d-散射集的改进（In-）近似界

摘要

在$d$-${\rm S{\small CATTERED}\；S{\小ET}}$问题要求我们选择给定图的至少$k$个顶点，以便任何对之间的距离至少为$d$。我们研究了问题的（in-）逼近性，并对${\rmI{\small NDEPENDENT}\的已知结果进行了改进和扩展；S{\小ET}}$，这是它的泛化。具体来说，我们展示了：

• 最大度图的任何多项式时间算法的逼近比的下界$Delta^{lfloor d/2\rfloor-\epsilon}$，以及该问题的任何贪婪方案的逼近比上的改进上界$O（Delta^}\floor d/2）$。
• 二部图和偶值$d$的多项式时间$2\sqrt{n}$-近似，通过考虑唯一剩余的情况来匹配已知的下限。
• 偶数$d$的（大致）$2^{frac{n^{1-\epsilon}}{\rhod}}$和奇数$d$d$（在随机ETH下）的$\rho$-近似算法的复杂度下限，由（几乎）匹配这些边界的运行时间的$\hro$-逼近算法补充。