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TR20-127第2版| 2020年11月17日16:12
$k$-Forrelationship最优地分离量子和经典查询复杂性
摘要：
Aaronson和Ambainis（SICOMP`18）表明，$N$位上的任何部分函数都可以通过进行$q$量子查询以优于随机猜测的优势$\delta$进行计算，也可以通过随机决策树生成以优势$\delta/2$进行经典计算${O} （_q）（N^{1-\frac{1}{2q}}\delta^{-2}）$查询。此外，他们推测$k$-Forrelation问题——一个可以用$q=\lceil k/2\rceil$量子查询计算的部分函数——是显示这种极值分离的合适候选。
我们通过显示$k$-Forrelation的随机查询复杂性的$\widetilde{\Omega}（N^{1-1/k}）$的紧下界来证明他们的猜想，其中优势$\delta=2^{-O（k）}$。通过标准的放大参数，这给出了一个显式的部分函数，它在有界错误量和随机查询复杂性之间显示了$O_epsilon（1）$vs$\Omega（N^{1-\epsilon}）$分隔，其中$\epsiron>0$可以任意小。我们的证明也给出了Tal（FOCS`20）引入的密切相关但非plicit$k$-Rorrelation函数的相同界。
我们的技术依赖于经典的高斯工具，特别是高斯插值和部分高斯积分，事实上，给出了一个更一般的表述。我们证明，要证明$k$-Forrelationship对一类函数的下界，只需将Fourier系数的$\ell_1$-权重限定在$k$和$（k-1）k$之间。我们还通过部分恒等式证明了新的插值和积分，这些恒等式在舍入高维高斯向量的背景下可能具有独立的意义。
对以前版本的更改：
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TR20-127第1版| 2020年11月16日23:44
$k$-Forrelationship最优地分离量子和经典查询复杂性
摘要：
Aaronson和Ambainis（SICOMP`18）表明，$N$位上的任何部分函数都可以通过进行$q$量子查询以优于随机猜测的优势$\delta$进行计算，也可以通过随机决策树生成以优势$\delta/2$进行经典计算${O} （_q）（N^{1-\frac{1}{2q}}\delta^{-2}）$查询。此外，他们推测$k$-Forrelation问题——一个可以用$q=\lceil k/2\rceil$量子查询计算的部分函数——是显示这种极值分离的合适候选。\梅德斯基普
我们通过展示$k$-Forrelation的随机查询复杂性的$\widetilde｛\Omega｝（N^｛1-1/k｝）$的紧下界来证明他们的猜想，其中优势$\delta＝2^｛-O（k）｝$。通过标准的放大参数，这给出了一个显式的部分函数，它在有界错误量和随机查询复杂性之间显示了$O_epsilon（1）$vs$\Omega（N^{1-\epsilon}）$分隔，其中$\epsiron>0$可以任意小。我们的证明也给出了Tal（FOCS`20）引入的密切相关但非plicit$k$-Rorrelation函数的相同界。\梅德斯基普
我们的技术依赖于经典的高斯工具，特别是高斯插值和高斯分部积分，事实上，给出了更一般的陈述。我们证明，要证明$k$-Forrelationship对一类函数的下界，只需将Fourier系数的$\ell_1$-权重限定在$k$和$（k-1）k$之间。我们还证明了在舍入高维高斯向量的背景下可能独立感兴趣的新的插值和部分积分恒等式。
对以前版本的更改：
将$\delta$的优势提高到$2^{-O（k）}$，而之前的版本中$\delta为$1/\mathrm{polylog}^k（N）$，这加强了主要结论。添加了几个数字，并参考了Shertov、Storozhenko和Wu的独立工作，他们获得了$k$-Rorrelation的随机查询复杂度的类似下限
纸张：
TR20-127 | 2020年8月21日21:46
$k$-Forrelationship最优地分离量子和经典查询复杂性
摘要：
Aaronson和Ambainis（SICOMP’18）表明，$N$位上的任何部分函数都可以通过进行$q$量子查询以优于随机猜测的优势$\delta$进行计算，也可以通过随机决策树生成以优势$\delta/2$进行经典计算${O} （_q）（N^{1-\frac{1}{2q}}\delta^{-2}）$查询。此外，他们推测$k$-Forrelation问题——一个可以用$q=\lceil k/2\rceil$量子查询计算的部分函数——是显示这种极值分离的合适候选。
我们通过显示$k$-Forrelation的随机查询复杂度的$\widetilde{\Omega}_k（N^{1-1/k}）$的一个紧下界来证明他们的猜想，其中优势$\delta=1/\mathrm{polylog}^k（N）$和$\wide tilde{\ Omega{_k$隐藏了$\mathrm{polylog}^k。我们的证明依赖于经典的高斯工具，特别是高斯插值和部分高斯积分，事实上，它显示了一个更一般的语句，即为了证明$k$-Forrelation相对于函数族的下限，它足以将傅里叶系数的$\ell_1$-权重限定在$k，2k，3k，\ldots，（k-1）级家庭中的功能为k$。
