如今，Ricci孤子及其推广正在迅速发展，为理解任意黎曼流形的几何和拓扑提供了新技术。Ricci孤子是爱因斯坦度量的自然推广，也是哈密尔顿Ricci流的自相似解[20,21]. 它在Ricci流奇点的研究中起着特殊的作用。解决方案克（吨）非线性演化PDE：∂∂t吨克(t吨)=−2S公司(克(t吨))称为利玛窦流，其中S公司是与度量相关的Ricci张量克在微分几何中，Ricci流是一个过程，它以形式上类似于热扩散的方式使黎曼流形的度量变形，从而消除度量中的不规则性。黎曼流形（百万克）称为孤立子如果有一个平滑的向量场V（V）和标量λ∈ℝ这样的话

(1.1)S公司+12£V（V）克=λ克

在M（M），其中S公司是Ricci张量£V（V）克是度量的Lie导数克沿着V（V）.如果势向量场V（V）相同地消失，然后Ricci孤立子变得平凡，在这种情况下，流形是爱因斯坦流形。如果势向量场为V（V）可以表示为平滑函数的梯度u个在M（M）即。，V=杜，其中D类是的梯度运算符克在M（M）里奇流的一个重要应用是佩雷尔曼最近给出的瑟斯顿猜想的证明[32]任何紧致黎曼流形上的Ricci孤子总是梯度Ricci孤立子。我们推荐报纸[8,11,12,13,17,18,28,40]以及其中关于Ricci孤子、梯度Ricci孤立子及其在接触黎曼几何背景下的推广的更多详细研究的参考文献。

Ricci孤子的广义版本，称为几乎里奇孤子论文中介绍了[33]将孤子常数λ视为光滑函数。它是从[5]具有恒定标量曲率的紧致几乎Ricci孤子与欧几里德球面等距。稍后在[38]，Sharma研究了里奇几乎孤子K（K）-接触几何和Ghosh[16]研究了中的Ricci几乎孤子和梯度Ricci差不多孤子(κ,μ)-接触几何图形。最近，王家霞[39]将几乎Ricci孤子的概念推广到小时-几乎是里奇孤子。根据[39]，一个完全连通的黎曼流形(M（M）2n个+1,克)据说是h-几乎Ricci孤子如果存在平滑向量场V（V）在M（M）2n个+1这样的

那个

(1.2)S公司+小时2£V（V）克=λ克

其中λ和小时平滑函数是否打开M（M）2n个+1这里，λ称为孤子函数V（V）称为的势向量场小时-几乎是里奇孤子。这个概念表示为(M（M）2n个+1,克,V（V）,小时,λ).一个小时-几乎Ricci孤子称为：（i）收缩，当孤子常数λ为正时；（ii）当λ为零时为稳态，以及（iii）当∧为负时为膨胀。如果势向量场V（V）可以表示为平滑函数的梯度u个在M（M）即。，V=杜，其中D类是的梯度运算符克在M（M），然后是小时-几乎Ricci孤子方程变成

（1.3）S公司+小时H（H）e（电子）秒秒 u个=λ克

（其中，H（H）e（电子）秒秒 u个=∇2u个表示平滑函数的Hessianu个)并描述了所谓的h-几乎梯度Ricci孤子.学习问题小时-几乎Ricci孤子和小时-接触度量几何中的几乎梯度Ricci孤子是由Ghosh-Patra提出的[19]. 特别是，他们研究了小时-几乎Ricci孤子和小时-a上的几乎梯度Ricci孤子K（K）-接触流形并证明了如果K（K）-接触度量为小时-几乎梯度Ricci孤子，则它与单位球面等距S公司²ⁿ⁺¹最近，Kar-Majhi[26]研究过的(κ,μ)-几乎co-Kähler流形小时-几乎Ricci孤子和小时-几乎梯度Ricci孤子。也，小时-本文研究了Sasakian 3-流形上的几乎Ricci孤子[29]. 受上述研究的启发，本文对小时-几乎接触度量流形上的几乎Ricci孤子，特别是在广义Saskian空间形式上。在进一步讨论之前，我们记得，本文研究了广义Sasakian空间形式上的Ricci孤子和η-Ricci孤立子[31]. 此外，关于广义Sasakian空间形式的不变子流形的研究记录在[25].

本文的结构如下：第二节是关于广义Sasakian空间形式的初步研究。在第3节中，小时-a上的几乎Ricci孤子（2n+1）-维度的(n个>1)广义Sasakian空间形态M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)以势向量场为接触向量场，证明了在这种情况下流形具有恒定的标量曲率，流向量场为Killing。接下来，我们还展示了流形M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)是局部对称的，并且具有恒定的ξ-截面曲率，前提是特征向量场ξ是Killing。在最后一节中，我们研究了三维准萨萨基广义萨萨基空间形式M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)具有（f）1≠（f）三承认小时-几乎梯度Ricci孤子并证明在这种情况下流形M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)曲率恒定（f）1−（f）三。

A类（2n+1）-维可微流形M（M）2n个+1被称为几乎接触流形[7])配备结构(ϕ,ξ,η)式中，是类型（1,1）的张量场，ξ是特征或Reeb向量场，η是满足

(2.1)ϕ2(X（X）)=−X（X）+η(X（X）)ξ, η(ξ)=1, ϕξ=0,η°ϕ=0

对于所有向量场X（X）在M（M）2n个+1一般来说，可微流形M（M）2n个+1以及几乎接触的结构(ϕ,ξ,η)被称为几乎接触流形，其表示为(M（M）2n个+1,ϕ,ξ,η).如果歧管几乎接触(M（M）2n个+1,ϕ,ξ,η)承认黎曼度量克令人满意的

(2.2)克(ϕX（X）,ϕY（Y）)=克(X（X）,Y（Y）)−η(X（X）)η(Y（Y）)

对于任何向量场X（X）,Y（Y）在M（M）2n个+1，则流形称为几乎接触度量流形，表示为(M（M）2n个+1,ϕ,ξ,η,克)。然后从(2.2)，很容易推断出克(ϕX（X）,Y（Y）)=−克(X（X）,ϕY（Y）).基本的2形式dη与几乎接触度量结构相关联的定义如下

(2.3)d日η(X（X）,Y（Y）)=克(X（X）,ϕY（Y）)

对于任何向量场X（X）和Y（Y）。

几乎接触的度量流形(M（M）2n个+1,ϕ,ξ,η)如果流形的曲率张量满足

(2.4)对(X（X）,Y（Y）)Z轴=（f）1对1+（f）2对2+（f）三对三

对于一些平滑函数（f）₁,（f）₂和（f）_三在M（M）2n个+1，其中对₁,对₂和对_三类曲率张量是由

对1(X（X）,Y（Y）)Z轴=克(Y（Y）,Z轴)X（X）−克(X（X）,Z轴)Y（Y）,对2(X（X）,Y（Y）)Z轴=克(X（X）,ϕZ轴)ϕY（Y）−克(Y（Y）,ϕZ轴)ϕX（X）+2克(X（X）,ϕY（Y）)ϕZ轴,对三(X（X）,Y（Y）)Z轴=η(X（X）)η(Z轴)Y（Y）−η(Y（Y）)η(Z轴)X（X）+克(X（X）,Z轴)η(Y（Y）)ξ−克(Y（Y）,Z轴)η(X（X）)ξ

对于任何向量场十、 Y、Z在M（M）2n个+1在这种情况下，我们将流形写为M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)此外，Sasakian、cosymplectic或/和Kenmotsu空间形式是广义Sasakian-空间形式的典型例子。Alegre-Blair-Carriazo介绍并研究了这种几乎接触的对应物[1]2004年。从那时起，出现了几篇关于这一主题不同方面的论文。此时，我们推荐论文[2,三,4,10,14,22,23,24,27,34,35,36,37]以及其中的参考文献，以供读者对广义Sasakian空间形态的结果进行广泛而详细的概述。

除了关系之外(2.4)，用于（2n+1）-维度的(n个>1)广义Sasakian空间形态M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)以下关系也适用[1]:

(2.5)对(X（X）,Y（Y）)ξ =(（f）1−（f）三){η(Y（Y）)X（X）−η(X（X）)Y（Y）},
(2.6)对(ξ,X（X）)Y（Y） =(（f）1−（f）三){克(X（X）,Y（Y）)ξ−η(Y（Y）)X（X）},
(2.7)S公司(X（X）,Y（Y）) =(2n个（f）1+三（f）2−（f）三)克(X（X）,Y（Y）)−{三（f）2+(2n个−1)（f）三}η(X（X）)η(Y（Y）),
(2.8)S公司(X（X）,ξ)=2n个(（f）1−（f）三)η(X（X）),
(2.9)问ξ =2n个(（f）1−（f）三)ξ,
(2.10)第页=2n个(2n个+1)（f）1+6n个（f）2−4n个（f）三,

对于任何向量场十、 Y（Y）在M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)，其中对,S公司和第页分别是空间形态的曲率张量、Ricci张量和标量曲率。

此外，对于广义Sasakian空间形态M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)3维的Ricci算子问和曲率张量对由提供[28]:

(2.11)问X（X）=(第页2−（f）1+（f）三)X（X）−(第页2−三（f）1+三（f）三)η(X（X）)ξ

和

(2.12)对(X（X）,Y（Y）)Z轴=(第页2−2（f）1+（f）三){克(Y（Y）,Z轴)X（X）−克(X（X）,Z轴)Y（Y）}    −(三（f）1−三（f）三+第页2){克(Y（Y）,Z轴)η(X（X）)ξ−克(X（X）,Z轴)η(Y（Y）)ξ    +η(Y（Y）)η(Z轴)X（X）−η(X（X）)η(Z轴)X（X）}

对于任何向量场十、 Y、Z在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)。

定义2.1。([7])向量场V（V）在接触歧管上M（M）2n个+1如果保持接触形式η，则称为接触向量场，即，

(2.13)£V（V）η=ρη

关于一些光滑函数ρM（M）2n个+1.何时ρ = 0在M（M）2n个+1，向量场V（V）称为严格接触矢量场。

定义2.2。([15])无穷小自同构V（V）是一个光滑的向量场，使得所有结构张量的Lie导数V（V）消失，也就是说，

(2.14)£V（V）克=£V（V）ξ=£V（V）ϕ=£V（V）η=0

让克做一个小时-a上的几乎Ricci孤子（2n+1）-维度的(n个>1)广义Sasakian空间形态M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)。然后我们从(1.2)那个

(3.1)S公司(X（X）,Y（Y）)+小时2(£V（V）克)(X（X）,Y（Y）)=λ克(X（X）,Y（Y）)。

替换ξ而不是X（X）和Y（Y）英寸(3.1)我们得到

（3.2）小时克(£V（V）ξ,ξ)=2n个(（f）1−（f）三)−λ。

堵塞Y（Y）通过ξin(3.1)然后使用(2.8)和(2.13)给予

(3.3)小时£V（V）ξ=(小时ρ+4n个(（f）1−（f）三)−2λ)ξ。

观察(3.2)英寸(3.3)我们有

(3.4)小时ρ=−2n个(（f）1−（f）三)−λ。

利用(3.4)英寸(3.3)我们得到

(3.5)小时£V（V）ξ={2n个(（f）1−（f）三)−λ}ξ。

另一方面，来自(2.3)我们推断

(3.6)(£V（V）d日η)(X（X）,Y（Y）)=(£V（V）克)(X（X）,ϕY（Y）)+克(X（X）,(£V（V）ϕ)Y（Y）)。

将的两边相乘(3.6)由小时然后使用(3.1)我们推断

(3.7)小时(£V（V）d日η)(X（X）,Y（Y）)=−2S公司(X（X）,ϕY（Y）)+2λ克(X（X）,ϕY（Y）)+小时克(X（X）,(£V（V）ϕ)Y（Y）)。

喂食(2.7)在(3.7)我们得到

(3.8)小时(£V（V）d日η)(X（X）,Y（Y）)={−2(2n个（f）1+三（f）2−（f）三)+2λ}克(X（X）,ϕY（Y）)+小时克(X（X）,(£V（V）ϕ)Y（Y）)。

假设势向量场V（V）属于M（M）2n个+1是一个接触向量场。然后，在(2.13)我们有

(3.9)(£V（V）d日η)(X（X）,Y（Y）)=12{d日ρ(X（X）)η(Y（Y）)−d日ρ(Y（Y）)η(X（X）)}+ρ克(X（X）,ϕY（Y）)。

这与(3.8)提供

(3.10)2小时(£V（V）ϕ)Y（Y）=4{2n个（f）1+三（f）2−（f）三−λ}ϕY（Y）+2ρ小时ϕY（Y）    +小时η(Y（Y）)D类ρ−小时(Y（Y）ρ)ξ。

插入ξ代替Y（Y）我们得到

（3.11）2小时(£V（V）ϕ)ξ=小时{D类ρ−(ξρ)ξ}。

在的帮助下ϕξ=0和(3.5)我们获得

(3.12)小时(£V（V）ϕ)ξ=小时£V（V）ϕξ−ϕ(小时£V（V）ξ)=0

正在应用(3.12)英寸(3.11)我们有

(3.13)D类ρ=(ξρ)ξ。

取的内积(3.13)带有X（X）给予

(3.14)d日ρ(X（X）)=(ξρ)η(X（X）),

或同等标准，

(3.15)d日ρ=(ξρ)η。

求的外部导数(3.15)我们得到

d日2ρ=d日(ξρ)∧η+(ξρ)d日η=0,

这意味着

(3.16)d日(ξρ)∧η+(ξρ)d日η=0

取楔形产品(3.16)我们给出了η

(3.17)(ξρ)η∧d日η=0,

从中可以看出ξρ=0.自η∧(d日η)n个≠0，和依据(3.15)人们可以获得d日ρ=0因此ρ是常数。

此外，在(2.13)并注意到£V（V）和d日通勤，我们有

(3.18)£V（V）d日η=d日£V（V）η=(d日ρ)∧η+ρ(d日η)。

作为体积形式，ω是闭合的，因此Cartan公式提供

(3.19)£V（V）ω=(d日我v（v）V（V）)ω

接下来，将李微分转化为体积形式ω=η∧(d日η)n个然后使用(3.18)和(3.19)我们获得

(3.20)d日我v（v）V（V）=(n个+1)ρ。

正在集成(3.20)超过M（M）2n个+1然后应用散度定理，我们推断

(3.21)ρ=0,

（等等div V=0). 因此，我们从(3.4)那个

(3.22)λ=2n个(（f）1−（f）三)。

定理3.1。让M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)成为（2n+1）-具有势向量场的维广义Sasakian空间形式V（V）作为接触向量场。如果克是小时-上的几乎Ricci孤子M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)则孤子会相应地收缩、稳定或膨胀（f）1−（f）三为正、零或负。

的踪迹(3.1)事实上∑ 我=1三(£V（V）克)(e（电子）我,e（电子）我)=2d日我v（v）V（V）和(3.20)我们推断

(3.23)第页=(2n个+1)λ。

现在很容易检查(2.10), (3.22)和(3.23)那个

(3.24)三（f）2+(2n个−1)（f）三=0

凭借(3.24)和(2.7)我们有

(3.25)S公司(X（X）,Y（Y）)=2n个(（f）1−（f）三)克(X（X）,Y（Y）)。

那就是，M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)爱因斯坦是爱因斯坦常数吗2n个(（f）1−（f）三).承包(3.25)我们获得

第页=2n个(2n个+1)(（f）1−（f）三)。

因此，标量曲率第页是常量。

接下来，在(3.22)和(3.25)，来自(3.1)我们得到£V（V）克=0,这意味着V（V）正在杀人。

由于ρ是常数，它由(3.10)那个

(3.26)小时(£V（V）ϕ)Y（Y）={2n个（f）1+三（f）2−（f）三−λ}ϕY（Y）。

我们雇佣(3.22)和(3.24)在上述等式中实现£V（V）ϕ=0作为小时是积极的。此外，通过考虑(3.22)英寸(3.5)，我们有£V（V）ξ=0最后，我们替换(3.21)英寸(2.13)演绎£V（V）η=0因此，所有结构张量的Lie导数V（V）消失，从(2.14)，流矢量场V（V）是的几乎接触度量结构的无穷小自同构M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)因此，我们以定理的形式总结了上述内容，如下所示：

定理3.2。让M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)成为（2n+1）-维度的(n个>1)具有势向量场的广义Sasakian空间形式V（V）作为接触向量场。如果克是小时-上的几乎Ricci孤子M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)，然后是的标量曲率M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)为常数，且流向量场V（V）正在杀人。此外，V（V）是的几乎接触度量结构的无穷小自同构M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)。

备注3.3。在[14]，De和Sarkar研究了广义Sasakian空间形式上的射影曲率张量，并证明了（2n+1）-维度的(n个>1)广义Sasakian空间形式是射影平坦的当且仅当三（f）2+(2n个−1)（f）三=0因此，凭借(3.24)很明显（2n+1）-维度的(n个>1)广义Sasakian空间形态M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)承认小时-几乎Ricci孤子是射影平坦的。

现在，在这个交界处，我们回顾一下Kim提出的以下定理[27]:

定理3.4。让M（M）2n个+1成为（2n+1）-维度广义Sasakian空间形式。那么我们有以下结果：

（i） 如果n> 1个，然后M（M）2n个+1共形平坦当且仅当（f）₂=0。

（ii）如果M（M）2n个+1共形平坦且ξ是Killing向量场，则M（M）2n个+1局部对称，且具有恒定的-截面曲率。

此外，已知维数大于3的广义Sasakian空间形式的射影平坦和共形平坦条件是等价的。通过考虑这一事实以及前面的讨论，我们可以得出以下结论：

定理3.5。让M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)是维数大于3的广义Sasakian空间形式。如果（克，伏）是一个小时-上的几乎Ricci孤子M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)用势向量场V（V）作为接触向量场，那么M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)共形平坦。此外，如果M（M）2n个+1是一个Killing向量场M（M）2n个+1(（f）1,（f）2,（f）三)局部对称，且具有恒定的-截面曲率。

在[28]，作者研究了准萨萨基广义萨萨基空间形态的概念。这一概念是在[2]. 几乎接触的度量流形M（M）^三是一个三维准撒哈拉

流形当且仅当[30]

(4.1)∇X（X）ξ=−βϕX（X）

对于任何矢量场X（X）在M（M）^三对于某个函数β，如下所示ξβ=0这里，+表示关于Levi-Civita连接的协变微分算子M（M）^三如果β=常数，则歧管减小为β-Sasakian管汇，尤其是β = 1，流形成为佐佐木流形。由于(4.1)，我们有

(4.2)对(X（X）,Y（Y）)ξ=−(X（X）β)ϕY（Y）+(Y（Y）β)ϕX（X）+β2{η(Y（Y）)X（X）−η(X（X）)Y（Y）}。

发件人(4.2)由此可见

(4.3)对(X（X）,ξ)ξ=β2X（X） 一n个d日 对(X（X）,ϕX（X）)ξ=d日β(ϕX（X）)ϕX（X）+d日β(X（X）)X（X）,

对于任何向量场X（X）在M（M）^三，与ξ正交。此外，来自(2.4)我们获得

(4.4)对(X（X）,ξ)ξ=(（f）1−（f）三)X（X） 一n个d日 对(X（X）,ϕX（X）)ξ=0

因此(4.3)和(4.4)给我们β2=（f）1−（f）三β是常数。此外，在三维准萨萨基空间中，广义萨萨基空间形式β是非零的，前提是（f）1≠（f）三。

在本节中，在进入主要部分之前，我们证明了以下内容：

引理4.1。关于三维拟萨萨基广义萨萨基空间形式M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)，我们有

(4.5)(∇X（X）问)ξ−(∇ξ问)X（X）=β{ϕ问X（X）−2(（f）1−（f）三)ϕX（X）}

对于任何向量场X（X）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)。

证明。对于三维拟广义Sasakian空间形式M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)我们有

(4.6)问ξ=2(（f）1−（f）三)ξ。

采用协变微分(4.1)沿任意向量场X（X）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)和使用(4.1)，我们得到

(4.7)(∇X（X）问)ξ=β{问ϕX（X）−2(（f）1−（f）三)ϕX（X）}。

由于ξ是三维拟萨萨基广义萨萨基空间形式上的KillingM（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)，我们有(£ξ问)=0在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)。以下是£ξ(问X（X）)=问(£ξX（X）)现在，考虑到(4.1)由此可见

(4.8)(∇ξ问)X（X） =β{问ϕX（X）−ϕ问X（X）}

对于任何向量场X（X）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三).的减法(4.8)来自(4.7)给予(4.5). 这就完成了证明。

接下来，假设在三维准萨萨基广义萨萨基空间形式中M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)，公制克承认小时-几乎梯度Ricci孤子。然后由定义的孤子方程(1.3)具有势函数u个可以作为

（4.9）β∇X（X）D类u个=−问X（X）+λX（X）

对于任何向量场X（X）在M（M）^三; 哪里D类是的梯度运算符克在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)。通过直接计算，使用众所周知的曲率张量表达式：

对(X（X）,Y（Y）)Z轴=∇X（X）∇Y（Y）Z轴−∇Y（Y）∇X（X）Z轴−∇[X（X）,Y（Y）]Z轴

以及重复使用方程式(4.9)给予

(4.10)小时对(X（X）,Y（Y）)D类u个=1小时(X（X）小时){问Y（Y）−λY（Y）}−1小时(Y（Y）小时){问X（X）−λX（X）}    −{(∇X（X）问)Y（Y）−(∇Y（Y）问)X（X）}−{(X（X）λ)Y（Y）−(Y（Y）λ)X（X）}。

替换ξ而不是X（X）英寸(4.10)并利用(2.12)和(4.5)我们得到

小时对(ξ,Y（Y）)D类u个=(λ−2(（f）1−（f）三))小时(Y（Y）小时)ξ+1小时(ξ小时)(问Y（Y）−λY（Y）)    −β{2(（f）1−（f）三)ϕY（Y）−ϕ问Y（Y）}+(ξλ)Y（Y）−(Y（Y）λ)ξ。

对于任何向量场Y（Y）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三).最后一个方程与任意向量场的标量积X（X）和使用(2.6)，我们获得

(4.11)小时(（f）1−（f）三){克(Y（Y）,D类u个)η(X（X）)−(ξu个)克(X（X）,Y（Y）)}=(λ−2(（f）1−（f）三))小时(Y（Y）小时)η(Y（Y）)+1小时(ξ小时){克(问X（X）,Y（Y）)−λ克(X（X）,Y（Y）)}−β{2(（f）1−（f）三)克(ϕY（Y）,X（X）)−克(ϕ问Y（Y）,X（X）)}+(ξλ)克(X（X）,Y（Y）)−(Y（Y）λ)η(Y（Y）)

对于任何向量场X（X）和Y（Y）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)下一步，替换X（X）通过X和Y（Y）通过Y英寸(4.11)然后使用(2.1)提供

(4.12){(ξλ)−λ小时(ξ小时)+小时(（f）1−（f）三)(ξu个)}{克(X（X）,Y（Y）)−η(X（X）)η(Y（Y）)}+1小时(ξ小时)克(问ϕX（X）,ϕY（Y）)−β{2(（f）1−（f）三)克(X（X）,ϕY（Y）)−克(问ϕY（Y）,X（X）)}=0

对于所有矢量场十、 Y（Y）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)。用添加前面的方程式(4.11)收益率

（4.13）{2小时(（f）1−（f）三)(ξu个)+2(ξλ)−2λ小时(ξ小时)}克(X（X）,Y（Y）)+4β(（f）1−（f）三)克(ϕX（X）,Y（Y）)+{λ小时(ξ小时)−(ξλ)−小时(ξu个)}η(X（X）)η(Y（Y）)−β克(问ϕX（X）+ϕ问X（X）,Y（Y）)+{(λ−2(（f）1−（f）三))小时(Y（Y）小时)−小时(（f）1−（f）三)(Y（Y）u个)−(Y（Y）λ)}η(X（X）)+1小时(ξ小时){克(问X（X）,Y（Y）)+克(问ϕX（X）,ϕY（Y）)}=0

上述等式的反对称化提供了

(4.14){(λ−2(（f）1−（f）三))小时(Y（Y）小时)−小时(（f）1−（f）三)(Y（Y）u个)−(Y（Y）λ)}η(X（X）)−{(λ−2(（f）1−（f）三))小时(X（X）小时)−小时(（f）1−（f）三)(X（X）u个)−(X（X）λ)}η(Y（Y）)+8β(（f）1−（f）三)克(ϕX（X）,Y（Y）)−2β克(问ϕX（X）+ϕ问X（X）,Y（Y）)=0

对于所有矢量场十、 Y（Y）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)此外，替换X（X）通过X和Y（Y）通过Y在最后一个方程中，并使用(2.9)和(2.1)给予

β{克((问ϕ+ϕ问)X（X）,Y（Y）)−4(（f）1−（f）三)克(ϕX（X）,Y（Y）)}=0

对于所有矢量场十、 Y（Y）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)从上一个方程可以看出β = 0或

(4.15)(问ϕ+ϕ问)X（X）=4(（f）1−（f）三)ϕX（X）。

对于任何向量场X（X）在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)。让我们假设（f）1≠（f）三然后我们知道β不为零。因此，方程式(4.13)展台。让{e（电子）,ϕe（电子）,ξ}是的正交-基M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)这样的话问e（电子）=σe（电子）因此，我们有ϕ问e（电子）=σϕe（电子）.替换e（电子）对于X（X）英寸(4.13)利用上述方程，我们得到问ϕe（电子）=(4(（f）−（f）三)−σ)ϕe（电子）.使用-基和(2.9)标量曲率由下式给出

第页 = 克(问ξ,ξ)+克(问e（电子）,e（电子）)+克(问ϕe（电子）,ϕe（电子）) = 2(（f）1−（f）三)+σ+4(（f）1−（f）三)−σ = 6(（f）1−（f）三)。

对于标量曲率第页=6(（f）1−（f）三), (2.12)给了我们

（4.16）对(X（X）,Y（Y）)Z轴=(（f）1−（f）三){克(Y（Y）,Z轴)X（X）−克(X（X）,Z轴)Y（Y）}

对于任何向量场十、 Y、Z在M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)。因此自(4.16)由此可见M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)曲率恒定（f）1−（f）三因此，我们声明如下：

定理4.2。让M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)是一个三维准萨萨基广义萨萨基空间形式（f）1≠（f）三.如果克是一个小时-几乎梯度Ricci孤子M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)曲率恒定（f）₁-（f）_三。

值得注意的是，Weyl张量在任何三维黎曼流形上都是零的。因此我们可以考虑Cotton张量，它是三维黎曼流形的另一个共形不变量。棉花张量ℭ(X（X）,Y（Y）)类型（1,1）的定义如下：（参见[6,9,41])

ℭ(X（X）,Y（Y）)=(∇X（X）问)(Y（Y）)−(∇Y（Y）问)(X（X）)−14{d日第页(X（X）)(Y（Y）)−d日第页(Y（Y）)(X（X）)}

对于任何向量场X（X）和Y（Y）在M（M）^三如果Cotton张量ℭ消失。

由于所考虑的流形具有恒定曲率，即标量曲率第页是常数，因此Cotton张量消失。通过上述讨论，我们得出以下结论：

科罗利4.3。让M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)是一个具有（f）1≠（f）三.如果克是一个小时-几乎梯度Ricci孤子，然后是Cotton张量ℭ消失于M（M）三(（f）1,（f）2,（f）三)。