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依赖型理论中的商(邀请谈话)

作者 安德鲁·M·皮茨



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LIPIcs公司。FSCD.2020.3.pdf
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作者详细信息

安德鲁·皮特斯
  • 英国剑桥大学计算机科学与技术系

引用为获取BibTex

安德鲁·M·皮茨。依赖型理论中的商(邀请谈话)。第五届国际计算和演绎形式结构会议(FSCD 2020)。莱布尼茨国际信息学论文集(LIPIcs),第167卷,第3:1-3:2页,达格斯图尔-莱布尼兹-泽特鲁姆信息学研究所(2020)
https://doi.org/10.4230/LIPIcs.FSCD.2020.3

摘要

涉及取商的构造在数学中很常见。在这里,我将考虑在依赖型理论中如何对待它们。商类型的概念起源于推广类型理论的Nuprl理论证明体系[R.L.Constable等人,1986年]。后来,霍夫曼在他的论文中提出了内涵类型理论的一个版本[M.Hofmann,1995]。这取决于已有的内涵身份类型的概念。霍夫曼使用了马丁·洛夫(Martin-Löf)的概念,即从自反性证明中归纳出的索引族[B.Nordström等人,1990]。最近从路径类型的角度对同一性的同调观点【单价基金会项目,2013年】给出了一个更为自由的观点,并带来了更高归纳类型(HIT)的概念【P.L.Lumsdaine和M.Shulman,2019年】,包括归纳类型和商类型。归纳定义的索引类型族(以各种形式)可能是依赖类型理论为计算机辅助形式化数学证明的实践做出贡献的最有用的概念。然而,通常情况下,此类类型的特定应用程序不仅需要归纳生成对象集合,还需要在对象之间进行标识。在古典数学中,可以先生成然后识别,使用选择公理将无限结构提升到商。HIT可以通过交叉生成和识别来避免这种非破坏性的选择使用。也许比建设性/非建设性问题更重要的是,同时声明如何生成和如何识别可能是从用户的角度定义某些构造的一种非常自然的方式。这就是为什么一旦我们在理论证明系统中有了健壮和方便的机制来定义HIT和定义HIT之外的函数,HIT就会如此有用。尽管一些HIT已经在各种系统中公理化,但目前我所知的唯一一个内置支持定义HIT的一般形式并使用它们的系统是在Agda系统的最新版本中实现立方体类型理论[C.Cohen等人,2018年][A.Vezzosi等人,2019]。立方体类型理论中同一性的更高维度方面令人着迷;然而,更简单的一维形式的恒等式,其中一个具有唯一性的恒等证明(UIP),对于许多应用来说是足够的。尽管一些人认为UIP是Agda早期版本的一个缺陷,它是依赖模式匹配的原始形式[T.Coquand,1992],但它是精益证明法的一个特征[J.Avigad等人,2020年]。Altenkirch和Kaposi[T.Altenkirch和A.Kaposi,2016]将一维版本的HIT商归纳类型(QITs)称为一维版本,它们承诺即使在UIP的类型理论设置中也非常有用。在本次演讲中,我调查了其中的一些发展,包括最近QIT降低为商[M.P.Fiore等人,2020年],以及在商构建的理论证明中获得更好支持的前景。

主题分类

ACM学科分类
  • 计算理论→类型理论
  • 计算理论→建构数学
关键词
  • 依赖型理论
  • 商归纳型
  • 理论证明系统

韵律学

工具书类

  1. T.Altenkirch和A.Kaposi。类型理论在使用商归纳类型的类型理论中。2016年,美国纽约州纽约市,第43届ACM SIGPLAN-SIGACT编程语言原则年度研讨会论文集,POPL’16,18-29页。ACM公司。谷歌学者
  2. J.Avigad、L.de Moura和S.Kong。《精益中的定理证明》,3.4.0版,2020年2月。谷歌学者
  3. C.Cohen、T.Coquand、S.Huber和A.Mörtberg。立方型理论:对单价公理的建设性解释。在T.Uustalu,编辑,第21届国际校对和程序类型会议(Types 2015),莱布尼茨国际信息学会议(LIPIcs)第69卷,第5:1-5:34页,德国达格斯图尔,2018年。Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik宫。谷歌学者
  4. R.L.Constable,S.F.Allen,H.M.Bromley,W.R.Cleaveland,J.F.Cremer,R.W.Harper,D.J.Howe,T.B.Knoblock,N.P.Mendler,P.Panangaden,J.T.Sasaki,S.F Smith。用Nuprl证明开发系统实现数学。Prentice-Hall,Inc.,美国,1986年。谷歌学者
  5. T.可口可乐。与依赖类型的模式匹配。在B.Nordström、K.Petersson和G.D.Plotkin,编辑,1992年校对和程序类型研讨会论文集,瑞典Båstad,第66-79页,1992年6月。谷歌学者
  6. M.P.Fiore、A.M.Pitts和S.C.Steenkamp。构造无限商诱导类型。J.Goubault-Larrecq和B.König,编辑,第23届软件科学和计算结构基础国际会议(FoSSaCS 2020),计算机科学讲义第12077卷,第257-276页。施普林格,2020年。谷歌学者
  7. M.霍夫曼。内涵类型理论中的外延概念。爱丁堡大学博士论文,1995年。谷歌学者
  8. P.L.Lumsdaine和M.Shulman。较高归纳类型的语义。《剑桥哲学学会数学学报》,2019年第1-50页。谷歌学者
  9. B.Nordström、K.Peterson和J.m.Smith。马丁·洛夫类型理论中的编程。牛津大学出版社,1990年。谷歌学者
  10. 单价基金会项目。同伦类型理论:数学的单叶基础。http://homotopypetheory.org/book高级研究所,2013年。网址:http://homotopypetheory.org/book.
  11. A.Vezzosi、A.Mörtberg和A.Abel。立方agda:一种具有单价和更高归纳类型的独立类型编程语言。程序。ACM计划。Lang.,3(ICFP):87:1-87:29,2019年7月。谷歌学者
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