我们将马尔可夫链理论的最新结果应用于具有独立或对称候选分布的Hastings和Metropolis算法，并提供了算法以几何速率收敛到指定分布的必要和充分条件。在独立情况下（在$\mathbb{R}^k$中），这些表明当且仅当候选密度被$\pi$的倍数限制在以下时，几何收敛才发生；在对称情况下（仅在$\mathbb{R}$中），我们证明了当且仅当$\pi$具有几何尾部时，基本上发生几何收敛。在这种情况下，我们还评估了最近开发的收敛速度的可计算边界：例子表明，这些理论边界可能本质上是极其保守的，尽管当链是随机单调的时，边界可能是有效的。