证明代数公式大小的显式下限是代数复杂性理论领域中一个长期存在的公开问题。该领域的最新结果（例如，由于Limaye、Srinivasan和Tavenas（FOCS 2021），恒深代数公式的下限）表明了解决该问题的一种方法：表明我们可以将一般代数公式转换为大小适度放大的“齐次”代数公式，并证明了后一个模型的强下界。

这里，多项式$P$的齐次代数公式$F$是其中所有子公式都计算齐次多项式的公式。特别是，如果$P$是度$d$的同质性，则$F$不包含计算大于$d$次多项式的子公式。

我们研究了上述策略的可行性，并在这个方向上证明了一些积极和消极的结果。

---加权齐次公式的下界：我们在“加权”设置中显示了“任意深度”齐次公式第一个下界。这里，每个变量都有一个给定的权重，单项式的权重是其中变量的权重之和。这个结果建立在Hrubeš和Yehudayoff（计算复杂性（2011））对齐次多线性公式的下限之上。这个结果强烈表明齐次公式的下限是可以达到的。

---改进了公式的（准）均匀化：一个简单的民间传说论证表明，对于次数为$d$的齐次多项式，任何公式$F$都可以通过$d^{O（\logs）}.$的大小放大来均匀化我们证明，只要$d=s^{o（1）}.$，就可以在特征为$0$的字段上超多项式地改进这一点以前只有当$d=（\logs）^{1+o（1）}$（Raz（J.ACM（2013）））时才知道这样的结果。此外，我们还展示了如何以获得“准homogenization”结果为代价来摆脱$d$上的条件：这意味着子公式可以计算到poly$（d）的次数多项式$

---非交换均匀化的下限：Dutta、Gesmundo、Ikenmeyer、Jindal和Lysikov（2022）的最新结果表明，要均匀化任何深度的代数公式，只需均匀化深度为$3$的“非交换”代数公式即可。我们能够显示出反对这种同质化的强大下限，这表明这种方法存在障碍。

---对于正特征，没有Girard-Newton恒等式：在特征$0$中，已知如何使用Girard-Newton恒等式对大小放大为$\exp（O（\sqrt{d}））$的恒深代数公式进行均匀化。矛盾的是，在正特征中找到这些恒等式的类似物将允许我们在这些字段上显示恒深公式的“下限”。我们排除了Girard-Newton恒等式在正特征条件下的强泛化，这表明需要不同的方法。