我们首先描述，在一个领域𝕂具有不同于2，李群伴随作用的轨道PSL公司 2 (𝕂)和PSL公司 2 (𝕂)关于他们的李代数𝔰𝔩 2 (𝕂)虽然前者众所周知，但后者导致了描述相应轨道的广义Pell–Fermat方程的解析。合成方法可以改变基场，我们在三元素和五元素场上演示了这一图像，与四面体群和二十面体群的几何形状有关。虽然这些结果可能看起来很熟悉，但现有文献似乎没有涵盖这些结果的一般性或细节。
我们应用此讨论来划分PSL公司 2 (ℤ)-成群的积分二元二次型类PSL公司 2 (𝕂)-类。什么时候？𝕂=ℂ我们得到了给定判别式的类群。然后，我们提供了它们划分为的完整描述PSL公司 2 (ℚ)-根据希尔伯特符号分类，并将其与属的划分联系起来。结果是经典的，但我们的几何方法具有独立的意义，因为它可能会对高斯合成的几何产生新的见解，并将图像统一到函数场上。
最后，我们给出了模orbifold的几何解释PSL公司 2 (ℤ)∖ℍ当两个点或两个闭合测地线对应于PSL公司 2 (𝕂)-等效二次型，以双曲线距离和这些模循环之间的角度表示。这些几何量与模块结的连接数有关。它们的分布特性可以用二次格子的几何来研究(𝔰𝔩 2 (ℤ),det（探测）)但这里不进行此类调查。
@第{MRR_2023__4__23_0条，作者={克里斯托弗·劳埃德·西蒙}，title={$\mathrm中的共轭类{PSL}_2（\mathbb｛K｝）$｝，journal={数学研究报告}，页码＝{23-45}，publisher={MathOA基金会}，体积={4}，年份={2023}，doi＝{10.5802/mrr.16}，语言={en}，url={https://mrr.centre-mersenne.org/articles/10.5802/mrr.16/}}
TY-JOUR公司澳大利亚-克里斯托弗·劳埃德·西蒙TI-$\mathrm中的共轭类{PSL}_2（\mathbb{K}）$JO-数学研究报告2023年上半年SP-23EP-45VL-4级PB-MathOA基金会UR-（欧元）https://mrr.centre-mersenne.org/articles/10.5802/mrr.16/DO-10.5802/mrr.16LA-英语ID-MRR_2023__4__23_0急诊室-
%0期刊文章%克里斯托弗·劳埃德·西蒙%$\mathrm中的T共轭类{PSL}_2（\mathbb{K}）$%J数学研究报告%D 2023年%第23-45页%第4版%I MathOA基金会%U型https://mrr.centre-mersenne.org/articles/10.5802/mrr.16/%10.5802/mrr.16兰特%G en公司%对于MRR_2023__4__23_0
克里斯托弗·劳埃德·西蒙。$\mathrm中的共轭类{PSL}_2（\mathbb{K}）$。《数学研究报告》，第4卷（2023年），第23-45页。doi:10.5802/mrr.16。https://mrr.centre-mersenne.org/articles/10.5802/mrr.16/
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