Some new fixed point theorems for α-Geraghty contraction type maps in metric spaces

Popescu, Ovidiu

doi:10.1186/1687-1812-2014-190

研究
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出版：2014年9月3日

几个新的不动点定理α-度量空间中的Geraghty压缩型映射

奥维迪乌·波佩斯库¹

不动点理论及其应用 体积 2014，物品编号：190(2014)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

我们推广了Cho中的结果等。（不动点理论应用2013:3292013），并给出其他条件来证明不动点的存在唯一性α-完全度量空间中的Geraghty收缩型映射。

1简介和前言

巴拿赫收缩原理[1]是不动点理论中最早也是最重要的结果之一。由于它在化学、物理、生物、计算机科学和数学的许多分支等学科中的应用，许多作者对非线性分析中的这一经典结果进行了改进、推广和推广；请参见，例如, [2–10]以及其中的参考文献。

Geraghty给出了一个有趣的结果[6]通过考虑辅助函数来设置完备度量空间。后来，阿米尼·哈兰迪和艾米[三]刻画了Geraghty在部分序完备度量空间中的结果，以及Caballero等。[11]讨论了Geraghty收缩最佳邻近点的存在性。古尔吉等。[12]定义了ψ-Geraghty型收缩，据推测改善并扩展了Amini-Harandi和Emami的结果[三]. 最近，Cho、Bae和Karap nar[13]定义了α-度量空间中的Geraghty压缩型映射，并证明了在完备度量空间中此类映射不动点的存在唯一性。最近，卡拉普纳尔和萨米特[14]证明了Gordji的结果等。[12]以及所有受Gordji论文启发的结果等。[12]与文献中已有的结果相当。有关Geraghty收缩的其他结果，请参见[13–23].

在本文中，我们推广了在[13]并给出了证明不动点存在唯一性的其他条件α-完全度量空间中的Geraghty收缩型映射。现在，我们回顾一下文献中关于这个主题的一些基本定义和显著结果。

定义1[24]

让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一张地图 $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 是一个函数。然后T型据说是α-允许，如果 $α (x个, 年) \geq 1$ 暗示 $α (T型 x个, T型年) \geq 1$ .

定义2[16]

一张地图 $T型 : X（X） \to X（X）$ 据说是三角形的α-在下列情况下可接受：

（T1）T型是α-可接受的，

（T2） $α (x个, z（z）) \geq 1$ 和 $α (z（z）, 年) \geq 1$ 意味着 $α (x个, 年) \geq 1$ .

让ℱ成为所有功能的家族 $β : [0, \infty) \to [0, 1)$ 满足条件的

\underset{n个 \to \infty}{林} β ({t吨}_{n个}) = 1 暗示 \underset{n个 \to \infty}{林} {t吨}_{n个} = 0 .

通过使用这些地图，杰拉蒂[6]证明了以下结果。

定理1 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 T型 是上的映射 X（X）.假设存在 $β \in F类$ 这样所有人 $x个, 年 \in X（X）$ ,

d日 (T型 x个, T型 年) \leq β (d日 (x个, 年)) d日 (x个, 年) .

然后 T型 具有唯一的固定点 ${x个}_{*} \in X（X）$ 和 ${{T型}^{n个} x个}$ 收敛到 ${x个}_{*}$ 对于每个 $x个 \in X（X）$ .

Amini-Harandi和Emami[三]在偏序度量空间的框架中重新考虑了定理1。

定理2 让 $(X（X）, ⪯, d日)$ 是偏序完备度量空间.让 $（f） : X（X） \to X（X）$ 是一个不断增加的映射，以便存在一个元素 ${x个}_{0} \in X（X）$ 具有 ${x个}_{0} ⪯ （f） {x个}_{0}$ .如果存在 $α \in F类$ 这样的话

d日 (（f） x个, （f） 年) \leq α (d日 (x个, 年)) d日 (x个, 年),

对于每个 $x个, 年 \in X（X）$ 具有 $x个 ⪰ 年$ ,然后 （f） 有一个固定点，前提是 （f） 是连续的或 X（X） 是这样的，如果一个递增序列 ${{x个}_{n个}} \to x个$ ,然后 ${x个}_{n个} ⪯ x个$ 为所有人 n个.除此之外,如果每个 $x个, 年 \in X（X）$ 存在 $z（z） \in X（X）$ 这与 x个和年,然后 （f） 具有唯一的固定点.

定义3[24]

让 $(X（X）, d日)$ 是一个度量空间，并且 $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 是一个函数。一张地图 $T型 : X（X） \to X（X）$ 称为广义α-Geraghty收缩类型图（如果存在） $β \in F类$ 这样所有人 $x个, 年 \in X（X）$ ,

α (x个, 年) d日 (T型 x个, T型 年) \leq β (M（M） (x个, 年)) M（M） (x个, 年),

哪里 $M（M） (x个, 年) = 最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, T型 x个), d日 (年, T型年)}$ .

赵等。[13]证明了以下有趣的结果。

定理3 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间, $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 成为一个函数,然后让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一张地图.假设满足以下条件:

(1)
T型 是广义的 α-Geraghty收缩类型图;
(2)
T型 是三角形的 α-可接受的;
(3)
存在 ${x个}_{1} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1$ ;
(4)
T型 是连续的.

然后 T型 有一个固定点 ${x个}_{*} \in X（X）$ 和 ${{T型}^{n个} {x个}_{1}}$ 收敛到 ${x个}_{*}$ .

映射的连续性T型可以用合适的条件（4′）代替（见定理2.2[13]):

（4′）如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列X（X）这样的话 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人n个和 ${x个}_{n个} \to x个 \in X（X）$ 作为 $n个 \to \infty$ ，则存在子序列 ${{x个}_{n个 (k个)}}$ 属于 ${{x个}_{n个}}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个 (k个)}, x个) \geq 1$ 为所有人k个.

添加条件（H），

（H）
对于所有人 $x个, 年 \in 修复 (T型)$ ，存在 $z（z） \in X（X）$ 这样的话 $α (x个, z（z）) \geq 1$ 和 $α (z（z）, 年) \geq 1$ ，其中 $修复 (T型)$ 表示的固定点集T型,

定理3的假设，Cho等。[13]获得了 ${x个}_{*}$ 是唯一的不动点T型（见定理2.3[13]). 然而，我们认为这种条件是不合适的。要验证这种情况，假设知道 $修复 (T型)$ 那么不动点的唯一性是微不足道的。此外，我们认为以下条件并不更合适：

（iii）
[16]对于所有人 $x个 \neq 年 \in X（X）$ ，存在 $v（v） \in X（X）$ 这样的话 $α (x个, v（v）) \geq 1$ 和 $α (v（v）, 年) \geq 1$ .

这种情况意味着 $α (x个, 年) \geq 1$ 为所有人 $x个 \neq 年 \in X（X）$ ，然后使用α为0。有关更多详细信息，请参见定理19[16].

2不动点定理

在本节中，我们证明了Cho的结果等。[13]如果我们用较弱的条件替换定理3的条件（2），并且如果我们扩展了广义α-Geraghty收缩类型图。

定义4让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间，并让 $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 是一个函数。一张地图 $T型 : X（X） \to X（X）$ 称为广义α-Geraghty收缩类型图（如果存在） $β \in F类$ 这样所有人 $x个, 年 \in X（X）$ ,

α (x个, 年) d日 (T型 x个, T型 年) \leq β ({M（M）}_{T型} (x个, 年)) {M（M）}_{T型} (x个, 年),

哪里 ${M（M）}_{T型} (x个, 年) = 最大值 {d日 (x个, 年), d日 (x个, T型 x个), d日 (年, T型年), [d日 (x个, T型年) + d日 (年, T型 x个)] / 2}$ .

现在，我们介绍两个新概念。

定义5让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一张地图 $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 是一个函数。然后T型据说是α-轨道容许条件

（T3） $α (x个, T型 x个) \geq 1$ 暗示 $α (T型 x个, {T型}^{2} x个) \geq 1$ .

定义6让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一张地图 $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 是一个函数。然后T型据说是三角形的α-轨道容许条件T型是α-轨道容许和

（T4） $α (x个, 年) \geq 1$ 和 $α (年, T型年) \geq 1$ 意味着 $α (x个, T型年) \geq 1$ .

显然α-容许映射是α-轨道容许映射与每个三角形α-容许映射是三角形的α-轨道容许映射。以下示例显示存在一个三角形α-非三角形的容许映射α-可接受。

例7让 $X（X） = {0, 1, 2, 三}$ , $d日 : X（X） \times X（X） \to 对$ , $d日 (x个, 年) = | x个 - 年 |$ , $T型 : X（X） \to X（X）$ 这样的话 $T型 0 = 0$ , $T型 1 = 2$ , $T型 2 = 1$ , $T型三 = 三$ 和 $α : X（X） \times X（X） \to 对$ , $α (x个, 年) = 1$ 如果 $(x个, 年) \in {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1, 三), (2, 三)}$ 和 $α (x个, 年) = 0$ 否则。自 $α (1, T型 1) = α (1, 2) = 1$ 和 $α (2, T型 2) = α (2, 1) = 1$ ,T型是α-轨道容许。自 $α (0, 1) = α (1, 2) = α (0, 2) = 1$ , $α (0, 2) = α (2, 1) = α (0, 1) = 1$ ,T型是三角形的α-轨道容许。但是 $α (0, 1) = α (1, 三) = 1$ , $α (0, 三) = 0$ ，所以T型不是三角形的α-可接受。

引理8 让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是三角形的 α-轨道容许映射.假设存在 ${x个}_{1} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1$ .定义序列 ${{x个}_{n个}}$ 通过 ${x个}_{n个 + 1} = T型 {x个}_{n个}$ .那么我们有 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{米}) \geq 1$ 为所有人 $米, n个 \in N个$ 具有 $n个 < 米$ .

证明自T型是α-轨道容许和 $α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1$ ，我们推断 $α ({x个}_{2}, {x个}_{三}) = α (T型 {x个}_{1}, T型 {x个}_{2}) \geq 1$ 。通过继续此过程，我们获得 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人 $n个 \geq 1$ 。假设 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{米}) \geq 1$ 并证明 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{米 + 1}) \geq 1$ ，其中 $米 > n个$ .自T型是三角形的α-轨道容许和 $α ({x个}_{米}, {x个}_{米 + 1}) \geq 1$ ，我们明白了 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{米 + 1}) \geq 1$ 因此，我们已经证明 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{米}) \geq 1$ 为所有人 $米, n个 \in N个$ 具有 $n个 < 米$ . □

定理4 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间, $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 成为一个函数,然后让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一张地图.假设满足以下条件:

(1)
T型 是广义的 α-Geraghty收缩型映射;
(2)
T型 是三角形的 α-轨道容许映射;
(3)
存在 ${x个}_{1} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1$ ;
(4)
T型 是连续的.

然后 T型 有一个固定点 ${x个}_{*} \in X（X）$ 和 ${{T型}^{n个} {x个}_{1}}$ 收敛到 ${x个}_{*}$ .

证明让 ${x个}_{1} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1$ .定义序列 ${{x个}_{n个}}$ 通过 ${x个}_{n个 + 1} = T型 {x个}_{n个}$ 对于 $n个 \geq 1$ .如果 ${x个}_{n个 (0)} = {x个}_{n个 (0) + 1}$ 对一些人来说 $n个 (0) \geq 1$ 然后很明显T型有一个固定点。因此，我们假设 ${x个}_{n个} \neq {x个}_{n个 + 1}$ 为所有人 $n个 \geq 1$ .根据引理8，我们得到 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人 $n个 \geq 1$ .然后我们就得到了 $n个 \geq 1$ ,

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}) = d日 (T型 {x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 + 1}) \leq α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) d日 (T型 {x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 + 1}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})) {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}),

哪里

\begin{array}{rcl} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) & = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个}), d日 ({x个}_{n个 + 1}, T型 {x个}_{n个 + 1}), \\ [d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 + 1}) + d日 ({x个}_{n个 + 1}, T型 {x个}_{n个})] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}), d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 2}) / 2} \\ \leq & 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}), [d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) + d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2})] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2})} . \end{array}

自 $β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})) < 1$ ，案例 $d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2})$ 是不可能的，所以我们有 $d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) > d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2})$ 因此，序列 ${d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})}$ 是正的并且在减少。因此，存在 $第页 \geq 0$ 这样的话 $林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = 第页$ 。我们将展示这一点 $第页 = 0$ 相反，假设 $第页 > 0$ .那么我们有

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}) / d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})) < 1 .

这意味着 $林_{n个 \to \infty} β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})) = 1$ .自 $β \in F类$ ，我们得到 $林_{n个 \to \infty} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = 0$ ，然后 $林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = 0$ 这是一个矛盾。

接下来，我们将展示 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。相反，假设 ${{x个}_{n个}}$ 不是Cauchy序列。然后就有了 $ϵ > 0$ 这样，对所有人来说 $k个 \geq 1$ ，存在 $米 (k个) > n个 (k个) > k个$ 具有 $d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) \geq ϵ$ .让 $米 (k个)$ 是满足上述条件的最小数。因此，我们有 $d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}) < ϵ$ 因此，我们得到

ϵ \leq d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) \leq d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}) + d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}) < ϵ + d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}) .

出租 $k个 \to \infty$ ，我们有 $林_{k个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) = ϵ$ .自

| d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}) - d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) | \leq d日 ({x个}_{米 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}),

我们得到 $林_{k个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}) = ϵ$ 类似地，我们获得

\underset{k个 \to \infty}{林} d日 ({x个}_{米 (k个)}, {x个}_{n个 (k个) - 1}) = \underset{k个 \to \infty}{林} d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个) - 1}) = ϵ .

根据引理8，我们有 $α ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) \geq 1$ 因此，我们推断

\begin{array}{rcl} d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) & = & d日 (T型 {x个}_{n个 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}) \leq α ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) d日 (T型 {x个}_{n个 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}) \\ \leq & β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1})) {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}), \end{array}

哪里

\begin{array}{rcl} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) & = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}), d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, T型 {x个}_{n个 (k个) - 1}), d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}), \\ [d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}) + d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, T型 {x个}_{n个 (k个) - 1})] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}), d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}), d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}), \\ [d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}) + d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)})] / 2} . \end{array}

显然，我们推断

\underset{k个 \to \infty}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) = ϵ .

因此，我们有

d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) / {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1})) .

出租 $k个 \to \infty$ ，我们得出结论 $林_{k个 \to \infty} β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1})) = 1$ ，这就产生了 $林_{k个 \to \infty} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) = 0$ 因此， $ϵ = 0$ ，这是一个矛盾。因此，我们得到了 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。自X（X）是一个完整的度量空间，因此存在 ${x个}_{*} = 林_{n个 \to \infty} {x个}_{n个} \in X（X）$ .通过连续性T型，我们得到 $林_{n个 \to \infty} T型 {x个}_{n个} = T型 {x个}_{*}$ ，等等 ${x个}_{*} = T型 {x个}_{*}$ ，这意味着 ${x个}_{*}$ 是的固定点T型. □

就像在[13]我们可以替换操作符的连续性T型通过合适的条件。

定理5 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间, $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 成为一个函数,然后让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一张地图.假设满足以下条件:

(1)
T型 是广义的 α-Geraghty收缩型映射;
(2)
T型 是三角形的 α-轨道容许映射;
(3)
存在 ${x个}_{1} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1$ ;
(4)
如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列 X（X） 这样的话 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人 n个和 ${x个}_{n个} \to x个 \in X（X）$ 作为 $n个 \to \infty$ ,那么就存在一个子序列 ${{x个}_{n个 (k个)}}$ 属于 ${{x个}_{n个}}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个 (k个)}, x个) \geq 1$ 对于所有k.

然后 T型 有一个固定点 ${x个}_{*} \in X（X）$ 和 ${{T型}^{n个} {x个}_{1}}$ 收敛到 ${x个}_{*}$ .

证明按照定理4证明中的行，我们得到了序列 ${{x个}_{n个}}$ 由定义 ${x个}_{n个 + 1} = T型 {x个}_{n个}$ 为所有人 $n个 \geq 1$ 收敛到 ${x个}_{*} \in X（X）$ .根据假设的条件（4），我们推断存在子序列 ${{x个}_{n个 (k个)}}$ 属于 ${{x个}_{n个}}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) \geq 1$ 为所有人k个因此，我们有

\begin{aligned} d日 ({x个}_{n个 (k个) + 1}, T型 {x个}_{*}) & = d日 (T型 {x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{*}) \leq α ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) d日 (T型 {x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{*}) \\ \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*})) {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}), \end{aligned}

哪里

\begin{array}{rcl} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) & = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}), d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{n个 (k个)}), d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{*}), \\ [d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{*}) + d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{n个 (k个)})] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}), d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{n个 (k个) + 1}), d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{*}), \\ [d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{*}) + d日 ({x个}_{*}, {x个}_{n个 (k个) + 1})] / 2} . \end{array}

现在，我们假设 $T型 {x个}_{*} \neq {x个}_{*}$ 也就是说， $d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{*}) > 0$ .出租 $k个 \to \infty$ 在上面的等式中，我们得到了

\underset{k个 \to \infty}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) = d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{*}) .

自 $d日 ({x个}_{n个 (k个) + 1}, T型 {x个}_{*}) / {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}))$ 为所有人k个，让 $k个 \to \infty$ ，我们得出结论 $林_{k个 \to \infty} β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*})) = 1$ 。这意味着 $林_{k个 \to \infty} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) = 0$ 因此， $d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{*}) = 0$ 。这是一个矛盾。因此， $T型 {x个}_{*} = {x个}_{*}$ . □

广义不动点的唯一性α-Geraghty收缩型映射，我们考虑以下假设：

（K）
对于所有人 $x个 \neq 年 \in X（X）$ ，存在 $v（v） \in X（X）$ 这样的话 $α (x个, v（v）) \geq 1$ , $α (年, v（v）) \geq 1$ 和 $α (v（v）, T型 v（v）) \geq 1$ .

备注9将定理4或定理5的假设中的条件（3）替换为条件（K），我们得到 ${x个}_{*}$ 是唯一的不动点T型。假设 ${x个}_{*}$ 和 $年_{*}$ 是两个固定点T型这样的话 ${x个}_{*} \neq 年_{*}$ 然后，通过（K），存在 $v（v） \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{*}, v（v）) \geq 1$ , $α (年_{*}, v（v）) \geq 1$ 和 $α (v（v）, T型 v（v）) \geq 1$ .自T型是三角形的α-轨道容许映射，我们得到了 $α ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）) \geq 1$ 和 $α (年_{*}, {T型}^{n个} v（v）) \geq 1$ 为所有人 $n个 \geq 1$ 因此，我们有

d日 ({x个}_{*}, {T型}^{n个 + 1} v（v）) \leq α ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）) d日 (T型 {x个}_{*}, {T型}^{n个 + 1} v（v）) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）)) {M（M）}_{T型} ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）)

为所有人 $n个 \geq 1$ ，其中

\begin{array}{rcl} {M（M）}_{T型} ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）) & = & 最大值 {d日 ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）), d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{*}), d日 ({T型}^{n个} v（v）, {T型}^{n个 + 1} v（v）), \\ [d日 ({x个}_{*}, {T型}^{n个 + 1} v（v）) + d日 (T型 {x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）)] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）), d日 ({T型}^{n个} v（v）, {T型}^{n个 + 1} v（v）), [d日 ({x个}_{*}, {T型}^{n个 + 1} v（v）) + d日 ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）)] / 2} . \end{array}

根据定理4（分别为定理5），我们推导出序列 ${{T型}^{n个} v（v）}$ 收敛到一个不动点 ${z（z）}_{*}$ 属于T型.出租 $n个 \to \infty$ 在上面的等式中，我们得到 $林_{n个 \to \infty} {M（M）}_{T型} ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）) = d日 ({x个}_{*}, {z（z）}_{*})$ .如果我们假设 ${x个}_{*} \neq {z（z）}_{*}$ ，那么我们有 $d日 ({x个}_{*}, {T型}^{n个 + 1} v（v）) / {M（M）}_{T型} ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）))$ ，并出租 $n个 \to \infty$ ，我们推断 $林_{n个 \to \infty} β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）)) = 1$ 。这意味着 $林_{n个 \to \infty} {M（M）}_{T型} ({x个}_{*}, {T型}^{n个} v（v）) = 0$ ，所以 $d日 ({x个}_{*}, {z（z）}_{*}) = 0$ ，这是一个矛盾。因此， ${x个}_{*} = {z（z）}_{*}$ 类似地，我们得到 $年_{*} = {z（z）}_{*}$ 因此， ${x个}_{*} = 年_{*}$ ，这是一个矛盾。

示例10让 $X（X） = [- 2, - 1] \cup {0} \cup [1, 2]$ , $d日 : X（X） \times X（X） \to 对$ , $d日 (x个, 年) = | x个 - 年 |$ , $T型 : X（X） \to X（X）$ 这样的话 $T型 x个 = - x个$ 如果 $x个 \in [- 2, - 1) \cup (1, 2]$ , $T型 x个 = 0$ 如果 $x个 \in {- 1, 0, 1}$ ，以及 $α : X（X） \times X（X） \to 对$ , $α (x个, 年) = 1$ 如果 $x个年 \geq 0$ 和 $α (x个, 年) = 0$ 否则。然后T型满足定理5的条件。显然，X（X）是一个完整的度量空间。如果 $α (x个, T型 x个) \geq 1$ ，然后 $x个 T型 x个 \geq 0$ ，所以 $T型 x个 = 0$ ，这意味着 $α (T型 x个, {T型}^{2} x个) \geq 1$ .因此T型是一个α-轨道容许映射。对于 $α (x个, 年) \geq 1$ 和 $α (年, T型年) \geq 1$ ，我们有 $T型年 = 0$ 因此， $x个 T型年 = 0$ 和 $α (x个, T型年) \geq 1$ 因此，T型是三角形的α-轨道容许映射。也， $α (1, T型 1) \geq 1$ 如果 ${{x个}_{n个}}$ 是中的序列X（X）这样的话 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人n个和 ${x个}_{n个} \to x个 \in X（X）$ 作为 $n个 \to \infty$ ，然后 $x个 = 0$ 和 $α ({x个}_{n个}, x个) \geq 1$ 为所有人n个。对于 $x个, 年 \in [- 2, - 1)$ ，我们有 $d日 (T型 x个, T型年) = | x个 - 年 | \leq 1$ 和 ${M（M）}_{T型} (x个, 年) \geq - 2 x个 \geq 2$ .因此 $d日 (T型 x个, T型年) \leq {M（M）}_{T型} (x个, 年) / 2$ .案例 $x个, 年 \in (1, 2]$ 类似。如果 $x个 \in [- 2, - 1) \cup (1, 2]$ 和 $年 \in {- 1, 0, 1}$ ，然后 $d日 (T型 x个, T型年) = | x个 |$ , ${M（M）}_{T型} (x个, 年) \geq 2 | x个 |$ ，所以 $d日 (T型 x个, T型年) \leq {M（M）}_{T型} (x个, 年) / 2$ 。对于 $x个, 年 \in {- 1, 0, 1}$ ，我们有 $d日 (T型 x个, T型年) = 0 \leq {M（M）}_{T型} (x个, 年) / 2$ 因此 $β : [0, \infty) \to [0, 1)$ , $β (t吨) = 1 / 2$ ，我们得到T型是广义的α-Geraghty收缩类型映射。因此，T型满足定理5的所有条件。然而，由于 $α (- 2, 0) = α (0, 2) = 1$ , $α (- 2, 2) = 0$ ,T型不是三角形α-容许映射。

三α-轨道吸引映射

现在我们引入一个新概念。

定义11让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一张地图 $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 是一个函数。然后T型据说是α-轨道吸引，如果

α (x个, T型 x个) \geq 1 暗示 α (x个, 年) \geq 1 或 α (年, T型 x个) \geq 1

对于每个 $年 \in X（X）$ .

定理6 让 $(X（X）, d日)$ 是一个完备的度量空间, $α : X（X） \times X（X） \to 对$ 成为一个函数,然后让 $T型 : X（X） \to X（X）$ 是一张地图.假设满足以下条件:

(1)
T型 是广义的 α-Geraghty收缩型映射;
(2)
T型是 α-轨道容许值;
(3)
存在 ${x个}_{1} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1$ ;
(4)
T型是 α-轨道吸引力.

然后 T型 具有唯一的固定点 ${x个}_{*} \in X（X）$ 和 ${{T型}^{n个} {x个}_{1}}$ 收敛到 ${x个}_{*}$ .

证明让 ${x个}_{1} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1$ .定义序列 ${{x个}_{n个}}$ 通过 ${x个}_{n个 + 1} = T型 {x个}_{n个}$ 对于 $n个 \geq 1$ .如果 ${x个}_{n个 (0)} = {x个}_{n个 (0) + 1}$ 对一些人来说 $n个 (0) \geq 1$ 然后很明显T型有一个固定点。因此，我们假设 ${x个}_{n个} \neq {x个}_{n个 + 1}$ 为所有人 $n个 \geq 1$ .自T型是α-轨道允许，我们有

α ({x个}_{1}, {x个}_{2}) = α ({x个}_{1}, T型 {x个}_{1}) \geq 1 暗示 α (T型 {x个}_{1}, T型 {x个}_{2}) = α ({x个}_{2}, {x个}_{三}) \geq 1 .

归纳起来，我们得到 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 为所有人 $n个 \geq 1$ .然后我们获得

d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = d日 (T型 {x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 + 1}) \leq α ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) d日 (T型 {x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 + 1}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})) {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})

为所有人 $n个 \geq 1$ ，其中

\begin{array}{rcl} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) & = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个}), d日 ({x个}_{n个 + 1}, T型 {x个}_{n个 + 1}), \\ [d日 ({x个}_{n个}, T型 {x个}_{n个 + 1}) + d日 ({x个}_{n个 + 1}, T型 {x个}_{n个})] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}), d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 2}) / 2} \\ \leq & 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}), [d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) + d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2})] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}), d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2})} . \end{array}

如果 $d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2})$ ，我们有

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}) \leq β (d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2})) d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}) < d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}),

这是一个矛盾。因此，我们得到

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}) \leq β (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})) d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) < d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) .

因此，顺序 ${d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})}$ 积极且无增长。因此，存在 $第页 \geq 0$ 这样的话 $林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = 第页$ 。我们将展示这一点 $第页 = 0$ 相反，假设 $第页 > 0$ .那么我们有

d日 ({x个}_{n个 + 1}, {x个}_{n个 + 2}) / d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) \leq β (d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1})) < 1 .

这意味着 $林_{n个 \to \infty} β ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = 1$ .自 $β \in F类$ ，我们得到 $林_{n个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个}, {x个}_{n个 + 1}) = 0$ ，这是一个矛盾。因此 $第页 = 0$ .

现在，我们将展示 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。相反，假设 ${{x个}_{n个}}$ 不是Cauchy序列。然后就有了 $ϵ > 0$ 这样，对所有人来说 $k个 \geq 1$ ，存在 $米 (k个) > n个 (k个) > k个$ 具有 $d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) \geq ϵ$ .让 $米 (k个)$ 是满足上述条件的最小数。因此，我们有 $d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}) < ϵ$ 因此，我们得到

ϵ \leq d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) \leq d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}) + d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}) < ϵ + d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}) .

出租 $k个 \to \infty$ ，我们有 $林_{k个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) = ϵ$ .自

| d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}) - d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) | \leq d日 ({x个}_{米 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}),

我们得到 $林_{k个 \to \infty} d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个) - 1}) = ϵ$ 类似地，我们获得

\underset{k个 \to \infty}{林} d日 ({x个}_{米 (k个)}, {x个}_{n个 (k个) - 1}) = \underset{k个 \to \infty}{林} d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个) - 1}) = \underset{k个 \to \infty}{林} d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个) + 1}) = ϵ .

自 $α ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) \geq 1$ 和T型是α-轨道有吸引力，我们有

α ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) \geq 1 或 α ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) \geq 1 .

因此，我们得到如下两种情况。

(1)
存在无限子集我属于N个这样的话 $α ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) \geq 1$ 对于每个 $k个 \in 我$ .
(2)
存在无限子集J型属于N个这样的话 $α ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) \geq 1$ 对于每个 $k个 \in J型$ .

在第一种情况下，我们有

\begin{array}{rcl} d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) & = & d日 (T型 {x个}_{n个 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}) \leq α ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) d日 (T型 {x个}_{n个 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}) \\ \leq & β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1})) {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}), \end{array}

哪里

\begin{array}{rcl} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) & = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}), d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, T型 {x个}_{n个 (k个) - 1}), d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}), \\ [d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}) + d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, T型 {x个}_{n个 (k个) - 1})] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}), d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}), d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}), \\ [d日 ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}) + d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)})] / 2} . \end{array}

出租 $k个 \to \infty$ , $k个 \in 我$ ，我们得出结论

\underset{k个 \to \infty, k个 \in 我}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) = ϵ,

自那以后

d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{米 (k个)}) / {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1})),

我们明白了

\underset{k个 \to \infty, k个 \in 我}{林} β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1})) = 1 .

自 $β \in F类$ ，我们得到

\underset{k个 \to \infty, \in 我}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个) - 1}) = 0,

这是一个矛盾。

在第二种情况下，我们有

\begin{array}{rcl} d日 ({x个}_{米 (k个)}, {x个}_{n个 (k个) + 1}) & = & d日 (T型 {x个}_{米 (k个) - 1}, T型 {x个}_{n个 (k个)}) \leq α ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) d日 (T型 {x个}_{米 (k个) - 1}, T型 {x个}_{n个 (k个)}) \\ \leq & β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)})) {M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}), \end{array}

哪里

\begin{array}{rcl} {M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) & = & 最大值 {d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}), d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1}), d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{n个 (k个)}), \\ [d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, T型 {x个}_{n个 (k个)}) + d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{米 (k个) - 1})] / 2} \\ = & 最大值 {d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}), d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{米 (k个)}), d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{n个 (k个) + 1}), \\ [d日 ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个) + 1}) + d日 ({x个}_{米 (k个)}, {x个}_{n个 (k个)})] / 2} . \end{array}

出租 $k个 \to \infty$ , $k个 \in J型$ ，我们得出结论

\underset{k个 \to \infty, k个 \in J型}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) = ϵ,

自那以后

d日 ({x个}_{米 (k个)}, {x个}_{n个 (k个) + 1}) / {M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)})),

我们明白了

\underset{k个 \to \infty, k个 \in J型}{林} β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)})) = 1 .

自 $β \in F类$ ，我们得到

\underset{k个 \to \infty, k个 \in J型}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) = 0,

这是一个矛盾。因此，我们得到了 ${{x个}_{n个}}$ 是一个柯西序列。自X（X）是一个完整的度量空间，因此存在 ${x个}_{*} = 林_{n个 \to \infty} {x个}_{n个} \in X（X）$ .

我们声称 ${x个}_{*} = T型 {x个}_{*}$ 相反，假设 ${x个}_{*} \neq T型 {x个}_{*}$ .自T型是α-轨道很吸引人，我们每个人都有 $n个 \geq 1$ 那个 $α ({x个}_{n个}, {x个}_{*}) \geq 1$ 或 $α ({x个}_{*}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 因此，存在子序列 ${{x个}_{n个 (k个)}}$ 属于 ${{x个}_{n个}}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) \geq 1$ 或 $α ({x个}_{*}, {x个}_{n个 (k个)}) \geq 1$ 为所有人 $k个 \geq 1$ 在第一种情况下，我们有

d日 ({x个}_{n个 (k个) + 1}, T型 x个 *) \leq α ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) d日 ({x个}_{n个 (k个) + 1}, T型 {x个}_{*}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*})) {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}),

为所有人 $k个 \geq 1$ ，其中

\begin{aligned} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}), d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{n个 (k个)}), d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{*}), \\ [d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{*}) + d日 (T型 {x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*})] / 2} . \end{aligned}

出租 $k个 \to \infty$ ，我们得出结论

\underset{k个 \to \infty}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) = d日 ({x个}_{*}, T型 {x个}_{*}),

自那以后

d日 ({x个}_{n个 (k个) + 1}, T型 x个 *) / {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*})),

我们有

\underset{k个 \to \infty}{林} β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, {x个}_{*})) = 1 .

自 $β \in F类$ ，我们得到

\underset{k个 \to \infty}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{米 (k个) - 1}, {x个}_{n个 (k个)}) = 0,

这是一个矛盾。第二种情况类似。因此， ${x个}_{*} = T型 {x个}_{*}$ .

如果 $年_{*}$ 是的另一个固定点T型，根据假设我们推断 $α ({x个}_{n个}, 年_{*}) \geq 1$ 或 $α (年_{*}, {x个}_{n个 + 1}) \geq 1$ 因此，存在子序列 ${{x个}_{n个 (k个)}}$ 属于 ${{x个}_{n个}}$ 这样的话 $α ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*}) \geq 1$ 或 $α (年_{*}, {x个}_{n个 (k个)}) \geq 1$ 为所有人 $k个 \geq 1$ 。在第一种情况下，我们有

d日 ({x个}_{n个 (k个) + 1}, T型 年 *) \leq α ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*}) d日 ({x个}_{n个 (k个) + 1}, T型 年_{*}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*})) {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*}),

为所有人 $k个 \geq 1$ ，其中

\begin{aligned} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*}) = & 最大值 {d日 ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*}), d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 {x个}_{n个 (k个)}), d日 (年_{*}, T型 年_{*}), \\ [d日 ({x个}_{n个 (k个)}, T型 年_{*}) + d日 (T型 {x个}_{n个 (k个)}, 年_{*})] / 2} . \end{aligned}

出租 $k个 \to \infty$ ，我们得出结论

\underset{k个 \to \infty}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*}) = d日 ({x个}_{*}, 年_{*}),

自那以后

d日 ({x个}_{n个 (k个) + 1}, T型 年 *) / {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*}) \leq β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*})),

我们获得

\underset{k个 \to \infty}{林} β ({M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*})) = 1 .

自 $β \in F类$ ，我们明白了

\underset{k个 \to \infty}{林} {M（M）}_{T型} ({x个}_{n个 (k个)}, 年_{*}) = 0,

所以 $d日 ({x个}_{*}, 年_{*}) = 0$ 这是一个矛盾。第二种情况类似。□

示例12让 $X（X） = {0, 8, 9, 10}$ , $d日 : X（X） \times X（X） \to 对$ , $d日 (x个, 年) = | x个 - 年 |$ , $T型 : X（X） \to X（X）$ 这样的话 $T型 0 = T型 8 = 9$ , $T型 9 = T型 10 = 10$ , $α : X（X） \times X（X） \to 对$ , $α (x个, 年) = 0$ 如果 $(x个, 年) \in {(8, 9), (9, 8)}$ 和 $α (x个, 年) = 1$ 否则。显然，T型是α-轨道容许和α-轨道吸引人。也，T型是广义的α-Geraghty收缩型映射 $β : [0, \infty) \to [0, 1)$ , $β (t吨) = 1 / 2$ .因此T型满足定理6的所有条件。然而，由于 $α (8, 0) = α (0, T型 0) = 1$ , $α (8, T型 0) = 0$ ,T型不是三角形的α-轨道容许。请注意 $d日 (T型 8, T型 9) = {M（M）}_{T型} (8, 9) = 1$ .

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收到:2014年4月29日
认可的:2014年8月11日
出版:2014年9月3日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-190

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