• （i） ⇒（ii）。很明显[2，提案3.7]。

• （ii）⇒（iii）。让N个是的投影不变子模M（M）.然后有一个直接命令K（K）属于M（M）这样的话N个≤_{e（电子）}K（K）.让k个∈K（K）那么就存在一个基本的权利理想我=========================================================={第页∈对|克朗∈N个}第页，共页对.因此(k个+N个)我=0表示K（K）/N个是单数。因此M（M）是广义的π-延伸。

• （ii）⇏（i）。让M（M）应为模块，以便M（M）= (ℤ/ℤ第页) ⊕ (ℤ/ℤ第页^三)对于任何素数第页众所周知M（M）_ℤ未扩展到[13，第1814页]。然而，它是π-延伸。

• （iii）⇏（ii）。让对是的子环[F类V（V）0F类]这样的话对={[（f）v（v）0（f）]:（f）∈F类,v（v）∈V（V）}哪里F类是一个字段，并且V（V）_F类是上方的向量空间F类尺寸为2。很明显对_对是一个可交换且不可分解的模块。由于尺寸V（V）_F类为2，对_对不统一。因此对_对不是π-扩展了[2，提议3.8]。另一方面，让N个1=[0v（v）1F类⊕000],N个2=[00⊕v（v）2F类00]≤对对对于v（v）₁,v（v）₂∈V（V）很明显N个₁和N个₂在中投影不变对_对和N个₁,N个2⊆Z轴(对对)=[0V（V）00].因此N个₁和N个₂单数。由此可见R/N（参考号）₁和R/N（参考号）₂是奇异的，这就产生了对_对是广义的π-扩展模块。

• （i） ⇒（ii）。从引理2.2中可以明显看出。

• （ii）⇒（iii）。让X（X）是一个投影不变的本质闭子模M（M）.然后有一个直接命令K（K）属于M（M）这样的话X（X）≤K（K）和K/X公司是单数。因此X（X）≤_{e（电子）}K（K）由[7，建议1.21]。自X（X）没有适当的必要延伸，X（X）=K（K）这就说明了X（X）是…的直接总和M（M）.

• （iii）⇒（i）。让N个是的投影不变子模M（M）.然后存在一个子模块K（K）属于M（M）这样的话K（K）是对N个在里面M（M）.自M（M）是非奇异的，K（K）在中投影不变M（M）由[2，主张2.4]。现在K（K）是…的直接总和M（M）通过假设。然后M（M）是π-延伸。

回忆一下模块M（M）被称为C类₁₁-模块[13]如果每个子模块M（M）有一个补语，它是M（M）.

• （i） ⇒（ii）⇒（iii）⇒。这些含义显而易见[2，提案3.7]。

• （iv）⇒（v）从引理2.2可以清楚地看出。

• （v） ⇒（i）。设0≠X（X）≤M（M）.自M（M）是不可分解的M（M）投影不变性是这样的吗X（X）⊴_第页M（M）.然后有一个直接命令K（K）属于M（M）这样的话X（X）≤K（K）和K/X公司是单数。由此可见X（X）≤_{e（电子）}K（K）由[7，建议1.21]。因此K（K）=M（M），所以M（M）是统一的。

请注意，如果对是一个不可分解的广义右π-扩张环，那么对于所有非零右理想我属于对,注册会计师是单数。因此，存在一个基本的权利理想J型属于对这样的话x̄J⊆我为所有人x̄∈注册会计师.因此我是一个基本的权利理想对这就说明了对_对是统一的。因此，命题2.4在不可分解环的非奇异条件下成立对.

以下结果为广义π-扩展模块。

• （i） ⇒（ii）。让N个⊴_第页M（M）.然后有一个直接命令K（K）属于M（M）这样的话N个≤K（K）和K/N公司是单数。因此M（M）=K（K）⊕K′对于某些子模K′属于M（M）很明显N个∩K′= 0. 因此K/N（K/N）≅M（M）/(K′⊕N个)是单数。

• （ii）⇒（iii）。采取N个=0 in（ii），得出结果。

• （iii）⇒（iv）。让N个⊴_第页M（M）.然后M/K′≅K（K）条件（iii）为单数。让x个∈K（K）那么就存在一个基本的权利理想我属于对这样的话X I（X I）=0，作为K（K）是单数。因此我们得到了结果。

• （iv）⇒（i）。让N个⊴_第页M（M）.然后有一个直接命令K（K）属于M（M）这样的话N个≤K（K）以及任何x个∈K（K），有一个基本的权利理想我属于对这样的话X I（X I）≤N个。我们需要证明这一点K/N公司是单数。自X I（X I）≤N个，我们有(x个+N个)我≤N个.因此x个+N个∈Z轴(K/N（K/N）)，这就产生了K/N公司是单数。

广义的任意子模π-扩展模块不需要泛化π-如以下示例所示进行扩展。

让X（X）⊴_第页N个和N个⊴_第页M（M）.因此X（X）⊴_第页M（M）通过引理2.1。然后有一个直接的命令K（K）属于M（M）这样的话X（X）≤K（K）和K/X公司是单数。因此M（M）=K（K）⊕K′对于某些子模K′属于M（M）.自N个⊴_第页M（M）,N个= (N个∩K（K）)⊕(N个∩K′)根据引理2.1。很明显X（X）≤N个∩K（K）哪里N个∩K（K）是…的直接总和N个以及(N个∩K（K）)/X（X）≤K/X公司.因此(N个∩K（K）)/X（X）是奇异的，因此N个是广义的π-扩展模块。

让M（M）被概括π-延伸和N个⊴_第页M（M）.然后有一个直接命令K（K）属于M（M）这样的话N个≤K（K）和K/N公司是单数。因此M（M）=K（K）⊕K′对于某些子模K′属于M（M）.让τ:E类(M（M）) →E类(K（K）)是一张投影图。然后τ(M（M）) ≤M（M）和K/N公司≤E类(K（K）)/N个=τ(E类(M（M）))/N个.自K/N公司是单数，并且Z轴(对_对) = 0,τ(E类(M（M）))/N个是单数[7，建议1.23]。相反，让N个⊴_第页M（M）。然后存在e（电子）²=e（电子）∈结束(E类(M（M）))这样的话N个≤e（电子）(E类(M（M）)),e（电子）(E类(M（M）))/N个是单数，并且e（电子）(M（M）) ≤M（M）通过假设。自e（电子）(M（M）) ≤M（M）,e（电子）(M（M）)是…的直接总和M（M）很明显N个≤M（M）∩e（电子）(E类(M（M）)) ≤e（电子）(M（M）)和e（电子）(M（M）) ≤e（电子）(E类(M（M）)). 因此e（电子）(M（M）)/N个≤e（电子）(E类(M（M）))/N个给出了e（电子）(M（M）)/N个单数。因此M（M）是广义的π-延伸。

M（M）_对是一个π-包含直接和的扩展模块K（K）_对不是π-扩展了[2，实施例5.5]。因此M（M）_对是广义的π-通过引理2.2扩展模块。很明显对是一个交换Noetherian域。然后M（M）_对是非奇异模，也是K（K）_对.因此K（K）_对不是泛化的π-通过提案2.3进行扩展。

我们可以在射影空间中构造更多基于超曲面的例子，超过复数。

存在不可分解射影对-秩模n个结束对由[12]. 那么存在一个免费的对-模块F类_对这样的话F类_对=K（K）⊕K′哪里K（K）是不可分解和投射的对-秩模n个.根据定理3.9，F类_对是广义的π-延伸。然而K（K）_对不统一。因此K（K）_对不是泛化的π-通过2.4号提案进行扩展。

下一个命题给出了一个条件，确保模的直和是广义的π-扩展模块。

让N个是的投影不变子模M（M）₁.然后有一个直接命令L（左）属于M（M）₁这样的话M（M）₁=L（左）⊕L′具有N个≤L（左）和M（M）₁/(L′⊕N个)是命题2.5的单数。很明显L′⊕M（M）₂是…的直接总和M（M）,M（M）₂⊆L′⊕M（M）₂以及(L′⊕M（M）₂)∩N个= 0. 此外M（M）₁/(L′⊕N个) ≅M（M）/(L′⊕N个⊕M（M）₂)是单数。相反，让M（M）₁持有这些假设。让吨是的投影不变子模M（M）₁.根据假设，存在直接总和K（K）属于M（M）这样的话M（M）₂⊆K（K）,K（K）∩吨=0和M（M）/(K（K）⊕吨)是单数。现在K（K）=K（K）†=============================================================(M（M）₁⊕M（M）₂) =M（M）₂Ş(K（K）∩M（M）₁)产生这样的结果K（K）∩M（M）₁是…的直接总和M（M）₁因此存在子模块X（X）属于M（M）₁这样的话M（M）₁= (K（K）∩M（M）₁) ⊕X（X）.自吨是的投影不变子模M（M）₁,吨= (吨∩K（K）∩M（M）₁) ⊕ (吨∩X（X）)通过引理2.1。请注意K（K）∩吨=0，因此我们得到吨≤X（X）此外，很容易看出M（M）/(K（K）⊕吨) ≅M（M）₁/[(K（K）∩M（M）₁) ⊕吨]是单数。因此，命题2.5产生了结果。

很明显M（M）₂是广义的π-由引理2.7扩展。现在，让我们N个是的投影不变子模M（M）₁.然后N个⊕M（M）₂是的投影不变子模M（M）由[2，引理4.13]。根据提案2.5，存在一个直接汇总K（K）属于M（M）这样的话N个⊕M（M）₂≤K（K）和M（M）/(K′⊕N个⊕M（M）₂)是单数，其中M（M）=K（K）⊕K′对于某些子模K′属于M（M）.自K′∩M（M）₂⊆K′∩ (N个⊕M（M）₂) = 0,K′⊕M（M）₂是…的直接总和M（M）.

现在，结果来自命题3.3。

从定理3.4中可以清楚地看出。

下一个结果描述了广义π-根据相对内射性扩展模块。

如果Z轴(M（M）)=0或Z轴(M（M）) =M（M），那么结果就微不足道了。假设Z轴(M（M）)0和Z轴(M（M）) ≠M（M）.自Z轴(M（M）)是的一个完全不变子模M（M），它也是的投影不变子模M（M）因此，存在直接索赔K（K）属于M（M）这样的话Z轴(M（M）) ≤K（K）和K/Z公司(M（M）)是单数，其中M（M）=K（K）⊕吨对一些人来说吨≤M（M）.因此K（K）是单数[7，建议1.23]。由此可见K（K）=Z轴(M（M）). 因此M（M）=Z轴(M（M）) ⊕吨对一些人来说吨≤M（M）现在，让我们N个是的子模块Z轴(M（M）). 请注意Z轴(吨)=0，所以Hom_对(N个,吨)=0由[7，提案1.20]。因此吨是Z轴(M（M）)-内射的。

让M（M）是π-延伸，K（K）⊴_第页M（M）和K（K）基本封闭M（M）.然后M（M）=K（K）⊕N个对一些人来说N个≤M（M）由[2，推论3.2]。自K（K）⊴_第页M（M）,K（K）和N个是π-扩展了[2，建议4.14]，因此K（K）和N个是广义的π-通过引理2.2进行扩展。请注意Z轴₂(M（M）)是投影不变的闭子模M（M）接下来是Z轴₂(M（M）) =相对长度单位对一些人来说e（电子）∈S公司_我(终点_对(M（M）))由[2，建议4.12]和[2，推论3.2]。自M/K公司是非奇异的，Z轴₂(M（M）) ⊆K（K）.因此K（K）=Z轴₂(M（M）) ⊕X（X）哪里X（X）= (1 −e（电子）)M（M）∩K（K）.现在，M（M）=K（K）⊕N个=Z轴₂(M（M）) ⊕X（X）⊕N个.所以让我们N个=Y（Y）,Y（Y）是所需的直接和。

让M（M）被概括π-扩展模块和K（K）直接汇总M（M）.让S公司=结束(M（M）_对)和π:M（M）→K′是正则投影，其中K′≤M（M）这样的话M（M）=K（K）⊕K′很明显，kerπ=K（K）.自S公司是Abelian，（f）（克尔）π)⊆克尔π为所有人（f）²=（f）∈S公司.因此K（K）是的投影不变子模M（M）因此，应用引理2.7得到结果。

众所周知，一般来说，扩展模块（甚至对于统一模块）的直接和不必是扩展模块。例如，让M（M）是ℤ-模块（\8484»/\8484第页) ⊕ (ℤ/ℤ第页^三)对于任何素数第页，并让对= ℤ[x个]是多项式环。现在，让我们考虑自由对-模块吨=对⊕对。然后两者都有M（M）_ℤ和吨_对未扩展（请参阅[15]). 然而，一般而言π-扩展属性会产生以下结果。

让M（M）= ⊕_我∈我M（M）_我哪里M（M）_我是广义的π-为所有人扩展我∈我.让N个是的投影不变子模M（M）.然后N个= ⊕_我∈我(M（M）_我∩N个)通过引理2.1。请注意N个∩M（M）_我⊴_第页M（M）_我为所有人我∈我因此，存在直接索赔H（H）_我属于M（M）_我这样的话N个∩M（M）_我≤H（H）_我和H（H）_我/(N个∩M（M）_我)是单数。然后H（H）= ⊕_我∈我H（H）_我是…的直接总和M（M）这样的话N个≤H（H）很明显H/N公司是单数。因此M（M）是广义的π-延伸。

结果来自引理2.7和定理3.9。

这是命题3.8和定理3.9的结果。

让M（M）成为π-扩展模块。那就拿K（K）=Z轴₂(M（M）)并应用命题3.7得到结果。相反，假设M（M）已声明财产。从定理3.9可以清楚地看出，M（M）是广义的π-延伸。因此M（M）是π-通过提案2.3进行扩展。

回想一下，在基本扩展下扩展属性不是关闭的（请参见[11，第19页]）。为此，以下示例显示π-推广与推广π-扩展模块在本质扩展方面的行为与扩展模块相同。

让对广义右π-延长环和M（M）循环的对-模块。那么就有一个正确的理想我属于对这样的话M（M）≅注册会计师.让J/I公司⊴_第页注册会计师哪里我≤J型≤对那么很明显J型⊴_第页对。因此存在e（电子）²=e（电子）∈对这样的话J型≤呃和eR/J公司是单数。自J/I公司≤eR/I公司以及(eR/I公司)/(J/I)今年eR/J公司是单数，M（M）是广义的π-延伸。

让对广义右π-延长环和我[x个]是的投影不变右理想对[x个]. 然后我是的投影不变右理想对由[4，引理4.1]。因此存在e（电子）²=e（电子）∈对这样的话我≤呃和eR/I公司是单数。请注意我=工程安装，所以我[x个] =工程安装[x个]. 很明显呃[x个]是…的直接总和对[x个]和我[x个] =工程安装[x个] ≤呃[x个]. 很容易看出这一点呃[x个]/我[x个] ≅ (电子参考/电子参考)[x个]. 请注意Z轴_对[x个](呃[x个]/我[x个]) ≅ (Z轴_对(电子参考/电子参考))[x个] = (电子参考/电子参考)[x个] ≅电子病历[x个]/我[x个]这表明呃[x个]/我[x个]是单数。因此对[x个]是正确的广义π-延伸。

相反，让对[x个]正确推广π-延伸和J型的投影不变右理想对.然后J型[x个]是的投影不变右理想对[x个]由[4，引理4.1]。由此可见J型[x个] ≤fR（飞行参考）[x个]和fR（飞行参考）[x个]/J型[x个]对某些人来说是单数（f）²=（f）∈对[x个]. 请注意福建[x个] =J型[x个]，并让克²=克∈对[x个]. 然后克(J型[x个]) ⊆J型[x个]，作为J型[x个]投影不变量是的右理想对[x个]. 因此，我们得到功能梯度滤波器=玻璃纤维，所以（f）∈S公司_我(对[x个]). 从以下位置观察[1，主张2.4]fR（飞行参考）[x个] =（f）₀对[x个]对一些人来说（f）₀∈S公司_我(对). 自J型[x个] ≤fR（飞行参考）[x个] =（f）₀对[x个]，所以J型≤（f）₀对。此外，Z轴_对(（f）₀R/J公司) ≤Z轴_对[x个]((（f）₀R/J公司)[x个]) ≅Z轴_对[x个](（f）₀对[x个]/J型[x个])=Z轴_对[x个](fR（飞行参考）[x个]/J型[x个]). 因此，Z轴_对(（f）₀R/J公司)是单数，如Z轴_对[x个](fR（飞行参考）[x个]/J型[x个])是单数。因此对是正确的广义π-延伸。

从定理3.15和定理3.9可以清楚地看出。

让对是右非奇异广义π-延长环和F类_对自由权利对-模块。然后F类_对是广义的π-通过定理3.9进行扩展。自对是非奇异的，我们得到终点(F类_对)是正确的π-扩展了[15，定理4.157]，因此是广义的π-通过引理2.2进行扩展。