我们为Gale-Bellekamp切换博弈设计了一个线性时间近似方案，并将其推广到更广泛的一类稠密易碎最小化问题，包括最近码字问题（NCP）和唯一博弈问题。除其他外，进一步的应用包括找到矩阵刚性的约束形式和纠错码的最大似然译码。作为我们方法的另一个应用，我们给出了固定簇数相关聚类的第一线性时间近似方案及其层次推广。我们的结果依赖于处理优化问题的小目标函数值的新技术，并且可能具有独立的意义。