在本演示文稿中，我们用ℂ、ℝ、⁺,ℤ0-、和ℕ分别是复数、实数、实值和正数、非正整数和正整数的集合。

分数微积分是任意（实数或复数）阶的微分和积分，自然地出现在科学和工程的各个领域[104]研究了一类具有Hadamard导数的非线性分数阶微分脉冲系统（另请参见[103,105,112]).

概念分数微积分（即任意实数或复数阶的积分和导数的微积分）似乎源于1695年侯爵（1661-1704）向戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646-1716）提出的一个问题，该问题寻求莱布尼兹（目前流行的）记法的意义

对于阶导数n个∈ ℕ₀：={0，1，2，…}时n个=12（如果n个=12?). 莱布尼茨在1695年9月30日的答复中致函l'Hópital如下：

随后，（例如）1730年的欧拉、1772年的拉格朗日、1812年的拉普拉斯、1819年的拉克鲁瓦、1822年的傅里叶、1832年的利乌维尔、1847年的黎曼、1859年的格里尔、1865年的霍姆格伦、1867年的格伦瓦尔德、1868年的莱特尼科夫、1884年的劳伦特、1888年的内克拉索夫、1890年的克鲁格，在某种程度上提到了分数导数，1917年和Weyl。事实上，在他的700页课本，标题为“Calcul Differentiel和Calcul Intégral特征”（第二版；Courcier，巴黎，1819年），S.F.Lacroix用了两页（第409-410页）来研究分数微积分，最终表明

当然，除了微分、积分和积分-微分方程的理论，数学物理的特殊函数，以及它们在一个或多个变量中的扩展和推广之外，分数阶微积分目前应用的一些领域包括

• 流体流动

• 流变学

• 自相似多孔结构中的动力学过程

• 扩散输运与扩散

• 电气网络

• 概率论与统计学

• 控制理论

• 粘弹性

• 腐蚀电化学

• 化学物理学

• 动力系统

• 数学生物科学

等等（有关详细信息，请参阅[64,27,31]).

第一本专门研究分数微积分的书是奥尔德姆和斯潘纳的著作[63]; 它于1974年出版。自那时以来，大量书籍和专著、编辑卷和会议记录已经出现，并且继续频繁出现。今天，有至少八个专门从事国际科学研究的期刊几乎全部分数微积分及其广泛应用。

我们首先定义线性积分算子ℐ和通过

和

分别。然后通过迭代（以及数学归纳法的原理）很容易看出

和

其中，与本演示文稿中的其他部分一样，

和

熟悉的（欧拉）伽马函数Γ(z（z）)为定义的z（z）∈ℂℤ0-，由

恰好是数学分析中最基本、最有用的特殊功能之一。它基本上是由欧拉试图赋予x个! 什么时候x个是任何正实数，1729年他解决了插值问题n个! 的正整数值之间n个.

历史上，上述伽马函数Γ的起源(z（z）)可以追溯到Leonhard Euler（1707-1783）到Christian Goldbach（1690-1764）的两封信，详细阐述了将阶乘扩展到整数之间的值的简单愿望。第一封信（1729年10月13日）涉及插值问题，而第二封信（1730年1月8日）涉及整合并将两封信的内容联系在一起。

因此，自

所以，很明显，

以期插值(n个– 1)! 在积极的的整数值n个，一个可以设置

就伽马函数而言。因此，一般来说，方程式（2.3）和(2.4)会带领我们最后对于熟悉的黎曼-刘维尔算子ℛ^μ和Weyl算子分数阶积分μ(μ∈ℂ），定义为(囊性纤维变性.,e（电子）.克.，埃尔德莱伊等. [19，第13章]）

和

分别是默许地假设函数如果(t吨)受到约束(2.6)和(2.7)存在。

在有关分数微积分及其广泛应用的大量文献中，有一些分数导数的潜在有用算子D类x个;0μ和D类x个;∞μ订单的μ(μ∈ℂ），对应于上述定义的分数积分算子ℛ^μ和，我们有

和

在有关分数微积分理论和应用的大量文献中，也有许多进一步的算子ℛ的推广^μ,,D类x个;0μ、和D类x个;∞μ，为了非专业人士在这个主题中。

现在，对于Riemann-Liouville分数阶导数算子D类x个;0μ由定义(2.8)，很容易看到(2.6)那个

因此，设置后λ=1和μ=12，最后一个公式(2.10)易得率

观察到这一点

自从

分数导数公式(2.10)采用以下简单形式：

事实上，它是分数导数公式(2.12)以其等效形式：

这是S.F.Lacroix在他的700页课本，标题为“Calcul Differentiel和Calcul Intégral特征”（第二版；Courcier，巴黎，1819年）。

如果我们像往常一样定义拉普拉斯变换算子ℒ

假设积分存在，对于Riemann-Liouville分数导数算子D类t吨;0μ订单的μ，我们有

另一方面，对于n个第th个普通导数如果^(n个)(t吨) (n个∈ ℕ₀)，众所周知

或者，同等地，

哪里，以及以下内容，一个空的总和应解释为零。

通过比较拉普拉斯变换公式（3.2a）和（32亿），我们看到这些初始值（3.2a）通常是不在给定的初值问题中可以物理解释。通过利用所谓的Liouville-Caputo分数导数这是在年出版的早期作品中介绍的1832约瑟夫·刘维尔（1809-1882）[49，第10页]和最近，米歇尔·卡普托（Michele Caputo）在1969年以后的几部重要作品中提出了这一观点（详见[64，第78页等。]; 另请参见[31，第90页等。]).

在许多最近的著作中，特别是在粘弹性理论和遗传固体力学中，以下对Liouville（1832）和Caputo（1969）的定义被用于阶的分数导数α >第0页，共1页因果关系的功能如果(t吨) (我.e（电子）.,如果(t吨)=0（对于）t吨<0):

哪里如果^(n个)(t吨)表示阶的常（常）导数n个Γ是已经出现在(2.6)和(2.7)人们可以应用上述概念来概括经典数学物理的一些基本主题，这些主题由简单、线性、常微分方程或偏微分方程处理，因为[囊性纤维变性.方程式（3.2a）和定义（3.3）]

就像拉普拉斯变换公式一样（3.2b）或（3.2 c），显然是更多比拉普拉斯变换公式更适用于初值问题（3.2a）有关详细信息，请参阅Gorenflo等。[24]，波德鲁布尼[64]和Kilbas等。[31].

在常微分方程理论中，下列一阶和二阶微分方程：

通常被称为弛豫方程和振荡方程分别是。另一方面，在偏微分方程理论中，下列偏微分方程：

被称为扩散，扩散(或加热)方程式和波动方程分别是。

几位作者通过在控制（常微分或偏微分）方程中引入分数导数，推广了松弛、扩散、振荡和波传播的基本过程。这导致超流或中间过程在数学物理中，我们可以称之为分数现象我们通过分数微积分和拉普拉斯变换对这些现象进行了分析，得出了Mittag-Lefler和Fox-Wright类型的一个变量中的某些特殊函数。这些有用的特殊函数作为一般类函数的相关实例进行了系统的研究，这些函数通常被称为Fox函数H（H）-查尔斯·福克斯（1897-1977）之后的函数，他开始了对这些函数作为对称傅里叶核的详细研究（详见斯利瓦斯塔瓦等。[87,88]).

我们选择在下面总结Gorenflo最近的一些调查等。[24]他确实提到了许多早期密切相关的这方面的工作。

一、分数阶（松弛振荡）常微分方程

案例I.1：分数松弛（0< α≦ 1)

案例I.2：分数振荡(1< α≦ 2)

带有v₀≡0表示解对参数的连续依赖性α也在从α=1−至α= 1+.

显式解决方案（英寸二者都案例）：

哪里E类_α(z（z）)表示由定义的熟悉的Mittag-Lefler函数(囊性纤维变性.,e（电子）.克.、斯利瓦斯塔瓦和卡西亚普[88，第42页，方程式II.5（23）]）

二、。分数阶（扩散波）偏微分方程

哪里u个=u个(x、 t吨;β)被假定为因果关系的时间的函数(t>时间>0)具有

案例II.1：分数扩散(0<β≦12)

案例II.2：分数波(12<β≦1)

带有g(x个)≡0表示解对参数的连续依赖性β也在从β=12-到β=12+.

显式解决方案（英寸二者都案例）：

其中Green函数由提供

可以用Wright（广义贝塞尔）函数表示J型νμ(z（z）)由定义(囊性纤维变性.,e（电子）.克.、斯利瓦斯塔瓦和卡西亚普[89，第42页，方程式II.5（22）]）

在过去的几年中，不同形式的分数阶动力学方程被广泛用于描述和解决物理和天体物理的几个重要问题。萨克森那州等。[75]介绍了与广义Mittag-Lefler函数相关的广义分数阶动力学方程的解。随后，Saxena等。[78]利用Sumudu变换，根据特殊函数推导了广义分数阶动力学方程。最近，库马尔等. [37]给出了包含第一类贝塞尔函数的广义分数阶动力学方程的解；Choi和Kumar[17]（另请参见[35])给出了包含Aleph函数的广义分数阶动力学方程的解。事实上，正如V.P.Saxena最近所观察到的那样[71]所谓的Aleph函数我-函数）是我-功能本身。这个我-函数确实提供了FoxH（H）-功能（有关详细信息，请参阅[20]; 另请参见[11]对于密切相关的H（H）-功能）。对于涉及各类分数阶动力学方程及其解的其他结果，可以参考以下工作（例如）[15,26,34,68,73,74,75,76,78,97]. 特别是托莫夫斯基等。[97]展示了已更正Saxena和Kalla给出的某个分数动力学方程的一个明显错误解的版本[73，p.508，方程式（3.2）]，还导出了更一般的分数动力学方程组的解（有关详细信息，请参见[97，第813页，备注3和定理10]）。

在这里，在这个演示中，我们建议研究与广义Mittag-Lefler函数相关联的某个广义分数动力学方程的解（参见[72]). 文中还指出，本文给出的结果具有足够的通用性，可以专门用于包含分数阶动力学方程的许多已知解。

在过去十年左右的时间里，分数动力学方程得到了广泛的应用，这主要是因为它们与连续时间随机游动理论（CTRW，Continuous Time RandomWalks）的关系被发现[29]. 研究这些方程是为了确定和解释某些物理现象，这些物理现象控制着多孔介质中的扩散、复杂系统中的反应和松弛、异常扩散等过程（另请参阅[28,36]).

考虑一个以时间相关量为特征的任意反应N个=N个(t吨). 可以计算变化率d日N个d日t吨平衡破坏率和生产率属于N个也就是说，

一般来说，通过反馈或其他交互机制，破坏和生产取决于数量N个就是说，

这种依赖是复杂的，因为破坏或生产是一次性的t吨不仅取决于N个(t吨)，也有关于过去的历史N个(η) (η<t)变量的N个这可以用以下等式形式表示（参见[26]):

哪里N个_t吨表示由定义的函数

Haubold和Mathai[26]研究了方程式（4.1）采用以下形式：

初始条件是N个_我(t吨= 0) =N个₀是物种的数量密度我时间t吨=0和常数c（c）_我>这就是所谓的标准动力学方程。解决方案方程式（4.2）很容易看出是由

集成提供了另一种形式的方程式（4.2）如下：

哪里D类0t吨-1是标准积分运算符c（c）是一个常量。

的分数微积分推广方程式（4.4）如下表所示（参见[26]):

哪里D类0t吨-ν是熟悉的Riemann-Liouville分数积分算子（参见，例如, [31,52]; 另请参见[14])由定义

根据广义贝塞尔函数ω_{l、 b、c}(t吨)第一类，库马尔等。[37]研究了以下方程式：

其解由下式给出

哪里E类_{ν,2k个+我+1}（·）是上述广义Mittag-Lefler函数（见[53,111]; 另请参见[82]).

斯利瓦斯塔瓦和托莫夫斯基[96]介绍了Mittag-Lefler函数的以下泛化：

其中，根据伽玛函数Γ(z（z）)，广泛使用的Pochhammer符号(λ)_ν(λ, ν∈ℂ）通常由定义（有关详细信息，请参见[88,91]; 另请参见[85])

它被理解了按惯例（0）₀：=1且假设默许地Γ-商(4.10)存在。广义Mittag-Lefler函数的一个特例E类α,βγ,κ(z（z）)什么时候Shukla和Prajapati（参见[81]).

Saxena和Nishimoto[77]研究了广义Mittag-Lefler函数的进一步推广(4.9)采用以下形式：

特殊情况(4.11)什么时候γ=κ=1减少为以下多指标Mittag-Lefler函数（参见[33]; 另请参阅[16]):

Mittag-Lefler函数E类_α(z（z）)，广义Mittag-Lefler函数E类_{α、 β}(z（z）)、和全部的它们的上述扩展和推广显然作为特例包含在著名的Fox-Right函数中_第页Ψ_q个由定义（有关详细信息，请参见[88第21页]；另请参见[31，第56页]）

假设如果(t吨)是（时间）变量的实（或复）值函数t>时间>0和秒是实参数或复杂参数。函数的拉普拉斯变换如果(t吨)由定义

当极限存在时（作为有限数）。两个函数的卷积如果(t吨)和克(t吨)，为定义t>时间>0在许多不同的物理应用程序中扮演着重要角色。函数的拉普拉斯卷积如果(t吨)和克(t吨)由以下积分给出：