研究了水下圆柱摆的动力学行为和相应的流动动力学。其目标有两个：（i）检查二维模型方程是否足以捕捉三维动力学；（ii）研究新兴的三维涡流结构。采用浸没边界法进行了具有双向流固耦合作用的大涡模拟，以模拟摆的运动及其与初始滞水的相互作用。将产生的摆运动与一系列实验测试中获得的测量数据进行比较，以验证模拟结果和模型方程（有无尾流修正）。对流动涡度的分析揭示了第一次摆动期间涡环的发展和尖端涡的形成。使用Q标准对水下圆柱形摆运动产生的涡流环的演变进行了可视化，表明其与粒子成像测速实验中观察到的涡流结构合理一致。分析了作用在模拟摆上的水动力矩和根据模型方程计算出的力矩。利用这些数值模拟的见解，提出了尾迹修正的修正，以提高衰减率和周期的准确性。讨论了相干流对摆动力学的瞬态影响，特别是附加质量效应。

主题
摆方程, 计算流体动力学, 流体动力相互作用, 湍流模拟, 涡旋动力学

摆运动的研究有着悠久的历史。已知最早的研究是1605年伽利略的研究，当时他意识到钟摆摆动的周期保持不变。这一发现激发了克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）的灵感，他发明了钟摆钟，直到20世纪30年代，钟摆一直是计时的标准。然而，钟摆仍被广泛应用于高层建筑调谐质量阻尼器中1以及测量设备，如地震仪、节拍器、福柯摆等。

摆的其他应用包括研究流体中控制其轨迹的粒子碰撞。例如，约瑟夫等。2使用摆来研究粘性流体中的粒子碰撞，并演示了碰撞斯托克斯数如何影响反弹速度。他们用一个摆来控制粒子在碰撞点前后的轨迹。约瑟夫和亨特三然后再次使用该设置研究倾斜粒子-壁碰撞，显示表面粗糙度如何影响此类碰撞。杨和亨特4使用带有两个摆的类似装置来研究正面碰撞和斜向粒子-粒子碰撞，提供了证据，证明可以独立于切向相互作用来计算法向的碰撞相互作用。通过测量钟摆的偏转角，可以测量物体或涡流环等流动现象施加在钟摆上的冲量。5 

摆也用于研究流体中钝体的运动，包括附加质量（AM）和流体摩擦等概念。6在研究水下球形摆的动力学时等。7发现如果振幅足够大，在摆动的转折点处由于涡旋脱落（VS）而形成涡旋环形街道。他们报告说，观察到的涡旋脱落事件会在摆上产生额外的离散阻力。此外，通过使用圆盘摆锤，Obligado等。8观察到具有滞后效应的双稳态。对于相同的流速，摆的偏转角度不同，这取决于流速是增加还是减少。

在最近的一项研究中，Mathai等。9研究了具有不同质量比的重型和浮力圆柱形水下摆米*=ρ秒/ρ（f）⁠，其中ρ秒是固体密度和ρ（f）是流体密度。他们调查了从米*=0.33到米*=4.98使用二维粒子图像测速仪（PIV）测量摆的尾迹速度场，并建立了摆运动的简化模型。此外，使用观察到的PIV数据，他们通过在阻力计算中包含尾流速度的经验模型来微调模型，从而提高了预测第二次摆动峰值振幅的准确性。然而，该模型导致了第一次摆动峰值处阻力的非物理间断。由于圆柱体长度有限，他们发现增加的质量系数更低(⁠米一*=0.53⁠)比理论2D值(⁠米一*=1⁠)，显示了三维（3D）流场的影响。这激发了人们对3D动态的兴趣。此外，马泰等。9强调了数值模拟对进一步深入了解流动诱导力的重要性。

水下摆的流体-结构相互作用（FSI）由流体运动方程和固体运动动力学方程紧密耦合而成。求解这些方程组有不同的方法。例如，一种简单的方法是同时求解流体和固体运动方程组，即整体方法。10这种方法需要计算，并且由于模块性的损失，使得已知的高效求解器无法使用。更常见的是，采用分区方法，独立处理运动方程，并使用边界条件将其耦合。11–14为了加强这种耦合，研究人员通常采用两种方法，包括loose12或较强11联轴器。这两种方法的区别在于在时间上显式处理，而后者以时间上隐式的方式求解方程。15,16对于强耦合，隐式积分是通过引入一系列子迭代来实现的，直到两个连续步骤的解之间的差值小于阈值。松散耦合固有的稳定性较差，计算上的要求较低，因此更实用。

对于小的运动和/或变形，通常使用任意的拉格朗日-欧拉方法，该方法使用车身一致网格来跟踪流体-结构界面的运动。17然而，对于固体物体的大运动或变形，由于需要重新划分，这种方法可能会变得很难应用。使用浸没边界（IB）方法可以获得合理的解。IB方法首次由Peskin于1972年引入，他使用IB方法研究人造心脏瓣膜周围的血流动力学。18在IB方法中，Navier–Stokes方程在固定结构网格系统（也称为背景网格）上求解，而实体对象由独立的三角形非结构化表面网格系统表示。通过改变流体方程中的力来解释浸没边界的影响。14Peskin的经典IB方法是一种扩散界面方法，即界面涂抹在多个背景网格节点上。为了克服处理这种扩散界面的困难，发展了尖锐界面方法。14例如，数值方法，如混合笛卡尔浸没边界法，19通过利用两种网格布局的混合公式，可以解决非交错网格系统产生的奇偶振荡问题。该方法后来被推广用于曲线背景网格20引入了曲线浸没边界（CURVIB）方法，随后对其进行了改进，以有效处理FSI问题。13康等。21在CURVIB方法的背景下引入了代数多重网格方法，以实现具有复杂测深的天然水道的大涡模拟（LES）。此外，Calderer等。22改进了FSI-CURVIB方法，将其应用于浮式结构物的LES。为此，他们重建了直接作用在边界处固体物体上的力，从而改进了浮力计算，从而改善了FSI模拟结果。

灵感来自Mathai的作品等。,9蒙盖利和巴蒂斯塔23用IB方法和阻尼摆方程在2D框架下对浸没摆进行了FSI模拟比较。他们描述了不同的涡旋脱落状态，取决于摆锤半径。这种2D建模方法本质上无法深入了解水下摆锤运动期间产生的3D涡流结构的流体动力学。

在本研究中，我们试图通过在CURVIB方法的背景下使用我们的3D FSI方法来研究Mathai的实验测试来解决这个问题等。9以及蒙盖利和巴蒂斯塔23对于质量比米*=4.98⁠本研究的目的包括（i）比较模型方程计算的绕枢轴的力矩，包括尾迹修正和大涡模拟计算的力矩，以及（ii）表征水下摆运动引起的三维涡流结构。湍流采用大涡模拟和动态Smagorinsky模型，24它与固体运动方程完全耦合，以计算力，并使用Borazzani报告的显式松耦合方案计算物体运动等。13 

本文组织如下。首先，我们在第。二第节。三，我们介绍了本研究的数值方法，随后，我们在第。四、然后，第。V（V）提供了数值模拟的计算细节。在第。不及物动词LES结果与实验数据进行了验证。最后，在第。七、我们展示了研究结果，并在第二节中给出了结论。八、.

流体的运动由3D、不可压缩、过滤连续性和Navier–Stokes方程控制。非正交、广义、曲线坐标和紧张量符号（重复指数表示总和）中的控制方程如下(⁠我,j个,k个,ℓ=1,2,三⁠):

J∂U型j个∂ξj个=0,
(1)
1J∂U型我∂t吨=ξℓ我J(−∂∂ξj个(U型j个u个ℓ)+1ρ∂∂ξj个(μ克j个k个J∂u个ℓ∂ξk个)−1ρ∂∂ξj个(ξℓj个对J)−1ρ∂τℓj个∂ξj个),
(2)

哪里J=|∂(ξ1,ξ2,ξ三)/∂(x个1,x个2,x个三)|是转换的雅可比矩阵，ξℓ我=∂ξ我/∂x个ℓ是转换指标，u个我是笛卡尔速度分量，U型我=(ξ米我/J)u个米是逆变体积通量，克我j个=ξℓj个ξℓj个是逆变量张量的分量，对是压力，ρ是密度，μ是动态粘度，以及τ伊吉是从LES获得的子网格应力张量。21 

为了模拟水下摆锤引起的流体流动，我们采用了Kang中描述的大涡模拟方法等。21子网格应力项由动态Smagorinsky子网格尺度（SGS）模型建模，24如下：

τ我j个−1三τk个k个δ我j个=−2μt吨S公司我j个¯,
（3）

哪里δ伊吉是克罗内克三角洲，S公司我j个¯是滤波应变率张量，以及μt吨是涡流粘度，由

μt吨=C类秒Δ2|S公司¯|,
(4)

Smagorinsky常数C类秒过滤器尺寸Δ，以及|S公司¯|=2S公司我j个S公司我j个¯⁠所使用的过滤器是箱式过滤器，25 

Δ=J−1三,
（5）

哪里J−1是细胞体积，过滤器尺寸是细胞体积的立方根。使用动态Smagorinsky模型时，Smagorinstky常数C类秒空间和时间因流量而异。24这是通过使用两倍于过滤器尺寸的测试过滤器来计算的Δ̂网格滤波器的平均值，并使用，21 

C类秒=⟨L（左）我j个M（M）我j个⟩⟨M（M）k个我M（M）k个我⟩,
（6）

哪里

L（左）我j个=u个我u个j个¯̂−u个我¯̂ u个j个¯̂,
(7)
M（M）我j个=2Δ2S公司我j个¯|S公司¯|̂−2Δ̂2S公司我j个¯|S公司¯̂|,
(8)

和支架⟨·⟩表示沿均匀方向的平均值，或者如果没有均匀方向，则表示网格节点周围的局部平均值。在CURVIB方法的上下文中，公式。（6）重写如下：21 

C类秒=⟨L（左）我ℓM（M）我米G公司ℓ米⟩⟨M（M）k个对M（M）k个q个G公司对q个⟩,
(9)

哪里G公司ℓ米是协变度量张量。

固体的运动由牛顿运动方程控制，如下所示：13 

M（M）∂2问我∂t吨2+C类∂问我∂t吨+K（K）问我=F类我+F类我提取,
(10)

哪里问我是拉格朗日位置矢量的分量问,C类是阻尼系数，以及K（K）是弹簧刚度。在平动的情况下M（M）是物体的质量，问是笛卡尔位置矢量F类和F类提取分别是由于流体运动和外力作用在物体上的力。对于旋转运动，M（M）是惯性矩，问描述了车身的相对角度，以及F类和F类提取然后是各力引起的力矩。

流体和固体的运动完全由固体表面附近流体运动的运动学和动力学无滑移边界条件耦合。13,22运动边界条件如下：

u个=U型,在 Γ,
(11)

其中Γ是固体的边界，u个是流体的速度，以及U型是固体的速度。而动态边界条件可以表示为：

（f）=−F类,在 Γ,
(12)

哪里（f）是由于固体运动而作用在流体上的力F类是由于流体运动而作用在固体上的力。水动力F类和力矩M（M）作用于固体物体的描述如下

F类=¦ΒΓ对n个 d日Γ+¦ΒΓτn个 d日Γ,
(13)
M（M）=¦ΒΓ第页×(对n个) d日Γ+¦ΒΓ第页×τn个 d日Γ,
(14)

哪里n个是边界上的外法向量，第页是边界上到旋转中心的相对位置矢量，以及τ是粘性应力张量。

马泰等。9提出了描述偏转角的无量纲方程，θ，从水中圆柱摆的垂直方向，如下所示：

米效率*d日2θd日t吨̃2=−k个 罪 θ−c（c）|d日θd日t吨̃|d日θd日t吨̃−小时| 科斯 θ|sgn公司(d日θd日t吨̃),
(15)

其中使用摆锤长度对距离进行归一化L（左）时间标准化为t吨̃≡t吨克/L（左）⁠方程式左侧包括有效质量米效率*=(米*+米一*)⁠，其中米*=ρ秒/ρ（f）是固体和流体之间的密度比，以及米一*是附加质量系数。在右侧第一项中，系数k个=|米*−1|描述了重力和浮力的影响，F类G公司−F类B类=(ρ秒−ρ（f）)V（V）克⁠，其中V（V）是圆柱体的体积。系数c（c）=0.5C类D类A类对L（左）/V（V）描述了阻力，F类D类=0.5ρ（f）C类D类A类对v（v）对2⁠，其中C类D类是阻力系数，A类对是圆柱体的投影面积，以及v（v）对是圆柱体速度。最后，小时=μ|米*−1|R（右）/L（左）描述了轴承的摩擦，F类（f）=μF类N个=μ(F类G公司−F类B类) 科斯 θ⁠，其中R（右）是枢轴的半径，以及μ是摩擦系数。可视化这些参数的力图如所示图1.

图1。
图1。Mathai等人9的实验装置的力图。FG是重力，FB是浮力，FD是阻力，FF是轴承摩擦力。D是圆柱体的直径，R是枢轴的半径，L表示摆的长度，θ是摆与垂直方向的夹角，vp是摆的速度。
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Mathai实验装置的受力图等。9 F类G公司是重力，F类B类是浮力，F类D类是阻力，以及F类F类是轴承摩擦力。D类是圆柱体的直径，R（右）是枢轴的半径，L（左）标记摆锤的长度，θ是摆锤与垂直方向的夹角，以及v（v）对是摆的速度。

图1。
图1。Mathai等人9的实验装置的力图。FG是重力，FB是浮力，FD是阻力，FF是轴承摩擦力。D是圆柱体的直径，R是枢轴的半径，L表示摆的长度，θ是摆与垂直方向的夹角，vp是摆的速度。
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Mathai实验装置的受力图等。9 F类G公司是重力，F类B类是浮力，F类D类是阻力，以及F类F类是轴承摩擦力。D类是圆柱体的直径，R（右）是枢轴的半径，L（左）标记摆锤的长度，θ是摆锤与垂直方向的夹角，以及v（v）对是摆的速度。

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假设无限长圆柱体，参数的理论值为米一*=1⁠、和C类D类=1.2在给定的雷诺数范围内重新=v（v）对,最大值D类/ν∼30 000⁠，其中v（v）对,最大值是气缸的最大速度D类是它的直径。由于圆柱体的长度有限，Mathai等。9发现附加质量系数为米一*=0.53并报告了轴承摩擦系数μ=0.2⁠.

马泰等。9发现等式。(15)高估了第二次摆动的幅度。他们通过改变摆初始摆动后的阻力项来使用相对角速度来缓解这个问题d日θ相对/d日t吨̃=(v（v）对−U型（f）)/L（左）克⁠包括尾迹速度，U型（f），屈服

米效率*d日2θd日t吨̃2=−k个 罪 θ−c（c）|d日θ相对d日t吨̃|d日θ相对d日t吨̃−小时| 科斯 θ|sgn公司(d日θd日t吨̃).
(16)

尾流速度U型（f）遵循以下等式：

d日U型（f）d日t吨=∂U型（f）∂t吨+U型（f）L（左）∂U型（f）∂θ.
(17)

由于不同质量比下该方程的复杂性，Mathai等。9相反，使用实验数据拟合了计算尾流速度的模型。该模型描述了归一化尾流速度U型̃（f）(θ/θ最大值)=U型（f）/v（v）对,最大值由Mathai以图形方式呈现等。9在本研究中，我们利用了Mathai的经验模型等。9将其结果与我们的模拟结果进行比较。为此，我们使用改进的欧拉方法求解经验模型方程，时间步长为Δt吨=0.001并在Mathai中介绍了图8中的经验模型等。9通过分段线性插值。

可以通过改变阻力系数来考虑涡旋脱落和局部雷诺数的影响C类D类随着时间的推移。使用Mathai描述的阻力修正等。,9通过使阻力系数随时间变化C类Dvs公司=C类D类(1+k个 罪 ωv（v）秒t吨)⁠，其中k个≈0.1⁠、和ωv（v）秒=2π标准v（v）对/D类是涡流脱落频率，带有斯特劳哈尔数标准⁠虽然马泰等。9得出结论，这两种影响都可以忽略不计，他们发现涡旋脱落主要影响第一次摆动，而局部雷诺数主要影响连续摆动。

使用虚拟流模拟器（VFS-Geophysics）模型求解流体运动方程（1）–（2），26–32在交错/非交错混合曲线背景网格布局上使用CURVIB方法。19,20在非交错布局上使用三点中心差分格式时，压力场显示奇偶振荡。当使用交错网格布局时，可以避免这些数值不稳定性，其中压力节点放置在具有整数指数的节点上，例如(我,j个,k个)-将网格和速度节点放置在相应的半步位置，即。，(我+1/2,j个,k个), (我,j个+1/2,k个)⁠、和(我,j个,k个+1/2)⁠然而，交错的网格布局导致在靠近浸没体的地方实施困难。混合网格布局将交错网格的数值稳定性与非交错布局的易实现性相结合。在CURVIB方法中，浸入边界被实现为sharp-interface浸入边界。网格节点分为流体、固体和浸入式边界节点。分类的示意图见图2。流体方程仅在流体节点上求解。为了在浸入边界引入无滑移边界条件，根据非结构三角形浸入边界网格的已知速度，通过二次壁面法向插值重建浸入边界节点的速度，这样，插值速度满足浸没边界位置处的无滑移边界条件。19,20

图2。
图2。本研究中采用的浸没边界（IB）方法中的节点分类示意图。固体、IB和流体节点分别用蓝色、橙色和白色节点标记。水下摆的横截面用黑体粗线表示。作用力Fx， Fy是在浸没边界附近的流体单元上计算的。
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本研究中采用的浸没边界（IB）方法中的节点分类示意图。固体、IB和流体节点分别用蓝色、橙色和白色节点标记。水下摆的横截面用黑体粗线表示。作用力F类x个, F类年在浸没边界附近的流体单元上进行计算。

图2。
图2。本研究中采用的浸没边界（IB）方法中的节点分类示意图。固体、IB和流体节点分别用蓝色、橙色和白色节点标记。水下摆的横截面用黑体粗线表示。作用力Fx， Fy是在浸没边界附近的流体单元上计算的。
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本研究中采用的浸没边界（IB）方法中的节点分类示意图。固体、IB和流体节点分别用蓝色、橙色和白色节点标记。水下摆的横截面用黑体粗线表示。作用力F类x个, F类年在浸没边界附近的流体单元上进行计算。

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在流体-结构相互作用问题中，必须在每个时间步长重新进行分类。因此，博拉兹贾尼等。13通过引入一种使用光线投射方法对节点进行分类的有效方法，改进了CURVIB方法，使其适用于流体-结构相互作用（FSI-CURVIB）。利用乔丹曲线定理的证明，33如果从节点开始的半无限射线与边界有奇数个交点，则节点被归类为实体。为了使这种方法有效，节点被分组到控制单元中。因此，对于只有流体节点或只有固体节点的控制单元，分类只需要一次。在与浸没边界相交的控制单元中，每个节点必须单独分类。实现的FSI-CURVIB模块通过最近流体单元的值计算作用在浸没边界上的力。通过积分方程计算最靠近浸没边界的节点上的力(13)在细胞表面。对于流体和固体对象之间的耦合，VFS-Geophysics可以使用松耦合或强耦合方法。在目前的模拟中，采用了松耦合，因为它的成本低得多，而且质量与附加质量之比相当大等。参考文献中。13对于这些类型的问题，松耦合会在高质量比下产生稳定的结果。对于较低的质量比，应考虑强耦合。

本研究中的测试用例模拟了Mathai的实验等。9对于质量比为米*=4.98⁠.图3描述了枢轴和摆锤之间的距离为L（左）=203 毫米很长，圆柱体D类=32 毫米直径为，跨度为W公司=300  毫米⁠。在每一端，使用两条电线将圆柱体连接至枢轴2 毫米直径。枢轴是一根半径为的金属杆R（右）=三 毫米(表一).

图3。
图3。（a）侧面和（b）平面图的测试用例几何形状示意图。虚线表示忽略能量损失的摆锤轨迹。粗体边界线显示储罐壁，被视为无滑移。水面被视为刚性边界。模拟中不考虑虚线。
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（a）侧面和（b）平面图的测试用例几何形状示意图。虚线表示忽略能量损失的摆锤的轨迹。粗体边界线显示储罐壁，被视为无滑移。水面被视为刚性边界。模拟中不考虑虚线。

图3。
图3。（a）侧面和（b）平面图的测试用例几何形状示意图。虚线表示忽略能量损失的摆锤轨迹。粗体边界线显示储罐壁，被视为无滑移。水面被视为刚性盖边界。模拟中不考虑虚线。
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（a）侧面和（b）平面图的测试用例几何形状示意图。虚线表示忽略能量损失的摆锤轨迹。粗体边界线显示储罐壁，被视为无滑移。水面被视为刚性盖边界。模拟中不考虑虚线。

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在垂直方向上，该装置的设计使储罐底座和移动摆锤之间的最小距离为5D。

数值模拟中不包括导线、枢轴和释放机构，因为在一系列初步模拟中，它们对摆的行为几乎没有影响。在模拟中，圆柱体围绕枢轴只有一个旋转自由度。因此，电线本质上被认为是刚性的。考虑到气缸直径，D类，作为参考长度，摆锤的尺寸可以无量纲化，以获得无量纲长度L（左）*=6.34⁠，无量纲直径为D类*=1⁠，无量纲跨度W公司*=9.38⁠.储罐的无量纲尺寸为25×12.5×15.63⁠.

表一。

水下摆锤试验箱参数和Mathai报告的试验测试等。9 

参数描述原始实验（mm）标准化（Normalized）
w个 储罐宽度400 12.5 
小时 储罐高度500 15.63 
我 储罐长度800 25 
D类 气缸直径32 1 
L（左） 摆锤长度203 6.34 
W公司 气缸跨度300 9时38分
R（右） 枢轴半径3 ⋯ 
d日 钢丝直径2 ⋯ 
参数描述原始实验（mm）标准化（Normalized）
w个 储罐宽度400个12.5 
小时 储罐高度500 15.63 
我 储罐长度800 25 
D类 气缸直径32 1 
L（左） 摆锤长度203 6.34 
W公司 气缸跨度300 9.38 
R（右） 枢轴半径3 ⋯ 
d日 钢丝直径2 ⋯ 
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参考速度v（v）对,最大值=1.05 毫秒−1⁠，用于米*=4.98case是摆锤的最大测量速度。因此，雷诺数为重新=v（v）对,最大值D类/ν=33 700⁠，运动粘度为ν=10−6 米2 秒−1⁠.

使用三个不同分辨率的计算网格系统进行了数值模拟(表二). 所有三个网格系统在所有三个方向上都具有均匀分布。如图所示，最粗网格系统（表示为网格A）的网格间距为Δx个=0.07（使用参考长度标准化）和时间步长Δt吨=0.02（与参考长度和速度标准化），以确保Courant–Friedrichs–Lewy（CFL）数小于1.0。中间网格（表示为网格B）的网格间距在所有方向上都比网格A的网格间距细1.5倍，导致计算网格节点数比网格A多3.375倍。根据网格A中的最大计算速度，0.02的时间步长仍然确保了网格B的上述CFL条件。通过将网格B的分辨率再增加1.5倍，获得了最好的网格系统，即网格C，因此，时间步长减少到0.01，以确保CFL条件。在图4，切向速度和圆柱体速度之差的快照，U型θ−ω对第页⁠，其中ω对是圆柱体的角速度第页是每个点到旋转轴的距离，创建零速度无滑移条件。当IB方法在结构化背景网格上重建边界条件时，存在一个小误差，其中无滑移条件不能完全满足。然而，这个小误差对近尾迹形成和涡动力学的影响可以忽略不计，近尾迹场与Mathai提供的补充材料中显示的尾迹的比较等。9给出了高速和低速区域的良好一致性。

表二。

数值模拟中使用的计算网格系统的详细信息。三个网格系统的分辨率在所有方向上都是一致的。N个w个,N个小时、和N个我分别是水箱宽度、水深和水箱长度中的网格节点数。N个T型是网格节点的总数。

网格A网格B网格C
Δx个 0.07毫米0.046 0.031 
N个w个×N个小时×N个我 178×223×358 267×335×537 401×503×806 
N个T型 1.4×107 4.8×107 1.6×108 
Δt吨 0.02 0.02 0.01 
网格A网格B网格C
Δx个 0.07 0.046 0.031 
N个w个×N个小时×N个我 178×223×358 267×335×537 401×503×806 
N个T型 1.4×107 4.8×107 1.6×108 
Δt吨 0.02 0.02 0.01 
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图4。
图4。最大圆柱速度vp，max时，圆柱中部平面上网格C上圆柱周围的归一化切向速度与归一化圆柱速度（Uθ-ωpr）之差的快照。
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归一化切向速度和归一化圆柱速度之间的差值快照(⁠U型θ−ω对第页⁠)在圆柱体速度最大时，在圆柱体中部平面上的网格C上围绕圆柱体旋转v（v）对,最大值⁠.

图4。
图4。最大圆柱速度vp，max时，圆柱中部平面上网格C上圆柱周围的归一化切向速度与归一化圆柱速度（Uθ-ωpr）之差的快照。
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归一化切向速度和归一化圆柱速度之间的差值快照(⁠U型θ−ω对第页⁠)在圆柱体速度最大时，在圆柱体中部平面上的网格C上围绕圆柱体旋转v（v）对,最大值⁠.

关闭模态

圆柱体和储罐的几何结构采用非结构化三角网格系统进行离散，其分辨率与背景网格系统的分辨率相似。圆柱体和储罐的边界均被视为无滑移。

最后，由于水箱中的自由表面波动很小，所以水箱的水面被视为刚性盖。

在流固耦合FSI算法的力/力矩计算步骤中，结合流体力计算重力和浮力产生的力矩以及轴承摩擦。围绕枢轴的力矩通过以下公式进行规格化

M（M）*=M（M）ρ（f）D类三v（v）对,最大值2,
(18)

和角速度ω=d日θ/d日t吨由规范化

ω*=ωD类v（v）对,最大值.
(19)

在图5，数值模拟与Mathai测量结果的比较等。9和模型方程式。(15)如图所示。如所示图5（a）计算出的水下摆的瞬时角位置与实测和模型结果吻合较好。正如前两次摆动期间角度的时间变化所观察到的那样[图5（b）]与实验相比，较低分辨率情况（网格A和B）的振幅略微过高。然而，从最高分辨率的情况下获得了与测量结果更好的一致性。计算误差(错误)模拟值和测量值之间的定量关系为

错误=一莱斯−一 经验 一 经验 −1,
(20)

哪里一是LES摆运动的峰值振幅、周期或衰减率(⁠一莱斯⁠)和实验(⁠一 经验⁠). 衰减率定义如下：

d日θ,我:=θ我+1θ我,
(21)

哪里θ我是我第次挥杆。不同网格系统上三个量的计算误差如下所示表III如表所示，第一次摆动期间计算振幅的误差范围为5.5%（网格C上）至15.3%（网格A上）。同样，摆动周期的计算误差从2.0%（网格C上）到7.5%（网格A上）不等，表明网格分辨率对模拟精度的影响。在随后的摆动中，振幅的计算误差与第一次摆动大致相同，因此，不同网格系统的衰减率大致相同。值得一提的是，用于振幅计算的模型方程的误差与粗网格（即网格A）上的大涡模拟计算的误差相似。细网格的振幅误差比模型方程小。此外，模型方程的衰减率误差明显大于数值模拟的误差。

图5：。
图5：。在Mathai等人9的测试案例中，水下摆锤的测量（空心圆）和计算（直线）角度位置θ的时间变化。橙色、绿色和红色实线分别标记网格A、B和C上的数值模拟结果。蓝色虚线表示使用模型方程计算的结果[等式（15）]。（a） 显示了θ在6s内的演化，而（b）显示了（a）中黑色矩形的放大视图。
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测量（空心圆）和计算（直线）角度位置的时间变化，θMathai测试案例中的水下摆等。9橙色、绿色和红色实线分别标记网格A、B和C上的数值模拟结果。蓝色虚线表示使用模型方程[等式。(15)]. （a） 显示了θ超过6s，而（b）显示了（a）中黑色矩形的放大视图。

图5：。
图5：。在Mathai等人9的测试案例中，水下摆锤的测量（空心圆）和计算（直线）角度位置θ的时间变化。橙色、绿色和红色实线分别标记网格A、B和C上的数值模拟结果。蓝色虚线表示使用模型方程计算的结果[等式（15）]。（a） 显示了θ在6s内的演化，而（b）显示了（a）中黑色矩形的放大视图。
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测量（空心圆）和计算（直线）角度位置的时间变化，θMathai测试案例中的水下摆等。9橙色、绿色和红色实线分别标记网格A、B和C上的数值模拟结果。蓝色虚线表示使用模型方程[等式。(15)]. （a） 显示了θ而（b）显示了（a）中黑色矩形的放大视图。

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表III。

数值模拟（网格A、B和C上）和模型方程的计算误差[等式。(15)]相对于峰值振幅的测量值θ1，期间t吨1，和衰减率d日θ,1水下钟摆第一次摆动时的摆动。

θ1t吨1d日θ,1
网格A15.3%7.3% 0.04% 
网格B9.8% 3.7%0.2% 
网格C5.5% 0.9% −0.3% 
型号14.9% 0.7% 12.5% 
θ1t吨1d日θ,1
网格A15.3% 7.3% 0.04% 
网格B9.8% 3.7% 0.2% 
网格C5.5% 0.9% −0.3% 
型号14.9% 0.7% 12.5% 
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流量求解器已经过多次验证，例如参考文献。15,28,29,34、和35; 因此，这里省略了对计算流场的进一步验证。

在第一次摆动期间，观察到一个涡环形成并从摆上脱落(图6). 该涡环在所有三个FSI模拟中都可见。尽管涡环的尺寸根据网格分辨率略有不同，但整体过程和行为保持不变。为了简洁起见，只讨论了最佳网格分辨率（即网格C）的数值结果。在第一次摆动的初始时刻，形成明显可区分的涡流结构[图6（a）和6（e）]. 第一个脱落涡（具有正的平面外涡度）形成了涡环的前半部分。该涡连接到圆柱体后面的高度湍流区域[图6（b）和6（f）]第三个漩涡脱落后形成。小的湍流结构聚集成一个具有负涡度的漩涡，形成环的后半部分。在这个过程中，圆柱体的运动给流体施加向下的动量，这是涡流环向下运动的原因[图6（c）和6（克）]. 当涡环接近底壁时，它被环内的流动拉伸，直到它向区域侧壁移动时消失[图6（d）和6（小时）].

图6。
图6。从大涡模拟（LES）获得的t时涡流结构的演变 = 0.3、0.67、1.4和2.07 s；（a） –（d）Q准则（Q）的等值面 = 8） ，用无量纲速度大小着色，以及（e）–（h）摆中长度平面上的平面外涡度。黑点表示旋转轴，箭头表示钟摆运动的方向。
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从LES获得的涡流结构的演变t吨 = 0.3、0.67、1.4和2.07 秒⁠; （a） –（d）Q准则的等值面(问 = 8） ，用无量纲速度大小着色，以及（e）–（h）摆中长度平面上的平面外涡度。黑点表示旋转轴，箭头表示钟摆运动的方向。

图6。
图6。从大涡模拟（LES）获得的t时涡流结构的演变 = 0.3、0.67、1.4和2.07 s；（a） –（d）Q准则（Q）的等值面 = 8） ，用无量纲速度大小着色，以及（e）–（h）摆中长度平面上的平面外涡度。黑点表示旋转轴，箭头表示钟摆运动的方向。
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从LES获得的涡流结构的演变t吨 = 0.3、0.67、1.4和2.07 秒⁠; （a） –（d）Q准则的等值面(问 = 8） ，用无量纲速度大小着色，以及（e）–（h）摆中长度平面上的平面外涡度。黑点表示旋转轴，箭头表示钟摆运动的方向。

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作为比较，Mongelli和Battista的2D模拟23显示在偏转角变为零之前不久，一对涡在摆锤后面向下脱落。根据摆锤的半径不同，这对涡流的表现也不同。Mathai提出的2D-PIV测量中也存在所示涡环的证据等。,9以涡对的形式出现，类似于Mongelli和Battista描述的涡对。23 

第二和第三个脱落涡可见于图6（e）形成一对向上运动的涡旋。由于雷诺数较高，该涡对的寿命不长，并迅速消散到向上移动的高度湍流区域[图6（f）]. 这与蒙盖利和巴蒂斯塔的观察结果一致23使用的鲍勃半径为第页=0.005 米⁠.

图7将实验结果与仿真结果进行了比较。Mathai补充材料中提供的视频框架等。,9显示瞬时切向速度，如所示图7（a）该视频来自一个与模拟中质量比不同的实验。尽管如此，图7提供了良好的定性比较。

图7。
图7。圆柱体中部平面上的实验和模拟对比：（a）经Mathai等人、J.Fluid Mech许可复制的补充材料中提供的视频静止图像所示的瞬时切向速度。862, 348–363. 2019剑桥大学出版社版权所有，作者根据知识共享署名（CC BY）许可证获得许可；（b） t=0.48时模拟的瞬时切向速度 s；以及（c）模拟的瞬时平面外涡度。在（b）和（c）中，摆的位置（P）和实验的旋转轴（A）用圆圈表示。
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圆柱体中部平面上的实验和模拟对比：（a）经Mathai许可复制的补充材料中提供的视频静止图像所示的瞬时切向速度等。，J.流体力学。862, 348–363. 2019剑桥大学出版社版权所有，作者根据知识共享署名（CC BY）许可证获得许可；（b） 模拟时间的瞬时切向速度t吨=0.48 秒⁠; 以及（c）模拟的瞬时平面外涡度。在（b）和（c）中，摆的位置（P）和实验的旋转轴（A）用圆圈表示。

图7。
图7。圆柱体中部平面上的实验和模拟对比：（a）经Mathai等人、J.Fluid Mech许可复制的补充材料中提供的视频静止图像所示的瞬时切向速度。862, 348–363. 2019剑桥大学出版社版权所有，作者根据知识共享署名（CC BY）许可证获得许可；（b） t=0.48时模拟的瞬时切向速度 s；以及（c）模拟的瞬时平面外涡度。在（b）和（c）中，摆的位置（P）和实验的旋转轴（A）用圆圈表示。
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圆柱体中部平面上的实验和模拟对比：（a）经Mathai许可复制的补充材料中提供的视频静止图像所示的瞬时切向速度等。，J.流体力学。862, 348–363. 2019剑桥大学出版社版权所有，作者根据知识共享署名（CC BY）许可证获得许可；（b） 模拟时间的瞬时切向速度t吨=0.48 秒⁠; 以及（c）模拟的瞬时平面外涡度。在（b）和（c）中，摆的位置（P）和实验的旋转轴（A）用圆圈表示。

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摆（P）和轴（A）在实验图中的位置在模拟中用圆圈标记图7（b）和7（c）模拟的时间步长是以最佳匹配实验框架的角度位置的方式选择的。因此t吨=0.48 秒已选定。

切向速度图——即。，图7（a）和7（b）-表现出良好的整体一致性，因为正负速度区域似乎匹配得相当好。然而，由于质量比不同，速度大小在图7（a）和7（b）在实验结果中[图7（a）]可以看到紧邻负速度区域的两个正速度较大的区域，这表明存在漩涡。相比之下，可以在图7（b），对应的涡度为图7（c）这为实验数据中的涡环提供了证据，类似于图6。由于涡环是由早期脱落涡形成的，因此如果应用涡旋脱落修正，模型方程已经考虑了该涡环。

旋涡结构的视频可以在图8（多媒体视图）。在模拟的第一个时刻，可以看到在圆柱体末端形成的叶尖涡。这些早期形成的叶尖涡的残余也可以在图6（a）这促使我们更仔细地观察这些漩涡。叶尖涡的演变如所示图9.在挥杆的最初时刻(⁠0−0.18 秒⁠)，圆柱体的每一端形成两个反向旋涡，如所示图9（a）和9（b）从圆柱体中部看，左涡具有负螺旋度，右涡具有正螺旋度。大约0.24秒后[图9（c）]，两端的两个反向旋涡开始破裂。

图8。
图8。从不同角度观看旋涡结构的视频。Q准则的等参面 = 图中显示了8，由速度大小着色。多媒体视图：https://doi.org/10.1063/5.0086557.1
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从不同角度观看旋涡结构的视频。Q准则的等值面问 = 8被示出并且被速度幅度着色。多媒体视图：https://doi.org/10.1063/5.0086557.1

图8。
图8。从不同角度观看旋涡结构的视频。Q准则的等参面 = 图中显示了8，由速度大小着色。多媒体视图：https://doi.org/10.1063/5.00866557.1
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从不同角度观看旋涡结构的视频。Q准则的等值面问 = 图中显示了8，由速度大小着色。多媒体视图：https://doi.org/10.1063/5.00866557.1

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图9：。
图9：。叶尖涡的演变。等值面显示了Q的Q准则 = 5，用螺旋着色。在每幅图像中，大矩形显示了小矩形的放大视图：（a）显示了t=0.12的早期发展 s；（b） t=0.18后，仍然可以看到反向旋涡 s；和（c）时间t=0.24 s、 漩涡开始破裂并相互旋转，在靠近圆柱体的区域形成一个漩涡。
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叶尖涡的演变。等值面显示了问 = 5，用螺旋着色。在每幅图像中，大矩形显示了小矩形的放大视图：（a）显示了t吨=0.12 秒⁠; （b） 之后仍然可以看到反向旋转的漩涡t吨=0.18 秒⁠; 和（c）时间t吨=0.24 秒⁠，漩涡开始破裂并相互旋转，在靠近圆柱体的区域形成一个漩涡。

图9：。
图9：。叶尖涡的演变。等值面显示了Q的Q准则 = 5，用螺旋着色。在每幅图像中，大矩形显示了小矩形的放大视图：（a）显示了t=0.12的早期发展 s；（b） t=0.18后，仍然可以看到反向旋涡 s；和（c）时间t=0.24 s、 漩涡开始破裂并相互旋转，在靠近圆柱体的区域形成一个漩涡。
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叶尖涡的演变。等值面显示了问 = 5，用螺旋着色。在每幅图像中，大矩形显示了小矩形的放大视图：（a）显示了t吨=0.12 秒⁠; （b） 之后仍然可以看到反向旋转的涡流t吨=0.18 秒⁠; 和（c）时间t吨=0.24 秒⁠，漩涡开始破裂并相互旋转，在靠近圆柱体的区域形成一个漩涡。

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马泰等。9采用了原始模型，即等式。(15)-考虑尾流速度修正，这必须在水下摆的第一次摆动结束时考虑。他们证明，通过这种校正，振幅计算中的误差显著降低。然而，尽管他们为修正提供了物理依据，但由于测量作用力的困难，他们无法将实验中的作用力与模型进行比较。鉴于从大涡模拟得到的摆的运动与实验结果吻合良好，大涡模拟计算的水动力可作为与经验模型进行比较的参考。这种比较很有见地，特别是在尾流速度修正的背景下。

这样的比较可以在图10，其中带有尾流修正的模型方程(16)与LES结果进行了比较。可以更仔细地考虑三个因素：涡旋脱落的影响、释放后直接形成的三维流动，以及Mathai描述的尾迹修正突然开始的不连续性等。9在图10青色虚线中包含了涡旋脱落和发展流的影响。通过改变阻力系数来考虑涡流脱落对阻力的影响C类D类如Mathai报道等。9我们注意到，虽然尾迹和旋涡动力学在物理上固有地相互依赖，但在这里，它们是由独立的数学模型考虑的。这是一个可以接受的简化，因为涡旋脱落修正和所描述的涡旋动力学的最大影响出现在第一次摆动期间，而尾流修正则在第一次回转结束时开始。如图所示，通过缩放曲线左侧，可以很好地拟合LES计算的力矩。此外，由于考虑了涡旋脱落效应，在曲线的左侧形成了一个明显的环路。3D流的发展可见于图10（a）作为释放点模型方程和模拟结果之间的差异，即。，t吨 = 这可以用衰减的附加质量效应来描述。中的差异图10对应于附加的质量系数米一*=1开始时，其减小为报告的附加质量系数米一*=0.53⁠我们注意到，初始附加质量系数米一*=1对应于与无限长圆柱体相关的附加质量效应。大约需要t吨≈0.12 秒使附加质量系数达到0.53，这对应于叶尖涡发展所需的时间，如第2节所述。七、 A类.英寸图10附加质量效应的初始衰减（即0.12 秒⁠)通过线性缩小附加质量系数来考虑。

图10。
图10。模型方程中包含（橙色虚线）和不包含（青色虚线）涡旋脱落（VS）以及缩放附加质量（AM）效应与尾迹修正的比较（16）。大涡模拟结果分别用红色圆圈和红线表示：（a）表示作为归一化角速度函数的归一化水动力矩；（b）显示了涡旋脱落和标度附加质量对偏转角时间变化的影响。此外，实验结果显示为黑色圆圈。
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包括（橙色虚线）和不包括（青色虚线）涡流脱落（VS）和带尾流修正的模型方程中按比例增加质量（AM）效应之间的比较(16)大涡模拟结果分别用红色圆圈和红线表示：（a）表示作为归一化角速度函数的归一化水动力矩；（b）显示了涡旋脱落和标度附加质量对偏转角时间变化的影响。此外，实验结果显示为黑色圆圈。

图10。
图10。模型方程中包含（橙色虚线）和不包含（青色虚线）涡旋脱落（VS）以及缩放附加质量（AM）效应与尾迹修正的比较（16）。大涡模拟结果分别用红色圆圈和红线表示：（a）表示作为归一化角速度函数的归一化水动力矩；（b）显示了涡旋脱落和标度附加质量对偏转角时间变化的影响。此外，实验结果用黑色圆圈显示。
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带有尾迹修正的模型方程中包含（橙色虚线）和不包含（青色虚线）涡旋脱落（VS）和缩放附加质量（AM）效应的比较(16)大涡模拟结果分别用红色圆圈和红线表示：（a）表示作为归一化角速度函数的归一化水动力矩；（b）显示了涡旋脱落和标度附加质量对偏转角时间变化的影响。此外，实验结果显示为黑色圆圈。

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总的来说，由于包含了这两种影响，曲线更适合LES结果。尽管它们对提高模型的准确性有影响，但考虑到附加质量的衰减和旋涡脱落，也导致摆的动力学发生了一些微小的变化[图10（b）]. 这些变化导致相对误差的变化最多为一个百分点，对于所考虑的摆来说似乎可以忽略不计。

当尾流修正在第一次摆动的峰值突然开始时，Mathai的经验模型结果就是这样等。,9它导致阻力不连续。发生这种情况是因为Mathai提出的拟合等。9（用于开发经验模型）取决于角度位置θ尾流修正开始时，在第一次摆动的峰值处拟合为非零。这种不连续性在我们的数值模拟结果中没有显示出来。如所示图10（b），这似乎也会导致第一次挥杆后挥杆时间延长。

为了减轻突然启动的影响，我们引入了一个平滑的斜坡。为此，计算出的尾流速度从摆锤第一次摆动后处于最大角度位置时的比例因子0开始线性缩放t吨̃（f）秒直到摆动时间的一半达到第二次摆动的最大角度位置t吨̃秒秒当比例因子达到1时，已通过。比例可以表示为：

d日θ相对d日t吨̃=v（v）对−秒(t吨̃)U型（f）L（左）克,
(22)
秒(t吨̃)={0,t吨̃<t吨̃（f）秒,2(t吨̃−t吨̃（f）秒)t吨̃秒秒−t吨̃（f）秒,t吨̃（f）秒≤t吨̃≤t吨̃秒秒+t吨̃（f）秒2,1,t吨̃>t吨̃秒秒+t吨̃（f）秒2.
(23)

所选持续时间(t吨̃秒秒−t吨̃（f）秒)/2导致线性缩放的最佳一致性。这进一步将涡动力学和尾流修正之间的时间分离，因为尾流修正在半个摆动后达到完全效果。

该比例的尾迹修正结果如所示图11，其中它们与大涡模拟和模型方程的结果进行了比较，其中[等式。(16)]和不带[等式。(15)]尾迹修正。

图11：。
图11：。将网格C上的数值模拟结果[红色圆圈（a），红色线（b）]与模型方程（虚线）与[方程（16）]和无尾流速度修正[方程（15），蓝色]进行比较。尾流修正有两种情况：如果修正突然开始（橙色）或以缩放方式开始（黑色）：（a）说明了归一化力矩随归一化角速度的变化；和（b）显示了角度在6 s以上的时间变化。右上角显示了摆头两次摆动期间黑色矩形的详细视图。此外，实验结果用黑色圆圈显示。
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网格C上的数值模拟结果[红圈（a），红线（b）]与模型方程（虚线）和[方程。(16)]无尾流速度修正[等式。(15)，蓝色]。尾流修正有两种情况：如果修正突然开始（橙色）或以缩放方式开始（黑色）：（a）说明了归一化力矩随归一化角速度的变化；和（b）显示了角度在6 s以上的时间变化。右上角显示了摆头两次摆动期间黑色矩形的详细视图。此外，实验结果显示为黑色圆圈。

图11：。
图11：。网格C上的数值模拟结果[红圈（a），红线（b）]与具有[方程（16）]和没有尾流速度校正[方程（15），蓝色]的模型方程（虚线）的比较。尾流修正有两种情况：如果修正突然开始（橙色）或以缩放方式开始（黑色）：（a）说明了归一化力矩随归一化角速度的变化；和（b）显示了角度在6 s以上的时间变化。右上角显示了摆头两次摆动期间黑色矩形的详细视图。此外，实验结果显示为黑色圆圈。
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网格C上的数值模拟结果[红圈（a），红线（b）]与模型方程（虚线）和[方程。(16)]并且没有尾流速度校正[EEq。(15)，蓝色]。尾流修正有两种情况：如果修正突然开始（橙色）或以缩放方式开始（黑色）：（a）说明了归一化力矩随归一化角速度的变化；和（b）显示了角度在6 s以上的时间变化。右上角显示了摆头两次摆动期间黑色矩形的详细视图。此外，实验结果显示为黑色圆圈。

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如所示图11（a）对于没有尾迹修正的情况，在后荡期间可以观察到与大涡模拟结果的明显差异，其中模型低估了阻力。这是意料之中的，因为包括尾流速度会增加阻力。

线性缩放所获得的力矩如所示图11（a）虽然在第二次摆动的初始时间步长期间（当尾流修正开始时）计算的水动力高于平滑模型的预测，但使用平滑尾流修正，模型与模拟结果非常吻合。等式中给出的线性缩放。(23)允许达成更好的协议，但它不能代表转折点作用力的巨大变化。因此，采用高阶比例因子或稍早启动尾流修正似乎是明智的。我们注意到，线性缩放是一种相当随意的添加，以减轻尾流校正非物理不连续开始的影响。仿真结果表明，尾流修正应比当前模型中的修正更早开始，因为摆开始减速，并在达到峰值振幅之前与尾流相互作用。为了说明这一点，两个不同尺寸的长方体参考体积中的平均尾流速度评估如所示图12.大体积的尺寸为6.34D类×2D类×2D类小体积的尺寸是6.34D类×1D类×1D类⁠.角度位置θsel（选择）选择的体积应尽可能接近，且不与圆柱体重叠。这将导致位置θsel（选择）=π/12和θsel（选择）=π/8气缸后面，分别用于小容量和大容量。图12（a）图解说明了参考卷。为了便于查看，两个体积都以相同的角度位置显示θsel（选择）评估结果如所示图12（b）与摆速相比。当尾迹速度大于摆速时，阻力从减速力变为加速力。这可以看作是尾流速度和摆锤速度的交点。然而，两个不同交点的位置也显示了对所选参考体积的依赖性，因为尾流修正需要在不同的时刻开始，这取决于尾流速度的计算方式。因此，尚不清楚理想情况下何时开始尾流修正。为了获得准确的物理理解，有必要对这种行为进行进一步的研究。特别是，不同的质量比也可能显示出尾流修正开始的不同行为和影响。

图12：。
图12：。圆柱附近两个不同长方体参考体积中平均尾流速度的评估。大体积的尺寸为6.34D×2D×2D，位于圆柱体后面θsel=π/8。小体积的尺寸为6.34D×1D×1D，位于圆柱体后面的θsel=π/12：（a）参考体积的示意图，圆柱体后面的角度θsel。体积与圆柱体在平面外方向的长度相同；和（b）与摆的速度（红色）相比，相应参考长方体（蓝色：小，橙色：大）中的平均尾流速度。
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圆柱附近两个不同长方体参考体积中平均尾流速度的评估。大体积的尺寸为6.34D类×2D类×2D类它位于θsel（选择）=π/8在气缸后面。小体积的尺寸为6.34D类×1D类×1D类⁠，它位于θsel（选择）=π/12圆柱后面：（a）参考体积示意图θsel（选择）在气缸后面。体积与圆柱体在平面外方向的长度相同；和（b）与摆的速度（红色）相比，相应参考长方体（蓝色：小，橙色：大）中的平均尾流速度。

图12：。
图12：。圆柱附近两个不同长方体参考体积中平均尾流速度的评估。大体积的尺寸为6.34D×2D×2D，位于圆柱体后面θsel=π/8。小体积的尺寸为6.34D×1D×1D，位于圆柱体后面的θsel=π/12：（a）圆柱体后面角度θsel的参考体积示意图。体积与圆柱体在平面外方向的长度相同；和（b）与摆的速度（红色）相比，相应参考长方体（蓝色：小，橙色：大）中的平均尾流速度。
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圆柱附近两个不同长方体参考体积中平均尾流速度的评估。大体积的尺寸为6.34D类×2D类×2D类它位于θsel（选择）=π/8在气缸后面。小体积的尺寸为6.34D类×1D类×1D类⁠，它位于θsel（选择）=π/12圆柱后面：（a）参考体积示意图θsel（选择）在气缸后面。体积与圆柱体在平面外方向的长度相同；和（b）与摆的速度（红色）相比，相应参考长方体（蓝色：小，橙色：大）中的平均尾流速度。

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图11（b）显示了尾迹修正对钟摆计算角度的时间变化的总体影响，而相应的计算误差汇总见表四。由于尾迹修正仅在第一次摆动后应用，因此第一次摆动的振幅误差在所有三种情况下都是相同的。因此，中显示的错误表四为第二次挥杆计算。如果不进行尾流修正，第二次摆动的振幅误差为29.2%。此外，该模型第二次摆动时的衰减率误差为12.5%。由于流动的不对称性，在实验中第一次摆动后，第三次摆动期间的衰减率误差最小（即1.6%），然后恢复到11.9%。这种模式继续存在，但随着第一次摆动产生的流量开始衰减，这种模式会迅速减少。第一次摆动的计算周期误差为0.7%，在整个模拟时间内保持在类似范围内。因此，没有尾迹修正的模型方程很好地捕捉到了周期持续时间。

表IV。

对于峰值振幅，在有尾流速度校正和没有尾流速度校正的情况下第二次摆动的误差比较θ2，衰减率d日θ,2⁠、和期间t吨2.

θ2d日θ,2t吨2
没有唤醒29.2% 12.5%0.7% 
突然启动0.7% −12.3% 13.2% 
按比例启动14.9% 0.05% 4.8% 
LES公司1.8% −3.3% 0.8% 
θ2d日θ,2t吨2
没有唤醒29.2% 12.5% 0.7% 
突然启动0.7% −12.3% 13.2% 
按比例启动14.9% 0.05% 4.8% 
莱斯1.8% −3.3% 0.8% 
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在第一次摆动后突然开始尾流速度修正，第二次摆动期间的振幅结果与测量结果吻合良好，误差为0.7%。然而，由于第二次摆动持续时间较长，因此该摆动的计算周期误差为13.2%。此外，由于第一次摆动期间振幅计算的误差为14.9%，突然启动的尾迹似乎过于校正（从第一次摆动到第二次摆动），因此，校正导致了比预期更大的衰减率，相对误差为−12.3%。然而，应该注意的是，在接下来的摆动过程中，衰减的误差减少到大约8%。

在第二次摆动期间，使用标度启动会导致14.9%的振幅误差。该误差大于与突然启动相关的误差，但衰减率实际上更接近测量值，在第二次摆动期间误差为0.05%。第二次摆动后，衰减率误差保持在2.2%至8.6%之间。此外，使用标度启动，第一次摆动的计算持续时间误差为4.8%，之后摆动的误差保持在7.3%以下。因此，使用这里提出的平滑斜坡提高了模型在衰减率和周期持续时间方面的准确性。

对一个大型水下圆柱摆进行了高分辨率三维大涡模拟，并与Mathai提供的实验数据进行了验证等。9粗网格已经显示出与实验数据的良好一致性，并且与中、细网格尺寸的一致性显著提高。

与之前报道的2D观测结果相比，3D模拟可以对圆柱形摆的涡旋动力学提供新的见解。发现了第一次摆动时形成的涡环，描述了涡环的演变过程，从第一次脱落涡开始，到它撞到底壁时崩塌为止。通过比较圆柱体中部平面上的模拟结果和二维测量图，也可以在实验数据中找到这种结构的证据。在释放摆锤后的最初时刻，圆柱体末端形成了三维流动结构，被视为叶尖涡的形成。叶尖涡的出现在时间上与附加质量系数从二维流动理论值的下降相一致米一*=1测量的附加质量系数米一*=0.53⁠，表明这两种效果之间的联系。

将FSI模拟计算的水动力矩与模型Eqs中作用的力矩进行了比较。(15)和(16)提出了发展中的附加质量效应对流体动力矩的影响，并发现其对摆的整体动力学的影响可以忽略不计。利用原始尾迹修正改善了模型方程中振幅与FSI模拟之间的一致性。此外，在第二次摆动的前半段，通过线性缩放尾流修正对其全部效果的影响，可以改善衰减率和周期。然而，尾迹修正的建议自适应仅适用于质量比为4.98的模拟。因此，还需要做进一步的工作来验证这种对其他质量比的适应性，并提高其效用。特别是，由于这些修正对摆运动的影响增加，较低的质量比可能会产生有趣的结果。低于一定质量比的模拟需要使用强耦合方法。

目前正在使用三维粒子跟踪测速仪对摆锤动力学进行进一步研究，这将有助于更好地理解新兴的三维结构。

这项研究由奥地利科学基金（FWF）资助（P 33493）。计算资源由石溪大学土木工程系提供。非常感谢奥地利联邦数字和经济事务部以及奥地利国家研究、技术和发展基金会提供的财政支持。此外，这项工作还得到了美国能源部能源效率和可再生能源办公室（EERE）的部分支持，该办公室获得了水电技术办公室（WPTO）第DE-EE0009450号奖励。此处表达的观点不一定代表美国能源部或美国政府的观点。

作者没有冲突需要披露。

支持本研究结果的数据可在水下圆柱形摆的三维流场中公开获得，该流场来自带有流体-结构相互作用的大涡模拟，Zenodo.org，网址：https://doi.org/10.5281/zenodo.6421163.

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©2022作者。除非另有说明，否则所有文章内容均根据知识共享署名（CC BY）许可证进行许可(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
2022
作者