电子书：可满足性手册

2009年，当本手册第一版出版时，SAT的进步大多只为专家所知，SAT仅在某些应用中被视为一项关键技术。自那以后，实际应用的数量激增，人们对SAT的普遍实用性也有了更大的认识：在上个世纪，SAT是一个很难解决的问题，而直接解决这个问题似乎是没有希望的。依靠在实际SAT求解中不断取得的改进，现在人们普遍认为，能够将问题编码到SAT中也很可能会得到实际的解决方案。这场“SAT革命”始于上世纪末，并继续产生令人惊叹的新的实践和理论成果。

因此，第二版包含了几项更新，包括对第4章冲突驱动小句学习进行了全面修订。一半的章节被更新或扩展，或者两者兼而有之。Donald Knuth在编写《计算机编程艺术》第4卷“可满足性”一节时收集的评论也被考虑在内。本节作为第6a分册出现，2015年超过300页，是自本手册第一版以来SAT文献中的一个重要里程碑。

本手册第一版中已有三个重要主题，值得单独讨论，现在有足够的篇幅进行详细讨论：新的第7章是关于证明复杂性的，第9章是关于预处理的，以及新的第12章是关于自动配置和解算器选择的。此外，新的第15章涵盖了不可满足性的证明，这是实际SAT求解中最新的主要发展之一。这些证明对于解决长期存在的数学问题至关重要。

除了这四个全新的章节外，还有三个新章节，涵盖了第一版中已经讨论过的主题。这三章侧重于新的方面和新的技术，由对改变当前技术水平做出根本贡献的作者撰写。首先，新的第31章涵盖了有关量化布尔公式的最新发展，包括对证明系统的讨论。第二，新的第24章的重点是基于核心的最大可满足性方法，这些方法大大提高了可伸缩性。最后，最后新的第26章涵盖了具有强大统计保证的实用和近似模型计数的新研究方向。

SAT研究已成为一项充满活力的跨社区工作。除了主要的SAT会议之外，从自动推理、验证、硬件到软件工程、复杂性理论，甚至算法，当然还有人工智能等不同领域的其他主要会议和期刊也涵盖了SAT及其扩展领域。值得一提的是，比赛仍然是一个展示案例，也是该领域的动力。

有人可能会说，SAT现在在这些领域非常普遍。作为一个例子，也许是最引人注目的，是在其他推理学科中采用SAT，当然首先是SMT求解，在约束编程中使用惰性子句生成，以及在一阶定理证明中使用基于SAT的分裂，最后，在直接或间接依赖SAT的高阶逻辑的交互式定理证明中使用锤子。

正如第一版所做的那样，我们希望第二版手册也能为使用SAT或为SAT做出贡献的研究人员和实践者提供服务，并为他们自己的工作提供灵感和丰富的资源。

阿明·比尔

Marijn鞋跟

汉斯·范·马伦

托比·沃尔什

本章追溯了可满足性的概念与过去2300年来数学家、哲学家、工程师和科学家试图开发有效的过程来模拟人类推理和科学发现，以及帮助开发电子计算机和其他电子元件之间的联系。可满足性隐含在古代逻辑的发展中，例如亚里士多德的三段论逻辑、斯多葛学派对其的扩展，以及卢尔中世纪的图解逻辑。从文艺复兴到布尔代数，有效过程的方法取代了古人的逻辑，几乎阐明了命题逻辑的可满足性的含义。概念的澄清归功于塔斯基，他为任何一阶语法中的公式p求出了“p为真”的充分必要条件。大约与此同时，随着lambda微积分、递归函数理论和图灵机的发展，对有效过程的研究变得越来越重要，所有这些都成为了计算机科学的基础，并与可满足性的概念相联系。Shannon提供了与计算机时代的联系，Davis和Putnam通过一种算法直接将可满足性与自动推理联系起来，该算法是大多数现代SAT求解器的主干。这些事件推动了未来几十年对可满足性的研究，在20世纪90年代和2000年代达到了“流行比例”，本章最后简要介绍了这一时期发展起来的每一个与可满足性相关的主要研究方向的历史。

在用当前的SAT方法解决组合问题之前，通常必须将其编码为合取范式，这有助于算法实现，并允许对问题使用通用文件格式。不幸的是，大多数问题都有几种编码方式，而关于如何在其中进行选择的指南却很少，然而编码的选择与搜索算法的选择同样重要。本章回顾了有关编码方法的理论和实证工作，包括Tseitin编码的使用、外延和内涵约束的编码、编码和搜索算法之间的相互作用，以及一些常见的错误源。案例研究用于说明。

完整的SAT算法是SAT文献的重要组成部分。从理论角度来看，完整的算法可以用作研究不同证明系统复杂性的工具。从实际角度来看，这些算法构成了解决实际应用中出现的SAT问题的基础。现代完全SAT解算器的实用性无疑有助于人们对这类完全SAT算法越来越感兴趣。我们在本章中回顾了这些算法，包括Davis-Putnum分解、Stalmarck算法、符号SAT求解、DPLL算法和现代子句学习SAT求解器。我们还讨论了认证现代完整SAT解题器答案的问题。

使用SAT解题器解决工业问题的最重要的范式转变之一是引入了从句学习。子句学习需要在回溯搜索期间为每个冲突添加一个新子句。这个新子句防止在搜索过程中再次发生相同的冲突。此外，复杂的技术，如在含义图中识别唯一的含义点，可以创建子句，更准确地识别负责冲突的赋值。习得子句通常有大量的文字。因此，另一个范式转变是开发新的数据结构，即惰性数据结构，这种结构在处理大型子句时特别有效。由于通常无法提供子句的实际状态，这些数据结构被称为惰性。效率问题和惰性数据结构的使用促使引入了不需要知道子句的精确状态的动态启发式。本章描述了冲突驱动的小句学习SAT解决方案的组成部分，即冲突分析、惰性数据结构、搜索重启、冲突驱动的启发式和小句删除策略。

基于look-a-head架构的求解器一章提供了最先进的描述，介绍了在过去一年中，在这种背景下，启发式、数据结构和学习是如何发展的。描述并统一了使用该体系结构的各个科学团队对结果的贡献。它还提供了在应用于不适合使用此体系结构解决的特定类型问题时其弱点的见解。它旨在描述这种架构和冲突驱动解决机制的互补作用。

对可满足性测试的不完全算法的研究导致了20世纪90年代初第一批可扩展SAT求解器的出现。与通常基于穷举分支和回溯搜索的系统解算器不同，不完全方法通常基于随机局部搜索。对于来自不同领域的问题，这种不完整的SAT方法可以显著优于基于DPLL的方法。虽然早期的贪婪算法已经显示出了前景，特别是在随机实例上，但在搜索过程中引入随机化和所谓的上坡移动大大扩展了SAT不完整算法的范围。本章讨论了此类算法，以及一些有助于提高其性能的关键技术，例如关注当前未满足子句中出现的变量，设计通过子句重新加权有效地从局部极小值中提取搜索的方法，以及自适应噪声机制。本章还简要讨论了基于离散拉格朗日方法的一些技术的形式基础。

本章概述了证明复杂性和与SAT求解的联系，重点介绍了证明系统，如分辨率、Nullstellensatz、多项式微积分和割平面（分别对应于冲突驱动的子句学习、使用线性代数或Gröbner基的代数方法以及伪布尔解算）。此外，还讨论了扩展分辨率（与DRAT验证日志记录密切相关）以及Frege和扩展Frege系统。为进一步阅读提供了充足的参考资料，包括本章中省略的一些主题。

“搜索树”、“分支树”、”回溯树”或“枚举树”是许多（完整的）解决难组合问题、约束问题，当然还有SAT问题的方法的核心。考虑到分支有很多选择，基本问题是如何指导选择，从而使生成的树（相对而言）较小。尽管（或者可能是因为）它的范围显然更窄，特别是在SAT领域，从理论和应用中找到了几种方法，分支启发式理论的雏形出现了。在本章中，首先对其进行了系统的处理。因此，发展了指导“分支树”构建的一般启发式理论，从一般理论分析到SAT求解器分支启发式的历史发展分析，以及SAT求解以外的启发式。

预处理已成为布尔可满足性（SAT）求解工作流的关键组成部分。实际上，预处理位于编码阶段和求解阶段之间，目的是通过对SAT实例应用有效的简化技术来加快SAT解算器随后执行的搜索，从而减少总的求解时间。在本章中，我们概述了文献中提出的关键预处理技术。虽然主要关注的是适用于合取范式（CNF）公式的技术，但我们也选择性地涵盖了预处理结构化和更高级SAT实例表示的主要思想。

在过去的二十年中，人们投入了大量的精力来研究随机生成的可满足性实例。虽然已经提出了许多生成模型，但一致随机k-CNF公式是目前最主要和研究最多的模型。其中一个原因是，这些公式具有许多有趣的数学性质，包括以下内容：对于每一个k≥3，子句与变量之比r都有一个临界值rk，因此对于r<rk，随机k-CNF公式是可以满足的，当n→∞时，概率趋于1，而对于r>rk，当n→∞时，它是不满足的，概率趋于1。算法上，即使在密度远低于rk的情况下，也没有已知的多项式时间算法能够以恒定的概率找到任何解，而对于所有大于rk的密度，不可满足性的每个分辨率证明的长度都是指数的（因此，每个DPLL型算法的运行时间也是指数的）。到目前为止，随机k-CNF公式的研究也引起了数学和统计物理等领域的关注，并且是一个密集研究活动领域的中心。同时，随机k-SAT实例是测试和调整可满足性算法的常用基准。事实上，今天使用的一些更好的实用想法来自于通过研究算法性能而获得的见解。我们回顾了关于随机k-CNF公式的旧的和最近的数学结果，证明了计算复杂性和相变之间的联系既深刻又微妙。

随着时间的推移，众所周知，回溯式完整SAT解算器的性能可能会因所用启发式的“很少”细节而发生显著变化，例如选择下一个变量进行分支的方式，以及可能值分配给变量的顺序。即使是所有SAT解算器中必须采用的简单平局打破机制也可能导致极端变化。发现这种极端的运行时变化既是一个绊脚石，也是一个机会。本章的重点是提供对这种有趣现象的理解，特别是系统SAT解算器运行时分布的所谓重尾性质。它描述了一个基于代价高昂的错误的简单形式化模型，以解释实际中看到的运行时分布，并讨论了可用于有效克服重尾行为负面影响的随机化和重启策略。最后，本章讨论了后门变量的概念，它解释了人们在实践中经常看到的出乎意料的短线。

本章介绍了SAT算法的自动配置和选择，并概述了最重要的方法。自2000年代初以来，这些所谓的元算法方法在推动SAT求解技术的发展方面发挥了重要作用，产生了使用和评估SAT求解器的新方法。与此同时，SAT已被证明是自动化配置和选择领域研究和开发的特别沃土，同时，在那里开发的方法在一系列具有计算挑战性的问题上取得了远远超过SAT的影响。从概念上讲，还讨论了超越“纯”算法配置和选择的更复杂的方法，以及与元算法方法相关的一些开放挑战，如自动算法配置和选取，以及基于这些方法的工具及其有效应用。

对称既是一个熟悉的概念（当我们看到它时，我们就会认出它！），也是一个深刻的数学主题。最基本的是，对称是对象的某种变换，使对象（或对象的某些方面）保持不变。例如，一个正方形可以通过八种不同的方式进行变换，使其看起来完全一样：身份“do-nothing”变换、3次旋转和4次镜像（或反射）。在决策问题的背景下，问题搜索空间中对称性的存在会迫使搜索算法徒劳地探索不包含解决方案的对称子空间，从而阻碍对解决方案的搜索。认识到这种对称性的存在，我们可以指导搜索算法只在搜索空间的非对称部分寻找解。在许多情况下，这可能会导致搜索空间的大幅修剪，并为其他难以解决的问题提供解决方案。本章探讨布尔函数的对称性，特别是它们的合取范式（CNF）表示的对称性。具体来说，它检查了这些对称是什么，如何使用群论的数学语言对其建模，如何从CNF公式导出它们，以及如何利用它们来加速CNF-SAT求解器。

最小不可满足性描述了不可满足公式的缩减核。对这一性质的研究有助于理解不可满足性的原因以及SAT解题器和证明计算的行为。此外，对于命题公式和量化布尔公式，各种SAT相关问题的计算复杂性与最小不可满足公式的复杂性密切相关。虽然“最小不满足性”研究的是没有冗余的问题实例的结构，但“自给自足”研究考虑的是冗余本身，以各种形式与部分任务相关，部分任务满足了问题实例的某些部分，而其余部分“未被触及”。事实证明，自给自足理论为组合学、代数和逻辑创造了许多桥梁，本章第二部分为自给自利理论的基本思想和结果提供了坚实的基础：基本算法问题、涉及的代数、，以及与各种组合理论的关系（例如，匹配理论、线性规划、图论、持久性理论）。还概述了作为一种组合“元理论”的自给自足的一般理论（关于其基本概念）。

可满足性（SAT）求解器已成为复杂的工具，这就提出了我们是否可以信任其结果的问题。当解算器用于确定硬件和软件的正确性以及它们用于生成数学结果时，这个问题尤其重要。为了解决这个问题，解决者可以提供不满意的证据来证明他们的答案是正确的。本章介绍了产生和验证不可满足性证明的历史和现状。本章涵盖了最流行的证明格式，并提供了加快认证速度的提示。证明中的提示使验证变得容易，从而产生了几个高效的形式验证检查器。讨论了各种证明系统，从分辨率到最近的传播冗余系统。本章还描述了压缩和优化证明的技术。

本章概述了可满足性算法背后的思想和技术，这些算法在最坏情况下的运行时间具有当前最佳的渐近上界。调查还包括相关的结构复杂性主题，如谢弗二分法定理、SAT各种限制情况之间的约简、指数时间假设等。

参数化复杂度是一个新的理论框架，它除了考虑总体输入大小外，还考虑了二次测量参数对计算复杂度的影响。这个二维视角允许进行细粒度的复杂性分析，该分析考虑了问题实例的结构属性。中心概念是“固定参数可处理性”，它是指参数的每个固定值在多项式时间内的可解性，因此多项式时间界限的阶数与参数无关。本章介绍了可满足性问题的参数化复杂性的主要概念和最新结果，并概述了在此背景下出现的基本算法思想。考虑的参数包括后门集合相对于各种可处理基类的大小以及可满足性实例的图表示的树宽。

SAT最重要的工业应用之一是目前的有界模型检查（BMC）。该技术通常用于电子设计自动化背景下的正式硬件验证。但BMC也已成功应用于许多其他领域。实际上，BMC主要用于伪造，这与时间属性的侵犯有关。此外，本章相当大的一部分讨论了完整的扩展，包括k归纳和插值。这些扩展还允许证明属性。

人工智能中的规划问题是SAT在过渡系统推理中的首次应用，也是SAT在许多其他应用中使用的直接先驱，包括计算机辅助验证中的有界模型检查。本章介绍了将目标可达性问题编码为SAT问题的主要思想，包括用于加速SAT求解的并行计划和不同形式的约束，以及使用SAT求解器解决AI规划问题的算法。最后，讨论了需要使用QBF或SAT的其他推广的更一般的规划问题。

本章涵盖命题可满足性在程序分析中的应用。我们专注于发现低级程序（如嵌入式软件）中的编程缺陷。程序中的循环与一个属性一起展开，形成一个公式，然后将其转换为CNF。该方法支持低级编程结构，如位运算符或指针算法。

组合设计理论一直是结构化、参数化SAT实例族的丰富来源。一方面，设计理论为测试各种SAT解算器提供了有趣的问题；另一方面，高性能SAT求解器为解决设计理论中的开放性问题提供了一种替代工具，只需将问题编码为命题公式，然后使用非现成的通用SAT解算器搜索其模型。本章介绍了使用SAT求解器解决硬设计理论问题的几个案例研究，包括准群问题、拉姆齐数、范德瓦尔登数、覆盖数组、斯坦纳系统和门德尔松设计。结果表明，SAT解析器解决了100多个以前开放的设计理论问题，从而证明了现代SAT解解器的巨大威力。此外，本章还列出了30个开放式设计理论问题，供SAT解析器的开发人员测试其新思想和新武器。

本章概述了理论物理学家致力于研究随机生成的k-SAT实例的部分密集研究活动。物理学和计算机科学之间的联系乍一看可能令人惊讶。然而，低温统计力学恰恰关注能源景观低洼配置的行为，换句话说，就是成本函数的优化。此外，随机k-SAT实例的集合显示了相变，这是一种主要在物理学中研究的现象（例如，考虑液态水和气态水之间的相变）。除了介绍统计力学的一般概念及其在计算机科学语言中的翻译外，本章还介绍了可满足性转移的位置、可满足状态及其所经历的各种相变的详细情况，以及随机k-SAT实例的算法问题。