我们研究了系数包含von Mangoldt函数的幂级数的解析行为。特别地，我们推广了Hardy和Littlewood关于相关函数的显式公式，并导出了单位圆中揭示单位圆稠密子集上对数奇点的进一步表示公式。作为证明发生极限函数的平方可积性以及相应误差估计的基本工具，我们提供了由von Mangoldt函数和Euler函数组成的算术函数的Ramanujan式展开的新证明。