本文的主要目的是利用组合方法和代数运算研究切比雪夫多项式的一些幂和，并给出几个有趣的恒等式。作为这些结果的一些应用，我们得到了涉及切比雪夫多项式的几个可除性。
1.简介
对于任何整数著名的第一类和第二类切比雪夫多项式和定义如下： , 、和为所有人; , 、和为所有人.
很明显，这些多项式是二阶线性递归多项式；它们满足计算公式：
关于切比雪夫多项式及其二阶线性递归的基本性质，许多作者进行了研究，得到了一系列有趣的结论。例如，一些理论结果可以在[1–4]，切比雪夫多项式的其他一些重要应用也可以在[5–10].
最近，几位作者研究了斐波那契数的幂和和卢卡斯数字得到了一系列重要的恒等式；参见[11–13]. 同时，梅尔姆[13]还提出了以下两个猜想。
猜想1。让是一个整数。然后是总和可以表示为，其中是次数多项式具有整数系数。
猜想2。让是一个整数。然后是总和可以表示为，其中是次数多项式具有整数系数。
王和张[14]解决了这个猜想2并为推测取得了一些实质性进展1.
本文的主要目的是利用代数运算获得一些涉及第一类和第二类切比雪夫多项式的恒等式和作为一些应用，我们给出了三个有趣的推论。也就是说，我们将证明以下两个结果。
定理3。对于任何正整数和，我们有身份（a）（b）
定理4。对于任何正整数和，我们有身份（A）（B）
这些恒等式的好处是，它可以将切比雪夫多项式的复数幂和转换为切比雪夫多项式的相对简单的线性和。这可以简化切比雪夫多项式幂和的计算问题。
根据第一类切比雪夫多项式（和副切比雪夫多项式），第一类切比雪夫多项式的导数或积分是否存在精确表达式是一个悬而未决的问题。我们将寻找一些新的方法来进一步研究。
请注意和; 很明显，从定理三和4我们可以推导出一些涉及和另一方面，我们还可以获得涉及切比雪夫多项式的一些可除性。也就是说，我们有以下内容。
推论5。让和是两个整数。然后是总和可以除以多项式.
总额可以除以多项式.
推论6。让和是两个整数。然后是总和可以表示为，其中是具有度的两个变量的整数系数多项式属于.
推论7。让和是两个整数。然后是总和可以表示为，其中是具有度的两个变量的整数系数多项式属于.
2.定理的证明
在本节中，我们将使用代数操作来完成定理的证明。首先我们证明定理三。实际上，对于任何正整数和实数，通过使用熟悉的二项式展开式我们可能会
现在我们采取英寸(13); 然后注意; 根据和，我们可以立即推断出这些恒等式如果我们采取英寸(13)，然后我们也可以推导出恒等式让和。然后对于任何整数，请注意; 来自(14)以及和我们有这证明了定理的恒等式（a）三.
同样，根据公式(15)我们可以推导出定理的恒等式（b）三.
现在我们证明定理4.来自(16)我们有这证明了定理的恒等式（A）4.
类似地，根据公式(17)我们还可以推导出定理的恒等式（B）4.
现在我们使用定理三证明推论5根据切比雪夫多项式的性质，我们知道和; 来自定理的（a）三我们可以立即推断也就是说，幂和可以除以多项式.
同样，请注意; 从定理的（b）三我们知道这一点除以幂和这证明了推论5.
现在我们使用定理（B）4证明推论7很明显，如果是带变量的整数系数多项式那么，对于任何多项式和，我们有划分。从这些属性并注意到身份我们可以推断发件人(23)定理的（B）4我们可以推断哪里是两个变量的整数系数多项式属于.这证明了推论7.
最后，我们证明了推论6.我们首先证明对于所有整数很明显，如果，那么结论是正确的。因此，在不损失一般性的情况下，我们可以假设。请注意，身份，所以我们有因此，为了证明(25)，我们只需要证明自是一个偶数函数，来自我们可以推断; 注意互质关系，所以从多项式的性质我们知道自，来自(28)我们知道这是为了证明(27)，我们只需要证明请注意，身份从这个恒等式我们可以立即推断(29). 那就是(25)是正确的。
正在应用(25)定理的（A）4我们可以很容易地推断出可以表示为，其中是具有度的两个变量的整数系数多项式属于.
这就完成了我们所有结果的证明。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
鸣谢
作者要感谢裁判们非常有用和详细的评论，这些评论大大改进了本文的表述。这项工作得到了P.S.F.（2014JM1009）和N.S.F.的支持（11371291）。
