广义抽样序列理论最早由P.L.Butzer及其学派提出[13]和[14]. 近年来，由于其广泛的应用，特别是在信号和图像处理中，它已成为近似理论中的一个热门话题。对于w个>0，函数的广义采样序列（f）：ℝ→由定义(T型w个φ（f）)(x个)=∑k个=−∞∞φ(w个x个−k个)（f）(k个w个),  x个∈ℝ,哪里φ是ℝ上的一个核函数。这类运算符已经被许多作者研究过（例如[7,9,11,23,24,25,26,27]).

近似算子的Kantorovich型推广的研究是近似理论中的一个重要课题，因为它们可以用来近似Lebesgue可积函数。在过去的几十年里，已经构造了几个算子的Kantorovich修正并研究了它们的近似行为，我们提到了这方面的一些工作，例如[1,2,三,22]等。

在[12]引入了抽样Kantorovich算子，并研究了它们在Orlicz空间的一般情况下的收敛速度。之后，丹尼尔和文蒂[16]扩展了他们在多元环境中的研究，并获得了Orlicz空间中函数的收敛速度。丹尼洛和文蒂[18]得到了一致范数下采样Kantorovich算子族、Lipschitz类的有界一致连续函数和Orlicz空间中函数的逼近率。此外，还研究了采样Kantorovich算子的非线性版本[17]和[29].

Altomare和Leonessa[5]考虑了作用于单位区间上Lebesgue积分函数空间的一个新的正线性算子序列。这种操作符包括Kantorovich操作符作为一种特殊情况。后来，为了获得无界区间上局部可积函数空间的逼近过程，Altomare等人引入并研究了广义SzáSz-Mirakjan-Kantorovich算子[4]. 也在中[15]得到了这类算子序列的一些定性性质和渐近公式。

我们考虑广义Kantorovich型抽样序列。让{一_k个}_k个∈ℤ和{b条_k个}_k个∈ℤ是两个实数序列，这样b条_k个−一_k个= ∆_k个>0用于k个∈ℤ。本文分析了以下类型广义Kantorovich抽样序列的逼近性质(1.1)(K（K）w个φ（f）)(x个)=∑k个=−∞∞w个Δk个φ(w个x个−k个)∫k个+一k个w个k个+b条k个w个（f）(u个)d日u个,哪里（f）在中C（ℝ）上所有一致连续有界函数的类。

在本文中，首先我们得到了算子的渐近公式及其定量估计(K（K）w个φ（f）)w个>0此外，在中分析了这些算子的近似阶C（ℝ）最后，我们给出了一些核的例子，如B样条核和Blackman-Harris核，这些核可以应用该理论。

让φ∈C（ℝ）固定。对于每个ν∈ ℕ₀= ℕ ∪{0},u个∈ℝ我们将代数矩定义为米ν(φ,u个):=∑k个=−∞∞ϕ(u个−k个)(k个−u个)ν绝对力矩M（M）ν(φ):=啜饮u个∈ℝ∑k个=−∞∞|φ(u个−k个)||(k个−u个)|ν.

请注意，对于μ,ν∈N个₀具有μ<ν,M（M）_ν(φ) < +∞暗示M（M）_μ(φ) < +∞确实如此μ<ν，我们有∑k个=−∞∞|φ(u个−k个)||(k个−u个)|ν=∑|u个−k个|<1|φ(u个−k个)||(k个−u个)|ν+∑|u个−k个|≥1|φ(u个−k个)||(k个−u个)|ν≤2‖φ‖∞+∑|u个−k个|≥1|φ(u个−k个)||(k个−u个)|ν|(k个−u个)|ν−μ≤2‖φ‖∞+M（M）ν(φ).什么时候？φ得到了紧密的支持，我们马上就有了M（M）_ν(φ) < +∞每ν∈ ℕ₀.

我们假设以下假设成立：

• 每u个∈ℝ我们有∑k个=−∞∞φ(u个−k个)=1,

• M（M）₂(φ) < +∞还有一些等待林第页→∞∑|u个−k个|>第页|φ(u个−k个)|(k个−u个)2=0一致地关于u个∈ ℝ

• 每u个∈ℝ，我们有米1(φ,u个)=米1(φ)=∑k个=−∞∞φ(u个−k个)(k个−u个)=0,

• 啜饮k个{|一k个|,|b条k个|}=M（M）*<∞.

定理2.1

让f∈C(ℝ)和{一_k个}和{b条_k个}是两个有界实数序列_k个+b条_k个=α和b_k个−一_k个> ∆^∗> 0.如果f′(x个)在x点退出∈ ℝ然后,林w个→∞w个[(K（K）w个φ（f）)(x个)−（f）(x个)]=α2（f）′(x个).

备注2.1

关于的有界性假设（f）可以通过假设有两个正常数来放松一,b条使得|（f）(x个)| ≤一+b条|x个|，每x个∈ℝ。我们有|K（K）w个φ（f）)(x个)|≤∑k个=−∞∞w个b条k个−一k个|φ(w个x个−k个)|∫k个+一k个w个k个+b条k个w个|（f）(u个)|d日u个≤∑k个=−∞∞w个b条k个−一k个|φ(w个x个−k个)|∫k个+一k个w个k个+b条k个w个(一+b条|u个|)d日u个≤M（M）0(φ)(一+b条|x个|)|+b条Δ*w个(M（M）2(φ)+2(M（M）*)M（M）1(φ)+(M（M）*)2M（M）0(φ))因此系列K（K）w个φ（f）绝对收敛于每个x个∈ℝ此外，对于固定x个₀∈ ℝ,对1(x个)=（f）(x个0)+（f）′(x个0)(x个−x个0,)以该点为中心的一阶泰勒多项式x个₀根据泰勒公式，我们可以写出（f）(x个)−对1(x个)(x个−x个0)=小时(x个−x个0),哪里小时是这样一个函数林t吨→0小时(t吨)=0.然后小时限定于[x个₀−δ,x个₀+δ]，对于一些δ> 0. 对于|x个−x个₀| >δ，我们有|小时(x个−x个0)|≤一+b条|x个||x个−x个0|+|对1(x个)||x个−x个0|≤一+b条|x个||x个−x个0|+|（f）(x个0)||x个−x个0|+|（f）′(x个0)|,上述不等式右侧的项都是有界的|x个−x个₀| >δ因此，小时(. −x个₀)在ℝ上有界。沿着定理2.1的证明，可以得到相同的Voronovskaya公式。

让C^米表示所有的集合（f）∈C（ℝ）如此（f）是米时间连续可微和‖（f）^(米)‖_∞<∞.

让δ> 0. 对于（f）∈C（ℝ），皮特家K（K）-功能定义为K（K）(δ,（f）,C,C1):=inf公司{‖（f）−克‖∞+δ‖克′‖∞:克∈C1}.对于给定的δ>0，给定一致连续函数的通常连续模（f）：→定义为ω(（f）,δ):=啜饮|x个−年|≤δ|（f）(x个)−（f）(年)|.众所周知，对于任何正常数λ>0，连续模满足以下性质(2.1)ω(（f）,λδ)≤(λ+1)ω(（f）,δ).对于函数（f）∈C^米,x个₀,x个∈ℝ和米≥1，泰勒公式如下所示（f）(x个)=∑k个=0米（f）(x个)(x个0)k个!(x个−x个0)k个+R（右）米(（f）;x个0,x个)和剩余期限R（右）_米(（f）;x个₀,x个)由估计|R（右）米(（f）;x个0,x个)|≤|x个−x个0|米米!ω(（f）(米);|x个−x个0|).对于每个（f）∈C（ℝ）那里举行(2.2)K（K）(δ/2,（f）,C,C1)=12ω¯(（f）,δ),哪里ω̄(（f）, .) 表示的最小凹多数ω(（f）, .) （参见示例[6]).

剩余部分的估计如下R（右）_米(（f）;x个₀,x个)就以下方面而言ω̄于年被证明[21].

引理2.1

让f∈C^米,米∈ ℕ⁰和x₀,x个∈ ℝ那么，我们有|R（右）米(（f）;x个0,x个)|≤|x个−x个0|米米!ω¯(（f）(米);|x个−x个0|米+1).

我们有以下关于模量的定理2.1的定量版本ω̄万一米= 1.

定理2.2

让f∈C¹和{一_k个}和{b条_k个}是两个实数序列，这样a_k个+b条_k个=α,b条_k个−一_k个≥ ∆^*> 0和啜饮_k个{|一_k个|, |b条_k个|} ≤M（M）^*然后，对于非常x∈ ℝ，以下保持：|w个[(K（K）w个φ（f）)(x个)−（f）(x个)]−α（f）′(x个)2|≤A类Δ*ω¯(（f）′,Δ*2w个)其中A= (M（M）^*)²M（M）₀(φ) + 2(M（M）^*)M（M）₁(φ) +M（M）₂(φ).