论文2024/302

线性深度t设计和伪随机单位的简单构造

摘要

一致随机单位，即从Haar测度中提取的单位，具有许多有用的性质，但不能有效地实现。这激发了对随机单位的长期研究，这种单位“看起来”足够随机，同时也可以有效地实现。出现了两种不同的错位概念：$t$-设计是信息理论上重现Haar度量的前$t$矩的随机单位，伪随机单位（PRU）是计算上无法与Haar随机区分的随机单位。在这项工作中，我们采用统一的方法来构建$t$-设计和PRU。为此，我们引入并分析了“$PFC$系综”，即随机计算基置换$P$、随机二进制相位算子$F$和随机Clifford酉$C$的乘积。我们表明，该系综再现了Haar测度的指数高矩。然后，我们可以取消显示$PFC$集合，以显示以下内容：1.线性深度设计。我们给出了电路深度在$t$内线性的（diamond-error）近似$t$设计的第一个构造。这源于$PFC$系综，将随机相位和置换操作符替换为$2t$级的独立操作符。2.非自适应PRU。我们给出了具有非自适应安全性的PRU的第一种构造，即我们构造了从Haar随机到多项式时间区分器无法区分的幺正矩阵，这些幺正函数在任意状态下并行查询幺正。这源于$PFC$系综，将随机相位和置换操作符替换为其伪随机对应项。3.自适应伪随机等距。我们表明，如果考虑从$n$到$n+\omega（\logn）$qubits的等距（而不是单位），对我们的PRU构造进行一个小的修改就可以实现自适应安全性，即，即使可以按顺序自适应查询等距的区分器也无法将其与Haar随机等距区分开来。这给出了自适应伪随机等距的第一个构造。在另一个猜想下，该证明也扩展到了自适应PRU。

注：36页。取代arXiv:2402.14803。除了arXiv:2402.14803的PRU结果外，本文还包含了关于t-设计和自适应伪随机等距的新结果，并提出了这些不同基元的统一构造