未显示理想正弦波的纯正弦波DFT

Question

我有一个关于理想正弦波DFT的问题。

这是我用韵律模拟的结果。

我分析了一个理想的正弦波（来自vsin源），并将其通过带有hanning窗口的dft计算器函数。对于理想的正弦波，我应该只看到信号分量。然而，除了三个信号箱之外，我还有很多音调。尽管这些音调的值很小，但我仍然想知道为什么它们会出现理想的正弦波（它们不应该出现）。

非常感谢你，

肯尼

Answer 1

你说你有一个理想的正弦波。但你呢？你可能只有一个很好的近似值。取决于它是32位还是64位实数，您最多只能在第24位或第56位的最低有效位位置有量化噪声。这将导致宽带噪声。计算出预期的噪声功率，并将其与观察到的噪声地板进行比较。

您会注意到，观察到的噪声底线高于输入量化水平。这有两个原因。

1. 你使用的是一个窗口，比如汉宁。在理想情况下，所有DFT窗口的“噪声增益”都为几分贝。窗口越窄，噪声增益就越大。

2. 窗乘法和DFT运算使用的算法将在每个阶段引入量化噪声。中间计算的处理不仅取决于（几乎总是与IEEE754兼容的）硬件，还取决于软件的使用方式。虽然某些硬件在中间阶段能够保持80位的精度，但许多实现仅在硬件中保持64位，当以64位实数保存回内存时，只有56位。

您需要研究所使用的DFT算法的细节、运行的硬件、编译器标志的影响，以找出最终DFT中每增加一分贝的噪声。

Answer 2

图中的噪声底线大约为-190…-200dB，这只是计算中舍入误差和其他噪声源的结果。我猜它使用的是浮点数学，它没有无限精度，所以它引入了量化噪声。固定点有固定的数量，但浮点没有，所以很难计算。它体现在FFT、正弦波生成、窗口计算等方面。

即使是时间轴也会有量化误差，例如，双精度无法准确编码“0.001”，因此如果使用毫秒时间步长，而不是0.001，则实际会得到0.0010000000000002081668171172168513294309377670，然后一些。。。

Answer 3

TL；DR：你需要象征性地做DFT，才能得到确切的值。

“完美”正弦函数值的恰当术语是准确的正弦函数的值。

正弦函数的大多数值都是无理数，因此无论选择哪种基数，都无法用数字精确表示。

如果你以符号方式进行DFT，如果使用Mathematica之类的工具很费时，那当然是可能的，你会得到一个精确振幅的峰值，而在其他地方会得到精确的零，因为符号计算可以精确地用于某些问题，而某些函数的DFT恰好是一个。事实上，正弦波和的DFT很容易在课堂上的黑板上完成。涉及更多的函数需要更长的时间，或者没有初等函数的精确解。

Answer 4

在dB（对数）标度上，不可能精确地表示零振幅。它将是“负无穷分贝”

如果你切换到线性比例，你会得到一个平坦的零层和一个在任何合理分辨率下的峰值。

另一方面，你的“噪音底线”远低于-180dB。这意味着您的计算噪音（量化、舍入、抖动等）非常低。

我不知道现实世界中的电路有这样的噪声级。

Answer 5

因为它只是一个单一的尖峰，它需要无限的时间。正弦波的时间范围基本上是一个平方函数-如果你从负无穷大到无穷大采样，你会留下一个尖峰/峰值。此外，正如另一个答案所述，离散形式具有有限的步长/分辨率，这些是将影响精细DFT的不连续性。