我们研究了迭代矩阵乘法的算法复杂性。我们证明了计算大小为$n乘以n$，IMM${n，d}$的$d$泛型矩阵乘积的任何多线性齐次深度$4$算术公式的大小为$n^{\Omega（\sqrt{d}）}$，长度为$d\leqn^{1/10}$。这改进了Nisan和Wigderson（Computational Complexity，1997）对深度$4$集合多重线性公式的结果。

我们还研究了$\Sigma\Pi^{（O（d/t））}\Sigma \Pi^}（t）}$公式，它们是深度$4$公式，在$\Pi$门的扇入上有规定的边界。Tavenas（MFCS，2013）最近的深度缩减结果表明，任何可由大小为poly$（n）$的电路计算的$n$-变量次数$d=n^{O（1）}$多项式也可以由顶部扇入$n^{O（d/t）}$的深度$$\Sigma\Pi^{（t）}$公式计算。我们证明了任何计算IMM${n，d}$的公式都有顶扇入$n^{\Omega（{d/t}）}$，从而证明了Tavenas结果的最优性。这也加强了Kayal、Saha和Saptharishi（ECCC，2013）的结果，该结果给出了VNP中显式多项式的类似下界。