the Largest Connected Subgraph game.Algorithmica，84（9）：2533-25552022]中介绍的最大连接子图游戏的Maker-Breaker版本。我们想要计算cg（G），这是最大的k，使得Alice在G中获胜，而不考虑Bob的策略。给定一个图G和k∈N，我们证明了即使G是二部图、分裂图或平面图，判定cg（G）≥k是否是PSPACE完全图。为了更好地理解最大连通子图游戏，我们接下来关注A-完全图，即cg（G）=|V（G）|/2的图G，即Alice可以确保红色子图连通的图。我们给出了图是a-完全图的充分条件，即最小次数、最大次数或边数。此外，我们还证明了，对于任意d≥4，存在任意大的A-完全d-正则图，但没有阶数至少为18的三次图是A-完全的。最后，我们证明了当G是P4-sparse图（有向图的超类）时，cg（G）可以在线性时间内计算。