n类咖啡馆

每个类别都嵌入到预升地形中

$$y\冒号C\右箭头尾\mathscr{P} C类=[C^{op}，集合]$$

$$y（c）=c（-，c）\ quad\ quad y（f）=c（-，f）\冒号c（-，c）\到c（-，d）。$$

如果$（C，\音符，[-，-]）$是一元封闭的，那么嵌入保持了这种结构：

$$y（c\otimes d）\simeq y（c）\times y（d）\quad\quad y（[c，d]）\sime q[y（c$$

即使用日卷积,$年$是一元闭合的。因此，我们可以在保护环境的同时进入更丰富的环境高阶代数结构，或语言.

现在，我们使用$\ρ$-微积分作为我们的运行示例。完整的类型系统在报纸，第9页。

代表人

本机类型系统中最简单的对象类型是可代表的 $T（-，\mathtt{S}）$。这是所有排序项的集合$\马特{S}$，由语言上下文索引。虽然计算机科学中的许多著作要么局限于封闭术语，要么将所有术语集中在一起，但这种索引是自然而有用的。

在$\ρ$-微积分，$y（\mathtt{P}）=T_\rho（-，\mathtt{P}）$是所有进程的索引集。

$$y（\mathtt{P}）（\Gamma）=\{P\；|\；（x_1，\dots，x_n）：\Gamma\vdash P:\mathtt{P}\}。$$

类型系统是通过以下操作从这些基本对象构建的$T型$和结构$\马特斯克{P} T型$然后我们可以构造谓词、依赖类型、co/limits等，每个构造函数都有相应的推理规则，可供计算机使用。

谓词和类型

拓扑的语言由两个fibration表示：子对象fibration给出谓词逻辑而伴随体纤维形成相依型理论因此，这两个基本实体是谓词和（依赖）类型。类型更为普遍，我们可以将其视为“新型”语言$T型$，可以更具表现力。

谓词$\varphi:y（\mathtt{P}）\to\Omega$对应于可表示的子对象$\{p\；|\；\varphi（p）\}\右箭头y（\mathtt{p}）$，相当于筛子，筛子：一组变形为$\马特{P}$，在预压下闭合：

这强调了谓词逻辑超过可表示实际上是在推理抽象语法树：此处$克$是中的一些操作树$T型$带有$\马特{S}$-形洞变量和谓词$\瓦尔斐$只关心$克$; 你可以插入任何术语$（f）$虽然仍然令人满意$\瓦尔斐$.

更一般地说，是一个态射$f\冒号B\至A$被理解为“索引预处理”或从属类型

$$x： A\vdash B（x）：类型。$$

即针对每个元素$x\冒号x\到A$，有一根纤维$B（x）：=f^*（x）$哪个是“类型取决于术语$x个$”.

中的类型示例$\ρ$-微积分由输入运算给出，

$$y（\mathtt｛in｝）：y（\mathtt｛N\times P\times[N，P]｝）\到y（\mathtt｛P｝）$$

光纤覆盖的位置$\瓦尔斐$是所有频道控制文本对的集合$（n，\lambda x.p）$使得$\varphi（\mathtt{in}（n，\lambda x.p））$.

相依和和乘积

这里我们使用中描述的结构第1部分.谓词函子$\数学可控硅{P} 吨（-，\Omega）：\mathscr{P} T型^{op}\到CHA$是一个超学说每个预处理$A类$给出了一个完整的Heyting谓词代数$\欧米茄^A$，对于每个$f\冒号B\至A$给出伴随词$\存在_f\dashv\Omega^f\dashov\forall_f\colon\Omega ^B\to\Omegan^A$对于形象,前映像、和安全映像.

类似地，切片函子$\马特斯克{P} T型/-：\mathscr{P} T型^{op}\到CCT$是带伴随词的共/完全拓扑的超条令$\Sigma_f\dashv\增量^f\dashv\Pi_f$。这些是相依和,替代、和从属产品根据这些，我们可以重建谓词逻辑的所有操作，等等。

如（简要）所述第1部分，相依和的概念是指数和泛化乘积; 这里，密码子是一组指数，其纤维是该家族中的一组指数；所以索引和的一个元素是依赖对 $（a，x\在x_a中）$双重地，指数积泛化函数：纤维产品的一个元素是元组$（x_1\在x_{a_1}中，\点，x_n\在x_{a_n}中）$可以理解为相关函数其中密码子$X（_a）$取决于哪个$一$你插上电源。

明确地给出$f\冒号A\至B$和$p\冒号X\到A$,$q\冒号Y\到B$，我们有$\增量_f（q）_\mathtt{S}^a=q_\mathttp{S}^{f_\mathtt{S{（a）}$和

（出租$X_\mathtt{S}=X（\mathtt{S}）$和$p_\mathtt{S}^b$表示光纤$b条$). 尽管公式复杂，但直觉基本上与Set中的相同，只是我们需要确保生成的对象仍然是预升的，即在预合成下闭合的。重点是：

$$\西格玛\；\；\text{概括产品，并对}\；\；进行分类；\存在\；\；\文本{或图像；和}$$

$$\Pi\；\；\text{泛化内部hom，并对}\；\；进行分类；\对于所有\；\；\文本｛或安全图像。｝$$

主要的例子从理论中的“向前推进”操作开始，使用$\存在$.给定一个操作$f\colon\mathtt{S}\to\mathtt{T}$，图像$\存在S_{y（f）}:\Omega^{y（\mathtt{S}）}\to\Omega$接受谓词（筛）$\varphi\右箭头y（\mathtt{S}）$并简单地对中的每个术语进行后置运算$\瓦尔斐$具有$（f）$.

因此，一个示例谓词（离开$\存在$和$年$隐式）是

$$\mathsf{multi.thread}=\neg（0）\vert\neg（0）\；\；\右箭头y（\mathtt{P}）。$$

此谓词确定两个非空进程的并行进程。

例如，从第2部分我们可以使用过程图和重写来模拟计算动力学$s、 t:\mathtt{E\到P}$现在，这些操作在$\马特{E}$和筛子$\马特{P}$，为运算符提供“前进或后退”：

$$\Sigma_t\Omega^s（\varphi）=\{q\；|\；\exists r.\；r:p\rightsquigarrow q\wedget\varphi（p）\}$$

$$\Pi_t（\Omega^s（\varphi））=\{q\；|\；对于所有r.\；r:p\rightsquigarrow q\Rightarrow\varphi（p）\}$$

虽然“图像”步进给出了所有可能的下一个术语，但“安全”步进提供了可能的术语只有来自$\瓦尔斐$。对于安全协议，这可以用于按过去的行为筛选进程.

图像/理解和分型

谓词和类型是通过fibrations之间的附加而关联起来的。

转换谓词$\瓦尔斐：A\to\Omega$对于类型，应用理解来构造术语的子对象$\mathrm{c}（\varphi）$满足要求的$\瓦尔斐$。要转换类型$p： X至A$对于谓词，应用图像分解来构造谓词$\数学{i}（p）$每根光纤是否有人居住。

我们一直隐含地使用理解方向（将谓词视为其子对象）；虽然拍摄图像具有更大的破坏性，但为了简化，它肯定是有用的。例如，而不是考虑类型$y（\mathtt{out}）：y（\mathtt{N\次P}）\到y（\mathtt{P}$，我们可能只想考虑图像$\mathrm{i}（y（\mathtt{out}））$，所有输出进程的集合。

内部Hom和实体化

而格罗森迪克建筑相对来说，人们对地方的索引类别的结构（谓词的完整Heyting代数）通常可以转换为全球的结构总类上对应的纤维。谓词函子的总范畴$\欧米茄\mathscr{P} T型$笛卡尔封闭，允许我们构造谓词homs.

这种结构可以在集合的范畴中理解。鉴于$\瓦尔斐：2^A$和$\磅/平方英寸：2^B$，我们可以定义

$$[\varphi，\psi]：[A，B]\ to 2\quad\quad[\varpi，\psi]（f）=\ for all A\ in A；\varphi（a）\右箭头\psi（f（a））。$$

因此，它构建了“确保含义的上下文”。

例如，我们可以构建分离逻辑：让$T_h（_h）$是交换幺半群的理论$（H，\cup，e）$，带有一组常量$\{h\}:1\至h$作为堆元素邻接的。如果我们定义

$$（\varphi\multimap\psi）=\Omega^{\lambda x.x\cup-}[\varphi，\psi]$$

然后$h1：（\varphi\multimap\psi）$声称$h2:\varphi\右箭头h_1\杯h2:\psi$.

有一种更具表现力的方式可以形成homs，我们称之为具体化（第7页）；我们不知道它是否被探索过，我们还没有确定它与从属产物的关系。

协同/诱导

同样$\欧米茄\mathscr{P} T型\至\mathscr{P} 吨$是协同/完成的，并且可以在总类别上组合成一个全局协同/完成结构。因此，我们可以使用它来构造共归纳类型。

例如，给定名称上的谓词$\阿尔法$，我们可以在$\阿尔法$:

$$\mathsf{sole.in}（\alpha）=\mu X.\mathtt{in}$$

哪里$\亩$表示初始代数，它被构造为一个colimit。这确定流程是否输入$\阿尔法$，不在上输入$\阴性\α$,并继续作为满足相同谓词的过程。这可以理解为防火墙.

应用

一旦组合了这些类型构造函数，它们就可以表达关于代码的非常有用和复杂的想法。最好的部分是，这种类型的系统可以从任何包含产品和函数类型的语言，其中包括许多流行编程语言的大块。

要了解更多应用程序，请查看本土类型理论当然，看看论文的其余部分，让我知道你的想法！谢谢你的阅读。