的不动点和周期点结果α-类型F类-模度量空间中的收缩

摘要

由Gopal激励等。（数学科学学报36B（3）：1-14，2016). 我们引入了α-类型F类-模度量空间设置中的收缩，它独立于（侯赛因）中给出的度量空间等。不动点理论应用。2015:158,2015). 此外，我们为这种收缩建立了一些不动点和周期点的结果。所得结果包含了巴拿赫收缩原理和其他原理的各种推广。

1导言和序言

不动点技术是研究实际问题中出现的各种数学方法解的存在唯一性的重要工具之一。特别是，巴拿赫收缩原理提供了一种构造性方法，可以为涉及各种类型微分和积分方程的模型找到唯一的解决方案。这一原则被几位作者从不同的方向加以推广；参见[三–8]. 最近，Gopal等。[1]引入了α-类型F类-通过结合[8]并得到了一些不动点结果。

另一方面，为了解决迭加算子的描述问题，Chistyakov[9]介绍了模度量空间的概念，并给出了有关这一主题的一些基本结果，而一些作者介绍了模测度空间中Banach压缩定理的类比，并描述了映射不动点在模度量空间中应用的重要方面。这方面的一些最新结果可以在[2,10–13]. 在本文中，我们引入了α-类型F类-在模度量空间的设置中的收缩，并为这种收缩建立不动点和周期点结果。因此，我们的结果推广和改进了文献中的一些已知结果。

与奇斯塔科夫一致[9]，我们从一些基本定义和结果开始，这些定义和结果将在续集中使用。

贯穿本文\（\mathbb{N}\）,\（\mathbb{R}^{+}\）、和\（\mathbb{R}\）将分别表示自然数、正实数和实数的集合。

让X（X）做一个非空的集合。在本文中，对于一个函数\（w:（0，\infty）\times X\ times X\rightarrow[0，\infcy）\），我们写

$$w_{\lambda}（x，y）=w（\lambda，x，y）$$

为所有人\（\lambda>0）和\（x中的x，y\）.

定义1.1

[9]

让X（X）做一个非空的集合。A函数\（w:（0，\infty）\times X\ times X\rightarrow[0，\infcy]\）称为公制模X（X）如果它满足了所有人\（x中的x、y、z），以下条件：

• （i） \（w{lambda}（x，y）=0）为所有人\（\lambda>0）当且仅当\（x=y）;

• （ii） \（w{lambda}（x，y）=ω{lambda}（y，x））为所有人\（\lambda>0）;

• （iii） \（w{\lambda+\mu}（x，y）\leqw{\lambda}（x，z）+w{\mu}（z，y）\）为所有人\（\lambda，\mu>0\）.

如果不是（i），我们只有条件（i′）

$$w_{\lambda}（x，x）=0\quad\text{对于所有}\lambda>0，x\在x中$$

然后w个被称为上的伪模（度量）X（X）.模块化指标w个在X（X）如果满足以下较弱版本的（i），则称为常规：

$$x=y\quad\mbox{当且仅当}\quad w_{\lambda}（x，y）=0\quad_mbox{对于某些}\lambda>0$$

定义1.2

[9]

让w个是上的伪模X（X）.修复\（x\中的x_{0}\）.套装

$$X_{w}=X_{w}（X_{0}）=\bigl\{X\在X:w_{\lambda}（X，X_{0:}）\rightarrow0\text{as}\lambda \rightarrow\infty\bigr\}中$$

称为模块化空间（大约\（x{0}\）).

定义1.3

让\（X_{w}\）是一个模块化的度量空间。

• （i） 序列\（（x_{n}）_{n\in\mathbb{n}}）在里面\（X_{w}\）据说是w个-收敛到\（x\在x_{\omega}\中）当且仅当\（w{\lambda}（x{n}，x）\右箭头0\），作为\（n\rightarrow\infty\）对一些人来说\（\lambda>0）.

• （ii） 序列\（（x_{n}）_{n\in\mathbb{n}}）在里面\（X_{w}\）据说是w个-柯西，如果\（w_｛\lambda｝（x_｛m｝，x_｛n｝）\右箭头0\），作为\（m，n\rightarrow\infty\）对一些人来说\（\lambda>0）.

• （iii） 一个子集C类属于\（X_{w}\）据说是w个-完成（如有）w个-Cauchy序列C类是收敛序列，其极限为C类.

• （iv） 一个子集C类属于\（X_{w}\）据说是w个-有界如果对某些\（\lambda>0\），我们有\（δ{w}（C）=\sup\{w{lambda}（x，y）；x、 C\}中的y\.

接下来，我们表示为\（\mathcal{F}\）所有函数的族\（F:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\）满足以下条件：

• （一层） F类正在严格增加\（\mathbb{R}^{+}\）,

• （二层） 对于每个序列\（{s_{n}\}\）在里面\（\mathbb{R}^{+}\），我们有\（\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=0\）当且仅当\（\lim_{n\rightarrow\infty}F（s_{n}）=-\infty）,

• （三层） 存在一个数字\（在（0，1）中为k\）这样的话\（\lim_{s\rightarrow0^{+}}s^{k} F类（s） =0\）.

示例1.4

以下功能\（F:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\）属于\（\mathcal{F}\）:

• （i） \（F（t）=，使用\（t>0）,

• （ii） \（F（t）=ln t+t），使用\（t>0）.

定义1.5

[8]

地图\（T:X\右箭头X\）据说是α-如果存在函数，则允许\（\alpha:X\times X\rightarrow\mathbb｛R｝^｛+｝\）这样的话

$$x，y\在x中，\quad\alpha（x，y）\geq1\quad\Longrightarrow\quad_alpha$$

定义1.6

[2]

让\（\Delta_{G}\）表示所有函数的集合\（G:（\mathbb{R}^{+}）^{4}\rightarrow\mathbb{R}^{+{）满足条件\（（G）\）为所有人\（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t{4}\在\mathbb{R}^{+}\中）具有\（t{1}t{2}t{3}t{4}=0\），存在\（\tau>0\）这样的话\（G（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t{4}）=τ）.

示例1.7

以下功能\（G:（\mathbb{R}^{+}）^{4}\rightarrow\mathbb{R}\）属于\（\Delta_{G}\）:

• （i） \（G（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t_{4}）=L\min（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t_{4}）+\tau\）,

• （ii） \（G（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t{4}，其中\（L\in\mathbb{R}^{+}\）.

定义1.8

[2]

让\（X_{\omega}\）是一个模度量空间，并且T型自我映射\（X_{\omega}\）。假设\（\alpha，\eta:X_{\omega}\乘以X_{\ omega}\rightarrow[0，\infty）\）是两个函数。我们说T型是一个α-η-GF公司-收缩，如果\（x，y\在x_{\omega}\中）具有\（eta（x，Tx）\leq\alpha（x，y）\）,\（ω{λ/l}（Tx，Ty）>0\）、和\（λ，l>0），我们有

$$G\bigl（\omega_{\lambda/l}（x，Tx），\omega{\lampda/l}（y，Ty$$

哪里\（G\in\Delta_{G}\）和\（F\in\mathcal｛F｝\）.

2的定点结果α-类型F类-收缩

我们从以下定义开始。

定义2.1

让\（（X，w）\）是一个模块化的度量空间。让C类是的非空子集\（X_{w}\）.A映射\（T:C\右箭头C\）据说是一个α-类型F类-收缩（如果存在）\（\tau>0\）和两个功能\（F\in\mathcal{F}\）,\（\alpha:C\乘以C\右箭头（0，\infty）\）这样，对所有人来说\（x，y\在C\中），令人满意\（w_{1}（Tx，Ty）>0\），以下不等式成立：

$$\tau+\alpha（x，y）F\bigl（w_{1}（Tx，Ty）\bigr）\leq F\bigle$$

(2.1)

定义2.2

让\（（X，w）\）是一个模块化的度量空间。让C类是的非空子集\（X_{w}\）.A映射\（T:C\右箭头C\）据说是一个α-类型F类-如果存在弱收缩\（\tau>0\）和两个功能\（F\in\mathcal{F}\）,\（\alpha:C\乘以C\右箭头（0，\infty）\）这样，对所有人来说\（x，y\在C\中），令人满意\（w_{1}（Tx，Ty）>0\），以下不等式成立：

$$开始{对齐}和\tau+\alpha（x，y）F\bigl●●●●。\结束{对齐}$$

(2.2)

备注2.3

每α-类型F类-收缩是指α-类型F类-弱收缩，但反之不一定正确。

例2.4

让\（X_{w}=C=[0，\压裂{9}{2}]\）,\（w{1}=|x-y|\）、和\（w{2}=|x-y|\）.定义\（T:C\右箭头C\）,\（\alpha:C\乘以C\右箭头（0，\infty）\）、和\（F:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\）通过

$$T（x）=\textstyle\begin{cases}0，&\text{if}x\in[0，\frac{2}{9}]，\\frac{9}{2}，&\text{otheric}。\结束{cases}$$

那么，对于\（x=0）和\（y=1），通过放置\（F（t）=具有\（t>0），我们有

$$\tau+\alpha（0,1）F\bigl（w_{\lambda}\bigle（T（0），T（1）\bigr）\biger）=\tau+\alfa（0,1）\ln\biggl（\frac{9}{2}\biggr）$$

和

$$F\bigl（w_{\lambda}（0,1）\bigr）={\ln（1）}$$

显然，我们已经

$$e^{\tau}\biggl（\frac{9}{2}\bigr）^{\alpha（0,1）}\nleq1\quad\text{用于所有}\tau>0\text{以及所有}\alpha\ in（0，\infty）$$

然而，由于

$$\inf_{x\in[0，\frac{2}{9}]，y\in（\frac}2}{6}，\frac{9}]}\biggl\{max\biggl \{w_{1}（x，y），w_{1'（x，Tx），w_1}（y，Ty）\biggr\}=\frac{9}{4}$$

T型是一个α-类型F类-可供选择的弱收缩

$$\alpha（x，y）=\textstyle\begin{cases}1，&\text{if}x，y\in[0，\frac{2}{9}]\text{或}x，y\in（\frac}2}{9}，\frac{9}{2}]，\\frac{\log10-\log9}{\log9-\log2}，&\text{otheric}，\ end{cases{$$

和\（\tau>0\）这样的话\（e^{-\tau}=\frac{8}{9}）.

备注2.5

定义2.1（分别为定义2.2)减少到一个F类-收缩（分别为F类-弱收缩）\（α（x，y）=1）.

接下来的两个例子说明了这一点α-类型F类-收缩（定义见上文）和α-η-GF公司-收缩[2]是独立的。

示例2.6

让\（X_{w}=C=[0,3]\）,\（w{1}=|x-y|\）、和\（w{\lambda}=\frac{1}{\lampda}|x-y|\）.定义\（T:C\右箭头C\）,\（\alpha:C\乘以C\右箭头（0，\infty）\）、和\（F:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\）通过

$$T（x）=\textstyle\begin{cases}\frac{3}{2}，&\text{if}x\ in[0,3），\\0，&\text{if}x=3。\结束{cases}$$

因此，定义\（F（t）=具有\（t>0）.然后T型是一个α-类型F类-弱收缩\（α（x，y）=1）为所有人\（x，y\在C\中）和\（\tau>0\）这样的话\（e^{-\tau}=\压裂{3}{2}\）.但是T型不是α-η-GF公司-收缩[2]. 要看到这一点，请考虑\（\ta:C\次C\右箭头[0，\infty）\）这样的话

$$\eta（x，Tx）=\textstyle\begin{cases}0，&\text{if}x=\frac{3}{2}，\\4，&\text{otheric}\end{cases{$$

和

$$G（t_{1}，t_{2}，t_{2}，t_{3}，t{4}）=L\min\{t_1}、t_{2{、t_}2}、t_{3}，t_}4}+\tau$$

那么，对于\（x=\压裂{3}{2}\）和\（y=3\），我们有

$$\eta\biggl（\frac{3}{2}，\frac}3}{2\biggr）=0\leq1=\alpha\biggal$$

和

$$\begin{aligned}和G\bigl（w_{lambda}（x，Tx），w_{\lambda{（y，Ty），w_{\lampda}）\bigr\}+\tau=\tau。\结束{对齐}$$

因此，我们

$$开始{对齐}和G\bigl）\nleq\ln\biggl（\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\lambda}\biggr）=F\bigl（w_{\lampda}（x，y）\bigr），\end{aligned}$$

因此，T型不是α-η-GF公司-收缩。

例2.7

让\（X_{w}=C=[0,1]\）,\（w{1}=|x-y|\）、和\（w{\lambda}=\frac{1}{\lampda}|x-y|\）.定义\（T:C\右箭头C\）,\（\alpha，\eta:C\乘以C\右箭头[0，\infty）\）,\（G:（\mathbb{R}^{+}）^{4}\rightarrow\mathbb{R}^{+{）通过

$$T（x）=\textstyle\begin{cases}0，&\text{if}x\text{isrational}，\\1，&\text{if}x\text}isinalogial}，\end{cases{$$

\（α（x，y）=x+y）和\（\eta（x，y）=\frac｛x+y｝｛2｝\），如果x个和年两者都是理性的或非理性的，\（α（x，y）=1）和\（\eta（x，y）=0\）如果x个是不合理的年是合理的（并且反之亦然),\（G（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t{4}）=最小值(\（\tau>0\）)、和\（F（t）=.然后T型是一个α-η-GF公司-收缩。但它不是α-类型F类-收缩乏力。要看到这一点，请考虑\（x=0）和年都是不合理的。

以下定义的动机是我们定理中柯西序列证明的最后一步。

定义2.8

让\（（X，w）\）是一个模块化的度量空间。然后我们会这么说w个满足\（\增量{M}\）-如果情况是\（lim{m，n\rightarrow\infty}w{lambda}（x{n}，x{m}）=0\），用于\（λ=米）暗示\（lim{m，n\rightarrow\infty}w{lambda}（x{n}，x{m}）=0\）(\（m，n\in\mathbb{n}\）,\（m\geq n）)，对一些人来说\（\lambda>0）.

现在，我们准备陈述我们的第一个定理，它推广了Gopal的主要定理等。[1]对于模度量空间。

定理2.9

让 \（（X，w）\） 是一个模度量空间.假设 w个 是常规的，并且满足 \（\增量{M}\）-条件.让 C类 是的非空子集 \（X_{w}\）.假设 C类 是 w个-完成并 w个-有界的,我.e（电子）.,\（增量{w}（C）=\sup\{w{1}（x，y）：x，y\在C\}中.让 \（T:C\右箭头C\） 成为 α-类型 F类-满足以下条件的弱收缩:

• （i） T型 是 α-可接受的,

• （ii） 存在 \（C\中的x_{0}\） 这样的话 \（\alpha（x_{0}，Tx_{0}）\geq1\）,

• （iii） T型 是连续的.

然后 T型 有一个固定点 \（C\中的x^{*}\） 并且对于每个 \（C\中的x_{0}\） 顺序 \（\{T^{n} x_{0}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 收敛于 \（x^{*}\）.

证明

让\（C\中的x_{0}\）这样的话\（\alpha（x_{0}，Tx_{0}）\geq1\）并定义序列\（{x{n}）在里面C类通过\（x{n+1}=Tx{n}\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）.

显然，如果存在\（n_{0}\in\mathbb{n}\）这样的话\（x{{n{0}}+1}=x{n{0}}\），那么\（Tx{n_{0}}=x{n_0}}\）证明就完成了。因此，我们假设\（x{n+1}\neqx{n}）对于每个\（n\in\mathbb{n}\）现在，根据条件（ii）和（i），我们得到

$$\alpha（x_{0}，x_{1}）=\alpha（x_{0{，Tx_{0}）\geq1\quad\Longrightarrow\quad\alpha$$

根据归纳法，我们有

$$\alpha（x_{n}，x_{n+1}）\geq1$$

(2.3)

自T型是一个α-类型F类-弱收缩，每\（n\in\mathbb{n}\），我们有

$$开始{对齐}F\bigl（w_{1}（x_{n+1}，x_{n}）\bigr$$

(2.4)

所以

$$开始{对齐}\tau+F\bigl（w{1}（x{n+1}，x{n}）\bigr{1}（x{n}，Tx{n{），w{1}（x{n-1}，Tx{n-1}），\\&\压裂{w{2}x{n}），w{1}（x{n}，x{n+1}{n-1}，x{n}）+w{1}。\结束{对齐}$$

(2.5)

如果存在\（n\in\mathbb{n}\）这样的话\（最大值\{w{1}（x{n-1}，x{n}），然后，从(2.5)，我们有

$$F\bigl（w{1}（x{n}，x{n+1}）\bigr）\leq F\bigle$$

矛盾。因此\（最大值\{w{1}（x{n-1}，x{n}，对于所有人\（n\in\mathbb{n}\）因此，从(2.5)，我们有

$$F\bigl（w_｛1｝（x_｛n｝，x_｛n+1｝）\bigr）\leq F\bigl（w_｛1｝（x_｛n-1｝，x_｛n｝）\bigr）-\tau$$

这意味着

$$F\bigl（w{1}（x{n}，x{n+1}）\biger）\leqF\bigle$$

(2.6)

将限额视为\（n\right arrow\infty\）英寸(2.6)从那以后C类是w个-有界，我们有

$$F\bigl（w{1}（x{n}，x{n+1}）\bigr）=-\infty$$

从（F2），我们得到

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl（w_{1}（x_{n}，x_{n+1}）\bigr）=0$$

(2.7)

从（F3），存在\（在（0，1）中为k\）这样的话

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl（\bigle（w_{1}（x_{n+1}，x_{n}）\bigr）^{k} F类\bigl（w_｛1｝（x_｛n+1｝，x_｛n｝）\bigr）=0$$

(2.8)

发件人(2.8)，对于所有人\（n\in\mathbb{n}\），我们推断

$$\bigl（w{1}（x{n+1}，x{n}）\bigr^{k} n个\陶\leq0$$

(2.9)

通过使用(2.7), (2.8)，并将限制作为\（n\rightarrow\infty\）英寸(2.9)，我们有

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl（n\bigle（w_{1}（x_{n+1}，x_{n}）\bigr）^{k}\biger）=0$$

然后就有了\（n_{1}\in\mathbb{n}\）这样的话\（n（w{1}（x{n+1}，x{n}））^{k}\leq1）为所有人\（n_geqn_{1}）也就是说，

$$w{1}（x{n}，x{n+1}）\leq\frac{1}{n^{1/k}}\quad\text{for-all}n\geqn_{1}，\text{for-all}\lambda>0$$

对于所有人\（m>n>n{1}\），我们有

$$开始{对齐}w{m}（x{n}，x{m}）\leq&w{1}（x{n}，x{n+1}）+w{1{（x_n+1}，x{n+2}）+\cdots+w{1}（x{m}，x{m+1}）\\leq&\frac{1}{n^{1/k}}+frac{1}{（n+1）^{1/k}}+\cdots+\frac{1}{m^{1/k{}\\<&\sum_{i=n}^{\infty}\frac}{1}}{i^{1/k}}。\结束{对齐}$$

自从系列\（\sum_{i=n}^{\infty}\frac{1}{i^{1/k}}\）是收敛的，这意味着

$\lim_{m，n\rightarrow\infty}\bigl（w_{m}（x_{n}，x_{m{）\bigr）=0$$

自w个满足\（\增量{M}\）-条件。因此，我们有

$$\lim_{m，n\rightarrow\infty}w_{1}（x_{n}，x_{m}）=0$$

这表明\（{x{n}）是一个w个-柯西序列。自C类是w个-完成，存在\（C\中的x^{*}\）这样的话\（x_｛n｝\右箭头x^｛*｝\）作为\（n\rightarrow\infty\）.通过连续性T型自那以后w个是常规的，我们有

$$w_{1}\bigl（x^{*}，Tx^{**}\bigr）=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigle$$

因此，\（x^{*}\）是的固定点T型. □

定理2.10

让 \（（X，w）\） 是一个模度量空间.假设 w个 是常规的，并且满足 \（\增量{M}\）-条件.让 C类 是的非空子集 \（X_{w}\）.假设 C类 是 w个-完备模度量空间和 w个-有界的,我.e（电子）.,\（增量{w}（C）=\sup\{w{1}（x，y）：x，y\在C\}<\infty\中）.让 \（T:C\右箭头C\） 成为 α-类型 F类-满足以下条件的弱收缩:

• （i） 存在 \（C\中的x_{0}\） 这样的话 \（\alpha（x_{0}，Tx_{0}）\geq1\）,

• （ii） T型 是 α-可接受的,

• （iii） 如果 \（{x{n}） 是中的序列 \（X_{w}\） 这样的话 \（\alpha（x{n}，x{n+1}）\geq1） 为所有人 \（n\in\mathbb{n}\） 和 \（x{n}\右箭头x\） 作为 \（n\rightarrow\infty\）,然后 \（\alpha（x{n}，x）\geq1） 为所有人 \（n\in\mathbb{n}\）,

• （iv） F类 是连续的.

然后 T型 有一个固定点 \（C\中的x^{*}\） 并且对于每个 \（C\中的x_{0}\） 顺序 \（\{T^{n} x_{0}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 收敛于 \（x^{*}\）.

证明

让\（C\中的x_{0}\）是这样的\（\alpha（x_{0}，Tx_{0}）\geq1\）然后让\（x{n}=Tx{n-1}）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）遵循定理证明2.9，我们看到了\（{x{n}）是一个w个-中的柯西序列w个-完备的模度量空间。然后就有了\（C\中的x^{*}\）这样的话\（x_{n}\右箭头x^{*}\）作为\（n\right arrow\infty\）.来自(2.3)假设（iii），我们有

$$\alpha\bigl（x_{n}，x^{*}\bigr）\geq1\quad\text{for-all}n\in\mathbb{n}$$

案例一： 假设，对于每个\（n\in\mathbb{n}\），存在\（i_{n}\in\mathbb{n}\）这样的话\（x_{i_{n}+1}=Tx^{*}\）和\（i{n}>i{n-1}\）.那么我们有

$$x^{*}=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{i_{n}}+1}=\lim_{n\rightarror\infty}Tx_{n{n}{*}=Tx^{}$$

(2.10)

也就是说，\（x^{*}\）是的固定点T型.

案例二： 假设存在\（n_{0}\in\mathbb{n}\）这样的话\（x_{n+1}\neq Tx^{*}\）为所有人\（n \ geq n _{0}\）,即,\（w_{1}（Tx_{n}，Tx^{*}）>0\）为所有人\（n \ geq n _{0}\）。它源自(2.2)和（F1）

$$开始{对齐}\tau+F\bigl x^{*}\biger）\biger+w_{2}（x^{*}，Tx_{n}）}{2}\biggr\}\bigr）\\leq&F\biggl（最大\biggl\{w_{1}\bigl（x_{n}，x^{*}\biger），w_{1}（x_{n{，x_{n+1}），w_{1}{1}（x{n}，x^{*}）+w{1}（x^{x}，Tx^{**}）+w{1{（x^}*}，x{n}）+w}1}。\结束{对齐}$$

(2.11)

如果\（w_{1}（x^{*}，Tx^{**}）>0\）事实上

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl$$

存在\（n_{1}\in\mathbb{n}\）这样，对所有人来说\（n_geqn_{1}），我们有

$$开始{对齐}开始{已对齐}和最大值，Tx^{*}）+w_{1}（x^{x}，x_{n}）+w_{1'（x_{n}，x_{n+1}）}{2}\biggr\}=w_{1}\bigl（x*}，Tx_{*}\bigr）。\end{aligned}\end{alinged}$$

发件人(2.11)，我们获得

$$\tau+F\bigl$$

(2.12)

为所有人\（n\geq\max\｛n_｛0｝，n_｛1｝\｝\）.自F类是连续的，以极限为\（n\rightarrow\infty\）英寸(2.12)，我们有

$$\tau+F\bigl（w_{1}\bigl-（x^{*}，Tx^{**}\bigr）\biger）\leq F\bigle$$

矛盾。因此\（w_{1}（x^{*}，Tx^{**}）=0\）因此\（x^{*}\）是的固定点T型. □

事实上，不动点的唯一性，我们将考虑以下假设。

• （H） ： 为所有人\（x，y\in\operatorname{Fix}（T）\）,\（\alpha（x，y）\geq1）.

定理2.11

正在添加条件（H）到定理的假设 2.9(分别地,定理 2.10)得到了不动点的唯一性.

证明

假设\（C\中的y^{*}\）是的另一个固定点T型，因此\（w{1}（x，y）<\infty\）和\（w_{1}（Tx^{*}，Ty^{*{）=w_{1}（x^{*.}，y^{**}）>0\）.那么我们有

$$\开始{对齐}\tau+F\bigl（w_{1}\bigle（x^{*}，y^{*{）\bigr，Ty^{*}\biger）\bigr）\\leq&F\bigl$$

矛盾。这意味着\（x^{*}=y^{*{）. □

示例2.6满足定理的所有假设2.10，因此T型具有唯一的固定点\（x=\frac｛3｝｛2｝\）.

以下结果改进了F类-模度量空间的收缩。

推论2.12

让 \（（X，w）\） 是一个模度量空间.假设 w个 是常规的，并且满足 \（\增量{M}\）-条件.让 C类 是的非空子集 \（X_{w}\）.假设 C类 是 w个-完成并 w个-有界的,我.e（电子）.,\（增量{w}（C）=\sup\{w{1}（x，y）：x，y\在C\}中.让 \（T:C\右箭头C\） 成为 α-类型 F类-满足定理假设的收缩 2.11,然后 T型 具有唯一的固定点.

来自示例1.4（i） 和推论2.12，我们得到以下结果。

定理2.13

让 \（（X，w）\） 是一个模度量空间.假设 w个 是常规的.让 C类 是的非空子集 \（X_{w}\）.假设 C类 是 w个-完成并 w个-有界的,我.e（电子）.,\（δ{w}（C）=\sup\{w{1}（x，y）；x、 C\}中的y\.让 \（T:C\右箭头C\） 收缩.然后 T型 具有唯一的固定点 \（x{0}\）.此外,轨道 \（{T^{n}（x）\}\） w个-收敛到 \（x{0}\） 对于 \（x\在C\中）.

三定期点结果

在本节中，我们证明了模度量空间上自映射的一些周期点结果。在续集中，我们需要以下定义。

定义3.1

[14]

地图\（T:C\右箭头C\）据说有财产 \（（P）\）如果\（\operatorname{Fix}（T^{n}）=\operator name{Fix2}（T）\）对于每个\（n\in\mathbb{n}\），其中\（\运算符名称｛Fix｝（T）：=\｛x\在x_｛w｝中：Tx=x\｝\）.

定理3.2

让 \（（X，w）\） 是一个模度量空间.假设 w个 是常规的，并且满足 \（\增量{M}\）-条件.让 C类 是的非空子集 \（X_{w}\）.假设 C类 是 w个-完成并 w个-有界的,我.e（电子）.,\（增量{w}（C）=\sup\{w{1}（x，y）：x，y\在C\}中.让 C类 成为 w个-完成并 w个-的有界子集 X（X）.让 \（T:C\右箭头C\） 是满足以下条件的映射:

• （i） 存在 \（\tau>0\） 和两个功能 \（F\in\mathcal｛F｝\） 和 \（\alpha:C\乘以C\右箭头（0，\infty）\） 这样的话

  $$\tau+\alpha（x，Tx）F\bigl（w_｛1｝\bigl（Tx，T^{2} x个\大）\大）\leq F\bigl（w_{1}（x，Tx）\大$$

  为所有人保留 \（x\以C\表示） 具有 \（w_{1}（Tx，T^{2} x个) > 0\),

• （ii） 存在 \（C\中的x_{0}\） 这样的话 \（\alpha（x_{0}，Tx_{0}）\geq1\）,

• （iii） T型 是 α-可接受的,

• （iv） 如果 \（{x{n}） 是中的序列 C类 这样的话 \（阿尔法（x{n}，x{n+1}） 为所有人 \（n\in\mathbb{n}\） 和 \（w{1}（x{n}，x）\右箭头0\）,作为 \（n\rightarrow\infty\）,然后 \（w_{1}（Tx_{n}，Tx）\右箭头0\） 作为 \（n\rightarrow\infty\）,

• （v） 如果 \（z\in\operatorname{Fix}（T^{n}）\） 和 \（z\notin\operatorname{Fix}（T）\）,然后 \（\α（T^{n-1}z，T型^{n} z（z）)\geq1）.然后 T型 拥有财产 \（（P）\）.

证明

让\（C\中的x_{0}\）是这样的\（\alpha（x_{0}，Tx_{0}）\geq1\）。现在，为了\（C\中的x_{0}\），我们定义序列\（{x{n}）按规定\（x_{n}=T^{n} x_{n} =Tx_{n-1}\）根据（iii），我们已经\（阿尔法（x{1}，x{2}）=\alpha（Tx{0}，Tx{1{）\geq1\）通过归纳我们写

$$\alpha（x{n}，x{n+1}）\geq1\quad\text{forall}n\in\mathbb{n}$$

(3.1)

如果存在\（n_{0}\in\mathbb{n}\）这样的话\（x{n{0}}=x{n}0}+1}=Tx{n_0}}\），那么\（x{n{0}}\）是的固定点T型证明就完成了。因此，我们假设\（x{n}\neqx{n+1}）或\（w_{1}（Tx_{n-1}，T^{2} x个_｛n-1｝）>0\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）.来自(3.1)（i）我们有

$$开始{对齐}\tau+F\bigl（w_{1}（x_{n}，x_{n+1}）\bigr^{2} x个_{n-1}\biger）\biger^{2} x个_{n-1}\biger）\biger$$

或同等

$$F\bigl（w{1}（x{n}，x{n+1}）\bigr）\leqF\bigle（w}（x{n-1}，x{n}）\biger）-\tau$$

通过使用与定理证明类似的推理2.9，我们看到序列\（{x{n}）是一个w个-柯西序列，因此w个-完整性，存在\（x_{w}中的x^{*}\）这样的话\（x_｛n｝\右箭头x^｛*｝\）作为\（n\rightarrow\infty\）.

根据（iv），我们已经\（w_{1}（x_{n+1}，Tx^{*}）=w_{1}（Tx_{n}，Tx^{*}）\右箭头0\）作为\（n\rightarrow\infty\）也就是说，\（x^{*}=Tx^{**}\）因此，T型有一个固定点和\（\operatorname{Fix}（T^{n}）=\operator name{Fix2}（T）\）适用于\（n=1）.让\（n>1）自相矛盾地认为\（z\in\operatorname{Fix}（T^{n}）\）和\（z\notin\operatorname{Fix}（T）\），因此\（w{1}（z，Tz）>0\）现在，应用（v）和（i），我们有

$$\begin{aligned}\begin{aligned}F\bigl（w_{1}（z，Tz）\bigr）和\leq F\bigle^{n-1}z\bigr），T^｛2｝\bigl（T^{n-1}z\biger）\biger）\ biger）\\&\leq\alpha\bigl（T^{n-1}z，T型^{n} z（z）\bigr）F（w_{1}）bigl（T（T^{n-1}z\较大），T^{2}\bigl（T^{n-1}z\bigr）\bigr$$

和

$$\begin{aligned}\tau+F\bigl（w_{1}（z，Tz）\bigr）\leq&\tau+F \ bigl^{n-1}z\bigr），T^｛2｝\bigl（T^{n-1}z\bigr）^{n-1}z，T型^{n} z（z）\更大）\更大）。\结束{对齐}$$

因此，我们

$$\begin{aligned}F\bigl（w_{1}（z，Tz）\bigr）\leq&F\bigle（w_{1}\bigl（T^{n-1}z，T型^{n} z（z）\bigr）\bigr^{n-2}z，T型^{n-1}z\biger）\biger）-2\tau\\&\vdots\\\leq&F\bigl（w_{1}（z，Tz）\bigr）-n\tau。\结束{对齐}$$

通过将限制视为\（n\rightarrow\infty\）在上述不等式中，我们有\（F（w_{1}（z，Tz））=-\infty\），这是一个矛盾，直到\（w{1}（z，Tz）=0\）并且通过w个，我们设置\（z=Tz\）因此，\（\operatorname{Fix}（T^{n}）=\operator name{Fix2}（T）\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）. □

拿\（α（x，y）=1）为所有人\（x，y\在C\中）在定理中3.2，我们得到以下结果，这是Abbas定理4的推广等。[14]在模块度量的设置中。

推论3.3

让 \（（X，w）\） 是一个完备的模度量空间.假设 w个 是常规的，并且满足 \（\增量{M}\）-条件.让 C类 是的非空子集 \（X_{w}\）.假设 C类 是 w个-完成并 w个-有界的,我.e（电子）.,\（增量{w}（C）=\sup\{w{1}（x，y）：x，y\在C\}中.让 \（T:C\右箭头C\） 是满足条件的连续映射

$$\tau+F\bigl（w_{1}\bigl（Tx，T^{2} x个\大）\大）\leq F\bigl（w_{1}（x，Tx）\大$$

对一些人来说 \（\tau>0\） 以及所有人 \（x\在x_{w}\中） 这样的话 \（w_{1}（Tx，T^{2} x个) > 0\).然后 T型 具有属性 \（（P）\）.